Разделы сайта
Выбор редакции:
- Игры для развития речи Интересные игры по развитию речи
- Нижегородский государственный технический университет им
- Есенина: факультеты, специальности
- Фгбоу впо поволжский государственный технологический университет
- Трихомонадный кольпит: симптомы и лечение, причины и методы диагностики
- Причины и лечение трещин на ступнях
- Что такое цистаденома левого яичника
- Болезнь бехтерева признаки и лечение
- Эскадренные миноносцы ссср
- Нелюбимые корабли кайзера Флот Германской Империи в мире Царя Алексея Петровича
Реклама
Логарифмом положительного числа b по основанию a (a>0, a не равно 1) называют такое число с, что a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)        Обратите внимание: логарифм от неположительного числа не определен. Кроме того, в основании логарифма должно быть положительное число, не равное 1. Например, если мы возведем -2 в квадрат, получим число 4, но это не означает, что логарифм по основанию -2 от 4 равен 2. Основное логарифмическое тождествоa log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Важно, что области определения правой и левой частей этой формулы отличаются. Левая часть определена только при b>0, a>0 и a ≠ 1. Правая часть определена при любом b, а от a вообще не зависит. Таким образом, применение основного логарифмического "тождества" при решении уравнений и неравенств может привести к изменению ОДЗ. Два очевидных следствия определения логарифмаlog a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4) Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень - единицу. Логарифм произведения и логарифм частногоlog a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log
a
b
c
=
log
a
b −
log
a
c
(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)
(6)
Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании "слева направо" происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного - расширение ОДЗ. Действительно, выражение log a (f (x) g (x)) определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля. Преобразуя данное выражение в сумму log a f (x) + log a g (x) , мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6). Степень можно выносить за знак логарифмаlog a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример: Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x) Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть - только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени. Формула перехода к новому основаниюlog a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Тот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной. Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8): Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9) Несколько простых примеров с логарифмамиПример 1. Вычислите: lg2 + lg50. Пример 2. Вычислите: lg125/lg5. Таблица формул, связанных с логарифмами
График функции натурального логарифма. Функция медленно приближается к положительной бесконечности при увеличении x и быстро приближается к отрицательной бесконечности, когда x стремится к 0 («медленно» и «быстро» по сравнению с любой степенной функцией от x ). Натуральный логарифм - это логарифм по основанию , где e {\displaystyle e} - иррациональная константа, равная приблизительно 2,72. Он обозначается как ln x {\displaystyle \ln x} , log e x {\displaystyle \log _{e}x} или иногда просто log x {\displaystyle \log x} , если основание e {\displaystyle e} подразумевается . Другими словами, натуральный логарифм числа x - это показатель степени , в которую нужно возвести число e , чтобы получить x . Это определение можно расширить и на комплексные числа . ln e = 1 {\displaystyle \ln e=1} , потому что e 1 = e {\displaystyle e^{1}=e} ; ln 1 = 0 {\displaystyle \ln 1=0} , потому что e 0 = 1 {\displaystyle e^{0}=1} .Натуральный логарифм может быть также определён геометрически для любого положительного вещественного числа a как площадь под кривой y = 1 x {\displaystyle y={\frac {1}{x}}} на промежутке [ 1 ; a ] {\displaystyle } . Простота этого определения, которое согласуется со многими другими формулами, в которых применяется данный логарифм, объясняет происхождение названия «натуральный». Если рассматривать натуральный логарифм как вещественную функцию действительной переменной, то она является обратной функцией к экспоненциальной функции , что приводит к тождествам: e ln a = a (a > 0) ; {\displaystyle e^{\ln a}=a\quad (a>0);} ln e a = a (a > 0) . {\displaystyle \ln e^{a}=a\quad (a>0).}Подобно всем логарифмам, натуральный логарифм отображает умножение в сложение: ln x y = ln x + ln y . {\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.}Урок и презентация на темы: "Натуральные логарифмы. Основание натурального логарифма. Логарифм натурального числа"Дополнительные материалы
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Что такое натуральный логарифмРебята, на прошлом уроке мы с вами узнали новое, особенное число – е. Сегодня мы продолжим работать с этим числом.Мы с вами изучили логарифмы и знаем, что в основании логарифма может стоять множество чисел, которые больше 0. Сегодня мы также рассмотрим логарифм, в основании которого стоит число е. Такой логарифм принято называть натуральным логарифмом. У него есть собственная запись: $\ln{n}$ - натуральный логарифм. Такая запись эквивалентна записи: $\log_e{n}=\ln{n}$. Показательные и логарифмические функции являются обратными, тогда натуральный логарифм, является обратной для функции: $y=e^x$. Обратные функции являются симметричными относительно прямой $y=x$. Давайте построим график натурального логарифма, отразив экспоненциальную функцию относительно прямой $y=x$. Стоит заметить угол наклона касательной к графику функции $y=e^x$ в точке (0;1) равен 45°. Тогда угол наклона касательной к графику натурального логарифма в точке (1;0) также будет равен 45°. Обе эти касательные будут параллельны прямой $y=x$. Давайте схематично изобразим касательные:
Свойства функции $y=\ln{x}$1. $D(f)=(0;+∞)$.2. Не является ни четной, ни нечетной. 3. Возрастает на всей области определения. 4. Не ограничена сверху, не ограничена снизу. 5. Наибольшего значения нет, наименьшего значения нет. 6. Непрерывна. 7. $E(f)=(-∞; +∞)$. 8. Выпукла вверх. 9. Дифференцируема всюду. В курсе высшей математики доказано, что производная обратной функции есть величина, обратная производной данной функции
. Пример.
Пример. Англо-американская системаМатематики, статистики и часть инженеров обычно используют для обозначения натурального логарифма либо «log(x )», либо «ln(x )» , а для обозначения логарифма по основанию 10 - «log 10 (x )». Некоторые инженеры, биологи и другие специалисты всегда пишут «ln(x )» (или изредка «log e (x )»), когда они имеют в виду натуральный логарифм, а запись «log(x )» у них означает log 10 (x ). log e является «натуральным» логарифмом, поскольку он возникает автоматически и появляется в математике очень часто. Например, рассмотрим проблему производной логарифмической функции: Если основание b равно e , то производная равна просто 1/x , а при x = 1 эта производная равна 1. Другим обоснованием, по которому основание e логарифма является наиболее натуральным, является то, что он может быть довольно просто определён в терминах простого интеграла или ряда Тейлора , чего нельзя сказать о других логарифмах. Дальнейшие обоснования натуральности не связаны со счислением. Так, например, есть несколько простых рядов с натуральными логарифмами. Пьетро Менголи и Николай Меркатор называли их логарифмус натуралис несколько десятилетий до тех пор, пока Ньютон и Лейбниц не разработали дифференциальное и интегральное исчисление. ОпределениеФормально ln(a ) может быть определён как площадь под кривой графика 1/x от 1 до a , т. е. как интеграл : Это действительно логарифм, поскольку он удовлетворяет фундаментальному свойству логарифма: Это можно продемонстрировать, допуская следующим образом: Численное значениеДля расчета численного значения натурального логарифма числа можно использовать разложение его в ряд Тейлора в виде: Чтобы получить лучшую скорость сходимости, можно воспользоваться следующим тождеством: Для ln(x ), где x > 1, чем ближе значение x к 1, тем быстрее скорость сходимости. Тождества, связанные с логарифмом, можно использовать для достижения цели: Эти методы применялись ещё до появления калькуляторов, для чего использовались числовые таблицы и выполнялись манипуляции, аналогичные вышеописанным. Высокая точностьДля вычисления натурального логарифма с большим количеством цифр точности ряд Тейлора не является эффективным, поскольку его сходимость медленная. Альтернативой является использование метода Ньютона , чтобы инвертировать в экспоненциальную функцию, ряд которой сходится быстрее. Альтернативой для очень высокой точности расчёта является формула: где M обозначает арифметико-геометрическое среднее 1 и 4/s, и m выбрано так, что p знаков точности достигается. (В большинстве случаев значение 8 для m вполне достаточно.) В самом деле, если используется этот метод, может быть применена инверсия Ньютона натурального логарифма для эффективного вычисления экспоненциальной функции. (Константы ln 2 и пи могут быть предварительно вычислены до желаемой точности, используя любой из известных быстро сходящихся рядов.) Вычислительная сложностьВычислительная сложность натуральных логарифмов (с помощью арифметико-геометрического среднего) равна O(M (n ) ln n ). Здесь n - число цифр точности, для которой натуральный логарифм должен быть оценен, а M (n ) - вычислительная сложность умножения двух n -значных чисел. Непрерывные дробиХотя для представления логарифма отсутствуют простые непрерывные дроби , но можно использовать несколько обобщённых непрерывных дробей, в том числе: Комплексные логарифмыЭкспоненциальная функция может быть расширена до функции, которая даёт комплексное число вида e x для любого произвольного комплексного числа x , при этом используется бесконечный ряд с комплексным x . Эта показательная функция может быть инвертирована с образованием комплексного логарифма, который будет обладать большей частью свойств обычных логарифмов. Есть, однако, две трудности: не существует x , для которого e x = 0, и оказывается, что e 2πi = 1 = e 0 . Поскольку свойство мультипликативности действительно для комплексной экспоненциальной функции, то e z = e z +2nπi для всех комплексных z и целых n . Логарифм не может быть определён на всей комплексной плоскости , и даже при этом он является многозначным - любой комплексный логарифм может быть заменён на «эквивалентный» логарифм, добавив любое целое число, кратное 2πi . Комплексный логарифм может быть однозначным только на срезе комплексной плоскости. Например, ln i = 1/2 πi или 5/2 πi или −3/2 πi , и т.д., и хотя i 4 = 1, 4 log i может быть определена как 2πi , или 10πi или −6 πi , и так далее. ![]() См. также
Примечания
|
Читайте: |
---|
Популярное:
Уроки практической медитации Ошо для начинающих![]() |
Новое
- Нижегородский государственный технический университет им
- Есенина: факультеты, специальности
- Фгбоу впо поволжский государственный технологический университет
- Трихомонадный кольпит: симптомы и лечение, причины и методы диагностики
- Причины и лечение трещин на ступнях
- Что такое цистаденома левого яичника
- Болезнь бехтерева признаки и лечение
- Эскадренные миноносцы ссср
- Нелюбимые корабли кайзера Флот Германской Империи в мире Царя Алексея Петровича
- ВМФ США. Состав ВМФ США. Базы ВМФ США. ВМС США: организация и боевой состав Корабельный состав вмс