Sa artikulong ito ay titingnan natin nang detalyado kung paano pagbabawas ng mga fraction. Una, talakayin natin kung ano ang tinatawag na pagbabawas ng isang fraction. Pagkatapos nito, pag-usapan natin ang pagbabawas ng isang nababawas na bahagi sa isang hindi mababawas na anyo. Susunod ay makukuha natin ang panuntunan para sa pagbabawas ng mga fraction at, sa wakas, isaalang-alang ang mga halimbawa ng aplikasyon ng panuntunang ito.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang ibig sabihin ng pagbabawas ng isang fraction?

Alam natin na ang mga ordinaryong fraction ay nahahati sa reducible at irreducible fraction. Maaari mong hulaan mula sa mga pangalan na ang mga nababawas na fraction ay maaaring bawasan, ngunit ang hindi mababawasan na mga fraction ay hindi maaaring.

Ano ang ibig sabihin ng pagbabawas ng isang fraction? Bawasan ang fraction- nangangahulugan ito ng paghahati sa numerator at denominator nito sa positibo at naiiba sa pagkakaisa. Malinaw na bilang resulta ng pagbabawas ng isang fraction, ang isang bagong fraction ay nakuha gamit ang isang mas maliit na numerator at denominator, at, dahil sa pangunahing pag-aari ng fraction, ang resultang fraction ay katumbas ng orihinal.

Halimbawa, bawasan natin karaniwang fraction 8/24 sa pamamagitan ng paghahati ng numerator at denominator nito sa 2. Sa madaling salita, bawasan natin ng 2 ang fraction na 8/24. Dahil 8:2=4 at 24:2=12, ang pagbabawas na ito ay nagreresulta sa fraction na 4/12, na katumbas ng orihinal na fraction na 8/24 (tingnan ang pantay at hindi pantay na mga fraction). Bilang resulta, mayroon tayong .

Pagbawas ng mga ordinaryong fraction sa hindi mababawasan na anyo

Karaniwan pangwakas na layunin ang pagbabawas ng isang fraction ay upang makakuha ng isang irreducible fraction na katumbas ng orihinal na reducible fraction. Maaaring makamit ang layuning ito sa pamamagitan ng pagbabawas ng orihinal na nababawas na bahagi sa numerator at denominator nito. Bilang resulta ng naturang pagbabawas, palaging nakukuha ang isang hindi mababawasang bahagi. Sa katunayan, isang fraction ay hindi mababawasan, dahil ito ay kilala na At - . Dito natin sasabihin na ang pinakamalaking karaniwang divisor ng numerator at denominator ng isang fraction ay ang pinakamalaking bilang, kung saan ang fraction na ito ay maaaring mabawasan.

Kaya, binabawasan ang isang karaniwang fraction sa isang hindi mababawasan na anyo binubuo ng paghahati ng numerator at denominator ng orihinal na nababawas na fraction sa kanilang gcd.

Tingnan natin ang isang halimbawa, kung saan bumalik tayo sa fraction na 8/24 at bawasan ito ng pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero 8 at 24, na katumbas ng 8. Dahil 8:8=1 at 24:8=3, dumating tayo sa irreducible fraction na 1/3. Kaya, .

Tandaan na ang pariralang "bawasan ang isang fraction" ay kadalasang nangangahulugan ng pagbabawas ng orihinal na fraction sa hindi mababawasang anyo nito. Sa madaling salita, ang pagbabawas ng isang fraction ay madalas na tumutukoy sa paghahati ng numerator at denominator sa kanilang pinakamalaking karaniwang salik (sa halip na sa pamamagitan ng anumang karaniwang salik).

Paano bawasan ang isang fraction? Mga panuntunan at halimbawa ng pagbabawas ng mga fraction

Ang natitira na lang ay tingnan ang panuntunan para sa pagbabawas ng mga fraction, na nagpapaliwanag kung paano bawasan ang isang binigay na fraction.

Panuntunan para sa pagbabawas ng mga fraction ay binubuo ng dalawang hakbang:

• una, ang gcd ng numerator at denominator ng fraction ay matatagpuan;
• pangalawa, ang numerator at denominator ng fraction ay hinati sa kanilang gcd, na nagbibigay ng hindi mababawasan na fraction na katumbas ng orihinal.

Ayusin natin ito halimbawa ng pagbabawas ng isang fraction ayon sa nakasaad na tuntunin.

Halimbawa.

Bawasan ang fraction na 182/195.

Solusyon.

Isagawa natin ang parehong mga hakbang na inireseta ng panuntunan para sa pagbabawas ng isang fraction.

Una naming mahanap ang GCD(182, 195) . Pinakamaginhawang gamitin ang Euclid algorithm (tingnan ang): 195=182·1+13, 182=13·14, ibig sabihin, GCD(182, 195)=13.

Ngayon hinati namin ang numerator at denominator ng fraction 182/195 sa 13, at makuha namin ang hindi mababawasan na fraction 14/15, na katumbas ng orihinal na fraction. Kinukumpleto nito ang pagbawas ng fraction.

Sa madaling sabi, ang solusyon ay maaaring isulat tulad ng sumusunod: .

Sagot:

Dito natin matatapos ang pagbabawas ng mga fraction. Ngunit upang makumpleto ang larawan, tingnan natin ang dalawa pang paraan upang bawasan ang mga fraction, na kadalasang ginagamit sa mga madaling kaso.

Minsan ang numerator at denominator ng fraction na binabawasan ay hindi mahirap. Ang pagbawas ng isang fraction sa kasong ito ay napaka-simple: kailangan mo lamang alisin ang lahat ng mga karaniwang kadahilanan mula sa numerator at denominator.

Kapansin-pansin na ang pamamaraang ito ay sumusunod nang direkta mula sa panuntunan ng pagbabawas ng mga fraction, dahil ang produkto ng lahat ng mga karaniwang pangunahing kadahilanan ng numerator at denominator ay katumbas ng kanilang pinakamalaking karaniwang divisor.

Tingnan natin ang solusyon sa halimbawa.

Halimbawa.

Bawasan ang fraction 360/2 940.

Solusyon.

I-factor natin ang numerator at denominator sa mga simpleng salik: 360=2·2·2·3·3·5 at 2,940=2·2·3·5·7·7. kaya, .

Ngayon ay inaalis natin ang mga karaniwang salik sa numerator at denominator para sa kaginhawahan, i-cross out natin ang mga ito: .

Sa wakas, pinarami namin ang natitirang mga kadahilanan: , at ang pagbawas ng fraction ay nakumpleto.

Narito ang isang maikling buod ng solusyon: .

Sagot:

Isaalang-alang natin ang isa pang paraan upang bawasan ang isang fraction, na binubuo ng sequential reduction. Dito, sa bawat hakbang, ang fraction ay binabawasan ng ilang karaniwang divisor ng numerator at denominator, na malinaw o madaling matukoy gamit ang

Unang antas

Pag-convert ng mga Expression. Detalyadong Teorya (2019)

Pag-convert ng mga Expression

Madalas nating marinig ang hindi kasiya-siyang pariralang ito: "pasimplehin ang expression." Karaniwang nakikita natin ang ilang uri ng halimaw na tulad nito:

"Ito ay mas simple," sabi namin, ngunit ang gayong sagot ay karaniwang hindi gumagana.

Ngayon ituturo ko sa iyo na huwag matakot sa anumang ganoong mga gawain. Bukod dito, sa pagtatapos ng aralin, ikaw mismo ang magpapasimple sa halimbawang ito sa (lamang!) Isang ordinaryong numero (oo, sa impiyerno gamit ang mga titik na ito).

Ngunit bago mo simulan ang araling ito, kailangan mong mahawakan ang mga fraction at factor polynomial. Samakatuwid, una, kung hindi mo pa ito nagawa noon, siguraduhing makabisado ang mga paksang "" at "".

Nabasa mo na ba? Kung oo, handa ka na ngayon.

Pangunahing pagpapasimpleng operasyon

Ngayon tingnan natin ang mga pangunahing pamamaraan na ginagamit upang gawing simple ang mga expression.

Ang pinakasimpleng isa ay

1. Nagdadala ng katulad

Ano ang mga katulad? Kinuha mo ito noong ika-7 baitang, noong unang lumitaw sa matematika ang mga titik sa halip na mga numero. Magkatulad ang mga termino (monomial) na may parehong bahagi ng titik. Halimbawa, sa kabuuan, ang mga katulad na termino ay at.

naaalala mo ba

Upang magdala ng mga katulad na paraan upang magdagdag ng ilang magkakatulad na termino sa bawat isa at makakuha ng isang termino.

Paano natin pagsasamahin ang mga titik? - tanong mo.

Ito ay napakadaling maunawaan kung akala mo na ang mga titik ay ilang uri ng mga bagay. Halimbawa, ang isang sulat ay isang upuan. Kung gayon, ano ang katumbas ng ekspresyon? Dalawang upuan at tatlong upuan, ilan ito? Tama, upuan: .

Ngayon subukan ang expression na ito: .

Upang maiwasan ang pagkalito, hayaan ang iba't ibang mga titik na kumakatawan sa iba't ibang mga bagay. Halimbawa, - ay (gaya ng dati) isang upuan, at - ay isang mesa. Pagkatapos:

upuan tables chair tables chairs chairs tables

Ang mga numero kung saan ang mga titik sa mga naturang termino ay pinarami ay tinatawag coefficients. Halimbawa, sa isang monomial ang coefficient ay pantay. At sa loob nito ay pantay.

Kaya, ang panuntunan para sa pagdadala ng mga katulad ay:

Mga halimbawa:

Magbigay ng mga katulad:

Mga sagot:

2. (at katulad, dahil, samakatuwid, ang mga terminong ito ay may parehong bahagi ng titik).

2. Factorization

Kadalasan ito ang pinakamahalagang bahagi sa pagpapasimple ng mga expression. Pagkatapos mong magbigay ng mga katulad, kadalasan ang resultang expression ay kailangang i-factorize, iyon ay, ipinakita bilang isang produkto. Ito ay lalong mahalaga sa mga fraction: upang mabawasan ang isang fraction, ang numerator at denominator ay dapat na kinakatawan bilang isang produkto.

Dumaan ka sa mga pamamaraan ng pag-factor ng mga expression nang detalyado sa paksang "", kaya dito mo na lang tandaan kung ano ang iyong natutunan. Upang gawin ito, magpasya ng ilan mga halimbawa(kailangang i-factorize):

Mga solusyon:

3. Pagbawas ng isang fraction.

Well, ano ang maaaring maging mas kaaya-aya kaysa sa pagtawid sa bahagi ng numerator at denominator at itapon ang mga ito sa iyong buhay?

Iyan ang kagandahan ng pagbabawas.

Ito ay simple:

Kung ang numerator at denominator ay naglalaman ng parehong mga kadahilanan, maaari silang bawasan, iyon ay, alisin mula sa fraction.

Ang panuntunang ito ay sumusunod mula sa pangunahing katangian ng isang fraction:

Iyon ay, ang kakanyahan ng operasyon ng pagbabawas ay iyon Hinahati namin ang numerator at denominator ng fraction sa parehong numero (o sa parehong expression).

Upang mabawasan ang isang fraction kailangan mo:

1) numerator at denominator factorize

2) kung ang numerator at denominator ay naglalaman ng karaniwang mga kadahilanan, maaari silang ma-cross out.

Ang prinsipyo, sa palagay ko, ay malinaw?

Nais kong ituon ang iyong pansin sa isang bagay tipikal na pagkakamali kapag kinokontrata. Bagama't simple ang paksang ito, maraming tao ang gumagawa ng lahat ng mali, hindi nauunawaan iyon bawasan- ibig sabihin nito hatiin numerator at denominator ay magkaparehong numero.

Walang mga pagdadaglat kung ang numerator o denominator ay isang kabuuan.

Halimbawa: kailangan nating gawing simple.

Ginagawa ito ng ilang tao: na talagang mali.

Isa pang halimbawa: bawasan.

Gagawin ito ng "pinakamatalino": .

Sabihin mo sa akin kung ano ang mali dito? Mukhang: - ito ay isang multiplier, na nangangahulugang maaari itong mabawasan.

Ngunit hindi: - ito ay isang salik ng isang termino lamang sa numerator, ngunit ang numerator mismo sa kabuuan ay hindi naka-factor.

Narito ang isa pang halimbawa: .

Ang expression na ito ay factorized, na nangangahulugan na maaari mong bawasan ito, iyon ay, hatiin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng, at pagkatapos ay sa pamamagitan ng:

Maaari mo itong hatiin kaagad sa:

Upang maiwasan ang gayong mga pagkakamali, tandaan madaling paraan kung paano matukoy kung ang isang expression ay factorized:

Ang operasyong arithmetic na huling ginawa kapag kinakalkula ang halaga ng isang expression ay ang "master" na operasyon. Iyon ay, kung papalitan mo ang ilang (anumang) numero sa halip na mga titik at subukang kalkulahin ang halaga ng expression, kung gayon kung ang huling aksyon ay multiplikasyon, pagkatapos ay mayroon kaming isang produkto (ang expression ay factorized). Kung ang huling aksyon ay karagdagan o pagbabawas, nangangahulugan ito na ang expression ay hindi factorized (at samakatuwid ay hindi maaaring bawasan).

Upang pagsama-samahin, lutasin ang ilan sa iyong sarili mga halimbawa:

Mga sagot:

1. Sana hindi ka agad sumugod sa pagputol at? Hindi pa rin sapat na "bawasan" ang mga yunit tulad nito:

Ang unang hakbang ay dapat na factorization:

4. Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction. Pagbawas ng mga fraction sa isang karaniwang denominator.

Ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga ordinaryong fraction ay isang pamilyar na operasyon: naghahanap kami ng isang karaniwang denominator, i-multiply ang bawat fraction sa nawawalang salik at idagdag/ibawas ang mga numerator. Tandaan natin:

Mga sagot:

1. Ang mga denominador at medyo prime, iyon ay, wala silang mga karaniwang kadahilanan. Samakatuwid, ang LCM ng mga numerong ito ay katumbas ng kanilang produkto. Ito ang magiging common denominator:

2. Narito ang karaniwang denominador ay:

3. Dito, una sa lahat, kino-convert namin ang mga halo-halong praksiyon sa mga hindi wasto, at pagkatapos ay ayon sa karaniwang pamamaraan:

Ito ay ganap na naiibang usapin kung ang mga fraction ay naglalaman ng mga titik, halimbawa:

Magsimula tayo sa isang simpleng bagay:

a) Ang mga denominador ay hindi naglalaman ng mga titik

Narito ang lahat ay pareho sa mga ordinaryong numerical fraction: hinahanap natin ang common denominator, i-multiply ang bawat fraction sa nawawalang factor at idagdag/bawas ang mga numerator:

Ngayon sa numerator maaari kang magbigay ng mga katulad, kung mayroon man, at i-factor ang mga ito:

Subukan ito sa iyong sarili:

b) Ang mga denominador ay naglalaman ng mga titik

Tandaan natin ang prinsipyo ng paghahanap ng isang karaniwang denominador na walang mga titik:

· una sa lahat, tinutukoy namin ang mga karaniwang salik;

· pagkatapos ay isinusulat namin ang lahat ng mga karaniwang salik nang paisa-isa;

· at i-multiply ang mga ito sa lahat ng iba pang hindi karaniwang mga kadahilanan.

Upang matukoy ang mga karaniwang salik ng mga denominador, isinasaalang-alang muna natin ang mga ito sa mga pangunahing salik:

Bigyang-diin natin ang mga karaniwang salik:

Ngayon ay isa-isa nating isulat ang mga karaniwang salik at idagdag sa kanila ang lahat ng hindi pangkaraniwan (hindi nakasalungguhit) na mga salik:

Ito ang karaniwang denominador.

Balik tayo sa mga letra. Ang mga denominador ay ibinibigay sa eksaktong parehong paraan:

· salik ang mga denominador;

· tukuyin ang mga karaniwang (magkapareho) na mga kadahilanan;

· isulat ang lahat ng mga karaniwang kadahilanan nang isang beses;

· paramihin ang mga ito sa lahat ng iba pang hindi karaniwang mga kadahilanan.

Kaya, sa pagkakasunud-sunod:

1) salik ang mga denominador:

2) tukuyin ang mga karaniwang (magkapareho) na mga kadahilanan:

3) isulat ang lahat ng mga karaniwang kadahilanan nang isang beses at i-multiply ang mga ito sa lahat ng iba pang (hindi nakasalungguhit) na mga kadahilanan:

So may common denominator dito. Ang unang bahagi ay dapat na i-multiply sa, ang pangalawa - sa:

Sa pamamagitan ng paraan, mayroong isang trick:

Halimbawa: .

Nakikita natin ang parehong mga kadahilanan sa mga denominator, lahat lamang ay may magkakaibang mga tagapagpahiwatig. Ang karaniwang denominator ay:

sa isang antas

sa isang antas

sa isang antas

sa isang antas.

Gawin nating kumplikado ang gawain:

Paano gumawa ng mga fraction na may parehong denominator?

Tandaan natin ang pangunahing katangian ng isang fraction:

Wala kahit saan na sinasabi na ang parehong numero ay maaaring ibawas (o idagdag) mula sa numerator at denominator ng isang fraction. Dahil hindi ito totoo!

Tingnan para sa iyong sarili: kumuha ng anumang fraction, halimbawa, at magdagdag ng ilang numero sa numerator at denominator, halimbawa, . Anong natutunan mo?

Kaya, isa pang hindi matitinag na tuntunin:

Kapag binawasan mo ang mga fraction sa isang common denominator, gamitin lamang ang multiplication operation!

Ngunit ano ang kailangan mong i-multiply para makakuha?

Kaya multiply sa. At i-multiply sa:

Tatawagin natin ang mga expression na hindi maaaring i-factorize na "elementary factor." Halimbawa, - ito ay isang elementary factor. - Pareho. Ngunit hindi: maaari itong i-factorize.

Paano ang expression? elementary ba?

Hindi, dahil maaari itong i-factor:

(nabasa mo na ang tungkol sa factorization sa paksang “”).

Kaya, ang elementarya na mga kadahilanan kung saan mo nabubulok ang isang expression na may mga titik ay isang analogue ng mga simpleng kadahilanan kung saan mo nabubulok ang mga numero. At haharapin natin sila sa parehong paraan.

Nakita natin na ang parehong denominator ay may multiplier. Mapupunta ito sa karaniwang denominator sa antas (tandaan kung bakit?).

Ang kadahilanan ay elementarya, at wala silang isang karaniwang kadahilanan, na nangangahulugan na ang unang bahagi ay kailangan lang na i-multiply dito:

Isa pang halimbawa:

Solusyon:

Bago mo i-multiply ang mga denominator na ito sa isang gulat, kailangan mong isipin kung paano i-factor ang mga ito? Pareho silang kumakatawan:

Malaki! Pagkatapos:

Isa pang halimbawa:

Solusyon:

Gaya ng dati, i-factorize natin ang mga denominator. Sa unang denominator ay inilalagay lang natin ito sa mga bracket; sa pangalawa - ang pagkakaiba ng mga parisukat:

Mukhang walang karaniwang mga kadahilanan. Ngunit kung titingnan mong mabuti, magkatulad sila... At totoo:

Kaya't magsulat tayo:

Iyon ay, naging ganito: sa loob ng bracket ay ipinagpalit namin ang mga termino, at sa parehong oras ang pag-sign sa harap ng fraction ay nagbago sa kabaligtaran. Tandaan, kailangan mong gawin ito nang madalas.

Ngayon, dalhin natin ito sa isang karaniwang denominator:

Nakuha ko? Suriin natin ngayon.

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Mga sagot:

Narito kailangan nating tandaan ang isa pang bagay - ang pagkakaiba ng mga cube:

Pakitandaan na ang denominator ng pangalawang fraction ay hindi naglalaman ng formula na "square of the sum"! Ang parisukat ng kabuuan ay magiging ganito: .

Ang A ay ang tinatawag na hindi kumpletong parisukat ng kabuuan: ang pangalawang termino dito ay ang produkto ng una at huli, at hindi ang kanilang dobleng produkto. Ang bahagyang parisukat ng kabuuan ay isa sa mga salik sa pagpapalawak ng pagkakaiba ng mga cube:

Ano ang gagawin kung mayroon nang tatlong fraction?

Oo, ang parehong bagay! Una sa lahat, siguraduhin natin iyon maximum na halaga ang mga kadahilanan sa mga denominador ay pareho:

Pakitandaan: kung babaguhin mo ang mga sign sa loob ng isang bracket, ang sign sa harap ng fraction ay magbabago sa kabaligtaran. Kapag binago natin ang mga palatandaan sa pangalawang bracket, ang tanda sa harap ng fraction ay muling nagbabago sa kabaligtaran. Bilang resulta, ito (ang tanda sa harap ng fraction) ay hindi nagbago.

Isinulat namin ang buong unang denominator sa karaniwang denamineytor, at pagkatapos ay idagdag dito ang lahat ng mga kadahilanan na hindi pa naisusulat, mula sa pangalawa, at pagkatapos ay mula sa pangatlo (at iba pa, kung mayroong higit pang mga praksyon). Iyon ay, ito ay lumalabas na ganito:

Hmm... Malinaw kung ano ang gagawin sa mga fraction. Ngunit paano ang dalawa?

Ito ay simple: alam mo kung paano magdagdag ng mga fraction, tama? Kaya, kailangan nating gawing fraction ang dalawa! Tandaan natin: ang fraction ay isang division operation (ang numerator ay hinati sa denominator, kung sakaling nakalimutan mo). At walang mas madali kaysa sa paghahati ng isang numero sa pamamagitan ng. Sa kasong ito, ang numero mismo ay hindi magbabago, ngunit magiging isang fraction:

Eksakto kung ano ang kailangan!

5. Pagpaparami at paghahati ng mga fraction.

Well, ang pinakamahirap na bahagi ay tapos na ngayon. At nasa unahan natin ang pinakasimple, ngunit sa parehong oras ang pinakamahalaga:

Pamamaraan

Ano ang pamamaraan para sa pagkalkula ng isang numerical expression? Tandaan sa pamamagitan ng pagkalkula ng kahulugan ng expression na ito:

Nagbilang ka ba?

Dapat itong gumana.

Kaya, hayaan mong ipaalala ko sa iyo.

Ang unang hakbang ay upang kalkulahin ang antas.

Ang pangalawa ay multiplication at division. Kung mayroong ilang mga multiplikasyon at dibisyon sa parehong oras, maaari silang gawin sa anumang pagkakasunud-sunod.

At sa wakas, nagsasagawa kami ng karagdagan at pagbabawas. Muli, sa anumang pagkakasunud-sunod.

Ngunit: ang expression sa mga bracket ay sinusuri nang wala sa turn!

Kung ang ilang mga bracket ay pinarami o hinati sa isa't isa, una naming kalkulahin ang expression sa bawat isa sa mga bracket, at pagkatapos ay i-multiply o hatiin ang mga ito.

Paano kung marami pang bracket sa loob ng bracket? Buweno, isipin natin: ang ilang ekspresyon ay nakasulat sa loob ng mga bracket. Kapag kinakalkula ang isang expression, ano ang dapat mong gawin muna? Tama, kalkulahin ang mga bracket. Well, naisip namin ito: una naming kalkulahin ang mga panloob na bracket, pagkatapos ay lahat ng iba pa.

Kaya, ang pamamaraan para sa expression sa itaas ay ang mga sumusunod (ang kasalukuyang aksyon ay naka-highlight sa pula, iyon ay, ang aksyon na ginagawa ko ngayon):

Okay, simple lang lahat.

Ngunit ito ay hindi katulad ng isang expression na may mga titik?

Hindi, pareho lang! Sa halip na mga operasyong aritmetika kailangan mong gawin ang mga algebraic, iyon ay, ang mga pagkilos na inilarawan sa nakaraang seksyon: nagdadala ng katulad, pagdaragdag ng mga fraction, pagbabawas ng mga fraction, at iba pa. Ang tanging pagkakaiba ay ang pagkilos ng factoring polynomials (madalas nating ginagamit ito kapag nagtatrabaho sa mga fraction). Kadalasan, para ma-factorize, kailangan mong gamitin ang I o ilagay lang ang common factor sa mga bracket.

Karaniwan ang aming layunin ay upang kumatawan sa expression bilang isang produkto o quotient.

Halimbawa:

Pasimplehin natin ang expression.

1) Una, pinapasimple namin ang expression sa mga bracket. Doon tayo ay may pagkakaiba ng mga fraction, at ang layunin natin ay ipakita ito bilang isang produkto o quotient. Kaya, dinadala namin ang mga fraction sa isang karaniwang denominator at idinagdag:

Imposibleng pasimplehin pa ang ekspresyong ito;

2) Nakukuha namin ang:

Pagpaparami ng mga fraction: ano ang maaaring maging mas simple.

3) Ngayon ay maaari mong paikliin:

OK tapos na ang lahat Ngayon. Walang kumplikado, tama?

Isa pang halimbawa:

Pasimplehin ang expression.

Una, subukang lutasin ito sa iyong sarili, at pagkatapos ay tingnan ang solusyon.

Una sa lahat, tukuyin natin ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon. Una, idagdag natin ang mga fraction sa panaklong, kaya sa halip na dalawang fraction ay makakakuha tayo ng isa. Pagkatapos ay gagawa tayo ng dibisyon ng mga fraction. Well, idagdag natin ang resulta sa huling fraction. Bibilangin ko ang mga hakbang sa eskematiko:

Ngayon ay ipapakita ko sa iyo ang proseso, tinting ang kasalukuyang aksyon sa pula:

Sa wakas, bibigyan kita ng dalawang kapaki-pakinabang na tip:

1. Kung may mga katulad, dapat dalhin agad. Sa anumang punto na lumitaw ang mga katulad sa ating bansa, ipinapayong ilabas agad ang mga ito.

2. Ang parehong naaangkop sa pagbabawas ng mga fraction: sa sandaling lumitaw ang pagkakataon upang mabawasan, dapat itong samantalahin. Ang exception ay para sa mga fraction na idinaragdag o ibinabawas mo: kung mayroon na sila ngayon parehong denominador, pagkatapos ay ang pagbabawas ay dapat na iwan para sa ibang pagkakataon.

Narito ang ilang gawain na dapat mong lutasin nang mag-isa:

At kung ano ang ipinangako sa simula pa lamang:

Mga Solusyon (maikli):

Kung nakayanan mo ang hindi bababa sa unang tatlong halimbawa, pagkatapos ay isaalang-alang ang iyong sarili na pinagkadalubhasaan ang paksa.

Ngayon sa pag-aaral!

MGA PAGPAPAHAYAG. BUOD AT BATAYANG FORMULA

Pangunahing pagpapasimpleng operasyon:

• Nagdadala ng katulad: upang magdagdag (bawasan) ang mga katulad na termino, kailangan mong idagdag ang kanilang mga coefficient at italaga ang bahagi ng titik.
• Factorization: paglalagay ng karaniwang kadahilanan sa labas ng mga bracket, paglalapat nito, atbp.
• Pagbawas ng isang fraction: Ang numerator at denominator ng isang fraction ay maaaring i-multiply o hatiin sa parehong di-zero na numero, na hindi nagbabago sa halaga ng fraction.
  1) numerator at denominator factorize
  2) kung ang numerator at denominator ay may mga karaniwang kadahilanan, maaari silang i-cross out.

  MAHALAGA: ang mga multiplier lamang ang maaaring mabawasan!

• Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction:
  ;
• Pagpaparami at paghahati ng mga fraction:
  ;

Sa unang tingin, ang mga algebraic fraction ay tila napakakomplikado, at maaaring isipin ng isang hindi handa na mag-aaral na walang magagawa sa kanila. Ang akumulasyon ng mga variable, numero, at kahit na mga degree ay pumukaw ng takot. Gayunpaman, ang parehong mga patakaran ay ginagamit upang bawasan ang mga karaniwang fraction (tulad ng 15/25) at algebraic fraction.

Mga hakbang

Pagbawas ng mga Fraction

Tingnan ang mga aktibidad kasama ang mga simpleng fraction. Ang mga operasyong may ordinaryong at algebraic na mga praksiyon ay magkatulad. Halimbawa, kunin natin ang fraction na 15/35. Upang gawing simple ang fraction na ito, dapat mong hanapin ang karaniwang divisor. Ang parehong mga numero ay nahahati sa lima, kaya maaari nating ihiwalay ang 5 sa numerator at denominator:

Kaya mo na ngayon bawasan ang karaniwang mga kadahilanan, ibig sabihin, ekis ang 5 sa numerator at denominator. Bilang resulta, nakukuha namin ang pinasimple na bahagi 3/7 . Sa mga algebraic expression, ang mga karaniwang salik ay nakikilala sa parehong paraan tulad ng sa mga ordinaryong. Sa nakaraang halimbawa, madali nating ihiwalay ang 5 mula sa 15 - ang parehong prinsipyo ay nalalapat sa mas kumplikadong mga expression tulad ng 15x – 5. Hanapin natin ang karaniwang salik. Sa kasong ito, ito ay magiging 5, dahil ang parehong mga termino (15x at -5) ay mahahati ng 5. Gaya ng dati, piliin ang karaniwang kadahilanan at ilipat ito umalis.

15x – 5 = 5 * (3x – 1)

Upang suriin kung tama ang lahat, i-multiply lamang ang expression sa mga bracket sa pamamagitan ng 5 - ang resulta ay magiging parehong mga numero tulad ng sa una. Mga kumplikadong miyembro maaaring mapili sa parehong paraan tulad ng mga simple. Ang parehong mga prinsipyo ay nalalapat sa algebraic fraction bilang sa mga ordinaryong. Ito ang pinakamadaling paraan upang mabawasan ang isang fraction. Isaalang-alang ang sumusunod na bahagi:

Tandaan na ang numerator (itaas) at denominator (ibaba) ay naglalaman ng termino (x+2), kaya maaari itong bawasan sa parehong paraan tulad ng karaniwang salik 5 sa fraction 15/35:

Bilang resulta, nakakakuha tayo ng pinasimpleng expression: (x-3)/(x+10)

Pagbawas ng mga algebraic fraction

Hanapin ang karaniwang kadahilanan sa numerator, iyon ay, sa tuktok ng fraction. Kapag kinokontrata algebraic fraction Ang unang hakbang ay gawing simple ang parehong bahagi nito. Magsimula sa numerator at subukang i-factor ito sa pinakamaraming salik hangga't maaari. Isaalang-alang natin sa ang seksyon na ito sumusunod na fraction:

Magsimula tayo sa numerator: 9x – 3. Para sa 9x at -3, ang karaniwang salik ay ang numero 3. Kunin natin ang 3 mula sa mga bracket, tulad ng ginagawa sa mga ordinaryong numero: 3 * (3x-1). Ang resulta ng pagbabagong ito ay ang sumusunod na bahagi:

Hanapin ang karaniwang salik sa numerator. Ipagpatuloy natin ang halimbawa sa itaas at isulat ang denominator: 15x+6. Gaya ng dati, hanapin natin kung anong numero ang nahahati sa dalawang bahagi. At sa kasong ito ang karaniwang kadahilanan ay 3, kaya maaari naming isulat: 3 * (5x +2). Isulat muli natin ang fraction sa sumusunod na anyo:

Paikliin ang parehong mga termino. Sa hakbang na ito maaari mong gawing simple ang fraction. Kanselahin ang parehong mga termino sa numerator at denominator. Sa aming halimbawa, ang numerong ito ay 3.

Tukuyin na ang fraction ay may pinakasimpleng anyo. Ang isang fraction ay ganap na pinasimple kapag walang karaniwang mga kadahilanan na natitira sa numerator at denominator. Tandaan na hindi mo maaaring kanselahin ang mga terminong lumalabas sa loob ng mga panaklong - sa halimbawa sa itaas ay walang paraan upang ihiwalay ang x mula sa 3x at 5x, dahil ang buong termino ay (3x -1) at (5x + 2). Kaya, ang fraction ay hindi na maaaring gawing simple pa, at ang huling sagot ay ang mga sumusunod:

Magsanay sa pagbawas ng mga fraction sa iyong sarili. Ang pinakamahusay na paraan upang makabisado ang pamamaraan ay ang malayang paglutas ng mga problema. Ang mga tamang sagot ay ibinigay sa ibaba ng mga halimbawa.

Sagot:(x=13)

Sagot:(2x-1)/5

Mga Espesyal na Paggalaw

Ilagay ang negative sign sa labas ng fraction. Ipagpalagay na binigyan ka ng sumusunod na bahagi:

Tandaan na ang (x-4) at (4-x) ay "halos" magkapareho, ngunit hindi sila maaaring bawasan kaagad dahil sila ay "baligtad". Gayunpaman, ang (x - 4) ay maaaring isulat bilang -1 * (4 - x), tulad ng (4 + 2x) ay maaaring isulat bilang 2 * (2 + x). Ito ay tinatawag na “sign reversal.”

Ngayon ay maaari mong bawasan ang magkaparehong termino (4-x):

Kaya, nakukuha namin ang huling sagot: -3/5 . Matutong kilalanin ang pagkakaiba sa pagitan ng mga parisukat. Ang pagkakaiba ng mga parisukat ay kapag ang parisukat ng isang numero ay ibinabawas mula sa parisukat ng isa pang numero, tulad ng sa expression (a 2 - b 2). Ang pagkakaiba ng perpektong mga parisukat ay maaaring palaging mabulok sa dalawang bahagi - ang kabuuan at ang pagkakaiba ng katumbas square roots. Pagkatapos ang expression ay kukuha ng sumusunod na anyo:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Ang pamamaraan na ito ay lubhang kapaki-pakinabang kapag naghahanap ng mga karaniwang termino sa mga algebraic fraction.

• Suriin kung tama mong isinalang ito o ang expression na iyon. Upang gawin ito, i-multiply ang mga kadahilanan - ang resulta ay dapat na parehong expression.
• Upang ganap na gawing simple ang isang fraction, palaging ihiwalay ang pinakamalaking mga kadahilanan.

Natututo ang mga bata sa paaralan ng mga tuntunin ng pagbabawas ng mga fraction sa ika-6 na baitang. Sa artikulong ito, sasabihin muna namin sa iyo kung ano ang ibig sabihin ng pagkilos na ito, pagkatapos ay ipapaliwanag namin kung paano i-convert ang isang reducible fraction sa isang irreducible fraction. Ang susunod na punto ay ang mga panuntunan para sa pagbabawas ng mga praksyon, at pagkatapos ay unti-unti tayong makakarating sa mga halimbawa.

Ano ang ibig sabihin ng "bawasan ang isang fraction"?

Kaya, alam nating lahat na ang mga ordinaryong praksyon ay nahahati sa dalawang grupo: mababawasan at hindi mababawasan. Sa mga pangalan na maaari mong maunawaan na ang mga nakontrata ay kinontrata, at ang mga hindi mababawasan ay hindi kinokontrata.

• Upang bawasan ang isang fraction ay nangangahulugan na hatiin ang denominator at numerator nito sa kanilang (maliban sa isa) positibong divisor. Ang resulta, siyempre, ay isang bagong fraction na may mas maliit na denominator at numerator. Ang resultang fraction ay magiging katumbas ng orihinal na fraction.

Kapansin-pansin na sa mga aklat sa matematika na may gawaing "bawasan ang isang fraction," nangangahulugan ito na kailangan mong bawasan ang orihinal na fraction sa hindi mababawasang anyo na ito. Kung mag-uusap tayo sa simpleng salita, pagkatapos ay ang paghahati ng denominator at numerator sa kanilang pinakamalaking karaniwang divisor ay isang pagbawas.

Paano bawasan ang isang fraction. Mga panuntunan para sa pagbabawas ng mga fraction (grade 6)

Kaya dalawa lang ang rules dito.

1. Ang unang tuntunin ng pagbabawas ng mga fraction ay ang unang hanapin ang pinakamalaking karaniwang salik ng denominator at numerator ng iyong fraction.
2. Ang pangalawang panuntunan: hatiin ang denominator at numerator sa pinakamalaking karaniwang divisor, sa huli ay nakakakuha ng hindi mababawasang bahagi.

Paano bawasan ang isang hindi tamang fraction?

Ang mga patakaran para sa pagbabawas ng mga praksiyon ay magkapareho sa mga panuntunan para sa pagbabawas ng mga hindi wastong praksiyon.

Para mabawasan hindi wastong bahagi, kailangan mo munang isulat ang denominator at numerator sa mga simpleng salik, at pagkatapos ay bawasan ang mga karaniwang salik.

Pagbawas ng mga mixed fraction

Ang mga patakaran para sa pagbabawas ng mga praksiyon ay nalalapat din sa pagbabawas ng mga pinaghalong praksiyon. Mayroon lamang isang maliit na pagkakaiba: hindi natin maaaring hawakan ang buong bahagi, ngunit bawasan ang fraction o i-convert ang mixed fraction sa isang hindi tamang fraction, pagkatapos ay bawasan ito at muling i-convert ito sa isang tamang fraction.

Mayroong dalawang paraan upang mabawasan ang mga pinaghalong fraction.

Una: isulat ang praksyonal na bahagi sa mga pangunahing kadahilanan at pagkatapos ay iwanan ang buong bahagi.

Ang pangalawang paraan: i-convert muna ito sa isang hindi tamang fraction, isulat ito sa mga ordinaryong salik, pagkatapos ay bawasan ang fraction. I-convert ang nakuha na improper fraction sa proper fraction.

Ang mga halimbawa ay makikita sa larawan sa itaas.

Talagang inaasahan namin na nakatulong kami sa iyo at sa iyong mga anak. Kung tutuusin, madalas silang walang pakialam sa klase, kaya kailangan nilang mag-aral nang mas masinsinan sa bahay nang mag-isa.

Sa artikulong ito ay tatalakayin natin ang tungkol sa pagbabawas ng mga algebraic fraction. Una, alamin natin kung ano ang ibig sabihin ng terminong "pagbawas ng isang algebraic fraction" at alamin kung ang isang algebraic fraction ay palaging mababawasan. Sa ibaba ay nagpapakita kami ng panuntunan na nagpapahintulot sa pagbabagong ito na maisagawa. Sa wakas, isasaalang-alang namin ang mga solusyon sa mga tipikal na halimbawa na magbibigay-daan sa amin na maunawaan ang lahat ng mga salimuot ng proseso.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang ibig sabihin ng pagbabawas ng algebraic fraction?

Habang nag-aaral, napag-usapan namin ang pagbabawas nila. tinawag nating paghahati ang numerator at denominator nito sa isang karaniwang salik. Halimbawa, ang karaniwang fraction na 30/54 ay maaaring bawasan ng 6 (iyon ay, ang numerator at denominator nito na hinati ng 6), na humahantong sa amin sa fraction na 5/9.

Sa pamamagitan ng pagbabawas ng isang algebraic fraction ang ibig nating sabihin ay katulad na aksyon. Bawasan ang isang algebraic fraction- nangangahulugan ito ng paghahati sa numerator at denominator nito sa isang karaniwang salik. Ngunit kung ang karaniwang kadahilanan ng numerator at denominator ng isang ordinaryong fraction ay maaari lamang maging isang numero, kung gayon ang karaniwang kadahilanan ng numerator at denominator ng isang algebraic fraction ay maaaring isang polynomial, sa partikular, isang monomial o numero.

Halimbawa, ang isang algebraic fraction ay maaaring bawasan ng numero 3, na nagbibigay ng fraction . Posible ring magsagawa ng contraction sa variable x, na nagreresulta sa expression . Ang orihinal na algebraic fraction ay maaaring bawasan ng monomial na 3 x, gayundin ng alinman sa mga polynomial na x+2 y, 3 x +6 y, x 2 +2 x y o 3 x 2 +6 x y.

Ang pangwakas na layunin ng pagbabawas ng isang algebraic fraction ay upang makakuha ng isang fraction ng higit pa simpleng uri, V pinakamahusay na senaryo ng kaso– hindi mababawasang bahagi.

Maaari bang bawasan ang anumang algebraic fraction?

Alam natin na ang mga ordinaryong fraction ay nahahati sa . Ang mga irreducible fraction ay walang mga karaniwang salik sa numerator at denominator maliban sa isa, at samakatuwid ay hindi maaaring bawasan.

Ang mga algebraic fraction ay maaaring may mga karaniwang salik sa numerator at denominator. Kung may mga karaniwang salik, posibleng bawasan ang isang algebraic fraction. Kung walang mga karaniwang salik, imposibleng gawing simple ang isang algebraic fraction sa pamamagitan ng pagbabawas nito.

Sa pangkalahatan, ayon sa hitsura algebraic fraction, medyo mahirap matukoy kung maaari itong bawasan. Siyempre, sa ilang mga kaso ang karaniwang mga kadahilanan ng numerator at denominator ay halata. Halimbawa, malinaw na nakikita na ang numerator at denominator ng isang algebraic fraction ay may isang karaniwang kadahilanan 3. Madaling mapansin na ang isang algebraic fraction ay maaaring bawasan ng x, ng y, o direkta ng x·y. Ngunit mas madalas, ang karaniwang kadahilanan ng numerator at denominator ng isang algebraic fraction ay hindi agad nakikita, at mas madalas, hindi ito umiiral. Halimbawa, posibleng bawasan ang isang fraction ng x−1, ngunit ang karaniwang salik na ito ay hindi malinaw na naroroon sa notasyon. At isang algebraic fraction imposibleng bawasan, dahil ang numerator at denominator nito ay walang mga karaniwang salik.

Sa pangkalahatan, ang tanong ng reducibility ng isang algebraic fraction ay napakahirap. At kung minsan ay mas madaling lutasin ang isang problema sa pamamagitan ng pagtatrabaho sa isang algebraic fraction sa orihinal nitong anyo kaysa malaman kung ang fraction na ito ay maaaring bawasan muna. Ngunit mayroon pa ring mga pagbabagong-anyo na sa ilang mga kaso ay ginagawang posible, na may kaunting pagsisikap, upang mahanap ang mga karaniwang salik ng numerator at denominator, kung mayroon man, o upang tapusin na ang orihinal na algebraic fraction ay hindi mababawasan. Ang impormasyong ito ay ibubunyag sa susunod na talata.

Panuntunan para sa pagbabawas ng mga algebraic fraction

Ang impormasyon mula sa mga nakaraang talata ay nagbibigay-daan sa iyo upang natural na malasahan ang mga sumusunod panuntunan para sa pagbabawas ng mga algebraic fraction, na binubuo ng dalawang hakbang:

• una, ang mga karaniwang salik ng numerator at denominator ng orihinal na fraction ay matatagpuan;
• kung mayroon man, ang pagbabawas ay ginawa ng mga salik na ito.

Ang mga ipinahiwatig na hakbang ng inihayag na panuntunan ay nangangailangan ng paglilinaw.

Ang pinaka-maginhawang paraan upang makahanap ng mga karaniwan ay ang pagsasaliksik ng mga polynomial sa numerator at denominator ng orihinal na algebraic fraction. Sa kasong ito, agad na makikita ang mga karaniwang salik ng numerator at denominator, o nagiging malinaw na walang mga karaniwang salik.

Kung walang karaniwang mga kadahilanan, maaari nating tapusin na ang algebraic fraction ay hindi mababawasan. Kung ang mga karaniwang kadahilanan ay natagpuan, pagkatapos ay sa ikalawang hakbang sila ay nabawasan. Ang resulta ay isang bagong bahagi ng isang mas simpleng anyo.

Ang panuntunan para sa pagbabawas ng mga algebraic fraction ay batay sa pangunahing katangian ng isang algebraic fraction, na ipinahayag ng pagkakapantay-pantay, kung saan ang a, b at c ay ilang polynomial, at ang b at c ay hindi zero. Sa unang hakbang, ang orihinal na algebraic fraction ay nabawasan sa anyo kung saan makikita ang karaniwang salik c, at sa pangalawang hakbang ang pagbawas ay ginanap - ang paglipat sa fraction.

Lumipat tayo sa paglutas ng mga halimbawa gamit ang panuntunang ito. Sa kanila ay susuriin namin ang lahat ng posibleng mga nuances na lumitaw kapag ang pag-factor ng numerator at denominator ng isang algebraic fraction sa mga kadahilanan at kasunod na pagbawas.

Mga karaniwang halimbawa

Una, kailangan nating pag-usapan ang pagbabawas ng mga algebraic fraction na ang numerator at denominator ay pareho. Ang mga nasabing fraction ay magkaparehong katumbas ng isa sa buong ODZ ng mga variable na kasama dito, halimbawa,
at iba pa.

Ngayon hindi nasaktan na tandaan kung paano bawasan ang mga ordinaryong fraction - pagkatapos ng lahat, sila ay isang espesyal na kaso ng mga algebraic fraction. Mga natural na numero sa numerator at denominator ng isang karaniwang fraction, pagkatapos nito ay kinansela ang mga karaniwang salik (kung mayroon man). Halimbawa, . Ang produkto ng magkatulad na pangunahing mga kadahilanan ay maaaring isulat sa anyo ng mga kapangyarihan, at gamitin kapag nagpapaikli. Sa kasong ito, ang solusyon ay magiging ganito: , dito hinati natin ang numerator at denominator sa isang karaniwang salik 2 2 3. O, para sa higit na kalinawan, batay sa mga katangian ng pagpaparami at paghahati, ang solusyon ay ipinakita sa anyo.

Ganap na magkatulad na mga prinsipyo ang ginagamit upang bawasan ang mga algebraic fraction, ang numerator at denominator na naglalaman ng mga monomial na may integer coefficients.

Halimbawa.

Kanselahin ang isang algebraic fraction .

Solusyon.

Maaari mong katawanin ang numerator at denominator ng orihinal na algebraic fraction bilang isang produkto ng prime factor at variable, at pagkatapos ay isagawa ang pagbabawas:

Ngunit mas makatwiran na isulat ang solusyon sa anyo ng isang expression na may mga kapangyarihan:

Sagot:

.

Tulad ng para sa pagbabawas ng mga algebraic fraction na mayroong fractional numerical coefficients sa numerator at denominator, maaari mong gawin ang dalawang bagay: alinman sa hatiin ang mga fractional coefficient na ito nang hiwalay, o alisin muna ang mga fractional coefficient sa pamamagitan ng pagpaparami ng numerator at denominator sa isang tiyak. natural na numero. Napag-usapan namin ang tungkol sa huling pagbabago sa artikulo na nagdadala ng isang algebraic fraction sa isang bagong denominator na maaari itong isagawa dahil sa pangunahing katangian ng isang algebraic fraction. Unawain natin ito gamit ang isang halimbawa.

Halimbawa.

Magsagawa ng pagbawas ng fraction.

Solusyon.

Maaari mong bawasan ang fraction tulad ng sumusunod: .

At posible na maalis muna ang mga fractional coefficient sa pamamagitan ng pagpaparami ng numerator at denominator sa mga denominator ng mga coefficient na ito, iyon ay, sa pamamagitan ng LCM(5, 10)=10. Sa kasong ito mayroon tayo .

Sagot:

.

Maaari tayong magpatuloy sa mga algebraic fraction pangkalahatang pananaw, kung saan ang numerator at denominator ay maaaring maglaman ng parehong mga numero at monomial, pati na rin ang mga polynomial.

Kapag binabawasan ang mga naturang fraction, ang pangunahing problema ay ang karaniwang kadahilanan ng numerator at denominator ay hindi palaging nakikita. Bukod dito, hindi ito palaging umiiral. Upang makahanap ng isang karaniwang kadahilanan o ma-verify ang kawalan nito, kailangan mong i-factor ang numerator at denominator ng isang algebraic fraction.

Halimbawa.

Bawasan ang isang rational fraction .

Solusyon.

Upang gawin ito, i-factor ang mga polynomial sa numerator at denominator. Magsimula tayo sa pamamagitan ng paglalagay nito sa labas ng mga bracket: . Malinaw, ang mga expression sa panaklong ay maaaring mabago gamit