Разделы сайта
Выбор редакции:
- Княгиня зинаида николаевна юсупова
- Смысл жизни и судьба человека Наш мозг принимает решения раньше, чем сознание
- Нейтринная обсерватория Баксанская Нейтринная Обсерватория
- Нельзя фотографироваться на мосту: откуда взялось это суеверие
- Игры для развития речи Интересные игры по развитию речи
- Нижегородский государственный технический университет им
- Есенина: факультеты, специальности
- Фгбоу впо поволжский государственный технологический университет
- Трихомонадный кольпит: симптомы и лечение, причины и методы диагностики
- Причины и лечение трещин на ступнях
Реклама
Чему равна сумма углов выпуклого многоугольника. Правильный многоугольник. Число сторон правильного многоугольника |
ЛоманаяОпределениеЛоманой линией , или короче, ломаной , называется конечная последовательность отрезков, такая, что один из концов первого отрезка служит концом второго, другой конец второго отрезка служит концом третьего и т.д. При этом соседние отрезки не лежат на одной прямой. Эти отрезки называют звеньями ломаной. Виды ломанойЛоманая называется замкнутой , если начало первого отрезка совпадает с концом последнего. Ломаная может пересекать сама себя, коснуться сама себя, налегать на себя. Если таких особенностей нет, то такая ломаная называется простой . МногоугольникиОпределениеПростая замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, ограниченной ею, называется многоугольником . ЗамечаниеВ каждой вершине многоугольника его стороны задают некоторый угол многоугольника. Он может быть как меньше развернутого, так и больше развернутого. СвойствоУ каждого многоугольника есть угол, меньший $180^\circ$. ДоказательствоПусть дан многоугольник $P$. Проведем какую-нибудь прямую, не пересекающую его. Будем перемещать ее параллельно в сторону многоугольника. В некоторый момент мы впервые получим прямую $a$, имеющую с многоугольником $P$ хотя бы одну общую точку. От этой прямой многоугольник лежит по одну сторону (при этом некоторые его точки лежат на прямой $a$). На прямой $a$ лежит хотя бы одна вершина многоугольника. В ней сходится две его стороны, расположенные по одну сторону от прямой $a$ (считая и тот случай, когда одна из них лежит на этой прямой). А значит, при этой вершине угол меньше развернутого. ОпределениеМногоугольник называется выпуклым , если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. Если многоугольник не является выпуклым, его называют невыпуклым . ЗамечаниеВыпуклый многоугольник является пересечением полуплоскостей, ограниченных прямыми, которые содержат стороны многоугольника. Свойства выпуклого многоугольникаУ выпуклого многоугольника все углы меньше $180^\circ$. Отрезок, соединяющий любые две точки выпуклого многоугольника (в частности, любая его диагональ), содержится в этом многоугольнике. ДоказательствоДокажем первое свойствоВозьмем любой угол $A$ выпуклого многоугольника $P$ и его сторону $a$, идущую из вершины $A$. Пусть $l$ – прямая, содержащая сторону $a$. Так как многоугольник $P$ выпуклый, то он лежит по одну сторону от прямой $l$. Следовательно, и его угол $A$ лежит по одну сторону от этой прямой. Значит угол $A$ меньше развернутого угла, то есть меньше $180^\circ$. Докажем второе свойствоВозьмем любые две точки $A$ и $B$ выпуклого многоугольника $P$. Многоугольник $P$ является пересечением нескольких полуплоскостей. Отрезок $AB$ содержится в каждой из этих полуплоскостей. Поэтому он содержится и в многоугольнике $P$. ОпределениеДиагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий его несоседние вершины. Теорема (о количестве диагоналей n-угольника)Количество диагоналей выпуклого $n$-угольника вычисляется по формуле $\dfrac{n(n-3)}{2}$. ДоказательствоИз каждой вершины n-угольника можно провести $n-3$ диагонали (нельзя провести диагональ в соседние вершины и в саму эту вершину). Если посчитать все такие возможные отрезки, то их будет $n\cdot(n-3)$, так как вершин $n$. Но каждая диагональ будет посчитана дважды. Таким образом, количество диагоналей n-угольника равно $\dfrac{n(n-3)}{2}$. Теорема (о сумме углов n-угольника)Сумма углов выпуклого $n$-угольника равна $180^\circ(n-2)$. ДоказательствоРассмотрим $n$-угольник $A_1A_2A_3\ldots A_n$. Возьмём внутри этого многоугольника произвольную точку $O$. Сумма углов всех треугольников $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_{n-1}OA_n$ равна $180^\circ\cdot n$. C другой стороны эта сумма складывается из суммы всех внутренних углов многоугольника и полного угла $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$. Тогда сумма углов рассматриваемого $n$-угольника равна $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$. СледствиеСумма углов невыпуклого $n$-угольника равна $180^\circ(n-2)$. ДоказательствоРассмотрим многоугольник $A_1A_2\ldots A_n$, у которого только угол $\angle A_2$ невыпуклый, то есть $\angle A_2>180^\circ$. Обозначим сумму его улов $S$. Соединим точки $A_1A_3$ и рассмотрим многоугольник $A_1A_3\ldots A_n$. Сумма углов этого многоугольника равна: $180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\angle A_2+\angle 1+\angle 2=S-\angle A_2+180^\circ-\angle A_1A_2A_3=S+180^\circ-(\angle A_1A_2A_3+\angle A_2)=S+180^\circ-360^\circ$. Следовательно, $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$. Если у исходного многоугольника более одного невыпуклого угла, то описанную выше операцию можно проделать с каждым таким углом, что и приведет к доказываемому утверждению. Теорема (о сумме внешних углов выпуклого n-угольника)Сумма внешних углов выпуклого $n$-угольника равна $360^\circ$. ДоказательствоВнешний угол при вершине $A_1$ равен $180^\circ-\angle A_1$. Сумма всех внешних углов равна: $\sum\limits_{n}(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_{n}A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n-2)=360^\circ$. Вашего многоугольника . Например, если вам нужно найти углы правильного многоугольника с 15 сторонами, подставьте n=15 в уравнение. У вас получится S=180⁰(15-2), S=180⁰х13, S=2340⁰. Далее разделите полученную сумму внутренних углов на их количество. Например, в с многоугольником количество углов количеству сторон, то есть 15. Таким образом, вы получите, что угол равен 2340⁰/15=156⁰. Каждый внутренний угол многоугольника равен 156⁰. Если вам удобнее рассчитать углы многоугольника в радианах, действуйте следующим образом. Вычтите из количества сторон число 2 и умножьте полученную разность на число П (Пи). Затем разделите произведение на количество углов в многоугольнике. Например, если вам нужно рассчитать углы правильного 15-угольника, действуйте так: П*(15-2)/15=13/15П, или 0,87П, или 2,72 (но, как , число П остается в неизменном виде). Либо просто разделите размер угла в градусах на 57,3 - именно столько содержится в одном радиане. Также можете попробовать рассчитать углы правильного многоугольника в градах. Для этого вычтите из количества сторон число 2, разделите полученное число на количество сторон и умножьте результат на 200. Эта углов почти не используется, но если вы решили углы в градах, не забудьте, что град разбивается на метрические секунды и минуты (по 100 секунд ). Возможно, вам необходимо рассчитать внешний угол правильного многоугольника , в этом случае поступайте так. Вычтите из 180⁰ внутренний угол – в результате вы получите значение смежного, то есть внешнего угла. Он может от -180⁰ до +180⁰. Если вам удалось узнать углы правильного многоугольника – вы сможете легко его построить. Начертите одну сторону определенной длины и от нее при помощи транспортира отложите нужный угол. Отмерьте точно такое же расстояние (все стороны правильного многоугольник равны) и снова отложите нужный угол. Продолжайте, пока стороны не сомкнутся. Источники:
Многоугольник состоит из нескольких отрезков, соединенных между собой и образующих замкнутую линию. Все фигуры этого класса делятся на простые и сложные. К простым относятся треугольник и четырехугольник, а к сложным - многоугольники с большим количеством сторон , а также звездчатые многоугольники. Инструкция Наиболее часто в задачах встречается правильный треугольник со сторон ой a. Поскольку многоугольник является правильным, то все три его сторон ы равны. Следовательно, зная медиану и высоту треугольника, можно найти все его сторон ы. Для этого используйте способ нахождения сторон ы :a=x/cosα.Так как сторон ы , т.е. a=b=c=a, a=b=c=x/cosα, где x - высота, медиана или биссектриса.Аналогичным образом находите все три неизвестные сторон ы в равнобедренном треугольнике, но при одном условии - заданной высоте. Она должна проецироваться на основание треугольника. Зная высоту основания x, найдите сторон у a:a=x/cosα.Поскольку a=b, так как треугольник равнобедренный, найдите его сторон ы следующим образом:a=b=x/cosα.После того как вы нашли боковые сторон ы треугольника, вычислите длину основания треугольника, применяя теорему Пифагора для нахождения половины основания:c/2=√(x/cosα)^2-(x^2)=√x^2 (1-cos^2α)/ cos^2α=xtgα.Отсюда найдите основание:c=2xtgα. Квадрат представляет собой , сторон ы которого вычисляются несколькими способами. Ниже рассмотрен каждый из них.Первый способ предлагает нахождение сторон ы квадрата. Поскольку все углы у квадрата прямые, данная их пополам таким образом, что образуются два прямоугольных треугольника с углами 45 градусов при . Соответственно, сторон а квадрата равна:a=b=c=f=d*cosα=d√2/2, где d - квадрата.Если квадрат вписан в окружность, то зная радиус этой окружности, найдите его сторон у:a4=R√2, где R - радиус окружности. Тип урока: урок практикум, комбинированный урок. Цели урока: 1. Вывести формулу, выражающую сумму углов выпуклого многоугольника 2. Развитие логического мышления и внимания 3. Воспитание культуры умственного труда Оборудование: таблица «Сумма углов выпуклого многоугольника», рабочая тетрадь по геометрии, набор моделей выпуклых многоугольников. Используемые технологии: элементы технологии критического мышления, здоровьесберегающие технологии, технология проблемного обучения. Ход урока: I . Эмоциональное начало урока: Здравствуйте, ребята. Здравствуйте, гости. Ребята, поднимите на меня глаза. Я волнуюсь, а вы? Какое у вас настроение? Давайте поддержим друг друга, улыбнемся друг другу, и я уверена – мы вместе преодолеем все трудности, мы это сможем. Как вы думаете, о чем сегодня пойдет речь на уроке? Затрудняетесь? Мы не будем пока формулировать тему нашего урока, вернемся к ней позже, в ходе работы. II . Актуализация знаний: Математический диктант (фронтально) с последующей проверкой на обороте доски. На обороте доски работает ученик. Цель этого задания: повторить все необходимые сведения для дальнейшей работы. Вид проверки: взаимо- или самопроверка, выбирают сами учащиеся. Учитель по выбору учащихся проверяет 2-3 работы. Оценка ставится по количеству правильных ответов. Диктант: 1 Многоугольник с n вершинами называется… (n -угольником). 2. Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется… (диагональю многоугольника). 3. Если многоугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины, то он называется… (выпуклым). 4. Две вершины четырехугольника, не являющиеся соседними, называются… (противоположными). 5. Чему равна сумма градусных мер всех углов треуглоьника?.. (180°). Итоги: понятие n -угольника, его диагоналей, выпуклого многоугольника, его противоположных вершин, суммы градусных мер всех углов треугольника мы применим на следующем этапе нашего урока, выполняя лабораторную работу. III . Изучение нового материала: Лабораторная работа (в парах). Цель работы: вывести экспериментально формулу, выражающую сумму углов выпуклого многоугольника. Указание к работе: 1. Постройте три выпуклых многоугольника. 2. Из одной вершины проведите диагонали. 3. Сравните число сторон многоугольника с числом получившихся треугольников. 4. Выразите сумму углов каждого многоугольника через сумму углов треугольника. Результаты занесите в таблицу (несколько учащихся записывают на доске свои результаты) Можно ли сейчас сформулировать тему урока? - Тема: «Сумма углов выпуклого многоугольника» 5. Сформулируйте гипотезу: «Сумма углов выпуклого n -угольника равна (n -2) ٠ 180°» Подтвердим эту гипотезу, прочитав вывод формулы на странице 99 учебника. Запишем формулу в тетрадь. Учащиеся оценивают результаты своей лабораторной работы по пятибалльной системе. IV . Здоровьесберегающая пауза. Цель: предупредить переутомляемость, сохранить здоровье учащихся, связав упражнения с элементами, входящими в тему урока (с углами различных видов). Дети сидят за партой. Предложить им сесть под углом 90°. Ребята, встаньте. Руками изобразите развернутый угол. Поднимая правую руку, покажите прямой угол. Сделайте то же самое, поднимая левую руку. Затем поочередно изобразите тупой, а затем и острый углы. Садитесь. V . Закрепление изученного материала. Цель: научить учащихся решать прямую и обратную задачи, применяя формулу суммы углов выпуклого многоугольника. Решение задач 1. Работа в рабочих тетрадях. (Один из учащихся вслух читает задачу и ее решение, заполняя пропуски, остальные внимательно следят за его работой. Если ученик допускает при этом ошибку, то класс исправляет ее.) Задача №4. Используя формулу (n -2)·180°, найдите сумму углов выпуклого: а) одиннадцатиугольника б) двадцатидвухугольника Ответ: а) 1620°, б) 3600° 2. Решить письменно №365 (в). Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен 120°. Один из учащихся вызывается к доске для решения задачи, остальные работают в тетрадях. Решение: сумму углов выпуклого n -угольника равна 180° ٠ ( n -2). Следовательно, 180° ٠ ( n -2)=120° ٠ n Отсюда: 180° ٠ n -360°=120° ٠ n , 60° ٠ n =360°, n =6. Ответ: 6 сторон. Наводящие вопросы: Чему равна сумма углов выпуклого n -угольника? Как другим способом можно вычислить сумму углов выпуклого n -угольника, если каждый из его n углов равен 120°? Как найти число сторон такого многоугольника? VI . Самостоятельная работа Цель: проверить уровень усвоения темы Задание 1. Используя формулу, найдите сумму углов выпуклого n угольника 1 вариант 2 вариант n =12. Ответ: 1800° n =32. Ответ: 5400 ° Задание 2. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен: 1 вариант 2 вариант 90°. Ответ: Четыре 60° Ответ: Три Несколько учащихся от каждого варианта записывают свои ответы на обороте доски, учитель проверяет, остальные учащиеся осуществляют само- или взаимопроверку по выбору. Цель: Закрепить умения и навыки учащихся решать задачи с применением формулы суммы углов выпуклого многоугольника. 1. Пункт 40 на стр. 99, вопрос 3 на стр. 114; 2. Решить задачи №364 (в), 365 (г). VII . Итог урока: 1. Составление синквейна. 2. Выставление оценок (среднее арифметическое: диктант, л/р, с/р). 3. Комментирование домашнего задания. 4. Сдача тетрадей учениками. Синквейн Многоугльники Выпуклые, n -угольные Строим, разбиваем, вычисляем Сумма углов выпуклого n -угольника равна (n -2)·180° Формула Сумма углов n-угольника Теорема. Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180 o (n-2). Доказательство. Из какой-нибудь вершины выпуклого n-угольника проведем все его диагонали. Тогда n-угольник разобьется на n-2 треугольника. В каждом треугольнике сумма углов равна 180 о, и эти углы составляют углы n-угольника. Следовательно, сумма углов n- угольника равна 180 о (n-2). Второй способ доказательства Теорема. Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180 o (n-2). Доказательство 2. Пусть O какая-нибудь внутренняя точка выпуклого n-угольника A 1 …A n. Соединим ее с вершинами этого многоугольника. Тогда n-угольник разобьется на n треугольников. В каждом треугольнике сумма углов равна 180 о. Эти углы составляют углы n-угольника и еще 360 о. Следовательно, сумма углов n- угольника равна 180 о (n-2).
Упражнение 3 Докажите, что сумма внешних углов выпуклого n- угольника равна 360 о. Доказательство. Внешний угол выпуклого многоугольника равен 180 о минус соответствующий внутренний угол. Следовательно, сумма внешних углов выпуклого n-угольника равна 180 о n минус сумма внутренних углов. Так как сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180 о (n-2), то сумма внешних углов будет равна 180 о n о (n-2) = 360 о.
Упражнение 4 Чему равны углы правильного: а) треугольника; б) четырехугольника; в) пятиугольника; г) шестиугольника; д) восьмиугольника; е) десятиугольника; ж) двенадцатиугольника? Ответ: а) 60 о;б) 90 о;в) 108 о;г) 120 о; д) 135 о;е) 144 о;ж) 150 о.
В основном курсе геометрии доказывается, что сумма углов выпуклого n-угольника равна 180° (n-2). Оказывается, что это утверждение справедливо и для невыпуклых многоугольников. Теорема 3. Сумма углов произвольного n-угольника равна 180° (n - 2). Доказательство. Разобьем многоугольник на треугольники, проведением диагоналей (рис. 11). Число таких треугольников равно n-2, и в каждом треугольнике сумма углов равна 180°. Поскольку углы треугольников составляют углы многоугольника, то сумма углов многоугольника равна 180° (n - 2). Рассмотрим теперь произвольные замкнутые ломаные, возможно с самопересечениями A1A2…AnA1 (рис. 12, а). Такие самопересекающиеся ломаные будем называть звездчатыми многоугольниками (рис. 12, б-г). Зафиксируем направление подсчета углов против часовой стрелки. Заметим, что углы, образованные замкнутой ломаной, зависят от направления ее обхода. Если направление обхода ломаной меняется на противоположное, то углами многоугольника будут углы, дополняющие углы исходного многоугольника до 360°. Если M - многоугольник, образован простой замкнутой ломаной, проходимой в направлении по часовой стрелке (рис. 13, а), то сумма углов этого многоугольника будет равна 180° (n - 2). Если же ломаная проходится в направлении против часовой стрелки (рис. 13, б), то сумма углов будет равна 180° (n + 2). ![]() Таким образом, общая формула суммы углов многоугольника, образованного простой замкнутой ломаной, имеет вид = 180° (n 2), где - сумма углов, n - число углов многоугольника, «+» или «-» берется в зависимости от направления обхода ломаной. Наша задача состоит в том, чтобы вывести формулу суммы углов произвольного многоугольника, образованного замкнутой (возможно самопересекающейся) ломаной. Для этого введем понятие степени многоугольника. Степенью многоугольника называется число оборотов, совершаемой точкой при полном последовательном обходе его сторон. Причем обороты, совершаемые в направлении против часовой стрелки, считаются со знаком «+», а обороты по часовой стрелке - со знаком «-». Ясно, что у многоугольника, образованного простой замкнутой ломаной, степень равна +1 или -1 в зависимости от направления обхода. Степень ломаной на рисунке 12, а равна двум. Степень звездчатых семиугольников (рис. 12, в, г) равна соответственно двум и трем. Аналогичным образом понятие степени определяется и для замкнутых кривых на плоскости. Например, степень кривой, изображенной на рисунке 14 равна двум. ![]() Для нахождения степени многоугольника или кривой можно поступать следующим образом. Предположим, что, двигаясь по кривой (рис. 15, а), мы, начиная с какого-то места A1, совершили полный оборот, и попали в ту же точку A1. Удалим из кривой соответствующий участок и продолжим движение по оставшейся кривой (рис. 15,б). Если, начиная с какого-то места A2, мы снова совершили полный оборот и попали в ту же точку, то удаляем соответствующий участок кривой и продолжаем движение (рис. 15, в). Считая количество удаленных участков со знаками «+» или «-», в зависимости от их направления обхода, получим искомую степень кривой. Теорема 4. Для произвольного многоугольника имеет место формула 180° (n +2m), где - сумма углов, n - число углов, m - степень многоугольника. Доказательство. Пусть многоугольник M имеет степень m и условно изображен на рисунке 16. M1, …, Mk - простые замкнутые ломаные, проходя по которым, точка совершает полные обороты. A1, …, Ak - соответствующие точки самопересечения ломаной, не являющиеся ее вершинами. Обозначим число вершин многоугольника M, входящих в многоугольники M1, …, Mk через n1, …, nk соответственно. Поскольку, помимо вершин многоугольника M, к этим многоугольникам добавляются еще вершины A1, …, Ak, то число вершин многоугольников M1, …, Mk будет равно соответственно n1+1, …, nk+1. Тогда суммы их углов будут равны 180° (n1+12), …, 180° (nk+12). Плюс или минус берется в зависимости от направления обхода ломаных. Сумма углов многоугольника M0, оставшегося от многоугольника M после удаления многоугольников M1, …, Mk, равна 180° (n-n1- …-nk+k2). Суммы углов многоугольников M0, M1, …, Mk дают сумму углов многоугольника M и в каждой вершине A1, …, Ak дополнительно получим 360°. Следовательно, имеем равенство 180° (n1+12)+…+180° (nk+12)+180° (n-n1- …-nk+k2)=+360°k. 180° (n2…2) = 180° (n+2m), где m - степень многоугольника M. ![]() В качестве примера рассмотрим вычисление суммы углов пятиконечной звездочки (рис. 17, а). Степень соответствующей замкнутой ломаной равна -2. Поэтому искомая сумма углов равна 180. |
Читайте: |
---|
Популярное:
Прогноз на год для козерога женщины![]() |
Новое
- Смысл жизни и судьба человека Наш мозг принимает решения раньше, чем сознание
- Нейтринная обсерватория Баксанская Нейтринная Обсерватория
- Нельзя фотографироваться на мосту: откуда взялось это суеверие
- Игры для развития речи Интересные игры по развитию речи
- Нижегородский государственный технический университет им
- Есенина: факультеты, специальности
- Фгбоу впо поволжский государственный технологический университет
- Трихомонадный кольпит: симптомы и лечение, причины и методы диагностики
- Причины и лечение трещин на ступнях
- Что такое цистаденома левого яичника