Bago tayo magsimulang magdesisyon mga problema sa pag-unlad ng aritmetika, isaalang-alang natin kung ano ang pagkakasunod-sunod ng numero, dahil ang pag-unlad ng aritmetika ay isang espesyal na kaso ng pagkakasunod-sunod ng numero.

Ang pagkakasunud-sunod ng numero ay isang set ng numero, na ang bawat elemento ay may sariling serial number. Ang mga elemento ng set na ito ay tinatawag na mga miyembro ng sequence. Ang serial number ng isang sequence element ay ipinahiwatig ng isang index:

Ang unang elemento ng pagkakasunud-sunod;

Ang ikalimang elemento ng sequence;

- ang "nth" na elemento ng sequence, i.e. elementong "nakatayo sa pila" sa numero n.

May kaugnayan sa pagitan ng value ng isang sequence element at ang sequence number nito. Samakatuwid, maaari nating isaalang-alang ang isang sequence bilang isang function na ang argumento ay ang ordinal na numero ng elemento ng sequence. Sa madaling salita, masasabi natin iyan ang sequence ay isang function ng natural na argumento:

Maaaring itakda ang pagkakasunud-sunod sa tatlong paraan:

1 . Maaaring tukuyin ang pagkakasunud-sunod gamit ang isang talahanayan. Sa kasong ito, itinakda lang namin ang halaga ng bawat miyembro ng sequence.

Halimbawa, nagpasya ang isang tao na kumuha ng personal na pamamahala ng oras, at upang magsimula sa, bilangin kung gaano karaming oras ang ginugugol niya sa VKontakte sa isang linggo. Sa pamamagitan ng pagtatala ng oras sa talahanayan, makakatanggap siya ng isang sequence na binubuo ng pitong elemento:

Ang unang linya ng talahanayan ay nagpapahiwatig ng bilang ng araw ng linggo, ang pangalawa - ang oras sa minuto. Nakikita namin iyon, iyon ay, noong Lunes May isang taong gumugol ng 125 minuto sa VKontakte, iyon ay, noong Huwebes - 248 minuto, at, iyon ay, sa Biyernes 15 lamang.

2 . Maaaring tukuyin ang pagkakasunod-sunod gamit ang nth term formula.

Sa kasong ito, ang pag-asa ng halaga ng isang elemento ng pagkakasunud-sunod sa numero nito ay direktang ipinahayag sa anyo ng isang formula.

Halimbawa, kung , pagkatapos

Upang mahanap ang halaga ng isang elemento ng pagkakasunud-sunod na may isang ibinigay na numero, pinapalitan namin ang numero ng elemento sa formula ng ika-n na termino.

Ginagawa natin ang parehong bagay kung kailangan nating hanapin ang halaga ng isang function kung alam ang halaga ng argumento. Pinapalitan namin ang halaga ng argumento sa equation ng function:

Kung, halimbawa, , Iyon

Hayaan akong tandaan muli na sa isang pagkakasunud-sunod, hindi tulad ng isang arbitrary na pagpapaandar ng numero, ang argumento ay maaari lamang maging isang natural na numero.

3 . Maaaring tukuyin ang pagkakasunud-sunod gamit ang isang formula na nagpapahayag ng pagtitiwala sa halaga ng pagkakasunud-sunod na numero ng miyembro n sa mga halaga ng mga nakaraang miyembro.

Sa kasong ito, hindi sapat na malaman lamang natin ang bilang ng miyembro ng sequence upang mahanap ang halaga nito. Kailangan nating tukuyin ang unang miyembro o unang ilang miyembro ng sequence. ,

Halimbawa, isaalang-alang ang pagkakasunud-sunod Mahahanap natin ang mga halaga ng mga miyembro ng sequence isa-isa

, simula sa pangatlo: Iyon ay, sa bawat oras, upang mahanap ang halaga ng ika-n na termino ng pagkakasunud-sunod, bumalik tayo sa naunang dalawa. Ang pamamaraang ito ng pagtukoy ng pagkakasunod-sunod ay tinatawag paulit-ulit , mula sa salitang Latin recurro

- bumalik ka.

Ngayon ay maaari nating tukuyin ang isang pag-unlad ng aritmetika. Ang pag-unlad ng aritmetika ay isang simpleng espesyal na kaso ng pagkakasunod-sunod ng numero. Arithmetic progression

ay isang numerical sequence, ang bawat miyembro nito, simula sa pangalawa, ay katumbas ng naunang idinagdag sa parehong numero. Tinatawag ang numero pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika

. Ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng arithmetic ay maaaring positibo, negatibo, o katumbas ng zero.">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} Kung title="d>0.

dumarami

Halimbawa, 2; 5; 8; 11;... Kung , kung gayon ang bawat termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay mas mababa kaysa sa nauna, at ang pag-unlad ay.

bumababa

Halimbawa, 2; -1; -4; -7;... Kung , kung gayon ang lahat ng mga tuntunin ng pag-unlad ay katumbas ng parehong numero, at ang pag-unlad ay.

nakatigil

Halimbawa, 2;2;2;2;...

Ang pangunahing katangian ng isang pag-unlad ng aritmetika:

Tingnan natin ang larawan.

Nakikita natin yan

, at kasabay nito

.

Pagdaragdag ng dalawang pagkakapantay-pantay na ito, nakukuha natin ang:

Hatiin natin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay sa 2:

Kaya, ang bawat miyembro ng arithmetic progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng arithmetic mean ng dalawang magkalapit:

Nakikita natin yan

Bukod dito, mula noong

, Iyon

, at samakatuwid">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Ang bawat termino ng isang pag-unlad ng arithmetic, na nagsisimula sa title="k>l

Pormula ng ika-kataga.

at sa wakas

nakuha namin formula ng nth term.

MAHALAGA! Ang sinumang miyembro ng isang arithmetic progression ay maaaring ipahayag sa pamamagitan ng at. Alam ang unang termino at ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika, mahahanap mo ang alinman sa mga termino nito.

Ang kabuuan ng n termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.

Sa isang di-makatwirang pag-unlad ng arithmetic, ang mga kabuuan ng mga terminong katumbas ng layo mula sa mga sukdulan ay katumbas ng bawat isa:

Isaalang-alang ang isang arithmetic progression na may n termino. Hayaang ang kabuuan ng n mga tuntunin ng pag-unlad na ito ay katumbas ng .

Ayusin muna natin ang mga tuntunin ng pag-unlad sa pataas na pagkakasunud-sunod ng mga numero, at pagkatapos ay sa pababang pagkakasunud-sunod:

Idagdag natin nang pares:

Ang kabuuan sa bawat bracket ay , ang bilang ng mga pares ay n.

Nakukuha namin:

Kaya, ang kabuuan ng n termino ng isang pag-unlad ng arithmetic ay matatagpuan gamit ang mga formula:

Isaalang-alang natin paglutas ng mga problema sa pag-unlad ng aritmetika.

1 . Ang pagkakasunud-sunod ay ibinibigay ng formula ng ika-n na termino: . Patunayan na ang sequence na ito ay isang arithmetic progression.

Patunayan natin na ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang magkatabing termino ng sequence ay katumbas ng parehong numero.

Nalaman namin na ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang katabing miyembro ng sequence ay hindi nakasalalay sa kanilang bilang at ito ay pare-pareho. Samakatuwid, sa pamamagitan ng kahulugan, ang sequence na ito ay isang aritmetika na pag-unlad.

2 . Nabigyan ng aritmetika na pag-unlad -31; -27;...

a) Maghanap ng 31 termino ng progression.

b) Tukuyin kung ang bilang 41 ay kasama sa pag-unlad na ito.

A) Nakikita natin na;

Isulat natin ang formula para sa ika-n na termino para sa ating pag-unlad.

Sa pangkalahatan

Sa aming kaso , Kaya naman

Kung para sa bawat natural na numero n tumugma sa isang tunay na numero isang n , tapos sinasabi nila na binigay na pagkakasunud-sunod ng numero :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , isang n , . . . .

Kaya, ang pagkakasunud-sunod ng numero ay isang function ng natural na argumento.

Numero a 1 tinawag unang miyembro ng sequence , numero a 2 — ikalawang termino ng sequence , numero a 3 — pangatlo at iba pa. Numero isang n tinawag nth miyembro ng sequence , at isang natural na numero n — number niya .

Mula sa dalawang magkatabing miyembro isang n At isang n +1 miyembro ng pagkakasunud-sunod isang n +1 tinawag kasunod (kamag-anak sa isang n ), A isang n — dati (kamag-anak sa isang n +1 ).

Upang tukuyin ang isang sequence, kailangan mong tukuyin ang isang paraan na nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang isang miyembro ng sequence na may anumang numero.

Kadalasan ang pagkakasunod-sunod ay tinukoy gamit nth term formula , iyon ay, isang formula na nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang isang miyembro ng isang sequence sa pamamagitan ng numero nito.

Halimbawa,

isang pagkakasunud-sunod ng mga positibong kakaibang numero ay maaaring ibigay ng formula

isang n= 2n- 1,

at ang pagkakasunod-sunod ng alternating 1 At -1 - pormula

b n = (-1)n +1 . ◄

Maaaring matukoy ang pagkakasunud-sunod paulit-ulit na formula, ibig sabihin, isang pormula na nagpapahayag ng sinumang miyembro ng sequence, simula sa ilan, sa pamamagitan ng mga nakaraang (isa o higit pa) na miyembro.

Halimbawa,

Kung a 1 = 1 , A isang n +1 = isang n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Kung a 1= 1, a 2 = 1, isang n +2 = isang n + isang n +1 , pagkatapos ay ang unang pitong termino ng numerical sequence ay itinatag gaya ng sumusunod:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

isang 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Ang mga pagkakasunud-sunod ay maaaring pangwakas At walang katapusan .

Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag panghuli , kung ito ay may hangganan na bilang ng mga miyembro. Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag walang katapusan , kung mayroon itong walang katapusang maraming miyembro.

Halimbawa,

pagkakasunud-sunod ng dalawang-digit na natural na mga numero:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

pangwakas.

Pagkakasunud-sunod ng mga pangunahing numero:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

walang katapusan. ◄

Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag dumarami , kung ang bawat isa sa mga miyembro nito, simula sa pangalawa, ay mas malaki kaysa sa nauna.

Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag bumababa , kung ang bawat miyembro nito, simula sa pangalawa, ay mas mababa kaysa sa nauna.

Halimbawa,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - pagtaas ng pagkakasunud-sunod;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — pagbaba ng pagkakasunod-sunod. ◄

Ang isang pagkakasunud-sunod na ang mga elemento ay hindi bumababa habang tumataas ang bilang, o, sa kabaligtaran, ay hindi tumataas, ay tinatawag monotonous sequence .

Ang mga monotonic na sequence, sa partikular, ay ang pagtaas ng mga sequence at ang pagbaba ng mga sequence.

Arithmetic progression

Ngayon ay maaari nating tukuyin ang isang pag-unlad ng aritmetika. Ang pag-unlad ng aritmetika ay isang simpleng espesyal na kaso ng pagkakasunod-sunod ng numero. ay isang pagkakasunud-sunod kung saan ang bawat miyembro, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, kung saan idinaragdag ang parehong numero.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , isang n, . . .

ay isang arithmetic progression kung para sa anumang natural na numero n natugunan ang kondisyon:

isang n +1 = isang n + d,

saan d - isang tiyak na numero.

Kaya, ang pagkakaiba sa pagitan ng kasunod at nakaraang mga termino ng isang naibigay na pag-unlad ng arithmetic ay palaging pare-pareho:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = isang n +1 - isang n = d.

Numero d tinawag Tinatawag ang numero.

Upang tukuyin ang isang pag-unlad ng aritmetika, sapat na upang ipahiwatig ang unang termino at pagkakaiba nito.

Halimbawa,

Kung a 1 = 3, d = 4 , pagkatapos ay makikita natin ang unang limang termino ng pagkakasunud-sunod tulad ng sumusunod:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Para sa isang pag-unlad ng aritmetika na may unang termino a 1 at ang pagkakaiba d kanya n

isang n = a 1 + (n- 1)d.

Halimbawa,

hanapin ang ika-tatlumpung termino ng pag-unlad ng aritmetika

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

isang 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

isang n-1 = a 1 + (n- 2)d,

isang n= a 1 + (n- 1)d,

isang n +1 = a 1 + nd,

tapos obvious naman

Ang bawat miyembro ng isang arithmetic progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng arithmetic mean ng nauna at kasunod na mga miyembro.

ang mga numerong a, b at c ay sunud-sunod na termino ng ilang pag-unlad ng arithmetic kung at kung ang isa sa mga ito ay katumbas ng arithmetic mean ng dalawa pa.

Halimbawa,

isang n = 2n- 7 , ay isang arithmetic progression.

Gamitin natin ang pahayag sa itaas. Mayroon kaming:

isang n = 2n- 7,

isang n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

isang n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Kaya naman,

◄

Tandaan na n Ang ika-apat na termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay matatagpuan hindi lamang sa pamamagitan ng a 1 , ngunit pati na rin ang anumang nakaraan isang k

isang n = isang k + (n- k)d.

Halimbawa,

Para sa a 5 maaaring isulat

isang 5 = a 1 + 4d,

isang 5 = a 2 + 3d,

isang 5 = a 3 + 2d,

isang 5 = a 4 + d. ◄

isang n = isang n-k + kd,

isang n = isang n+k - kd,

tapos obvious naman

sinumang miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika, simula sa pangalawa, ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga miyembro ng pantay na pagitan ng pag-unlad ng aritmetika na ito.

Bilang karagdagan, para sa anumang pag-unlad ng aritmetika ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay pinanghahawakan:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Halimbawa,

sa pag-unlad ng aritmetika

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = isang 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) isang 10= 28 = (19 + 37)/2 = (isang 7 + isang 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, kasi

isang 2 + isang 12= 4 + 34 = 38,

isang 5 + isang 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ isang n,

una n Ang mga termino ng isang pag-unlad ng arithmetic ay katumbas ng produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga matinding termino at ang bilang ng mga termino:

Mula dito, sa partikular, ito ay sumusunod na kung kailangan mong isama ang mga tuntunin

isang k, isang k +1 , . . . , isang n,

pagkatapos ay pinapanatili ng nakaraang formula ang istraktura nito:

Halimbawa,

sa pag-unlad ng aritmetika 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Kung ang isang pag-unlad ng aritmetika ay ibinigay, kung gayon ang mga dami a 1 , isang n, d, n AtS n konektado ng dalawang formula:

Samakatuwid, kung ang mga halaga ng tatlo sa mga dami na ito ay ibinigay, kung gayon ang mga katumbas na halaga ng iba pang dalawang dami ay tinutukoy mula sa mga formula na ito, na pinagsama sa isang sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam.

Ang pag-unlad ng aritmetika ay isang monotonic sequence. Sa kasong ito:

• Kung d > 0 , pagkatapos ito ay tumataas;
• Kung d < 0 , pagkatapos ito ay bumababa;
• Kung d = 0 , kung gayon ang pagkakasunod-sunod ay magiging nakatigil.

Geometric na pag-unlad

Geometric na pag-unlad ay isang pagkakasunud-sunod kung saan ang bawat miyembro, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna na pinarami ng parehong numero.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

ay isang geometric na pag-unlad kung para sa anumang natural na numero n natugunan ang kondisyon:

b n +1 = b n · q,

saan q ≠ 0 - isang tiyak na numero.

Kaya, ang ratio ng kasunod na termino ng isang ibinigay na geometric na pag-unlad sa nauna ay isang pare-parehong numero:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Numero q tinawag denominator ng geometric progression.

Upang tukuyin ang isang geometric na pag-unlad, sapat na upang ipahiwatig ang unang termino at denominator nito.

Halimbawa,

Kung b 1 = 1, q = -3 , pagkatapos ay makikita natin ang unang limang termino ng pagkakasunud-sunod tulad ng sumusunod:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 at denominador q kanya n Ang ika-apat na termino ay matatagpuan gamit ang formula:

b n = b 1 · qn -1 .

Halimbawa,

hanapin ang ikapitong termino ng geometric progression 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

tapos obvious naman

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

bawat miyembro ng geometric progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng geometric mean (proporsyonal) ng nauna at kasunod na mga miyembro.

Dahil ang kabaligtaran ay totoo rin, ang sumusunod na pahayag ay nagtataglay:

ang mga numerong a, b at c ay sunud-sunod na termino ng ilang geometric progression kung at kung ang parisukat ng isa sa mga ito ay katumbas ng produkto ng iba pang dalawa, iyon ay, ang isa sa mga numero ay ang geometric na mean ng dalawa pa.

Halimbawa,

Patunayan natin na ang pagkakasunod-sunod na ibinigay ng formula b n= -3 2 n , ay isang geometric na pag-unlad. Gamitin natin ang pahayag sa itaas. Mayroon kaming:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Kaya naman,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

na nagpapatunay sa nais na pahayag. ◄

Tandaan na n Ang ika-apat na termino ng isang geometric na pag-unlad ay matatagpuan hindi lamang sa pamamagitan ng b 1 , ngunit gayundin ang sinumang nakaraang miyembro b k , kung saan sapat na ang paggamit ng formula

b n = b k · qn - k.

Halimbawa,

Para sa b 5 maaaring isulat

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

tapos obvious naman

b n 2 = b n - k· b n + k

ang parisukat ng anumang termino ng isang geometric na progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng produkto ng mga termino ng progression na ito na katumbas ng layo mula dito.

Bilang karagdagan, para sa anumang geometric na pag-unlad ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Halimbawa,

sa geometric na pag-unlad

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , kasi

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

una n mga miyembro ng isang geometric na progression na may denominator q ≠ 0 kinakalkula ng formula:

At kailan q = 1 - ayon sa formula

S n= nb 1

Tandaan na kung kailangan mong isama ang mga tuntunin

b k, b k +1 , . . . , b n,

pagkatapos ay ginamit ang formula:

Halimbawa,

sa geometric na pag-unlad 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Kung ang isang geometric na pag-unlad ay ibinigay, kung gayon ang mga dami b 1 , b n, q, n At S n konektado ng dalawang formula:

Samakatuwid, kung ang mga halaga ng alinman sa tatlo sa mga dami na ito ay ibinigay, kung gayon ang mga katumbas na halaga ng iba pang dalawang dami ay tinutukoy mula sa mga formula na ito, na pinagsama sa isang sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam.

Para sa isang geometric na pag-unlad na may unang termino b 1 at denominador q magaganap ang mga sumusunod mga katangian ng monotonicity :

• ang pag-unlad ay tumataas kung ang isa sa mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan:

b 1 > 0 At q> 1;

b 1 < 0 At 0 < q< 1;

• Ang pag-unlad ay bumababa kung ang isa sa mga sumusunod na kundisyon ay natutugunan:

b 1 > 0 At 0 < q< 1;

b 1 < 0 At q> 1.

Kung q< 0 , pagkatapos ay ang geometric na pag-usad ay papalit-palit: ang mga termino nito na may mga kakaibang numero ay may parehong tanda sa unang termino nito, at ang mga terminong may even na numero ay may kabaligtaran na tanda. Ito ay malinaw na ang isang alternating geometric progression ay hindi monotonic.

Produkto ng una n Ang mga tuntunin ng isang geometric na pag-unlad ay maaaring kalkulahin gamit ang formula:

Si Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Halimbawa,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad

Walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad tinatawag na walang katapusang geometric progression na ang denominator modulus ay mas mababa 1 , iyon ay

|q| < 1 .

Tandaan na ang isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad ay maaaring hindi isang pababang pagkakasunod-sunod. Akma ito sa okasyon

1 < q< 0 .

Sa gayong denominator, ang pagkakasunud-sunod ay papalit-palit. Halimbawa,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad pangalanan ang bilang kung saan lumalapit ang kabuuan ng mga una nang walang limitasyon n mga miyembro ng isang pag-unlad na may walang limitasyong pagtaas sa bilang n . Ang bilang na ito ay palaging may hangganan at ipinapahayag ng formula

Halimbawa,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Relasyon sa pagitan ng arithmetic at geometric progressions

Ang mga aritmetika at geometric na pag-unlad ay malapit na nauugnay. Tingnan natin ang dalawang halimbawa lamang.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d Bukod dito, mula noong

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Halimbawa,

1, 3, 5, . . . - pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba 2 At

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometric progression na may denominator 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometric progression na may denominator q Bukod dito, mula noong

mag-log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba log aq .

Halimbawa,

2, 12, 72, . . . - geometric progression na may denominator 6 At

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba lg 6 . ◄

NUMERIC SEQUENCS

ARITHMETICAL AT GEOMETRICAL PROGRESSIONS

Kung para sa bawat natural na numero n tumugma ang numero Xn, tapos sinasabi nila na binigay na pagkakasunud-sunod ng numero X 1, X 2, …, Xn, ….

Notasyon ng pagkakasunud-sunod ng numero {X n } .

Kasabay nito, ang mga numero X 1, X 2, …, Xn, ... ay tinatawag miyembro ng sequence .

Mga pangunahing paraan ng pagtukoy ng mga pagkakasunud-sunod ng numero

1. Isa sa mga pinaka-maginhawang paraan ay ang magtakda ng sequence ang pormula ng karaniwang termino nito : Xn = f(n), n Î N.

Halimbawa, Xn = n 2 + 2n+ 3 Þ X 1 = 6, X 2 = 11, X 3 = 18, X 4 = 27, …

2. Direktang paglipat may hangganan na bilang ng mga unang miyembro.

Halimbawa, https://pandia.ru/text/80/155/images/image002_9.gif" width="87" height="46 src=">

3. Paulit-ulit na kaugnayan , ibig sabihin, isang formula na nagpapahayag ng n-term sa pamamagitan ng naunang isa o higit pang termino.

Halimbawa, malapit sa Fibonacci tinatawag na sequence of numbers

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, na paulit-ulit na tinutukoy:

X 1 = 1, X 2 = 1, Xn+1 = xn + xn–1 (n = 2, 3, 4, …).

Mga operasyon sa aritmetika sa mga pagkakasunud-sunod

1. Ang kabuuan (pagkakaiba) mga pagkakasunod-sunod ( An) At ( bn cn } = { isang ± bn}.

2. Ang trabaho mga pagkakasunod-sunod ( An) At ( bn) ay tinatawag na sequence ( cn } = { isang× bn}.

3. Pribado mga pagkakasunod-sunod ( An) At ( bn }, bn¹ 0, na tinatawag na sequence ( cn } = { isang×/ bn}.

Mga katangian ng mga pagkakasunud-sunod ng numero

1. Pagkakasunod-sunod ( Xn) ay tinatawag may hangganan sa itaas M n totoo ang hindi pagkakapantay-pantay Xn £ M.

2. Pagkakasunod-sunod ( Xn) ay tinatawag may hangganan sa ibaba, kung may ganoong totoong numero m, na para sa lahat ng natural na halaga n totoo ang hindi pagkakapantay-pantay Xn ³ m.

3. Pagkakasunod-sunod ( Xn) ay tinatawag Kung title="d>0 n totoo ang hindi pagkakapantay-pantay Xn < Xn+1.

4. Pagkakasunod-sunod ( Xn) ay tinatawag Kung , kung gayon ang bawat termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay mas mababa kaysa sa nauna, at ang pag-unlad ay, kung para sa lahat ng natural na halaga n totoo ang hindi pagkakapantay-pantay Xn > Xn+1.

5. Pagkakasunod-sunod ( Xn) ay tinatawag hindi tumataas, kung para sa lahat ng natural na halaga n totoo ang hindi pagkakapantay-pantay Xn ³ Xn+1.

6. Pagkakasunod-sunod ( Xn) ay tinatawag hindi bumababa, kung para sa lahat ng natural na halaga n totoo ang hindi pagkakapantay-pantay Xn £ Xn+1.

Ang mga sequence na tumataas, bumababa, hindi tumataas, hindi bumababa ay tinatawag monotonous mga pagkakasunud-sunod, na may pagtaas at pagbaba - mahigpit na monotonous.

Mga pangunahing pamamaraan na ginagamit kapag sinusuri ang isang sequence para sa monotonicity

1. Gamit ang kahulugan.

a) Para sa pagkakasunod-sunod na pinag-aaralan ( Xn) ang pagkakaiba ay ginawa

Xn – Xn+1, at pagkatapos ay malalaman namin kung ang pagkakaibang ito ay nagpapanatili ng isang palaging tanda para sa anuman n Î N, at kung gayon, alin ang eksaktong. Depende dito, ang isang konklusyon ay ginawa tungkol sa monotonicity (non-monotonicity) ng sequence.

b) Para sa mga sequence ng pare-parehong pag-sign ( Xn) maaaring bumuo ng isang relasyon Xn+1/Xn at ihambing ito sa isa.

Kung ang ugali na ito ay nasa harap ng lahat n ay mas malaki kaysa sa isa, pagkatapos para sa isang mahigpit na positibong pagkakasunud-sunod ay ginawa ang konklusyon na ito ay tumataas, at para sa isang mahigpit na negatibong pagkakasunod-sunod, nang naaayon, ito ay bumababa.

Kung ang ugali na ito ay nasa harap ng lahat n ay hindi bababa sa isa, pagkatapos ay para sa isang mahigpit na positibong pagkakasunod-sunod ang konklusyon ay ginawa na ito ay hindi bumababa, at para sa isang mahigpit na negatibong pagkakasunod-sunod, nang naaayon, ito ay hindi tumataas.

Kung ito ang kaugnayan sa ilang mga numero n mas malaki sa isa, at para sa iba pang mga numero n mas mababa sa isa, ito ay nagpapahiwatig ng hindi monotonic na katangian ng pagkakasunud-sunod.

2. Pumunta sa tunay na function ng argumento.

Hayaang kailanganin na suriin ang isang pagkakasunud-sunod ng numero para sa monotonicity

An = f(n), n Î N.

Ipakilala natin ang tunay na function ng argumento X:

f(X) = A(X), X³ 1,

at suriin ito para sa monotony.

Kung ang pag-andar ay naiba-iba sa pagitan na isinasaalang-alang, pagkatapos ay makikita natin ang hinango nito at suriin ang tanda.

Kung positibo ang derivative, tataas ang function.

Kung negatibo ang derivative, bababa ang function.

Pagbabalik sa mga natural na halaga ng argumento, pinalawak namin ang mga resultang ito sa orihinal na pagkakasunud-sunod.

Numero A tinawag limitasyon ng pagkakasunud-sunod Xn, kung para sa anumang arbitraryong maliit na positibong numero e mayroong isang natural na numero N, na para sa lahat ng numero n > N hindi pagkakapantay-pantay nasiyahan | xn – a | < e.

Pagkalkula ng halaga n unang termino ng pagkakasunod-sunod

1. Paglalahad ng pangkalahatang termino ng pagkakasunud-sunod sa anyo ng pagkakaiba ng dalawa o higit pang mga expression sa paraang, sa pagpapalit, karamihan sa mga intermediate na termino ay nababawasan at ang kabuuan ay makabuluhang pinasimple.

2. Upang suriin at patunayan ang mga umiiral na pormula para sa paghahanap ng mga kabuuan ng mga unang termino ng mga pagkakasunud-sunod, maaaring gamitin ang paraan ng mathematical induction.

3. Ang ilang mga problema sa mga pagkakasunud-sunod ay maaaring bawasan sa mga problema na kinasasangkutan ng aritmetika o geometric na mga pag-unlad.

Arithmetic at geometric progressions

Mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa pag-unlad

1. Isa sa mga pinakakaraniwang paraan ng solusyon mga problema sa pag-unlad ng aritmetika ay ang lahat ng mga tuntunin ng pag-unlad na kasangkot sa kondisyon ng problema ay ipinahayag sa pamamagitan ng pagkakaiba ng pag-unlad d a d At A 1.

2. Laganap at itinuturing na isang karaniwang paraan ng solusyon mga problema sa geometric progression , kapag ang lahat ng miyembro ng geometric progression na lumilitaw sa problem statement ay ipinahayag sa pamamagitan ng denominator ng progression q at sinuman sa mga miyembro nito, kadalasan ang una b 1. Batay sa mga kondisyon ng problema, ang isang sistema na may mga hindi alam ay pinagsama-sama at nalutas q At b 1.

Mga halimbawa ng paglutas ng problema

Problema 1 .

Pagkakasunod-sunod na ibinigay Xn = 4n(n 2 + 1) – (6n 2 + 1). Hanapin ang halaga Si Sn una n miyembro ng sequence na ito.

Solusyon. Ibahin natin ang expression para sa pangkalahatang miyembro ng sequence:

Xn = 4n(n 2 + 1) – (6n 2 + 1) = 4n 3 + 4n – 6n 2 – 1 = n 4 – n 4 + 4n 3 – 6n 2 + 4n – 1 =

= n 4 – (n 4 – 4n 3 + 6n 2 – 4n+ 1) = n 4 – (n – 1)4.

Si Sn = x 1 + x 2 + x 3 + … + xn = (14 – 04) + (24 – 14) + (34 – 24) + … + (n 4 – (n – 1)4) = n 4.

Problema 2 .

Pagkakasunod-sunod na ibinigay An = 3n+ 2..gif" width="429" height="45">.

Mula rito, A(3n + 5) +B(3n + 2) = 1,

(3A + 3B)n + (5A + 2B) = 1.

n.

n 1 | 3A + 3B = 0,

n0 | 5 A + 2B = 1.

A = 1/3, SA = –1/3.

Kaya, https://pandia.ru/text/80/155/images/image012_2.gif" width="197" height="45">.gif" width="113" height="45">.gif " width="39" height="41 src="> An. Ang numerong 1980 ba ay miyembro ng sequence na ito? Kung oo, pagkatapos ay tukuyin ang numero nito.

Solusyon. Isulat natin ang mga una n miyembro ng sequence na ito:

A 1 = 2, , https://pandia.ru/text/80/155/images/image021.gif" width="63" height="41">.gif" width="108" height="41"> .gif" width="93" height="41">.

I-multiply natin ang mga pagkakapantay-pantay na ito:

A 1A 2A 3A 4A 5…isang-2isang-1isang = A 1A 2A 3A 4A 5…isang-2isang-1.

Mula rito, isang = n(n + 1).

Pagkatapos, 1980 = n(n+ 1) Û n 2 + n– 1980 = 0 Û n = –45 < 0, n= 44 О N.

Sagot: Oo, n = 44.

Suliranin 4 .

Hanapin ang halaga S = A 1 + A 2 + A 3 + … + An mga numero A 1, A 2, A 3, …,An, na para sa anumang natural n masiyahan ang pagkakapantay-pantay Si Sn = A 1 + 2A 2 + 3A 3 + … + nAn = .

Solusyon. S 1 = a 1 = 2/3.

Para sa n > 1, nan = Si Sn – Si Sn–1 = – https://pandia.ru/text/80/155/images/image029_0.gif" width="216" height="48 src=">.

Mula rito, =https://pandia.ru/text/80/155/images/image032.gif" width="244" height="44">,

A(n + 1)(n + 2) + Bn(n + 2) + Cn(n + 1) = 1

(A + B + C)n 2 + (3A + 2B + C)n + 2A = 1,

Ipantay natin ang mga coefficient sa kaukulang kapangyarihan n.

n 2 | A + B + C= 0,

n 1 | 3A + 2B+ C = 0,

n0 | 2 A = 1.

Ang paglutas ng nagresultang sistema, nakuha namin A = 1/2, SA= –1, C = 1/2.

Kaya, https://pandia.ru/text/80/155/images/image034.gif" width="139" height="45 src=">.gif" width="73" height="41">,

saan, , n > 1,

S¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image040_0.gif" width="233" height="45 src=">=.

S¢¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image043_0.gif" width="257" height="45 src=">=.

S = A 1 + A 2 + A 3 + … + An = A 1 +=

=A 1 +https://pandia.ru/text/80/155/images/image047_0.gif" width="72" height="41 src=">= =

Problema 5 .

Hanapin ang pinakamalaking termino ng sequence .

Solusyon. Ilagay natin bn = –n 2 + 8n – 7 = 9 – (n – 4)2, .

Ang ilang mga tao ay itinuturing ang salitang "pag-unlad" nang may pag-iingat, bilang isang napaka-komplikadong termino mula sa mga sangay ng mas mataas na matematika. Samantala, ang pinakasimpleng pag-unlad ng aritmetika ay ang gawain ng metro ng taxi (kung saan umiiral pa rin ang mga ito). At ang pag-unawa sa kakanyahan (at sa matematika ay walang mas mahalaga kaysa sa "pagkuha ng kakanyahan") ng isang pagkakasunud-sunod ng aritmetika ay hindi napakahirap, na pinag-aralan ang ilang mga elementarya na konsepto.

Pagkakasunod-sunod ng numero ng matematika

Ang isang numerical sequence ay karaniwang tinatawag na isang serye ng mga numero, bawat isa ay may sariling numero.

a 1 ang unang miyembro ng sequence;

at ang 2 ay ang pangalawang termino ng sequence;

at ang 7 ay ang ikapitong miyembro ng sequence;

at n ay ang ika-na miyembro ng sequence;

Gayunpaman, hindi anumang arbitrary na hanay ng mga numero at numero ang interesado sa amin. Itutuon natin ang ating pansin sa isang numerical sequence kung saan ang halaga ng ika-n term ay nauugnay sa ordinal na numero nito sa pamamagitan ng isang relasyon na malinaw na mabubuo sa matematika. Sa madaling salita: ang numerical value ng nth number ay ilang function ng n.

a ay ang halaga ng isang miyembro ng isang numerical sequence;

n ang serial number nito;

Ang f(n) ay isang function, kung saan ang ordinal na numero sa numerical sequence n ay ang argument.

Kahulugan

Ang pag-unlad ng aritmetika ay karaniwang tinatawag na pagkakasunod-sunod ng numero kung saan ang bawat kasunod na termino ay mas malaki (mas mababa) kaysa sa nauna sa pamamagitan ng parehong numero. Ang formula para sa ika-n na termino ng isang arithmetic sequence ay ang mga sumusunod:

a n - ang halaga ng kasalukuyang miyembro ng arithmetic progression;

isang n+1 - formula ng susunod na numero;

d - pagkakaiba (tiyak na numero).

Madaling matukoy na kung ang pagkakaiba ay positibo (d>0), kung gayon ang bawat kasunod na miyembro ng seryeng isinasaalang-alang ay magiging mas malaki kaysa sa nauna at ang gayong pag-unlad ng aritmetika ay tataas.

Sa graph sa ibaba, madaling makita kung bakit tinatawag na "tumataas" ang pagkakasunod-sunod ng numero.

Sa mga kaso kung saan negatibo ang pagkakaiba (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Tinukoy na halaga ng miyembro

Minsan kinakailangan upang matukoy ang halaga ng anumang arbitrary na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic. Magagawa ito sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagkalkula ng mga halaga ng lahat ng miyembro ng pag-unlad ng aritmetika, simula sa una hanggang sa nais. Gayunpaman, ang landas na ito ay hindi palaging katanggap-tanggap kung, halimbawa, kinakailangan upang mahanap ang halaga ng limang libo o walong milyong termino. Ang mga tradisyonal na kalkulasyon ay aabutin ng maraming oras. Gayunpaman, ang isang tiyak na pag-unlad ng aritmetika ay maaaring pag-aralan gamit ang ilang mga formula. Mayroon ding pormula para sa ika-n na termino: ang halaga ng anumang termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay maaaring matukoy bilang ang kabuuan ng unang termino ng pag-unlad na may pagkakaiba ng pag-unlad, na pinarami ng bilang ng nais na termino, na binawasan ng isa.

Ang formula ay pangkalahatan para sa pagtaas at pagbaba ng pag-unlad.

Isang halimbawa ng pagkalkula ng halaga ng isang ibinigay na termino

Ating lutasin ang sumusunod na problema sa paghahanap ng halaga ng ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.

Kundisyon: mayroong pag-unlad ng arithmetic na may mga parameter:

Ang unang termino ng sequence ay 3;

Ang pagkakaiba sa serye ng numero ay 1.2.

Gawain: kailangan mong hanapin ang halaga ng 214 termino

Solusyon: upang matukoy ang halaga ng isang ibinigay na termino, ginagamit namin ang formula:

a(n) = a1 + d(n-1)

Ang pagpapalit ng data mula sa pahayag ng problema sa expression, mayroon kaming:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

Sagot: Ang ika-214 na termino ng sequence ay katumbas ng 258.6.

Ang mga bentahe ng pamamaraang ito ng pagkalkula ay halata - ang buong solusyon ay tumatagal ng hindi hihigit sa 2 linya.

Kabuuan ng isang ibinigay na bilang ng mga termino

Kadalasan, sa isang naibigay na serye ng aritmetika, kinakailangan upang matukoy ang kabuuan ng mga halaga ng ilan sa mga segment nito. Upang gawin ito, hindi na kailangang kalkulahin ang mga halaga ng bawat termino at pagkatapos ay idagdag ang mga ito. Naaangkop ang pamamaraang ito kung maliit ang bilang ng mga termino na kailangang mahanap ang kabuuan. Sa ibang mga kaso, mas maginhawang gamitin ang sumusunod na formula.

Ang kabuuan ng mga termino ng isang pag-unlad ng aritmetika mula 1 hanggang n ay katumbas ng kabuuan ng una at ika-n na termino, na minu-multiply sa bilang ng terminong n at hinati sa dalawa. Kung sa formula ang halaga ng nth term ay pinalitan ng expression mula sa nakaraang talata ng artikulo, makakakuha tayo ng:

Halimbawa ng pagkalkula

Halimbawa, lutasin natin ang isang problema sa mga sumusunod na kondisyon:

Ang unang termino ng sequence ay zero;

Ang pagkakaiba ay 0.5.

Ang problema ay nangangailangan ng pagtukoy sa kabuuan ng mga tuntunin ng serye mula 56 hanggang 101.

Solusyon. Gamitin natin ang formula para sa pagtukoy ng dami ng pag-unlad:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Una, tinutukoy namin ang kabuuan ng mga halaga ng 101 termino ng pag-unlad sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga ibinigay na kondisyon ng aming problema sa formula:

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

Malinaw, upang malaman ang kabuuan ng mga tuntunin ng pag-unlad mula sa ika-56 hanggang ika-101, kinakailangan na ibawas ang S 55 mula sa S 101.

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

Kaya, ang kabuuan ng pag-unlad ng aritmetika para sa halimbawang ito ay:

s 101 - s 55 = 2,525 - 742.5 = 1,782.5

Halimbawa ng praktikal na aplikasyon ng arithmetic progression

Sa dulo ng artikulo, bumalik tayo sa halimbawa ng pagkakasunod-sunod ng aritmetika na ibinigay sa unang talata - isang taximeter (metro ng kotse ng taxi). Isaalang-alang natin ang halimbawang ito.

Ang pagsakay sa taxi (na kinabibilangan ng 3 km ng paglalakbay) ay nagkakahalaga ng 50 rubles. Bawat kasunod na kilometro ay binabayaran sa rate na 22 rubles/km. Ang distansya ng paglalakbay ay 30 km. Kalkulahin ang halaga ng biyahe.

1. Itapon natin ang unang 3 km, ang presyo nito ay kasama sa halaga ng landing.

30 - 3 = 27 km.

2. Ang karagdagang pagkalkula ay walang iba kundi ang pag-parse ng serye ng numero ng aritmetika.

Numero ng miyembro - ang bilang ng mga kilometrong nilakbay (binawasan ang unang tatlo).

Ang halaga ng miyembro ay ang kabuuan.

Ang unang termino sa problemang ito ay magiging katumbas ng isang 1 = 50 rubles.

Pagkakaiba sa pag-unlad d = 22 r.

ang numerong interesado tayo ay ang halaga ng (27+1)th term ng arithmetic progression - ang meter reading sa dulo ng 27th kilometer ay 27.999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Ang mga kalkulasyon ng data ng kalendaryo para sa isang arbitraryong mahabang panahon ay batay sa mga formula na naglalarawan ng ilang partikular na pagkakasunud-sunod ng numero. Sa astronomiya, ang haba ng orbit ay nakadepende sa geometriko sa distansya ng celestial body sa bituin. Bilang karagdagan, ang iba't ibang serye ng numero ay matagumpay na ginagamit sa mga istatistika at iba pang inilapat na mga lugar ng matematika.

Ang isa pang uri ng pagkakasunod-sunod ng numero ay geometric

Ang pag-unlad ng geometriko ay nailalarawan sa pamamagitan ng mas mataas na mga rate ng pagbabago kumpara sa pag-unlad ng aritmetika. Ito ay hindi nagkataon na sa pulitika, sosyolohiya, at medisina, upang maipakita ang mataas na bilis ng pagkalat ng isang partikular na kababalaghan, halimbawa, isang sakit sa panahon ng isang epidemya, madalas nilang sinasabi na ang proseso ay bubuo sa geometric na pag-unlad.

Ang Nth term ng geometric number series ay naiiba mula sa nauna dahil ito ay pinarami ng ilang pare-parehong numero - ang denominator, halimbawa, ang unang termino ay 1, ang denominator ay katumbas ng 2, pagkatapos:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - ang halaga ng kasalukuyang termino ng geometric progression;

b n+1 - formula ng susunod na termino ng geometric progression;

q ang denominator ng geometric progression (isang pare-parehong numero).

Kung ang graph ng isang arithmetic progression ay isang tuwid na linya, kung gayon ang isang geometric progression ay nagpinta ng isang bahagyang naiibang larawan:

Tulad ng sa kaso ng arithmetic, ang geometric progression ay may formula para sa halaga ng isang arbitrary na termino. Anumang nth term ng isang geometric progression ay katumbas ng produkto ng unang termino at ang denominator ng progression sa kapangyarihan ng n na binabawasan ng isa:

Halimbawa. Mayroon kaming geometric progression na ang unang termino ay katumbas ng 3 at ang denominator ng progression ay katumbas ng 1.5. Hanapin natin ang 5th term ng progression

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

Ang kabuuan ng isang naibigay na bilang ng mga termino ay kinakalkula din gamit ang isang espesyal na formula. Ang kabuuan ng unang n termino ng isang geometric na pag-unlad ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng produkto ng ika-n na termino ng pag-unlad at ang denominator nito at ang unang termino ng pag-unlad, na hinati ng denominator na binawasan ng isa:

Kung ang b n ay papalitan gamit ang formula na tinalakay sa itaas, ang halaga ng kabuuan ng unang n mga tuntunin ng serye ng numero na isinasaalang-alang ay kukuha ng anyo:

Halimbawa. Ang geometric progression ay nagsisimula sa unang termino na katumbas ng 1. Ang denominator ay nakatakda sa 3. Hanapin natin ang kabuuan ng unang walong termino.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280