Разделы сайта
Выбор редакции:
- Аннотация к примерной основной образовательной программе дошкольного образования «ОткрытиЯ Образовательная программа дошкольного образования открытия
- Цикл занятий "география для малышей"
- Интерактивный плакат к урокам окружающего мира подготовила гревцова светлана анатольевна учитель начальных классов мбоу сош с
- Творожная запеканка в мультиварке Диетические запеканки в мультиварке редмонд
- Ростбиф из телятины су-вид Пошаговый рецепт приготовления
- Вкусные рецепты кабачков с фаршем, тушеных в соусе и запеченных в духовке
- Грибной суп из подосиновиков
- Вкусный гарнир из цветной капусты - особенности приготовления, рецепты и отзывы
- Зеленые помидоры на зиму, простые рецепты вкусных зеленых помидор
- Салаты с кускусом — вкус, оригинальность и легкость водном блюде!
Реклама
Что такое натуральный логарифм. Натуральный логарифм |
1.1. Определение степени для целого показателя степениX 1 = XX 2 = X * X X 3 = X * X * X … X N = X * X * … * X — N раз 1.2. Нулевая степень.По определению принято считать, что нулевая степень любого числа равна 1:1.3. Отрицательная степень.X -N = 1/X N1.4. Дробная степень, корень.X 1/N = корень степени N из Х.Например: X 1/2 = √X. 1.5. Формула сложения степеней.X (N+M) = X N *X M1.6.Формула вычитания степеней.X (N-M) = X N /X M1.7. Формула умножения степеней.X N*M = (X N) M1.8. Формула возведения дроби в степень.(X/Y) N = X N /Y N2. Число e.Значение числа e равно следующему пределу:E = lim(1+1/N), при N → ∞. С точностью 17 знаков число e равно 2.71828182845904512. 3. Равенство Эйлера.Это равенство связывает пять чисел, играющих особую роль в математике: 0, 1, число e, число пи, мнимую единицу.E (i*пи) + 1 = 0 4. Экспоненциальная функция exp (x)exp(x) = e x5. Производная экспоненциальной функцииЭкспоненциальная функция обладает замечательным свойством: производная функции равна самой экспоненциальной функции:(exp(x))" = exp(x) 6. Логарифм.6.1. Определение функции логарифмЕсли x = b y , то логарифмом называется функцияY = Log b (x). Логарифм показывает в какую степень надо возвести число - основание логарифма (b), чтобы получить заданное число (X). Функция логарифм определена для X больше нуля. Например: Log 10 (100) = 2. 6.2. Десятичный логарифмЭто логарифм по основанию 10:Y = Log 10 (x) . Обозначается Log(x): Log(x) = Log 10 (x). Пример использования десятичного логарифма — децибел . 6.3. ДецибелПункт выделен в отдельную страницу Децибел6.4. Двоичный логарифмЭто логарифм по основанию 2:Y = Log 2 (x). Обозначается Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X) 6.5. Натуральный логарифмЭто логарифм по основанию e:Y = Log e (x) . Обозначается Ln(x): Ln(x) = Log e (X) 6.6. Характерные точкиLog a (1) = 0Log a (a) = 1 6.7. Формула логарифма произведенияLog a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)6.8. Формула логарифма частногоLog a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)6.9. Формула логарифма степениLog a (x y) = y*Log a (x)6.10. Формула преобразования к логарифму с другим основаниемLog b (x) = (Log a (x))/Log a (b)Пример:Log 2 (8) = Log 10 (8)/Log 10 (2) = 7. Формулы полезные в жизниЧасто возникают задачи пересчета объема в площадь или в длину и обратная задача -- пересчет площади в объем. Например, доски продаются кубами (кубометрами), а нам требуется рассчитать какую площадь стены можно обшить досками содержащимися в определенном объеме, см. расчет досок, сколько досок в кубе . Или, известны размеры стены, надо рассчитать число кирпичей, см. расчет кирпича . Разрешается использовать материалы сайта при условии установки активной ссылки на источник. Урок и презентация на темы: "Натуральные логарифмы. Основание натурального логарифма. Логарифм натурального числа"Дополнительные материалы
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Что такое натуральный логарифмРебята, на прошлом уроке мы с вами узнали новое, особенное число – е. Сегодня мы продолжим работать с этим числом.Мы с вами изучили логарифмы и знаем, что в основании логарифма может стоять множество чисел, которые больше 0. Сегодня мы также рассмотрим логарифм, в основании которого стоит число е. Такой логарифм принято называть натуральным логарифмом. У него есть собственная запись: $\ln{n}$ - натуральный логарифм. Такая запись эквивалентна записи: $\log_e{n}=\ln{n}$. Показательные и логарифмические функции являются обратными, тогда натуральный логарифм, является обратной для функции: $y=e^x$. Обратные функции являются симметричными относительно прямой $y=x$. Давайте построим график натурального логарифма, отразив экспоненциальную функцию относительно прямой $y=x$. Стоит заметить угол наклона касательной к графику функции $y=e^x$ в точке (0;1) равен 45°. Тогда угол наклона касательной к графику натурального логарифма в точке (1;0) также будет равен 45°. Обе эти касательные будут параллельны прямой $y=x$. Давайте схематично изобразим касательные:
Свойства функции $y=\ln{x}$1. $D(f)=(0;+∞)$.2. Не является ни четной, ни нечетной. 3. Возрастает на всей области определения. 4. Не ограничена сверху, не ограничена снизу. 5. Наибольшего значения нет, наименьшего значения нет. 6. Непрерывна. 7. $E(f)=(-∞; +∞)$. 8. Выпукла вверх. 9. Дифференцируема всюду. В курсе высшей математики доказано, что производная обратной функции есть величина, обратная производной данной функции
. Пример.
Пример. Англо-американская системаМатематики, статистики и часть инженеров обычно используют для обозначения натурального логарифма либо «log(x )», либо «ln(x )» , а для обозначения логарифма по основанию 10 - «log 10 (x )». Некоторые инженеры, биологи и другие специалисты всегда пишут «ln(x )» (или изредка «log e (x )»), когда они имеют в виду натуральный логарифм, а запись «log(x )» у них означает log 10 (x ). log e является «натуральным» логарифмом, поскольку он возникает автоматически и появляется в математике очень часто. Например, рассмотрим проблему производной логарифмической функции: Если основание b равно e , то производная равна просто 1/x , а при x = 1 эта производная равна 1. Другим обоснованием, по которому основание e логарифма является наиболее натуральным, является то, что он может быть довольно просто определён в терминах простого интеграла или ряда Тейлора , чего нельзя сказать о других логарифмах. Дальнейшие обоснования натуральности не связаны со счислением. Так, например, есть несколько простых рядов с натуральными логарифмами. Пьетро Менголи и Николай Меркатор называли их логарифмус натуралис несколько десятилетий до тех пор, пока Ньютон и Лейбниц не разработали дифференциальное и интегральное исчисление. ОпределениеФормально ln(a ) может быть определён как площадь под кривой графика 1/x от 1 до a , т. е. как интеграл : Это действительно логарифм, поскольку он удовлетворяет фундаментальному свойству логарифма: Это можно продемонстрировать, допуская следующим образом: Численное значениеДля расчета численного значения натурального логарифма числа можно использовать разложение его в ряд Тейлора в виде: Чтобы получить лучшую скорость сходимости, можно воспользоваться следующим тождеством: Для ln(x ), где x > 1, чем ближе значение x к 1, тем быстрее скорость сходимости. Тождества, связанные с логарифмом, можно использовать для достижения цели: Эти методы применялись ещё до появления калькуляторов, для чего использовались числовые таблицы и выполнялись манипуляции, аналогичные вышеописанным. Высокая точностьДля вычисления натурального логарифма с большим количеством цифр точности ряд Тейлора не является эффективным, поскольку его сходимость медленная. Альтернативой является использование метода Ньютона , чтобы инвертировать в экспоненциальную функцию, ряд которой сходится быстрее. Альтернативой для очень высокой точности расчёта является формула: где M обозначает арифметико-геометрическое среднее 1 и 4/s, и m выбрано так, что p знаков точности достигается. (В большинстве случаев значение 8 для m вполне достаточно.) В самом деле, если используется этот метод, может быть применена инверсия Ньютона натурального логарифма для эффективного вычисления экспоненциальной функции. (Константы ln 2 и пи могут быть предварительно вычислены до желаемой точности, используя любой из известных быстро сходящихся рядов.) Вычислительная сложностьВычислительная сложность натуральных логарифмов (с помощью арифметико-геометрического среднего) равна O(M (n ) ln n ). Здесь n - число цифр точности, для которой натуральный логарифм должен быть оценен, а M (n ) - вычислительная сложность умножения двух n -значных чисел. Непрерывные дробиХотя для представления логарифма отсутствуют простые непрерывные дроби , но можно использовать несколько обобщённых непрерывных дробей, в том числе: Комплексные логарифмыЭкспоненциальная функция может быть расширена до функции, которая даёт комплексное число вида e x для любого произвольного комплексного числа x , при этом используется бесконечный ряд с комплексным x . Эта показательная функция может быть инвертирована с образованием комплексного логарифма, который будет обладать большей частью свойств обычных логарифмов. Есть, однако, две трудности: не существует x , для которого e x = 0, и оказывается, что e 2πi = 1 = e 0 . Поскольку свойство мультипликативности действительно для комплексной экспоненциальной функции, то e z = e z +2nπi для всех комплексных z и целых n . Логарифм не может быть определён на всей комплексной плоскости , и даже при этом он является многозначным - любой комплексный логарифм может быть заменён на «эквивалентный» логарифм, добавив любое целое число, кратное 2πi . Комплексный логарифм может быть однозначным только на срезе комплексной плоскости. Например, ln i = 1/2 πi или 5/2 πi или −3/2 πi , и т.д., и хотя i 4 = 1, 4 log i может быть определена как 2πi , или 10πi или −6 πi , и так далее. См. также
Примечания
Это может быть, например, калькулятор из базового набора программ операционной системы Windows. Ссылка на его запуск упрятана довольно в главное меню ОС - раскройте его щелчком по кнопке «Пуск», затем откройте его раздел «Программы», перейдите в подраздел «Стандартные», а затем в секцию «Служебные» и, наконец, щелкните пункт «Калькулятор». Можно вместо мыши и перемещений по меню использовать клавиатуру и диалог запуска программ - нажмите сочетание клавиш WIN + R, наберите calc (это имя исполняемого файла калькулятора) и нажмите клавишу Enter. Переключите интерфейс калькулятора в расширенный режим, позволяющий осуществлять . По умолчанию он открывается в «обычном» виде, а вам нужен «инженерный» или « » (в зависимости от версии используемой ОС). Раскройте в меню раздел «Вид» и выберите соответствующую строку. Введите аргумент, натуральный которого нужно вычислить. Это можно сделать как с клавиатуры, так и щелкая мышкой соответствующие кнопки в интерфейсе калькулятора на экране. Кликните кнопку с надписью ln - программа рассчитает логарифма по основанию e и покажет результат. Воспользуйтесь каким-либо из -калькуляторов в качестве альтернативного вычисления значения натурального логарифма. Например, тем, который размещен по адресу http://calc.org.ua . Его интерфейс предельно прост - есть единственное поле ввода, куда вам надо впечатать значение числа, логарифм от которого надо вычислить. Среди кнопок найдите и щелкните ту, на которой написано ln. Скрипт этого калькулятора не требует отправки данных на сервер и ответа, поэтому результат вычисления вы получите практически мгновенно. Единственная особенность, которую следует учитывать - разделителем между дробной и целой частью вводимого числа здесь обязательно должна быть точка, а не . Термин «логарифм » произошел от двух греческих слов, одно из которых обозначает «число», а другое - «отношение». Им обозначают математическую операцию вычисления переменной величины (показателя степени), в которую надо возвести постоянное значение (основание), чтобы получить число, указанное под знаком логарифм а. Если основание равно математической константе, называемое числом "e", то логарифм называют «натуральным». Вам понадобится
Инструкция Воспользуйтесь во множестве представленными в интернете -калькуляторами - это, пожалуй, и простой способ вычисления натурального а. Поиском соответствующего сервиса вам заниматься не придется, так как многие поисковые системы и сами имеют встроенные калькуляторы, вполне пригодные для работы с логарифм ами. Например, перейдите на главную страницу самого крупного сетевого поисковика - Google. Никаких кнопок для ввода значений и выбора функций здесь не потребуется, просто наберите в поле ввода запроса нужное математическое действие. Скажем, для вычисления логарифм а числа 457 по основанию "e" введите ln 457 - этого будет вполне достаточно, чтобы Google отобразил с точностью до восьми знаков после запятой (6,12468339) даже без нажатия кнопки отправки запроса на сервер. Используйте соответствующую встроенную функцию, если необходимость вычисления значения натурального логарифм а возникает при работе с данными в популярном табличном редакторе Microsoft Office Excel. Эта функция здесь вызывается с использованием общепринятого обозначения такого логарифм а в верхнем регистре - LN. Выделите ячейку, в которой должен быть отображен результат вычисления, и введите знак равенства - так в этом табличном редакторе должны начинаться записи в ячейках, содержащих в подразделе «Стандартные» раздела «Все программы» главного меню. Переключите калькулятор в более функциональный режим, нажав сочетание клавиш Alt + 2. Затем введите значение, натуральный логарифм которого требуется вычислить, и кликните в интерфейсе программы кнопку, обозначенную символами ln. Приложение произведет вычисление и отобразит результат. Видео по теме
Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в который нужно возвести число а чтобы получить число b. Если , то . Логарифм — крайне важная математическая величина , поскольку логарифмическое исчисление позволяет не только решать показательные уравнения, но и оперировать с показателями, дифференцировать показательные и логарифмические функции, интегрировать их и приводить к более приемлемому виду, подлежащему расчету. Вконтакте Все свойства логарифмов связаны напрямую со свойствами показательных функций. Например, тот факт, что означает, что: Следует заметить, что при решении конкретных задач, свойства логарифмов могут оказаться более важными и полезными, чем правила работы со степенями. Приведем некоторые тождества: Приведем основные алгебраические выражения: ; . Внимание! может существовать только при x>0, x≠1, y>0. Постараемся разобраться с вопросом, что такое натуральные логарифмы. Отдельный интерес в математике представляют два вида — первый имеет в основании число «10», и носит название «десятичный логарифм». Второй называется натуральным. Основание натурального логарифма — число «е». Именно о нем мы и будем детально говорить в этой статье. Обозначения:
Используя тождество можно увидеть, что ln e = 1, как и то, что lg 10=1. График натурального логарифмаПостроим график натурального логарифма стандартным классическим способом по точкам. При желании, проверить правильно ли мы строим функцию, можно при помощи исследования функции. Однако, есть смысл научится строить его «вручную», чтобы знать, как правильно посчитать логарифм. Функция: y = ln x. Запишем таблицу точек, через которые пройдет график: Поясним, почему мы выбрали именно такие значения аргумента х. Всё дело в тождестве: . Для натурального логарифма это тождество будет выглядеть таким образом: Для удобства мы можем взять пять опорных точек: ; ; . ; . Таким образом, подсчет натуральных логарифмов — довольно несложное занятие, более того, он упрощает подсчеты операций со степенями, превращая их в обычное умножение. Построив по точкам график, получаем приблизительный график: Область определения натурального логарифма (т.е. все допустимые значения аргумента Х) — все числа больше нуля. Внимание! В область определения натурального логарифма входят только положительные числа! В область определения не входит х=0. Это невозможно исходя из условий существования логарифма . Область значений (т.е. все допустимые значения функции y = ln x) — все числа в интервале . Предел натурального logИзучая график, возникает вопрос — как ведет себя функция при y<0. Очевидно, что график функции стремится пересечь ось у, но не сможет этого сделать, поскольку натуральный логарифм при х<0 не существует. Предел натурального log можно записать таким образом: Формула замены основания логарифмаИметь дело с натуральным логарифмом намного проще, чем с логарифмом, имеющим произвольное основание. Именно поэтому попробуем научиться приводить любой логарифм к натуральному, либо выражать его по произвольному основанию через натуральные логарифмы. Начнем с логарифмического тождества: Тогда любое число, либо переменную у можно представить в виде: где х — любое число (положительное согласно свойствам логарифма). Данное выражение можно прологарифмировать с обеих сторон. Произведем это при помощи произвольного основания z: Воспользуемся свойством (только вместо «с» у нас выражение): Отсюда получаем универсальную формулу: . В частности, если z=e, то тогда: . Нам удалось представить логарифм по произвольному основанию через отношение двух натуральных логарифмов. Решаем задачиДля того чтобы лучше ориентироваться в натуральных логарифмах, рассмотрим примеры нескольких задач. Задача 1 . Необходимо решить уравнение ln x = 3. Решение: Используя определение логарифма: если , то , получаем: Задача 2 . Решите уравнение (5 + 3 * ln (x — 3)) = 3. Решение: Используя определение логарифма: если , то , получаем: . Еще раз применим определение логарифма: . Таким образом: . Можно приближенно вычислить ответ, а можно оставить его и в таком виде. Задача 3. Решите уравнение . Решение: Произведем подстановку: t = ln x. Тогда уравнение примет следующий вид: . Перед нами квадратное уравнение. Найдем его дискриминант: Первый корень уравнения: . Второй корень уравнения: . Вспоминая о том, что мы производили подстановку t = ln x, получаем: В статистике и теории вероятности логарифмические величины встречаются очень часто. Это неудивительно, ведь число е — зачастую отражает темп роста экспоненциальных величин. В информатике, программировании и теории вычислительных машин, логарифмы встречаются довольно часто, например для того чтобы сохранить в памяти N понадобится битов. В теориях фракталов и размерностях логарифмы используются постоянно, поскольку размерности фракталов определяются только с их помощью. В механике и физике нет такого раздела, где не использовались логарифмы. Барометрическое распределение, все принципы статистической термодинамики, уравнение Циолковского и прочее — процессы, которые математически можно описать только при помощи логарифмирования. В химии логарифмирование используют в уравнениях Нернста, описаниях окислительно-восстановительных процессов. Поразительно, но даже в музыке, с целью узнать количество частей октавы, используют логарифмы. Натуральный логарифм Функция y=ln x ее свойства
Доказательство основного свойства натурального логарифма
|
Читайте: |
---|
Популярное:
Новое
- Цикл занятий "география для малышей"
- Интерактивный плакат к урокам окружающего мира подготовила гревцова светлана анатольевна учитель начальных классов мбоу сош с
- Творожная запеканка в мультиварке Диетические запеканки в мультиварке редмонд
- Ростбиф из телятины су-вид Пошаговый рецепт приготовления
- Вкусные рецепты кабачков с фаршем, тушеных в соусе и запеченных в духовке
- Грибной суп из подосиновиков
- Вкусный гарнир из цветной капусты - особенности приготовления, рецепты и отзывы
- Зеленые помидоры на зиму, простые рецепты вкусных зеленых помидор
- Салаты с кускусом — вкус, оригинальность и легкость водном блюде!
- Любовный гороскоп на декабрь водолей мужчина