SQUARE TRIPLE III

§ 63. Solusyon ng ilang sistema ng mga equation

Sa seksyong ito ay titingnan natin ang ilang mga tipikal na sistema ng mga equation, ang solusyon nito ay bumababa sa paglutas ng mga quadratic equation.

Halimbawa 1. Lutasin ang sistema ng mga equation

Dahil ang pangalawang equation ng sistemang ito ay linear na may paggalang sa bawat isa sa mga variable X At sa , pagkatapos ay isa sa mga variable na ito; Halimbawa sa , ay madaling ipahayag sa pamamagitan ng iba:

sa =X - 1.

Pinapalitan ang ekspresyong ito ng sa sa unang equation ng system, nakukuha natin ang:

x 2 + 3 (X - 1) 2 - X (X - 1) - 2X + 1 = 0,

3x 2 - 7x +4 = 0; x 1 = 4 / 3 ; x 2 = 1

Ang mga halagang ito X ayon sa pangalawang equation ng system ang mga sumusunod na halaga ay tumutugma sa : y 1 = 1 / 3 ; y 2 = 0.

Kaya, ang sistemang ito ng mga equation ay may dalawang solusyon:

x 1 = 4 / 3 ; y 1 = 1 / 3 ; At x 2 = 1; y 2 = 0.

Halimbawa 2. Lutasin ang sistema ng mga equation

(1)

Tampok ng sistemang ito ng mga equation ay naglalaman lamang ito ng mga expression x 2 , y 2 at xy , kabuuang antas X At sa kung saan ay pare-pareho at katumbas ng 2.

Upang malutas ang sistemang ito, ginagawa namin ang mga sumusunod na pagbabago. Mula sa unang equation ng system (1) binabawasan natin ang pangalawa, pinarami ng 2. Bilang resulta, nakuha natin ang equation

2x 2 - 3xy + y 2 = 0, (2)

na ang kanang bahagi ay 0.

pansinin mo yan X =/= 0. Kung hindi, ito ay susunod mula sa (2) na sa = 0, at malinaw na sumasalungat ito sa mga equation ng system (1). Ngunit kung X =/= 0, kung gayon ang equation (2) ay maaaring hatiin ang termino ayon sa termino sa x 2, na nagbibigay

2- 3 y / x + ( y / x ) 2 = 0.

Nakakuha kami ng isang quadratic equation para sa y / x . Ito ay sumusunod mula dito na alinman y / x = 1, o y / x = 2.

Isaalang-alang natin ang dalawang kasong ito nang magkahiwalay.

1) Kung y / x = 1, pagkatapos y = x . Pagpapalit sa sa unang equation ng sistemang ito sa X humahantong sa sumusunod na resulta:

4x 2 + 5x 2 + 3x 2 = 16,

12x 2 = 16.

Kaya naman,

Mula dito nakukuha namin ang sumusunod na dalawang solusyon sa sistemang ito:

x 1 = 2 / √ 3 , y 1 = 2 / √ 3 ; x 2 = - 2 / √ 3 , y 2 = - 2 / √ 3

2) Kung y / x = 2, pagkatapos sa = 2X . Pinapalitan sa sa unang equation ng sistemang ito ng 2 X , nakukuha natin ang:

14x 2 - 10x 2 + 12x 2 = 16,

16x 2 = 16.

Kaya naman, X = ±1. Samakatuwid, isinasaalang-alang iyon sa = 2X , nakakakuha kami ng dalawa pang solusyon sa system na ito:

x 1 = 1, y 1 = 2; x 2 = - 1 , y 2 = - 2

Ipinapakita ng tseke na wala sa nakuhang apat na solusyon sa system (1) ang “extraneous”.

Sagot. Ang sistemang ito ang mga equation ay may 4 na solusyon:

1) x 1 = 2 / √ 3 , y 1 = 2 / √ 3 ; 2) x 2 = - 2 / √ 3 , y 2 = - 2 / √ 3

3) x 1 = 1, y 1 = 2; 4) x 2 = - 1 , y 2 = - 2

Halimbawa 3. Lutasin ang sistema ng mga equation

Kung ang isang ibinigay na sistema lamang ng mga equation ay may solusyon, kung gayon sa kabaligtaran ng teorama ng Vieta, ang solusyon na ito ay dapat na binubuo ng mga ugat ng isang quadratic equation (tingnan ang § 52):

x 2 - 6x - 7 = 0.

Ang equation na ito ay may mga ugat x 1 = -1, x 2 = +7. Dahil dito, tanging ang sumusunod na dalawang pares ng mga numero ang maaaring kumilos bilang mga solusyon sa sistemang ito ng mga equation:

x 1 = - 1, y 1 = 7 at x 2 = 7, y 2 = - 1.

Ang isang pangunahing pagsusuri ay nagpapakita na ang bawat isa sa mga pares ng mga numero ay isang solusyon sa aming system.

Sagot. Ang sistemang ito ng mga equation ay may dalawang solusyon:

x 1 = - 1, y 1 = 7 at x 2 = 7, y 2 = - 1.

Halimbawa 4. Lutasin ang isang sistema ng mga equation

Mula sa pangalawang equation ito ay sumusunod na X (-sa )= 7. Samakatuwid

Nakakuha kami ng isang sistema ng mga equation na halos kapareho sa sistemang isinasaalang-alang sa halimbawa 3. Tanging ang papel ng mga hindi alam ay hindi ginagampanan ng X At sa , Tulad ng halimbawa. 3, a X At- sa . Samakatuwid, ang karagdagang kurso ng paglutas ng sistemang ito ay pareho sa halimbawa 3. Hinihiling sa mga mag-aaral na isakatuparan ito nang nakapag-iisa.

Halimbawa 5. Lutasin ang sistema ng mga equation

Mula sa pangalawang equation na nakukuha natin x 2 y 2 = 4. Ngunit sa kasong ito, ayon sa theorem inverse sa Vieta's theorem, x 2 at y Ang 2 ay maaaring ituring bilang mga ugat ng isang parisukat na equation

z 2 - 5z + 4 = 0,

saan z 1 = 4, z 2 = 1. Samakatuwid, dalawang kaso ang posible: 1) x 2 = 4 at pagkatapos y 2 = 1; 2) x 2 = 1, at pagkatapos y 2 = 4.

Kaso 1. Kung X = + 2, pagkatapos sa = -1 (ayon sa pangalawang equation ng orihinal na sistema xy = - 2). Kung X =- 2, pagkatapos sa = 1.

Kaso 2. Kung x = 1, pagkatapos sa = - 2, kung x = - 1, pagkatapos sa = 2.

Nakatanggap kami ng 4 na solusyon sa sistemang ito ng mga equation:

x 1 = 2, y 1 = - 1 ; x 2 = - 2, y 2 = 1;

x 3 = 1, y 3 = - 2 ; x 4 = - 1, y 4 = 2.

Mga ehersisyo

Lutasin ang mga sistemang ito ng mga equation:

Naka-on ang araling ito titingnan natin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng isang sistema ng mga linear na equation. Sa isang kurso ng mas mataas na matematika, ang mga sistema ng mga linear na equation ay kinakailangang lutasin pareho sa anyo ng magkahiwalay na mga gawain, halimbawa, "Lutasin ang system gamit ang mga formula ng Cramer," at sa kurso ng paglutas ng iba pang mga problema. Ang mga sistema ng linear equation ay kailangang harapin sa halos lahat ng sangay ng mas mataas na matematika.

Una, isang maliit na teorya. Ano ang ibig sabihin ng mathematical word na "linear" sa kasong ito? Nangangahulugan ito na ang mga equation ng system Lahat kasama ang mga variable sa unang antas: nang walang anumang magarbong bagay tulad ng atbp., na tanging mga kalahok sa mathematical Olympiads ang natutuwa.

Sa mas mataas na matematika, hindi lamang mga titik na pamilyar mula sa pagkabata ang ginagamit upang tukuyin ang mga variable.
Ang isang medyo popular na opsyon ay mga variable na may mga index: .
O ang mga unang titik ng alpabetong Latin, maliit at malaki:
Hindi napakabihirang makahanap ng mga letrang Griyego: – kilala ng marami bilang “alpha, beta, gamma”. At isang set din na may mga indeks, sabihin, na may titik na "mu":

Ang paggamit ng isa o ibang hanay ng mga titik ay nakasalalay sa seksyon ng mas mataas na matematika kung saan tayo ay nahaharap sa isang sistema ng mga linear na equation. Kaya, halimbawa, sa mga sistema ng mga linear na equation na nakatagpo kapag nilulutas ang mga integral at differential equation, tradisyonal na gamitin ang notasyon

Ngunit gaano man itinalaga ang mga variable, ang mga prinsipyo, pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng isang sistema ng mga linear na equation ay hindi nagbabago. Kaya, kung makatagpo ka ng isang bagay na nakakatakot tulad ng , huwag magmadali upang isara ang libro ng problema sa takot, pagkatapos ng lahat, maaari mong iguhit ang araw sa halip, isang ibon sa halip, at isang mukha (ang guro) sa halip. At, kahit na mukhang nakakatawa, ang isang sistema ng mga linear na equation na may mga notasyong ito ay maaari ding lutasin.

Mayroon akong pakiramdam na ang artikulo ay magiging medyo mahaba, kaya isang maliit na talaan ng mga nilalaman. Kaya, ang sunud-sunod na "debriefing" ay magiging ganito:

– Paglutas ng isang sistema ng mga linear na equation gamit ang paraan ng pagpapalit (“paraan ng paaralan”);
– Paglutas ng system sa pamamagitan ng termino-by-term na pagdaragdag (pagbabawas) ng mga equation ng system;
– Solusyon ng system gamit ang mga formula ng Cramer;
– Paglutas ng system gamit ang isang inverse matrix;
– Paglutas ng system gamit ang Gaussian method.

Ang lahat ay pamilyar sa mga sistema ng linear equation mula sa mga kurso sa matematika ng paaralan. Mahalaga, nagsisimula tayo sa pag-uulit.

Paglutas ng isang sistema ng mga linear equation gamit ang paraan ng pagpapalit

Ang pamamaraang ito ay maaari ding tawaging "paraan ng paaralan" o ang paraan ng pag-aalis ng mga hindi alam. Sa matalinghagang pagsasalita, maaari din itong tawaging "isang hindi natapos na pamamaraan ng Gaussian."

Halimbawa 1

Dito binibigyan tayo ng isang sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam. Tandaan na ang mga libreng termino (mga numero 5 at 7) ay matatagpuan sa kaliwang bahagi ng equation. Sa pangkalahatan, hindi mahalaga kung nasaan sila, sa kaliwa o sa kanan, ngunit sa mga problema sa mas mataas na matematika ay madalas silang matatagpuan sa ganoong paraan. At ang gayong pag-record ay hindi dapat humantong sa pagkalito; kung kinakailangan, ang system ay maaaring palaging nakasulat "gaya ng dati": . Huwag kalimutan na kapag inililipat ang isang termino mula sa bahagi patungo sa bahagi, kailangan nitong baguhin ang sign nito.

Ano ang ibig sabihin ng paglutas ng isang sistema ng mga linear na equation? Ang paglutas ng isang sistema ng mga equation ay nangangahulugan ng paghahanap ng marami sa mga solusyon nito. Ang solusyon ng isang sistema ay isang hanay ng mga halaga ng lahat ng mga variable na kasama dito, na ginagawang tunay na pagkakapantay-pantay ang BAWAT equation ng system. Bilang karagdagan, ang sistema ay maaaring hindi magkasanib (walang solusyon).Huwag kang mahiya, ito ay isang pangkalahatang kahulugan =) Magkakaroon lamang tayo ng isang "x" na halaga at isang "y" na halaga, na nagbibigay-kasiyahan sa bawat c-we equation.

Mayroong isang graphical na paraan para sa paglutas ng system, na maaari mong maging pamilyar sa klase. Ang pinakasimpleng problema sa isang linya. Doon ko napag-usapan geometric na kahulugan sistema ng dalawang linear equation na may dalawang hindi alam. Ngunit ngayon ito ang panahon ng algebra, at mga numero-numero, aksyon-aksyon.

Magdesisyon tayo: mula sa unang equation na ipinapahayag namin:
Pinapalitan namin ang nagresultang expression sa pangalawang equation:

Binubuksan namin ang mga bracket, magdagdag ng mga katulad na termino at hanapin ang halaga:

Susunod, naaalala namin kung ano ang aming sinayaw:
Alam na natin ang halaga, ang natitira ay upang mahanap:

Sagot:

Matapos malutas ang ANUMANG sistema ng mga equation sa ANUMANG paraan, lubos kong inirerekomenda ang pagsuri (pasalita, sa isang draft o sa isang calculator). Sa kabutihang palad, ito ay ginagawa nang madali at mabilis.

1) Palitan ang nahanap na sagot sa unang equation:

– ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha.

2) Palitan ang nahanap na sagot sa pangalawang equation:

– ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha.

O, sa madaling salita, "nagtagpo ang lahat"

Ang itinuturing na paraan ng solusyon ay hindi lamang isa; mula sa unang equation posible na ipahayag ang , at hindi .
Maaari mong gawin ang kabaligtaran - ipahayag ang isang bagay mula sa pangalawang equation at palitan ito sa unang equation. Sa pamamagitan ng paraan, tandaan na ang pinaka-disadvantageous sa apat na mga pamamaraan ay upang ipahayag mula sa pangalawang equation:

Ang resulta ay mga fraction, ngunit bakit? Mayroong mas makatwirang solusyon.

Gayunpaman, sa ilang mga kaso hindi mo pa rin magagawa nang walang mga fraction. Sa bagay na ito, nais kong iguhit ang iyong pansin sa PAANO ko isinulat ang ekspresyon. Hindi tulad nito: at sa anumang kaso tulad nito: .

Kung sa mas mataas na matematika ikaw ay nakikitungo sa mga fractional na numero, pagkatapos ay subukan na isakatuparan ang lahat ng mga kalkulasyon sa ordinaryong hindi wastong mga fraction.

Eksakto, at hindi o!

Magagamit lamang ang kuwit kung minsan, lalo na kung ito ang panghuling sagot sa ilang problema, at walang karagdagang pagkilos ang kailangang gawin sa numerong ito.

Maraming mga mambabasa ang malamang na nag-iisip na "bakit ang isang detalyadong paliwanag tulad ng para sa isang klase ng pagwawasto, ang lahat ay malinaw." Wala sa uri, tila tulad ng isang simpleng halimbawa ng paaralan, ngunit mayroong napakaraming NAPAKAMAHALAANG konklusyon! Narito ang isa pa:

Dapat mong sikaping kumpletuhin ang anumang gawain sa pinaka makatwirang paraan. Kung dahil lamang sa nakakatipid ito ng oras at nerbiyos, at binabawasan din ang posibilidad na magkamali.

Kung sa isang problema sa mas mataas na matematika ay nakatagpo ka ng isang sistema ng dalawang linear na equation na may dalawang hindi alam, pagkatapos ay maaari mong palaging gamitin ang paraan ng pagpapalit (maliban kung ito ay ipinahiwatig na ang sistema ay kailangang lutasin ng ibang paraan). Isipin mo na ikaw ay isang bastos at babawasan ang iyong marka sa paggamit ng “paraan ng paaralan” "
Bukod dito, sa ilang mga kaso ay ipinapayong gamitin ang paraan ng pagpapalit kapag higit pa mga variable.

Halimbawa 2

Lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation na may tatlong hindi alam

Ang isang katulad na sistema ng mga equation ay madalas na lumitaw kapag gumagamit ng tinatawag na paraan ng mga hindi tiyak na coefficient, kapag nakita natin ang integral ng isang fractional rational function. Ang sistemang pinag-uusapan ay kinuha ko mula doon.

Kapag hinahanap ang integral, ang layunin ay mabilis hanapin ang mga halaga ng mga coefficient, sa halip na gamitin ang mga formula ng Cramer, ang inverse matrix method, atbp. Samakatuwid, sa kasong ito, ang paraan ng pagpapalit ay angkop.

Kapag ang anumang sistema ng mga equation ay ibinigay, una sa lahat ito ay kanais-nais upang malaman kung ito ay posible na kahit papaano ay gawing simple ito AGAD? Sa pagsusuri sa mga equation ng system, napansin namin na ang pangalawang equation ng system ay maaaring hatiin ng 2, na kung ano ang ginagawa namin:

Sanggunian: ang mathematical sign ay nangangahulugang "mula dito ay sumusunod na" at kadalasang ginagamit sa paglutas ng problema.

Ngayon suriin natin ang mga equation; kailangan nating ipahayag ang ilang variable sa mga tuntunin ng iba. Aling equation ang dapat kong piliin? Marahil ay nahulaan mo na na ang pinakamadaling paraan para sa layuning ito ay kunin ang unang equation ng system:

Dito, kahit anong variable ang ipahayag, ang isa ay madaling ipahayag o .

Susunod, pinapalitan namin ang expression para sa pangalawa at pangatlong equation ng system:

Binubuksan namin ang mga bracket at nagpapakita ng mga katulad na termino:

Hatiin ang ikatlong equation sa pamamagitan ng 2:

Mula sa pangalawang equation ay ipinapahayag namin at pinapalitan sa ikatlong equation:

Halos lahat ay handa na, mula sa ikatlong equation na makikita natin:
Mula sa pangalawang equation:
Mula sa unang equation:

Suriin: Palitan ang mga nahanap na halaga ng mga variable sa kaliwang bahagi ng bawat equation ng system:

1)
2)
3)

Ang kaukulang kanang bahagi ng mga equation ay nakuha, kaya ang solusyon ay nahanap nang tama.

Halimbawa 3

Lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation na may 4 na hindi alam

Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa (sagutin sa katapusan ng aralin).

Paglutas ng system sa pamamagitan ng termino-by-term na pagdaragdag (pagbabawas) ng mga equation ng system

Kapag nilulutas ang mga sistema ng mga linear na equation, dapat mong subukang gamitin hindi ang "paraan ng paaralan", ngunit ang paraan ng term-by-term na pagdaragdag (pagbabawas) ng mga equation ng system. Bakit? Makakatipid ito ng oras at pinapasimple ang mga kalkulasyon, gayunpaman, ngayon ang lahat ay magiging mas malinaw.

Halimbawa 4

Lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation:

Kinuha ko ang parehong sistema tulad ng sa unang halimbawa.
Sa pagsusuri sa sistema ng mga equation, mapapansin natin na ang mga coefficient ng variable ay magkapareho sa magnitude at kabaligtaran sa sign (–1 at 1). Sa ganoong sitwasyon, ang mga equation ay maaaring idagdag ng termino sa pamamagitan ng termino:

Isinasagawa ang mga aksyon na binilogan ng pula.
Gaya ng nakikita mo, bilang resulta ng termino-by-term na pagdaragdag, nawala namin ang variable. Ito, sa katunayan, ay kung ano ang kakanyahan ng pamamaraan ay upang mapupuksa ang isa sa mga variable.

Ang paglutas ng mga equation sa mga integer ay isa sa mga pinakalumang problema sa matematika. Nasa simula na ng ika-2 milenyo BC. e. Alam ng mga Babylonia kung paano lutasin ang mga sistema ng gayong mga equation na may dalawang variable. Ang larangang ito ng matematika ay umabot sa pinakamalaking pag-unlad nito Sinaunang Greece. Ang pangunahing mapagkukunan para sa amin ay Diophantus' Arithmetic, na naglalaman ng Iba't ibang uri mga equation. Sa loob nito, si Diophantus (pagkatapos ng kanyang pangalan ang pangalan ng mga equation ay Diophantine equation) ay inaasahan ang isang bilang ng mga pamamaraan para sa pag-aaral ng mga equation ng ika-2 at ika-3 degree, na binuo lamang noong ika-19 na siglo.

Ang pinakasimpleng Diophantine equation ay ax + y = 1 (equation na may dalawang variable, first degree) x2 + y2 = z2 (equation na may tatlong variable, second degree)

Ang mga algebraic equation ay lubos na pinag-aralan; ang kanilang solusyon ay isa sa pinakamahalagang problema ng algebra noong ika-16 at ika-17 siglo.

Sa simula ng ika-19 na siglo, ang mga gawa ni P. Fermat, L. Euler, K. Gauss ay nag-imbestiga ng isang Diophantine equation ng form: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, kung saan a, b, c , d, e, f ay mga numero; x, y hindi kilalang mga variable.

Ito ay isang 2nd degree na equation na may dalawang hindi alam.

Si K. Gauss ay bumuo ng isang pangkalahatang teorya ng mga parisukat na anyo, na siyang batayan para sa paglutas ng ilang uri ng mga equation na may dalawang variable (Diophantine equation). Umiiral malaking numero tiyak na mga equation ng Diophantine na nalutas sa pamamagitan ng mga pamamaraang elementarya. /p>

Teoretikal na materyal.

Sa bahaging ito ng gawain, ang mga pangunahing konsepto ng matematika ay ilalarawan, ang mga termino ay tutukuyin, at ang expansion theorem ay bubuuin gamit ang paraan ng hindi tiyak na mga koepisyent, na pinag-aralan at isinasaalang-alang kapag nilulutas ang mga equation na may dalawang variable.

Depinisyon 1: Equation ng anyong ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, kung saan ang a, b, c, d, e, f ay mga numero; x, y hindi kilalang mga variable ay tinatawag na pangalawang degree equation na may dalawang variable.

Sa isang kurso sa matematika ng paaralan, pinag-aaralan ang quadratic equation na ax2+inx+c=0, kung saan a, b, c na mga numero x variable, na may isang variable. Mayroong maraming mga paraan upang malutas ang equation na ito:

1. Paghahanap ng mga ugat gamit ang isang discriminant;

2. Paghahanap ng mga ugat para sa kahit na koepisyent sa (ayon sa D1=);

3. Paghahanap ng mga ugat gamit ang teorama ni Vieta;

4. Paghahanap ng mga ugat sa pamamagitan ng paghihiwalay ng perpektong parisukat ng isang binomial.

Ang paglutas ng isang equation ay nangangahulugan ng paghahanap ng lahat ng mga ugat nito o pagpapatunay na hindi sila umiiral.

Depinisyon 2: Ang ugat ng isang equation ay isang numero na, kapag pinalitan sa isang equation, ay bumubuo ng isang tunay na pagkakapantay-pantay.

Depinisyon 3: Ang solusyon sa isang equation na may dalawang variable ay tinatawag na isang pares ng mga numero (x, y) kapag ipinalit sa equation, ito ay nagiging isang tunay na pagkakapantay-pantay.

Ang proseso ng paghahanap ng mga solusyon sa isang equation ay kadalasang karaniwang binubuo ng pagpapalit ng equation ng isang katumbas na equation, ngunit isa na mas simpleng lutasin. Ang ganitong mga equation ay tinatawag na katumbas.

Depinisyon 4: Ang dalawang equation ay sinasabing katumbas kung ang bawat solusyon ng isang equation ay isang solusyon ng iba pang equation, at vice versa, at ang parehong mga equation ay isinasaalang-alang sa parehong domain.

Upang malutas ang mga equation na may dalawang variable, gamitin ang theorem sa decomposition ng equation sa kabuuan ng kumpletong mga parisukat (sa pamamagitan ng paraan ng hindi tiyak na coefficients).

Para sa second order equation ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1), nagaganap ang expansion a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2)

Bumuo tayo ng mga kondisyon kung saan nagaganap ang pagpapalawak (2) para sa equation (1) ng dalawang variable.

Teorama: Kung coefficients a, b, c ang mga equation (1) ay nakakatugon sa mga kondisyon a0 at 4ab – c20, pagkatapos ay ang pagpapalawak (2) ay tinutukoy sa isang natatanging paraan.

Sa madaling salita, ang equation (1) na may dalawang variable ay maaaring gawing (2) gamit ang paraan ng mga indefinite coefficients kung ang mga kondisyon ng theorem ay natutugunan.

Tingnan natin ang isang halimbawa kung paano ipinatupad ang pamamaraan ng mga hindi tiyak na koepisyent.

PARAAN Blg. 1. Lutasin ang equation gamit ang paraan ng hindi tiyak na coefficient

2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

1. Suriin natin ang katuparan ng mga kondisyon ng theorem, a=2, b=1, c=2, na nangangahulugang a=2.4av – c2= 4∙2∙1- 22= 40.

2. Ang mga kondisyon ng theorem ay natutugunan, maaari silang palawakin ayon sa formula (2).

3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 +h, batay sa mga kondisyon ng theorem, ang parehong bahagi ng pagkakakilanlan ay katumbas. Pasimplehin natin kanang bahagi pagkakakilanlan.

4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =

2(x2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =

2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =

X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).

5. Itinutumbas namin ang mga coefficient para sa magkaparehong mga variable sa kanilang mga degree.

x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h

6. Kumuha tayo ng isang sistema ng mga equation, lutasin ito at hanapin ang mga halaga ng mga coefficient.

7. Palitan ang mga coefficient sa (2), pagkatapos ay ang equation ay kukuha ng anyo

2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + 0.5y + 0.5)2 + 0.5(y -1)2 +0

Kaya, ang orihinal na equation ay katumbas ng equation

2(x + 0.5y + 0.5)2 + 0.5(y -1)2 = 0 (3), ang equation na ito ay katumbas ng isang sistema ng dalawang linear equation.

Sagot: (-1; 1).

Kung bibigyan mo ng pansin ang uri ng pagpapalawak (3), mapapansin mo na ito ay magkapareho sa anyo sa paghihiwalay ng isang kumpletong parisukat mula sa isang quadratic equation na may isang variable: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.

Ilapat natin ang pamamaraang ito kapag nilulutas ang isang equation na may dalawang variable. Ating lutasin, gamit ang pagpili ng isang kumpletong parisukat, isang parisukat na equation na may dalawang variable na nalutas na gamit ang theorem.

PARAAN Blg. 2: Lutasin ang equation na 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

Solusyon: 1. Isipin natin ang 2x2 bilang kabuuan ng dalawang terminong x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

2. Pangkatin natin ang mga termino sa paraang maaari nating tiklop ang mga ito gamit ang formula ng kumpletong parisukat.

(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x +1) = 0.

3. Pumili ng kumpletong mga parisukat mula sa mga expression sa mga bracket.

(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.

4. Ang equation na ito ay katumbas ng isang sistema ng mga linear equation.

Sagot: (-1;1).

Kung ihahambing mo ang mga resulta, makikita mo na ang equation na nalutas sa pamamaraan No. 1 gamit ang theorem at ang paraan ng hindi natukoy na mga coefficient at ang equation na nalutas sa pamamagitan ng paraan No. 2 gamit ang pagkuha ng isang kumpletong parisukat ay may parehong mga ugat.

Konklusyon: Ang isang quadratic equation na may dalawang variable ay maaaring palawakin sa kabuuan ng mga parisukat sa dalawang paraan:

➢ Ang unang paraan ay ang paraan ng hindi tiyak na koepisyent, na nakabatay sa theorem at expansion (2).

➢ Ang pangalawang paraan ay ang paggamit ng mga pagbabago sa pagkakakilanlan na nagbibigay-daan sa iyong pumili ng sunod-sunod na kumpletong mga parisukat.

Siyempre, kapag nilutas ang mga problema, ang pangalawang paraan ay mas kanais-nais, dahil hindi ito nangangailangan ng pagsasaulo ng pagpapalawak (2) at mga kondisyon.

Ang pamamaraang ito ay maaari ding gamitin para sa mga quadratic equation na may tatlong variable. Ang pagbubukod ng isang perpektong parisukat sa mga naturang equation ay mas labor-intensive. Gagawin ko ang ganitong uri ng pagbabago sa susunod na taon.

Kagiliw-giliw na tandaan na ang isang function na may anyong: f(x,y) = ax2 + vxy + cy2 + dx + ey + f ay tinatawag na quadratic function ng dalawang variable. Ang mga quadratic function ay may mahalagang papel sa iba't ibang sangay ng matematika:

Sa mathematical programming (quadratic programming)

Sa linear algebra at geometry (quadratic forms)

Sa teorya ng differential equation (pagbabawas ng second-order linear equation sa canonical form).

Kapag nilulutas ang iba't ibang mga problemang ito, mahalagang ilapat ang pamamaraan ng paghihiwalay ng isang kumpletong parisukat mula sa isang parisukat na equation (isa, dalawa o higit pang mga variable).

Mga linya na ang mga equation ay inilarawan quadratic equation dalawang variable ang tinatawag na second-order curves.

Ito ay isang bilog, ellipse, hyperbola.

Kapag gumagawa ng mga graph ng mga curve na ito, ang paraan ng sunud-sunod na paghihiwalay ng isang kumpletong parisukat ay ginagamit din.

Tingnan natin kung paano gumagana ang paraan ng sunud-sunod na pagpili ng isang kumpletong parisukat gamit ang mga partikular na halimbawa.

Praktikal na bahagi.

Lutasin ang mga equation gamit ang paraan ng sunud-sunod na paghihiwalay ng isang kumpletong parisukat.

1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;

(x +1)2 + (x + y)2 = 0;

Sagot: (-1;1).

2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;

(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;

Sagot:(0.5; - 0.5).

3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;

3x2 + 3y2 + y2 – 6xy – 2y +1 = 0;

3x2 +3y2 – 6xy + y2 –2y +1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;

3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;

Sagot: (-1;1).

Lutasin ang mga equation:

1. 2x2 + 3y2 – 4xy + 6y +9 =0

(bawas sa anyong: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)

Sagot: (-3; -3)

2. – 3x2 – 2y2 – 6xy –2y + 1=0

(bawasan sa anyo: -3(x+y)2 + (y –1)2= 0)

Sagot: (-1; 1)

3. x2 + 3y2+2xy + 28y +98 =0

(bawas sa anyo: (x+y)2 +2(y+7)2 =0)

Sagot: (7; -7)

Konklusyon.

Sa gawaing pang-agham na ito, ang mga equation na may dalawang variable ng ikalawang antas ay pinag-aralan at ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito ay isinasaalang-alang. Nakumpleto na ang gawain, nabuo at inilarawan ang isang mas maikling paraan ng solusyon, batay sa paghihiwalay ng isang kumpletong parisukat at pagpapalit ng equation ng isang katumbas na sistema ng mga equation, bilang resulta ang pamamaraan para sa paghahanap ng mga ugat ng isang equation na may dalawang variable ay may ay pinasimple.

Ang isang mahalagang punto ng gawain ay ang pamamaraan na isinasaalang-alang ay ginagamit kapag nilulutas ang iba't ibang mga problema sa matematika na may kaugnayan sa isang quadratic function, pagbuo ng second-order curves, at paghahanap ng pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng mga expression.

Kaya, ang pamamaraan ng pag-decompose ng pangalawang-order na equation na may dalawang variable sa kabuuan ng mga parisukat ay may pinakamaraming aplikasyon sa matematika.

Ang pagpapanatili ng iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Pakisuri ang aming mga kasanayan sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga tanong.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address Email atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Kinokolekta namin Personal na impormasyon nagbibigay-daan sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung lalahok ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na promosyon, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag ng impormasyon sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, hudisyal na pamamaraan, legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga layunin ng pampublikong kahalagahan.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib, o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na third party na kahalili.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin ang hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Paggalang sa iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga pamantayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.