Ang ratio ng kabaligtaran sa hypotenuse ay tinatawag sinus ng isang matinding anggulo kanang tatsulok.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Cosine ng isang matinding anggulo ng isang right triangle

Ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse ay tinatawag cosine ng isang matinding anggulo kanang tatsulok.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Tangent ng isang matinding anggulo ng isang right triangle

Ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi ay tinatawag padaplis ng isang matinding anggulo kanang tatsulok.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Cotangent ng isang matinding anggulo ng isang right triangle

Ang ratio ng katabing bahagi sa kabilang panig ay tinatawag cotangent ng isang matinding anggulo kanang tatsulok.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Sine ng isang arbitrary na anggulo

Ang ordinate ng isang punto sa bilog ng yunit kung saan ang anggulo \alpha ay tumutugma ay tinatawag sine ng isang arbitrary na anggulo pag-ikot \ alpha .

\sin \alpha=y

Cosine ng isang arbitrary na anggulo

Ang abscissa ng isang punto sa bilog ng yunit kung saan ang anggulo \alpha ay tumutugma ay tinatawag cosine ng isang arbitrary na anggulo pag-ikot \ alpha .

\cos \alpha=x

Tangent ng isang arbitrary na anggulo

Tinatawag ang ratio ng sine ng isang arbitrary rotation angle \alpha sa cosine nito padaplis ng isang arbitrary na anggulo pag-ikot \ alpha .

tan \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Cotangent ng isang arbitrary na anggulo

Tinatawag ang ratio ng cosine ng isang arbitrary rotation angle \alpha sa sine nito cotangent ng isang arbitrary na anggulo pag-ikot \ alpha .

ctg\alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Isang halimbawa ng paghahanap ng isang arbitrary na anggulo

Kung ang \alpha ay ilang anggulo na AOM, kung saan ang M ay isang punto ng bilog ng yunit, kung gayon

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Halimbawa, kung \angle AOM = -\frac(\pi)(4), pagkatapos: ang ordinate ng point M ay katumbas ng -\frac(\sqrt(2))(2), ang abscissa ay katumbas ng \frac(\sqrt(2))(2) at dahil jan

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

Talaan ng mga halaga ng mga sine ng cosine ng tangents ng cotangents

Ang mga halaga ng mga pangunahing madalas na nagaganap na mga anggulo ay ibinibigay sa talahanayan:

Sisimulan natin ang ating pag-aaral ng trigonometry gamit ang tamang tatsulok. Tukuyin natin kung ano ang sine at cosine, pati na rin ang tangent at cotangent ng isang matinding anggulo. Ito ang mga pangunahing kaalaman sa trigonometrya.

Paalalahanan ka namin tamang anggulo ay isang anggulo na katumbas ng 90 degrees. Sa madaling salita, kalahating naka-anggulo.

Matalim na sulok- mas mababa sa 90 degrees.

Madilim na anggulo- higit sa 90 degrees. Kaugnay ng ganoong anggulo, ang "obtuse" ay hindi isang insulto, ngunit isang mathematical term :-)

Gumuhit tayo ng tamang tatsulok. Ang tamang anggulo ay karaniwang tinutukoy ng . Pakitandaan na ang gilid sa tapat ng sulok ay ipinahiwatig ng parehong titik, maliit lamang. Kaya, ang gilid na kabaligtaran ng anggulo A ay itinalaga .

Ang anggulo ay tinutukoy ng katumbas na titik ng Griyego.

Hypotenuse ng isang kanang tatsulok ay ang gilid na kabaligtaran tamang anggulo.

Mga binti- mga gilid na nakahiga sa tapat ng mga talamak na anggulo.

Ang binti na nakahiga sa tapat ng anggulo ay tinatawag kabaligtaran(kamag-anak sa anggulo). Ang kabilang binti, na namamalagi sa isa sa mga gilid ng anggulo, ay tinatawag katabi.

Sinus Ang talamak na anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa hypotenuse:

Cosine talamak na anggulo sa isang kanang tatsulok - ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse:

Tangent talamak na anggulo sa isang kanang tatsulok - ang ratio ng kabaligtaran sa katabi:

Isa pang (katumbas) na kahulugan: ang tangent ng isang matinding anggulo ay ang ratio ng sine ng anggulo sa cosine nito:

Cotangent talamak na anggulo sa isang kanang tatsulok - ang ratio ng katabing bahagi sa kabaligtaran (o, na pareho, ang ratio ng cosine sa sine):

Pansinin ang mga pangunahing ugnayan para sa sine, cosine, tangent, at cotangent sa ibaba. Magiging kapaki-pakinabang ang mga ito sa atin kapag nilulutas ang mga problema.

Patunayan natin ang ilan sa kanila.

Okay, nagbigay kami ng mga kahulugan at nakasulat na mga formula. Ngunit bakit kailangan pa rin natin ang sine, cosine, tangent at cotangent?

Alam natin yan ang kabuuan ng mga anggulo ng anumang tatsulok ay katumbas ng.

Alam namin ang relasyon sa pagitan mga partido kanang tatsulok. Ito ang Pythagorean theorem: .

Ito ay lumiliko na ang pag-alam ng dalawang anggulo sa isang tatsulok, maaari mong mahanap ang pangatlo. Ang pag-alam sa dalawang panig ng isang tamang tatsulok, mahahanap mo ang pangatlo. Nangangahulugan ito na ang mga anggulo ay may sariling ratio, at ang mga panig ay may sariling ratio. Ngunit ano ang dapat mong gawin kung sa isang tamang tatsulok alam mo ang isang anggulo (maliban sa tamang anggulo) at isang gilid, ngunit kailangan mong hanapin ang iba pang mga panig?

Ito ang nakatagpo ng mga tao noon sa paggawa ng mga mapa ng lugar at ng mabituing kalangitan. Pagkatapos ng lahat, hindi laging posible na direktang sukatin ang lahat ng panig ng isang tatsulok.

Sine, cosine at tangent - tinatawag din sila trigonometriko anggulo function- magbigay ng mga relasyon sa pagitan mga partido At mga sulok tatsulok. Alam ang anggulo, mahahanap mo ang lahat ng trigonometriko na pag-andar nito gamit ang mga espesyal na talahanayan. At ang pag-alam sa mga sine, cosine at tangent ng mga anggulo ng isang tatsulok at isa sa mga gilid nito, mahahanap mo ang natitira.

Gumuhit din kami ng isang talahanayan ng mga halaga ng sine, cosine, tangent at cotangent para sa "magandang" anggulo mula hanggang.

Pakitandaan ang dalawang pulang gitling sa talahanayan. Sa naaangkop na mga halaga ng anggulo, ang tangent at cotangent ay hindi umiiral.

Tingnan natin ang ilang problema sa trigonometrya mula sa FIPI Task Bank.

1. Sa isang tatsulok, ang anggulo ay , . Hanapin ang .

Ang problema ay malulutas sa loob ng apat na segundo.

Dahil ang , .

2. Sa isang tatsulok, ang anggulo ay , , . Hanapin ang .

Hanapin natin ito gamit ang Pythagorean theorem.

Ang problema ay nalutas.

Kadalasan sa mga problema ay may mga tatsulok na may mga anggulo at o may mga anggulo at. Alalahanin ang mga pangunahing ratio para sa kanila sa pamamagitan ng puso!

Para sa isang tatsulok na may mga anggulo at ang binti sa tapat ng anggulo sa ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse.

Isang tatsulok na may mga anggulo at isosceles. Sa loob nito, ang hypotenuse ay beses na mas malaki kaysa sa binti.

Tiningnan namin ang mga problema sa paglutas ng mga tamang tatsulok - iyon ay, paghahanap ng mga hindi kilalang panig o anggulo. Ngunit hindi lang iyon! SA Mga opsyon sa Pinag-isang State Exam sa matematika maraming problema kung saan lumalabas ang sine, cosine, tangent o cotangent ng panlabas na anggulo ng isang tatsulok. Higit pa tungkol dito sa susunod na artikulo.

Ang isa sa mga larangan ng matematika na higit na pinaghihirapan ng mga estudyante ay ang trigonometry. Hindi nakakagulat: upang malayang makabisado ang lugar na ito ng kaalaman, kailangan mo ng spatial na pag-iisip, ang kakayahang makahanap ng mga sine, cosine, tangent, cotangent gamit ang mga formula, gawing simple ang mga expression, at magamit ang numerong pi sa mga kalkulasyon. Bilang karagdagan, kailangan mong magamit ang trigonometry kapag nagpapatunay ng mga theorems, at nangangailangan ito ng alinman sa isang binuo na memorya ng matematika o ang kakayahang makakuha ng mga kumplikadong lohikal na chain.

Pinagmulan ng trigonometrya

Ang pagkilala sa agham na ito ay dapat magsimula sa kahulugan ng sine, cosine at tangent ng isang anggulo, ngunit kailangan mo munang maunawaan kung ano ang ginagawa ng trigonometry sa pangkalahatan.

Sa kasaysayan, ang pangunahing bagay ng pag-aaral sa seksyong ito agham ng matematika ay mga tamang tatsulok. Ang pagkakaroon ng isang anggulo ng 90 degrees ay ginagawang posible na magsagawa ng iba't ibang mga operasyon na nagpapahintulot sa isa na matukoy ang mga halaga ng lahat ng mga parameter ng figure na pinag-uusapan gamit ang dalawang panig at isang anggulo o dalawang anggulo at isang gilid. Noong nakaraan, napansin ng mga tao ang pattern na ito at nagsimulang aktibong gamitin ito sa pagtatayo ng mga gusali, nabigasyon, astronomiya at maging sa sining.

Unang yugto

Sa una, pinag-uusapan ng mga tao ang ugnayan sa pagitan ng mga anggulo at panig nang eksklusibo gamit ang halimbawa ng mga tamang tatsulok. Pagkatapos ay natuklasan ang mga espesyal na formula na naging posible upang mapalawak ang mga hangganan ng paggamit sa Araw-araw na buhay ang sangay na ito ng matematika.

Ang pag-aaral ng trigonometrya sa paaralan ngayon ay nagsisimula sa mga tamang tatsulok, pagkatapos ay ginagamit ng mga mag-aaral ang nakuhang kaalaman sa pisika at paglutas ng mga abstract na trigonometric equation, na nagsisimula sa mataas na paaralan.

Spherical trigonometrya

Nang maglaon, nang maabot ng agham ang susunod na antas ng pag-unlad, ang mga formula na may sine, cosine, tangent, at cotangent ay nagsimulang gamitin sa spherical geometry, kung saan iba't ibang mga panuntunan ang nalalapat, at ang kabuuan ng mga anggulo sa isang tatsulok ay palaging higit sa 180 degrees. Ang seksyon na ito ay hindi pinag-aaralan sa paaralan, ngunit kailangang malaman ang tungkol sa pagkakaroon nito kahit man lang dahil ibabaw ng lupa, at ang ibabaw ng alinmang planeta ay matambok, na nangangahulugan na ang anumang marka sa ibabaw ay magiging "hugis arko" sa tatlong-dimensional na espasyo.

Kunin ang globo at ang thread. Ikabit ang sinulid sa alinmang dalawang punto sa globo upang ito ay mahigpit. Mangyaring tandaan - ito ay kinuha sa hugis ng isang arko. Ang spherical geometry ay tumatalakay sa mga ganitong anyo, na ginagamit sa geodesy, astronomy at iba pang teoretikal at inilapat na larangan.

Kanang tatsulok

Ang pagkakaroon ng natutunan ng kaunti tungkol sa mga paraan ng paggamit ng trigonometrya, bumalik tayo sa pangunahing trigonometrya upang higit na maunawaan kung ano ang sine, cosine, tangent, anong mga kalkulasyon ang maaaring gawin sa kanilang tulong at kung anong mga formula ang gagamitin.

Ang unang hakbang ay upang maunawaan ang mga konsepto na nauugnay sa isang tamang tatsulok. Una, ang hypotenuse ay ang gilid sa tapat ng 90 degree na anggulo. Ito ang pinakamahaba. Naaalala namin na ayon sa Pythagorean theorem, ang numerical value nito ay katumbas ng ugat ng kabuuan ng mga parisukat ng iba pang dalawang panig.

Halimbawa, kung ang dalawang panig ay 3 at 4 na sentimetro ayon sa pagkakabanggit, ang haba ng hypotenuse ay magiging 5 sentimetro. Sa pamamagitan ng paraan, alam ng mga sinaunang Egyptian ang tungkol dito mga apat at kalahating libong taon na ang nakalilipas.

Ang dalawang natitirang panig, na bumubuo ng isang tamang anggulo, ay tinatawag na mga binti. Bilang karagdagan, dapat nating tandaan na ang kabuuan ng mga anggulo sa isang tatsulok sa isang rectangular coordinate system ay katumbas ng 180 degrees.

Kahulugan

Sa wakas, na may matatag na pag-unawa sa geometric na batayan, ang isa ay maaaring bumaling sa kahulugan ng sine, cosine at tangent ng isang anggulo.

Ang sine ng isang anggulo ay ang ratio ng kabaligtaran na binti (i.e., ang gilid sa tapat ng nais na anggulo) sa hypotenuse. Ang cosine ng isang anggulo ay ang ratio ng katabing gilid sa hypotenuse.

Tandaan na alinman sa sine o cosine ay hindi maaaring mas malaki sa isa! Bakit? Dahil ang hypotenuse ay bilang default ang pinakamahaba. Kahit gaano kahaba ang binti, ito ay magiging mas maikli kaysa sa hypotenuse, na nangangahulugang ang kanilang ratio ay palaging mas mababa sa isa. Kaya, kung sa iyong sagot sa isang problema ay nakakuha ka ng sine o cosine na may halagang higit sa 1, maghanap ng error sa mga kalkulasyon o pangangatwiran. Malinaw na mali ang sagot na ito.

Sa wakas, ang tangent ng isang anggulo ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi. Ang paghahati ng sine sa cosine ay magbibigay ng parehong resulta. Tingnan: ayon sa formula, hinahati namin ang haba ng gilid sa hypotenuse, pagkatapos ay hatiin sa haba ng pangalawang panig at i-multiply sa hypotenuse. Kaya, nakukuha namin ang parehong relasyon tulad ng sa kahulugan ng tangent.

Ang Cotangent, nang naaayon, ay ang ratio ng gilid na katabi ng sulok sa kabaligtaran. Nakukuha namin ang parehong resulta sa pamamagitan ng paghahati ng isa sa tangent.

Kaya, tiningnan natin ang mga kahulugan kung ano ang sine, cosine, tangent at cotangent, at maaari tayong lumipat sa mga formula.

Ang pinakasimpleng mga formula

Sa trigonometrya hindi mo magagawa nang walang mga formula - kung paano makahanap ng sine, cosine, tangent, cotangent nang wala sila? Ngunit ito mismo ang kinakailangan kapag nilutas ang mga problema.

Ang unang formula na kailangan mong malaman kapag nagsisimula sa pag-aaral ng trigonometrya ay nagsasabi na ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine ng isang anggulo ay katumbas ng isa. Ang formula na ito ay direktang kinahinatnan ng Pythagorean theorem, ngunit nakakatipid ito ng oras kung kailangan mong malaman ang laki ng anggulo kaysa sa gilid.

Hindi matandaan ng maraming estudyante ang pangalawang pormula, na napakapopular din kapag nilulutas ang mga problema sa paaralan: ang kabuuan ng isa at ang parisukat ng tangent ng isang anggulo ay katumbas ng isa na hinati sa parisukat ng cosine ng anggulo. Tingnang mabuti: ito ay ang parehong pahayag tulad ng sa unang pormula, tanging ang magkabilang panig ng pagkakakilanlan ang hinati sa parisukat ng cosine. Lumalabas na ang isang simpleng mathematical operation ay ginagawang ganap na hindi nakikilala ang trigonometriko formula. Tandaan: ang pag-alam kung ano ang sine, cosine, tangent at cotangent, mga panuntunan sa pagbabagong-anyo at ilang mga pangunahing formula, maaari mong makuha anumang oras ang kinakailangang mas kumplikadong mga formula sa isang sheet ng papel.

Mga formula para sa dobleng anggulo at pagdaragdag ng mga argumento

Dalawang higit pang mga formula na kailangan mong matutunan ay nauugnay sa mga halaga ng sine at cosine para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga anggulo. Ang mga ito ay ipinakita sa figure sa ibaba. Pakitandaan na sa unang kaso, ang sine at cosine ay pinarami ng parehong beses, at sa pangalawa, ang pairwise na produkto ng sine at cosine ay idinagdag.

Mayroon ding mga formula na nauugnay sa mga argumento ng double angle. Ganap na hinango ang mga ito mula sa mga nauna - bilang kasanayan, subukang kunin ang mga ito sa pamamagitan ng pagkuha ng alpha angle na katumbas ng beta angle.

Panghuli, tandaan na ang mga formula ng dobleng anggulo ay maaaring muling ayusin upang mabawasan ang kapangyarihan ng sine, cosine, tangent alpha.

Theorems

Ang dalawang pangunahing teorema sa pangunahing trigonometrya ay ang sine theorem at ang cosine theorem. Sa tulong ng mga theorems na ito, madali mong maunawaan kung paano hanapin ang sine, cosine at tangent, at samakatuwid ang lugar ng figure, at ang laki ng bawat panig, atbp.

Ang sine theorem ay nagsasaad na ang paghahati sa haba ng bawat panig ng isang tatsulok sa kabaligtaran na anggulo ay nagreresulta sa parehong numero. Bukod dito, ang numerong ito ay magiging katumbas ng dalawang radii ng circumscribed na bilog, iyon ay, ang bilog na naglalaman ng lahat ng mga punto ng isang naibigay na tatsulok.

Ang cosine theorem ay nagsa-generalize ng Pythagorean theorem, na ipinapalabas ito sa anumang mga tatsulok. Lumalabas na mula sa kabuuan ng mga parisukat ng dalawang panig, ibawas ang kanilang produkto na pinarami ng double cosine ng katabing anggulo - ang resultang halaga ay magiging katumbas ng parisukat ng ikatlong panig. Kaya, ang Pythagorean theorem ay lumalabas na isang espesyal na kaso ng cosine theorem.

Walang ingat na pagkakamali

Kahit na alam kung ano ang sine, cosine at tangent, madaling magkamali dahil sa kawalan ng pag-iisip o pagkakamali sa pinakasimpleng mga kalkulasyon. Upang maiwasan ang gayong mga pagkakamali, tingnan natin ang mga pinakasikat.

Una, hindi mo dapat i-convert ang mga fraction sa mga decimal hanggang makuha mo ang huling resulta - maaari mong iwanan ang sagot bilang karaniwang fraction, maliban kung iba ang nakasaad sa mga kundisyon. Ang ganitong pagbabago ay hindi matatawag na isang pagkakamali, ngunit dapat itong alalahanin na sa bawat yugto ng problema ay maaaring lumitaw ang mga bagong ugat, na, ayon sa ideya ng may-akda, ay dapat mabawasan. Sa kasong ito, mag-aaksaya ka ng iyong oras sa hindi kinakailangang mga pagpapatakbo ng matematika. Ito ay totoo lalo na para sa mga halaga tulad ng ugat ng tatlo o ugat ng dalawa, dahil matatagpuan ang mga ito sa mga problema sa bawat hakbang. Ang parehong napupunta para sa pag-round ng "pangit" na mga numero.

Dagdag pa, tandaan na ang cosine theorem ay nalalapat sa anumang tatsulok, ngunit hindi ang Pythagorean theorem! Kung nagkamali kang nakalimutan na ibawas nang dalawang beses ang produkto ng mga panig na pinarami ng cosine ng anggulo sa pagitan nila, hindi ka lamang makakakuha ng isang ganap na maling resulta, ngunit magpapakita ka rin ng isang kumpletong kakulangan ng pag-unawa sa paksa. Ito ay mas masahol pa sa isang walang ingat na pagkakamali.

Pangatlo, huwag malito ang mga halaga para sa mga anggulo ng 30 at 60 degrees para sa mga sine, cosine, tangent, cotangent. Tandaan ang mga halagang ito, dahil ang sine ng 30 degrees ay katumbas ng cosine ng 60, at vice versa. Madaling malito ang mga ito, bilang isang resulta kung saan hindi mo maaaring hindi makakuha ng isang maling resulta.

Aplikasyon

Maraming mga mag-aaral ang hindi nagmamadaling magsimulang mag-aral ng trigonometrya dahil hindi nila naiintindihan ang praktikal na kahulugan nito. Ano ang sine, cosine, tangent para sa isang engineer o astronomer? Ito ang mga konsepto kung saan maaari mong kalkulahin ang distansya sa malalayong bituin, mahulaan ang pagbagsak ng isang meteorite, o magpadala ng isang research probe sa ibang planeta. Kung wala ang mga ito, imposibleng magtayo ng isang gusali, magdisenyo ng kotse, kalkulahin ang pagkarga sa isang ibabaw o ang tilapon ng isang bagay. At ito ang mga pinaka-halatang halimbawa! Pagkatapos ng lahat, ang trigonometrya sa isang anyo o iba pa ay ginagamit sa lahat ng dako, mula sa musika hanggang sa medisina.

Sa wakas

Kaya ikaw ay sine, cosine, tangent. Maaari mong gamitin ang mga ito sa mga kalkulasyon at matagumpay na malutas ang mga problema sa paaralan.

Ang buong punto ng trigonometrya ay bumaba sa katotohanan na ang paggamit ng mga kilalang parameter ng isang tatsulok ay kailangan mong kalkulahin ang mga hindi alam. Mayroong anim na mga parameter sa kabuuan: ang haba ng tatlong panig at ang laki ng tatlong anggulo. Ang tanging pagkakaiba sa mga gawain ay nakasalalay sa katotohanan na ang iba't ibang data ng pag-input ay ibinigay.

Alam mo na ngayon kung paano maghanap ng sine, cosine, tangent batay sa mga kilalang haba ng mga binti o hypotenuse. Dahil ang mga terminong ito ay nangangahulugang isang ratio, at ang ratio ay isang fraction, pangunahing layunin Ang problemang trigonometriko ay nagiging paghahanap ng mga ugat ng isang ordinaryong equation o isang sistema ng mga equation. At dito matutulungan ka ng regular na matematika ng paaralan.

Sa artikulong ito ipapakita namin kung paano magbigay mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo at numero sa trigonometry. Dito ay pag-uusapan natin ang tungkol sa mga notasyon, magbigay ng mga halimbawa ng mga entry, at magbibigay ng mga graphic na ilustrasyon. Sa konklusyon, gumuhit tayo ng parallel sa pagitan ng mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent sa trigonometry at geometry.

Pag-navigate sa pahina.

Kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent

Tingnan natin kung paano nabuo ang ideya ng sine, cosine, tangent at cotangent sa isang kurso sa matematika ng paaralan. Sa mga aralin sa geometry, ibinibigay ang kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang acute angle sa isang right triangle. At sa paglaon ay pinag-aralan ang trigonometrya, na pinag-uusapan ang tungkol sa sine, cosine, tangent at cotangent ng anggulo ng pag-ikot at numero. Ilahad natin ang lahat ng mga kahulugang ito, magbigay ng mga halimbawa at magbigay ng mga kinakailangang komento.

Talamak na anggulo sa isang tamang tatsulok

Mula sa kursong geometry alam natin ang mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang acute angle sa isang right triangle. Ang mga ito ay ibinibigay bilang ratio ng mga gilid ng isang tamang tatsulok. Ibigay natin ang kanilang mga formulations.

Kahulugan.

Sine ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa hypotenuse.

Kahulugan.

Cosine ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse.

Kahulugan.

Tangent ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok– ito ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi.

Kahulugan.

Cotangent ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok- ito ang ratio ng katabing bahagi sa kabaligtaran.

Ang mga pagtatalaga para sa sine, cosine, tangent at cotangent ay ipinakilala din doon - sin, cos, tg at ctg, ayon sa pagkakabanggit.

Halimbawa, kung ang ABC ay isang tamang tatsulok na may tamang anggulo C, kung gayon ang sine ng matinding anggulo A ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na bahagi BC sa hypotenuse AB, iyon ay, sin∠A=BC/AB.

Ang mga kahulugan na ito ay nagpapahintulot sa iyo na kalkulahin ang mga halaga ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang matinding anggulo mula sa kilalang haba ng mga gilid ng isang right triangle, pati na rin mula sa kilalang halaga hanapin ang mga haba ng iba pang panig gamit ang sine, cosine, tangent, cotangent at ang haba ng isa sa mga gilid. Halimbawa, kung alam natin na sa isang right triangle ang leg AC ay katumbas ng 3 at ang hypotenuse AB ay katumbas ng 7, pagkatapos ay maaari nating kalkulahin ang halaga ng cosine ng acute angle A sa pamamagitan ng kahulugan: cos∠A=AC/ AB=3/7.

Anggulo ng pag-ikot

Sa trigonometrya, sinimulan nilang tingnan ang anggulo nang mas malawak - ipinakilala nila ang konsepto ng anggulo ng pag-ikot. Ang magnitude ng anggulo ng pag-ikot, hindi tulad ng isang matinding anggulo, ay hindi limitado sa 0 hanggang 90 degrees; ang anggulo ng pag-ikot sa mga degree (at sa radians) ay maaaring ipahayag ng anumang tunay na numero mula −∞ hanggang +∞.

Sa ganitong liwanag, ang mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ay ibinibigay hindi ng isang matinding anggulo, ngunit ng isang anggulo ng di-makatwirang laki - ang anggulo ng pag-ikot. Ibinibigay ang mga ito sa pamamagitan ng x at y coordinates ng point A 1, kung saan ang tinatawag na starting point A(1, 0) ay napupunta pagkatapos ng pag-ikot nito sa pamamagitan ng isang anggulo α sa paligid ng point O - ang simula ng rectangular Cartesian coordinate system at ang gitna ng bilog na yunit.

Kahulugan.

Sine ng anggulo ng pag-ikot Ang α ay ang ordinate ng point A 1, iyon ay, sinα=y.

Kahulugan.

Cosine ng anggulo ng pag-ikot Ang α ay tinatawag na abscissa ng punto A 1, iyon ay, cosα=x.

Kahulugan.

Tangent ng anggulo ng pag-ikot Ang α ay ang ratio ng ordinate ng point A 1 sa abscissa nito, iyon ay, tanα=y/x.

Kahulugan.

Cotangent ng anggulo ng pag-ikot Ang α ay ang ratio ng abscissa ng point A 1 sa ordinate nito, iyon ay, ctgα=x/y.

Ang sine at cosine ay tinukoy para sa anumang anggulo α, dahil palagi nating matutukoy ang abscissa at ordinate ng punto, na nakukuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng panimulang punto sa pamamagitan ng anggulo α. Ngunit ang tangent at cotangent ay hindi tinukoy para sa anumang anggulo. Ang tangent ay hindi tinukoy para sa mga anggulo α kung saan ang panimulang punto ay papunta sa isang puntong may zero abscissa (0, 1) o (0, −1), at ito ay nangyayari sa mga anggulo 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). Sa katunayan, sa ganitong mga anggulo ng pag-ikot, ang expression na tgα=y/x ay walang katuturan, dahil naglalaman ito ng dibisyon sa pamamagitan ng zero. Tulad ng para sa cotangent, hindi ito tinukoy para sa mga anggulo α kung saan ang panimulang punto ay papunta sa punto na may zero ordinate (1, 0) o (−1, 0), at ito ay nangyayari para sa mga anggulo na 180° k, k ∈Z (π·k rad).

Kaya, ang sine at cosine ay tinukoy para sa anumang mga anggulo ng pag-ikot, ang tangent ay tinukoy para sa lahat ng mga anggulo maliban sa 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), at ang cotangent ay tinukoy para sa lahat ng mga anggulo maliban sa 180° ·k , k∈Z (π·k rad).

Kasama sa mga kahulugan ang mga pagtatalaga na alam na natin na sin, cos, tg at ctg, ginagamit din ang mga ito upang italaga ang sine, cosine, tangent at cotangent ng anggulo ng pag-ikot (kung minsan ay makikita mo ang mga pagtatalaga na tan at cot na tumutugma sa tangent at cotangent) . Kaya ang sine ng isang anggulo ng pag-ikot na 30 degrees ay maaaring isulat bilang sin30°, ang mga entry na tg(−24°17′) at ctgα ay tumutugma sa tangent ng anggulo ng pag-ikot −24 degrees 17 minuto at ang cotangent ng anggulo ng pag-ikot α . Alalahanin na kapag isinusulat ang radian na sukat ng isang anggulo, ang pagtatalaga na "rad" ay madalas na tinanggal. Halimbawa, ang cosine ng isang anggulo ng pag-ikot ng tatlong pi rad ay karaniwang tinutukoy na cos3·π.

Sa pagtatapos ng puntong ito, nararapat na tandaan na kapag pinag-uusapan ang tungkol sa sine, cosine, tangent at cotangent ng anggulo ng pag-ikot, ang pariralang "anggulo ng pag-ikot" o ang salitang "pag-ikot" ay madalas na tinanggal. Ibig sabihin, sa halip na ang pariralang "sine ng anggulo ng pag-ikot alpha," ang pariralang "sine ng alpha angle" o mas maikli pa, "sine alpha," ay karaniwang ginagamit. Ang parehong naaangkop sa cosine, tangent, at cotangent.

Sasabihin din natin na ang mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang acute angle sa isang right triangle ay pare-pareho sa mga kahulugan na ibinigay lamang para sa sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo ng pag-ikot mula 0 hanggang 90 degrees. Bibigyan natin ng katwiran ito.

Numero

Kahulugan.

Sine, cosine, tangent at cotangent ng isang numero Ang t ay isang numero na katumbas ng sine, cosine, tangent at cotangent ng anggulo ng pag-ikot sa t radians, ayon sa pagkakabanggit.

Halimbawa, ang cosine ng numerong 8·π ayon sa kahulugan ay isang numerong katumbas ng cosine ng anggulo ng 8·π rad. At ang cosine ng isang anggulo ng 8·π rad ay katumbas ng isa, samakatuwid, ang cosine ng numerong 8·π ay katumbas ng 1.

May isa pang diskarte sa pagtukoy ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang numero. Binubuo ito sa katotohanan na ang bawat tunay na numero t ay nauugnay sa isang punto sa bilog ng yunit na may sentro sa pinanggalingan ng rectangular coordinate system, at ang sine, cosine, tangent at cotangent ay tinutukoy sa pamamagitan ng mga coordinate ng puntong ito. Tingnan natin ito nang mas detalyado.

Ipakita natin kung paano naitatag ang isang sulat sa pagitan ng mga tunay na numero at mga punto sa isang bilog:

• ang numero 0 ay itinalaga ang panimulang punto A(1, 0);
• ang positibong numerong t ay nauugnay sa isang punto sa bilog ng yunit, na mapupuntahan natin kung lilipat tayo sa bilog mula sa panimulang punto sa pakaliwa na direksyon at tahakin natin ang landas haba t;
• ang negatibong numerong t ay nauugnay sa isang punto sa bilog ng yunit, na mapupuntahan natin kung lilipat tayo sa bilog mula sa panimulang punto sa direksyong pakanan at lalakad sa landas na may haba |t| .

Ngayon ay lumipat tayo sa mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng numerong t. Ipagpalagay natin na ang numerong t ay tumutugma sa isang punto sa bilog na A 1 (x, y) (halimbawa, ang numerong &pi/2; ay tumutugma sa puntong A 1 (0, 1) ).

Kahulugan.

Sine ng numero Ang t ay ang ordinate ng punto sa bilog ng yunit na tumutugma sa bilang na t, iyon ay, sint=y.

Kahulugan.

Cosine ng numero Ang t ay tinatawag na abscissa ng punto ng bilog na yunit na tumutugma sa bilang na t, iyon ay, gastos=x.

Kahulugan.

Tangent ng numero Ang t ay ang ratio ng ordinate sa abscissa ng isang punto sa bilog ng yunit na naaayon sa bilang na t, iyon ay, tgt=y/x. Sa isa pang katumbas na pagbabalangkas, ang tangent ng isang numero t ay ang ratio ng sine ng numerong ito sa cosine, iyon ay, tgt=sint/cost.

Kahulugan.

Cotangent ng numero Ang t ay ang ratio ng abscissa sa ordinate ng isang punto sa bilog ng yunit na naaayon sa numerong t, iyon ay, ctgt=x/y. Ang isa pang pormulasyon ay ito: ang tangent ng numerong t ay ang ratio ng cosine ng numerong t sa sine ng numerong t: ctgt=cost/sint.

Dito ay napapansin natin na ang mga katuturang ibinigay ay naaayon sa kahulugang ibinigay sa simula ng talatang ito. Sa katunayan, ang punto sa bilog ng yunit na tumutugma sa numerong t ay tumutugma sa puntong nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng panimulang punto sa pamamagitan ng isang anggulo ng t radian.

Ito ay nagkakahalaga pa ring linawin ang puntong ito. Sabihin nating mayroon tayong entry na sin3. Paano natin mauunawaan kung pinag-uusapan natin ang sine ng numero 3 o ang sine ng anggulo ng pag-ikot ng 3 radians? Ito ay karaniwang malinaw mula sa konteksto, kung hindi, ito ay malamang na hindi mahalaga.

Trigonometric function ng angular at numeric na argumento

Ayon sa mga kahulugang ibinigay sa nakaraang talata, ang bawat anggulo ng pag-ikot α ay ganap na tumutugma tiyak na halaga ang sinα ay kapareho ng halaga ng cosα. Bilang karagdagan, ang lahat ng mga anggulo ng pag-ikot maliban sa 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) ay tumutugma sa mga halaga ng tgα, at mga halaga maliban sa 180°k, k∈Z (πk rad ) – mga halaga ng ctgα . Samakatuwid ang sinα, cosα, tanα at ctgα ay mga function ng anggulong α. Sa madaling salita, ito ay mga function ng angular argument.

Maaari tayong magsalita nang katulad tungkol sa mga function na sine, cosine, tangent at cotangent ng isang numerical argument. Sa katunayan, ang bawat tunay na numero t ay tumutugma sa isang napaka tiyak na halaga ng sint, pati na rin ang gastos. Bilang karagdagan, ang lahat ng mga numero maliban sa π/2+π·k, k∈Z ay tumutugma sa mga halaga ng tgt, at mga numerong π·k, k∈Z - mga halaga ng ctgt.

Tinatawag ang mga function na sine, cosine, tangent at cotangent pangunahing mga function ng trigonometriko.

Ito ay karaniwang malinaw mula sa konteksto kung tayo ay nakikitungo sa trigonometric function ng isang angular argument o isang numerical argument. Kung hindi, maaari nating isipin ang independiyenteng variable bilang parehong sukatan ng anggulo (angular na argumento) at isang numeric na argumento.

Gayunpaman, sa paaralan pangunahin nating pinag-aaralan ang mga numerical function, iyon ay, mga function na ang mga argumento, pati na rin ang kanilang mga katumbas na halaga ng function, ay mga numero. Samakatuwid, kung pinag-uusapan natin partikular tungkol sa mga function, ipinapayong isaalang-alang ang trigonometriko function bilang mga function ng mga numerical na argumento.

Relasyon sa pagitan ng mga kahulugan mula sa geometry at trigonometry

Kung isasaalang-alang natin ang anggulo ng pag-ikot α mula 0 hanggang 90 degrees, kung gayon ang mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng rotation angle sa konteksto ng trigonometry ay ganap na naaayon sa mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang talamak na anggulo sa isang tamang tatsulok, na ibinibigay sa kursong geometry. I-justify natin ito.

Ilarawan natin ito sa isang hugis-parihaba Sistema ng Cartesian mga coordinate na bilog ng Oxy unit. Markahan natin ang panimulang punto A(1, 0) . I-rotate natin ito sa pamamagitan ng isang anggulo α mula 0 hanggang 90 degrees, makuha natin ang point A 1 (x, y). Ibagsak natin ang patayo A 1 H mula sa punto A 1 hanggang sa axis ng Ox.

Madaling makita iyon sa isang kanang tatsulok na anggulo A 1 OH katumbas ng anggulo pag-ikot α, ang haba ng binti OH na katabi ng anggulong ito ay katumbas ng abscissa ng punto A 1, iyon ay, |OH|=x, ang haba ng binti A 1 H sa tapat ng sulok ay katumbas ng ordinate ng point A 1, iyon ay, |A 1 H|=y, at ang haba ng hypotenuse OA 1 ay katumbas ng isa, dahil ito ang radius ng unit circle. Pagkatapos, sa pamamagitan ng kahulugan mula sa geometry, ang sine ng isang matinding anggulo α sa isang tamang tatsulok A 1 OH ay katumbas ng ratio ng tapat na binti sa hypotenuse, iyon ay, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. At ayon sa kahulugan mula sa trigonometrya, ang sine ng rotation angle α ay katumbas ng ordinate ng point A 1, iyon ay, sinα=y. Ipinapakita nito na ang pagtukoy sa sine ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay katumbas ng pagtukoy sa sine ng anggulo ng pag-ikot α kapag ang α ay mula 0 hanggang 90 degrees.

Katulad nito, maipapakita na ang mga kahulugan ng cosine, tangent at cotangent ng isang acute angle α ay pare-pareho sa mga kahulugan ng cosine, tangent at cotangent ng rotation angle α.

Bibliograpiya.

1. Geometry. 7-9 baitang: aklat-aralin para sa pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, atbp.]. - ika-20 ed. M.: Edukasyon, 2010. - 384 p.: may sakit. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometry: Teksbuk. para sa 7-9 na baitang. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / A. V. Pogorelov. - 2nd ed. - M.: Edukasyon, 2001. - 224 p.: may sakit. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra at elementarya function: Pagtuturo para sa mga mag-aaral sa ika-9 na baitang mataas na paaralan/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; In-edit ng Doctor of Physical and Mathematical Sciences O. N. Golovin - 4th ed. M.: Edukasyon, 1969.
4. Algebra: Teksbuk para sa ika-9 na baitang. avg. paaralan/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teleyakovsky. - M.: Edukasyon, 1990. - 272 pp.: may sakit - ISBN 5-09-002727-7
5. Algebra at ang simula ng pagsusuri: Proc. para sa 10-11 baitang. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn at iba pa; Ed. A. N. Kolmogorov - ika-14 na ed. - M.: Edukasyon, 2004. - 384 pp.: may sakit - ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovich A. G. Algebra at ang simula ng pagsusuri. Baitang 10. Sa 2 p. Bahagi 1: tutorial para sa institusyong pang-edukasyon(antas ng profile)/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4th ed., idagdag. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebra at ang simula ng mathematical analysis. Ika-10 baitang: aklat-aralin. para sa pangkalahatang edukasyon institusyon: basic at profile. mga antas /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; inedit ni A. B. Zhizhchenko. - 3rd ed. - I.: Education, 2010.- 368 p.: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M. I. Algebra at ang simula ng pagsusuri: Textbook. para sa 10-11 baitang. avg. paaralan - 3rd ed. - M.: Edukasyon, 1993. - 351 p.: may sakit. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G. Mathematics (isang manwal para sa mga aplikante sa mga teknikal na paaralan): Proc. allowance.- M.; Mas mataas paaralan, 1984.-351 p., may sakit.

Average na antas

Kanang tatsulok. The Complete Illustrated Guide (2019)

KARAPATAN TRIANGLE. UNANG ANTAS.

Sa mga problema, ang tamang anggulo ay hindi kinakailangan - ang ibabang kaliwa, kaya kailangan mong matutunang makilala ang isang tamang tatsulok sa form na ito,

at dito

at dito

Ano ang maganda sa right triangle? Well... una sa lahat, may mga espesyal magagandang pangalan para sa kanyang panig.

Pansin sa pagguhit!

Tandaan at huwag malito: mayroong dalawang paa, at mayroon lamang isang hypotenuse(isa at tanging, natatangi at pinakamahaba)!

Buweno, napag-usapan na natin ang mga pangalan, ngayon ang pinakamahalagang bagay: ang Pythagorean Theorem.

Pythagorean theorem.

Ang teorama na ito ay ang susi sa paglutas ng maraming problema na kinasasangkutan ng isang tamang tatsulok. Ito ay pinatunayan ni Pythagoras sa ganap na sinaunang panahon, at mula noon ay nagdala na ito ng maraming pakinabang sa mga nakakaalam nito. At ang pinakamagandang bagay tungkol dito ay simple ito.

Kaya, Pythagorean theorem:

Naaalala mo ba ang biro: "Ang pantalon ng Pythagorean ay pantay sa lahat ng panig!"?

Iguhit natin ang parehong mga ito Pythagorean na pantalon at tingnan natin sila.

Hindi ba ito mukhang isang uri ng shorts? Buweno, saang panig at saan sila pantay? Bakit at saan nanggaling ang biro? At ang biro na ito ay tiyak na konektado sa Pythagorean theorem, o mas tiyak sa paraan mismo ni Pythagoras na bumalangkas ng kanyang theorem. At binabalangkas niya ito ng ganito:

"Sum mga lugar ng mga parisukat, na binuo sa mga binti, ay katumbas ng parisukat na lugar, na binuo sa hypotenuse."

Medyo iba ba talaga ang tunog nito? At kaya, nang iguhit ni Pythagoras ang pahayag ng kanyang teorama, ito mismo ang lumabas na larawan.

Sa larawang ito, ang kabuuan ng mga lugar ng maliliit na parisukat ay katumbas ng lugar ng malaking parisukat. At upang mas matandaan ng mga bata na ang kabuuan ng mga parisukat ng mga binti ay katumbas ng parisukat ng hypotenuse, isang taong matalino ang nagmula sa biro na ito tungkol sa pantalon ng Pythagorean.

Bakit natin ngayon binabalangkas ang Pythagorean theorem?

Nagdusa ba si Pythagoras at nagsalita tungkol sa mga parisukat?

Kita mo, noong unang panahon walang... algebra! Walang mga palatandaan at iba pa. Walang mga inskripsiyon. Naiisip mo ba kung gaano kakila-kilabot para sa mga mahihirap na sinaunang mag-aaral na matandaan ang lahat sa mga salita??! At maaari tayong magalak na mayroon tayong simpleng pagbabalangkas ng Pythagorean theorem. Ulitin natin itong muli upang mas matandaan ito:

Dapat itong maging madali ngayon:

Buweno, ang pinakamahalagang teorama tungkol sa mga tamang tatsulok ay tinalakay. Kung interesado ka sa kung paano ito napatunayan, basahin ang mga sumusunod na antas ng teorya, at ngayon ay magpatuloy tayo... sa madilim na gubat... trigonometrya! Sa mga katakut-takot na salitang sine, cosine, tangent at cotangent.

Sine, cosine, tangent, cotangent sa isang right triangle.

Sa katunayan, ang lahat ay hindi masyadong nakakatakot. Siyempre, ang "tunay" na kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ay dapat tingnan sa artikulo. Pero ayoko talaga diba? Maaari tayong magalak: upang malutas ang mga problema tungkol sa isang tamang tatsulok, maaari mo lamang punan ang mga sumusunod na simpleng bagay:

Bakit puro kanto lang ang lahat? Saan ang sulok? Upang maunawaan ito, kailangan mong malaman kung paano isinusulat sa mga salita ang mga pahayag 1 - 4. Tingnan, unawain at tandaan!

1.
Sa totoo lang parang ganito:

Paano ang anggulo? Mayroon bang isang binti na nasa tapat ng sulok, iyon ay, isang kabaligtaran (para sa isang anggulo) na binti? Syempre meron! Ito ay isang paa!

Paano ang anggulo? Tingnan mong mabuti. Aling binti ang katabi ng sulok? Siyempre, ang binti. Nangangahulugan ito na para sa anggulo ang binti ay katabi, at

Ngayon, pansinin mo! Tingnan kung ano ang nakuha namin:

Tingnan kung gaano ito kaganda:

Ngayon ay lumipat tayo sa tangent at cotangent.

Paano ko ito isusulat sa mga salita ngayon? Ano ang paa na may kaugnayan sa anggulo? Kabaligtaran, siyempre - ito ay "namamalagi" sa tapat ng sulok. Paano ang binti? Katabi ng kanto. Kaya ano ang mayroon tayo?

Tingnan kung paano nagpalit ng puwesto ang numerator at denominator?

At ngayon ang mga sulok muli at gumawa ng isang palitan:

Buod

Isulat natin sa madaling sabi ang lahat ng ating natutunan.

Pythagorean theorem:

Ang pangunahing theorem tungkol sa right triangles ay ang Pythagorean theorem.

Pythagorean theorem

Oo nga pala, naaalala mo ba kung ano ang mga binti at hypotenuse? Kung hindi napakahusay, pagkatapos ay tingnan ang larawan - i-refresh ang iyong kaalaman

Ito ay lubos na posible na nagamit mo na ang Pythagorean theorem nang maraming beses, ngunit naisip mo na ba kung bakit totoo ang gayong teorama? Paano ko ito mapapatunayan? Gawin natin tulad ng mga sinaunang Griyego. Gumuhit tayo ng isang parisukat na may gilid.

Tingnan kung gaano namin katalinong hinati ang mga gilid nito sa mga haba at!

Ngayon ikonekta natin ang mga minarkahang tuldok

Dito kami, gayunpaman, ay may nabanggit na iba pa, ngunit ikaw mismo ay tumingin sa pagguhit at isipin kung bakit ganito.

Ano ang lugar ng mas malaking parisukat? Tama, . Paano ang isang mas maliit na lugar? Tiyak, . Ang kabuuang lugar ng apat na sulok ay nananatili. Isipin na kinuha namin silang dalawa sa isang pagkakataon at isinandal sila sa isa't isa gamit ang kanilang hypotenuse. Anong nangyari? Dalawang parihaba. Nangangahulugan ito na ang lugar ng "mga hiwa" ay pantay.

Pagsamahin natin ang lahat ngayon.

Ibahin natin:

Kaya binisita namin ang Pythagoras - pinatunayan namin ang kanyang teorama sa isang sinaunang paraan.

Kanang tatsulok at trigonometrya

Para sa isang tamang tatsulok, ang mga sumusunod na relasyon ay nagtataglay:

Ang sine ng isang matinding anggulo ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na bahagi sa hypotenuse

Ang cosine ng isang matinding anggulo ay katumbas ng ratio ng katabing binti sa hypotenuse.

Ang tangent ng isang matinding anggulo ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi.

Ang cotangent ng isang matinding anggulo ay katumbas ng ratio ng katabing bahagi sa kabaligtaran.

At muli ang lahat ng ito sa anyo ng isang tablet:

Ito ay napaka komportable!

Mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tamang tatsulok

I. Sa dalawang panig

II. Sa pamamagitan ng binti at hypotenuse

III. Sa pamamagitan ng hypotenuse at acute angle

IV. Kasama ang binti at talamak na anggulo

a)

b)

Pansin! Napakahalaga dito na ang mga binti ay "angkop". Halimbawa, kung ito ay magiging ganito:

SAKA TRIANGLES AY HINDI PANTAY, sa kabila ng katotohanan na mayroon silang isang magkaparehong talamak na anggulo.

Kailangan sa parehong triangles ang binti ay katabi, o sa parehong ito ay kabaligtaran.

Napansin mo ba kung paano naiiba ang mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tamang tatsulok mula sa karaniwang mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok? Tingnan ang paksang "at bigyang-pansin ang katotohanan na para sa pagkakapantay-pantay ng "ordinaryong" tatsulok, tatlo sa kanilang mga elemento ay dapat na pantay: dalawang panig at ang anggulo sa pagitan nila, dalawang anggulo at gilid sa pagitan nila, o tatlong panig. Ngunit para sa pagkakapantay-pantay ng mga tamang tatsulok, dalawang katumbas na elemento lamang ang sapat. Mahusay, tama?

Ang sitwasyon ay halos pareho sa mga palatandaan ng pagkakapareho ng mga tamang tatsulok.

Mga palatandaan ng pagkakatulad ng mga tamang tatsulok

I. Kasama ang isang matinding anggulo

II. Sa dalawang panig

III. Sa pamamagitan ng binti at hypotenuse

Median sa isang kanang tatsulok

Bakit ganito?

Sa halip na isang tamang tatsulok, isaalang-alang ang isang buong parihaba.

Gumuhit tayo ng isang dayagonal at isaalang-alang ang isang punto - ang punto ng intersection ng mga diagonal. Ano ang alam mo tungkol sa mga dayagonal ng isang parihaba?

At ano ang kasunod nito?

Kaya pala

1. - median:

Tandaan ang katotohanang ito! Malaking tulong!

Ang mas nakakagulat ay ang kabaligtaran ay totoo rin.

Anong kabutihan ang makukuha mula sa katotohanan na ang median na iginuhit sa hypotenuse ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse? Tingnan natin ang larawan

Tingnan mong mabuti. Mayroon kaming: , iyon ay, ang mga distansya mula sa punto hanggang sa lahat ng tatlong vertice ng tatsulok ay naging pantay. Ngunit mayroon lamang isang punto sa tatsulok, ang mga distansya mula sa kung saan mula sa lahat ng tatlong vertice ng tatsulok ay pantay, at ito ay ang CENTER OF THE CIRCLE. So anong nangyari?

Kaya't magsimula tayo sa "bukod sa...".

Tingnan natin at.

Ngunit ang mga katulad na tatsulok ay may lahat ng pantay na anggulo!

Ang parehong masasabi tungkol sa at

Ngayon ay iguhit natin ito nang sama-sama:

Anong benepisyo ang maaaring makuha mula sa "triple" na pagkakatulad na ito?

Well, halimbawa - dalawang formula para sa taas ng isang tamang tatsulok.

Isulat natin ang mga relasyon ng mga kaukulang partido:

Upang mahanap ang taas, lutasin namin ang proporsyon at makuha ang unang formula na "Taas sa isang kanang tatsulok":

Kaya, ilapat natin ang pagkakatulad: .

Ano ang mangyayari ngayon?

Muli naming lutasin ang proporsyon at makuha ang pangalawang formula:

Kailangan mong tandaan ang parehong mga formula na ito nang napakahusay at gamitin ang isa na mas maginhawa. Isulat natin muli ang mga ito

Pythagorean theorem:

Sa isang tamang tatsulok, ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti: .

Mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tamang tatsulok:

• sa dalawang panig:
• sa pamamagitan ng binti at hypotenuse: o
• kasama ang binti at katabing talamak na anggulo: o
• kasama ang binti at ang kabaligtaran talamak na anggulo: o
• sa pamamagitan ng hypotenuse at acute angle: o.

Mga palatandaan ng pagkakapareho ng mga tamang tatsulok:

• isang matinding sulok: o
• mula sa proporsyonalidad ng dalawang paa:
• mula sa proporsyonalidad ng binti at hypotenuse: o.

Sine, cosine, tangent, cotangent sa isang right triangle

• Ang sine ng isang matinding anggulo ng isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa hypotenuse:
• Ang cosine ng isang matinding anggulo ng isang right triangle ay ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse:
• Ang tangent ng isang talamak na anggulo ng isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi:
• Ang cotangent ng isang matinding anggulo ng isang tamang tatsulok ay ang ratio ng katabing gilid sa kabaligtaran na bahagi: .

Taas ng tamang tatsulok: o.

Sa isang tamang tatsulok, ang median na iginuhit mula sa vertex ng tamang anggulo ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse: .

Lugar ng isang tamang tatsulok:

• sa pamamagitan ng mga binti: