bahay - Mga laro kasama ang mga bata
Mga formula para sa pagkalkula ng posibilidad ng mga kaganapan. Teorya ng probabilidad: mga formula at halimbawa ng paglutas ng problema Paano matukoy ang posibilidad ng isang random na kaganapan

Mula sa praktikal na pananaw, posibilidad ng isang kaganapan ay ang ratio ng bilang ng mga obserbasyon kung saan naganap ang pinag-uusapang kaganapan sa kabuuang bilang ng mga obserbasyon. Ang interpretasyong ito ay katanggap-tanggap sa kaso ng isang sapat na malaking bilang ng mga obserbasyon o eksperimento. Halimbawa, kung halos kalahati ng mga taong nakakasalubong mo sa kalye ay mga babae, maaari mong sabihin na ang posibilidad na ang taong makakasalubong mo sa kalye ay isang babae ay 1/2. Sa madaling salita, ang isang pagtatantya ng posibilidad ng isang kaganapan ay maaaring ang dalas ng paglitaw nito sa isang mahabang serye ng mga independiyenteng pag-uulit ng isang random na eksperimento.

  • Seksyon 1. Mga Random na Kaganapan (50 oras)
  • Thematic na plano ng disiplina para sa part-time at part-time na mga mag-aaral
  • Ang tematikong plano ng disiplina para sa mga mag-aaral sa distance learning
  • 2.3. Structural at logical diagram ng disiplina
  • Bahagi 2 ng Matematika. Teorya ng probabilidad at mga elemento ng Teorya ng istatistikal na matematika
  • Seksyon 1 Mga Random na Kaganapan
  • Seksyon 3 Mga Elemento ng mga istatistika ng matematika
  • Seksyon 2 Mga random na variable
  • 2.5. Praktikal na bloke
  • 2.6. Point-rating system
  • Mga mapagkukunan ng impormasyon ng disiplina
  • Pangunahing Bibliograpiya:
  • 3.2. Mga pangunahing tala para sa kursong “Mathematics part 2. Ang teorya ng posibilidad at mga elemento ng mga istatistika ng matematika" panimula
  • Seksyon 1. Random na mga kaganapan
  • 1.1. Ang konsepto ng isang random na kaganapan
  • 1.1.1. Impormasyon mula sa set theory
  • 1.1.2. Puwang ng mga kaganapan sa elementarya
  • 1.1.3. Pag-uuri ng kaganapan
  • 1.1.4. Kabuuan at produkto ng mga pangyayari
  • 1.2. Mga probabilidad ng mga random na kaganapan.
  • 1.2.1. Relative frequency ng isang event, axioms of probability theory. Klasikong kahulugan ng posibilidad
  • 1.2.2. Geometric na kahulugan ng posibilidad
  • Kinakalkula ang probabilidad ng isang kaganapan sa pamamagitan ng mga elemento ng combinatorial analysis
  • 1.2.4. Mga katangian ng mga probabilidad ng kaganapan
  • 1.2.5. Mga malayang kaganapan
  • 1.2.6. Pagkalkula ng posibilidad ng walang kabiguan na operasyon ng aparato
  • Mga formula para sa pagkalkula ng posibilidad ng mga kaganapan
  • 1.3.1. Pagkakasunud-sunod ng mga independiyenteng pagsubok (Bernoulli circuit)
  • 1.3.2. May kondisyong posibilidad ng isang kaganapan
  • 1.3.4. Formula ng Kabuuang Probability at Formula ng Bayes
  • Seksyon 2. Random na mga variable
  • 2.1. Paglalarawan ng mga random na variable
  • 2.1.1. Kahulugan at pamamaraan ng pagtukoy ng random variable Isa sa mga pangunahing konsepto ng probability theory ay ang konsepto ng random variable. Tingnan natin ang ilang halimbawa ng mga random na variable:
  • Upang tukuyin ang isang random na variable, kailangan mong tukuyin ang batas ng pamamahagi nito. Ang mga random na variable ay karaniwang tinutukoy ng mga letrang Griyego na ,,, at ang mga posibleng halaga nito – sa pamamagitan ng mga letrang Latin na may mga indeks na xi, yi, zi.
  • 2.1.2. Mga discrete na random variable
  • Isaalang-alang ang mga kaganapan Ai na naglalaman ng lahat ng mga elementarya na kaganapan  na humahantong sa halaga XI:
  • Hayaang tukuyin ng pi ang posibilidad ng kaganapan Ai:
  • 2.1.3. Patuloy na random variable
  • 2.1.4. Pag-andar ng pamamahagi at mga katangian nito
  • 2.1.5. Densidad ng pamamahagi ng probabilidad at mga katangian nito
  • 2.2. Mga de-numerong katangian ng mga random na variable
  • 2.2.1. Pag-asa ng isang random na variable
  • 2.2.2. Pagkakaiba-iba ng isang random na variable
  • 2.2.3. Normal na distribusyon ng isang random na variable
  • 2.2.4. Binomial na pamamahagi
  • 2.2.5. Pamamahagi ng Poisson
  • Seksyon 3. Mga elemento ng mga istatistika ng matematika
  • 3.1. Mga pangunahing kahulugan
  • bar chart
  • 3.3. Mga pagtatantya ng punto ng mga parameter ng pamamahagi
  • Pangunahing Konsepto
  • Mga pagtatantya ng punto ng inaasahan at pagkakaiba
  • 3.4. Mga pagtatantya sa pagitan
  • Ang konsepto ng pagtatantya ng pagitan
  • Konstruksyon ng mga pagtatantya ng pagitan
  • Pangunahing istatistikal na pamamahagi
  • Mga pagtatantya ng pagitan ng inaasahan sa matematika ng isang normal na distribusyon
  • Pagtatantya ng pagitan ng pagkakaiba ng isang normal na distribusyon
  • Konklusyon
  • Talasalitaan
  • 4. Mga patnubay para sa pagsasagawa ng gawaing laboratoryo
  • Bibliograpiya
  • Laboratory work 1 paglalarawan ng mga random na variable. Mga katangiang pang-numero
  • Pamamaraan para sa pagsasagawa ng gawaing laboratoryo
  • Laboratory work 2 Pangunahing kahulugan. Systematization ng sample. Mga pagtatantya ng punto ng mga parameter ng pamamahagi. Mga pagtatantya sa pagitan.
  • Ang konsepto ng isang istatistikal na hypothesis tungkol sa uri ng pamamahagi
  • Pamamaraan para sa pagsasagawa ng gawaing laboratoryo
  • Halaga ng Cell Halaga ng Cell
  • 5. Mga patnubay para sa pagkumpleto ng pagsusulit Takdang-aralin para sa pagsusulit
  • Mga alituntunin para sa pagkumpleto ng pagsusulit: Mga kaganapan at ang kanilang mga probabilidad
  • Mga random na variable
  • Karaniwang lihis
  • Mga elemento ng mga istatistika ng matematika
  • 6. Control unit para sa mastering ng disiplina
  • Mga tanong para sa pagsusulit para sa kursong “Mathematics Part 2. Teorya ng posibilidad at mga elemento ng mga istatistika ng matematika"
  • Nagpatuloy ang mesa sa pagpasok
  • Dulo ng mesa sa
  • Uniformly distributed random na mga numero
  • Nilalaman
  • Seksyon 1. Random na mga kaganapan…………………………………………. 18
  • Seksyon 2. Mga random na variable..……………………………… ….. 41
  • Seksyon 3. Mga Elemento ng matematikal na istatistika..................... 64
  • 4. Mga patnubay para sa pagsasagawa ng mga pagsubok sa laboratoryo
  • 5. Mga patnubay para sa pagkumpleto ng pagsusulit

      1. Mga formula para sa pagkalkula ng posibilidad ng mga kaganapan

    1.3.1. Pagkakasunud-sunod ng mga independiyenteng pagsubok (Bernoulli circuit)

    Ipagpalagay na ang ilang eksperimento ay maaaring isagawa nang paulit-ulit sa ilalim ng parehong mga kondisyon. Hayaang magawa ang karanasang ito n beses, ibig sabihin, isang pagkakasunod-sunod ng n mga pagsubok.

    Kahulugan. Kasunod n pagsusulit ay tinatawag kapwa nagsasarili , kung ang anumang kaganapan na nauugnay sa isang ibinigay na pagsubok ay independiyente sa anumang mga kaganapang nauugnay sa iba pang mga pagsubok.

    Ipagpalagay natin na ilang kaganapan A malamang mangyari p bilang resulta ng isang pagsubok o hindi malamang na mangyari q= 1- p.

    Kahulugan . Pagkakasunod-sunod ng n Ang mga pagsusulit ay bumubuo ng isang Bernoulli scheme kung ang mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan:

      kasunod n ang mga pagsusulit ay independyente sa isa't isa,

    2) posibilidad ng isang kaganapan A ay hindi nagbabago mula sa pagsubok patungo sa pagsubok at hindi nakasalalay sa resulta sa iba pang mga pagsubok.

    Kaganapan A ay tinatawag na "tagumpay" ng pagsubok, at ang kabaligtaran na kaganapan ay tinatawag na "kabiguan." Isaalang-alang ang kaganapan

    =( sa n Eksaktong nangyari ang mga pagsubok m"tagumpay").

    Upang kalkulahin ang posibilidad ng kaganapang ito, ang Bernoulli formula ay wasto

    p() =
    , m = 1, 2, …, n , (1.6)

    saan - bilang ng mga kumbinasyon ng n mga elemento sa pamamagitan ng m :

    =
    =
    .

    Halimbawa 1.16. Ang mamatay ay inihahagis ng tatlong beses. Hanapin:

    a) ang posibilidad na ang 6 na puntos ay lilitaw nang dalawang beses;

    b) ang posibilidad na ang bilang ng anim ay hindi lilitaw nang higit sa dalawang beses.

    Solusyon . Isasaalang-alang namin ang "tagumpay" ng pagsubok kapag lumitaw ang panig na may larawan ng 6 na puntos sa die.

    a) Kabuuang bilang ng mga pagsubok – n=3, bilang ng "mga tagumpay" - m = 2. Probability ng "tagumpay" - p=, at ang posibilidad ng "kabiguan" ay q= 1 - =. Pagkatapos, ayon sa pormula ni Bernoulli, ang posibilidad na, bilang resulta ng paghagis ng die ng tatlong beses, ang panig na may anim na puntos ay lilitaw nang dalawang beses, ay magiging katumbas ng

    .

    b) Tukuyin natin sa pamamagitan ng A isang kaganapan na nangangahulugan na ang isang panig na may markang 6 ay lilitaw nang hindi hihigit sa dalawang beses. Pagkatapos ang kaganapan ay maaaring katawanin bilang ang kabuuan ng tatlong hindi magkatugma mga pangyayari A=
    ,

    saan SA 3 0 – isang kaganapan kapag ang gilid ng interes ay hindi kailanman lumitaw,

    SA 3 1 - kaganapan kapag ang gilid ng interes ay lumitaw nang isang beses,

    SA 3 2 - kaganapan kapag ang gilid ng interes ay lumitaw nang dalawang beses.

    Gamit ang Bernoulli formula (1.6) nahanap namin

    p(A) = p (
    ) = p(
    )=
    +
    +
    =

    =
    .

    1.3.2. May kondisyong posibilidad ng isang kaganapan

    Sinasalamin ng kondisyong posibilidad ang impluwensya ng isang kaganapan sa posibilidad ng isa pa. Nakakaapekto rin ang pagbabago sa mga kundisyon kung saan isinasagawa ang eksperimento

    sa posibilidad ng paglitaw ng kaganapan ng interes.

    Kahulugan. Hayaan A At B– ilang mga kaganapan, at posibilidad p(B)> 0.

    Kondisyon na maaaring mangyari mga pangyayari A sa kondisyon na ang “pangyayari Bna nangyari” ay ang ratio ng posibilidad ng paglitaw ng mga kaganapang ito sa posibilidad ng isang kaganapan na naganap nang mas maaga kaysa sa kaganapan na ang posibilidad ay kinakailangang matagpuan. Ang kondisyong posibilidad ay tinutukoy bilang p(AB). Pagkatapos ay sa pamamagitan ng kahulugan

    p (A B) =
    . (1.7)

    Halimbawa 1.17. Dalawang dice ang inihagis. Ang espasyo ng elementarya na mga kaganapan ay binubuo ng mga nakaayos na pares ng mga numero

    (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

    (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

    (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

    (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

    (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

    (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).

    Sa Halimbawa 1.16 natukoy na ang kaganapan A=(bilang ng mga puntos sa unang mamatay > 4) at kaganapan C=(sum of points is 8) dependent. Gumawa tayo ng relasyon

    .

    Ang kaugnayang ito ay maaaring bigyang-kahulugan bilang mga sumusunod. Ipagpalagay natin na ang resulta ng unang roll ay kilala na ang bilang ng mga puntos sa unang die ay > 4. Kasunod nito na ang paghagis ng pangalawang die ay maaaring humantong sa isa sa 12 resulta na bumubuo sa kaganapan. A:

    (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

    (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) .

    Sa kaganapang ito C dalawa lang sa kanila ang makakapantay sa (5,3) (6,2). Sa kasong ito, ang posibilidad ng kaganapan C magiging pantay
    . Kaya, impormasyon tungkol sa paglitaw ng isang kaganapan A nakaimpluwensya sa posibilidad ng isang kaganapan C.

          Probability ng mga pangyayaring nagaganap

    Teorama ng pagpaparami

    Probability ng mga pangyayaring nagaganapA 1 A 2 A n ay tinutukoy ng formula

    p(A 1 A 2 A n)= p(A 1)p(A 2 A 1))p(A n A 1 A 2 A n- 1). (1.8)

    Para sa produkto ng dalawang kaganapan ito ay sumusunod na

    p(AB)= p(AB)p{B)= p(BA)p{A). (1.9)

    Halimbawa 1.18. Sa isang batch ng 25 na produkto, 5 produkto ang may depekto. 3 aytem ay pinili nang random na magkakasunod. Tukuyin ang posibilidad na ang lahat ng napiling produkto ay may depekto.

    Solusyon. Tukuyin natin ang mga pangyayari:

    A 1 = (may sira ang unang produkto),

    A 2 = (pangalawang produkto ay may sira),

    A 3 = (may sira ang ikatlong produkto),

    A = (lahat ng mga produkto ay may sira).

    Kaganapan A ay produkto ng tatlong pangyayari A = A 1 A 2 A 3 .

    Mula sa multiplication theorem (1.6) nakukuha namin

    p(A)= p( A 1 A 2 A 3 ) = p(A 1) p(A 2 A 1))p(A 3 A 1 A 2).

    Ang klasikal na kahulugan ng posibilidad ay nagbibigay-daan sa amin upang mahanap p(A 1) ay ang ratio ng bilang ng mga may sira na produkto sa kabuuang bilang ng mga produkto:

    p(A 1)= ;

    p(A 2) – Ito ang ratio ng bilang ng mga may sira na produkto na natitira pagkatapos ng pag-alis ng isa sa kabuuang bilang ng mga natitirang produkto:

    p(A 2 A 1))= ;

    p(A 3) - ito ay ang ratio ng bilang ng mga may sira na produkto na natitira pagkatapos ng pag-alis ng dalawang may sira sa kabuuang bilang ng mga natitirang produkto:

    p(A 3 A 1 A 2)=.

    Tapos yung probability ng event A magiging pantay

    p(A) ==
    .

    PAKSA 1 . Klasikong formula para sa pagkalkula ng posibilidad.

    Mga pangunahing kahulugan at formula:

    Ang isang eksperimento na hindi mahuhulaan ang kinalabasan ay tinatawag random na eksperimento(SE).

    Ang isang kaganapan na maaaring mangyari o hindi maaaring mangyari sa isang partikular na SE ay tinatawag random na pangyayari.

    Mga resulta sa elementarya Ang mga kaganapang nakakatugon sa mga kinakailangan ay tinatawag na:

    1.sa anumang pagpapatupad ng SE, isa at isang elementarya lamang na resulta ang magaganap;

    2. bawat kaganapan ay isang tiyak na kumbinasyon, isang tiyak na hanay ng mga elementarya na kinalabasan.

    Ang hanay ng lahat ng posibleng elementarya na kinalabasan ay ganap na naglalarawan sa SE. Ang ganitong set ay karaniwang tinatawag espasyo ng elementarya na kinalabasan(PEI). Ang pagpili ng PEI upang ilarawan ang isang ibinigay na SE ay malabo at depende sa problemang nireresolba.

    P(A) = n(A)/n,

    kung saan n - kabuuang bilang pantay na posibleng resulta,

    n (A) – ang bilang ng mga kinalabasan na bumubuo sa kaganapan A, gaya ng sinasabi nila, na pabor sa kaganapan A.

    Ang mga salitang "nang random", "nang random", "random" ay ginagarantiyahan ang pantay na posibilidad ng elementarya na mga resulta.

    Paglutas ng mga karaniwang halimbawa

    Halimbawa 1. Mula sa isang urn na naglalaman ng 5 pula, 3 itim at 2 puting bola, 3 bola ang iginuhit nang random. Hanapin ang mga probabilidad ng mga kaganapan:

    A– “lahat ng iginuhit na bola ay pula”;

    SA– "lahat ng iginuhit na bola ay may parehong kulay";

    SA- "Sa mga nakuha ay may eksaktong 2 itim."

    Solusyon:

    Ang elementarya na kinalabasan ng SE na ito ay isang triple (gulo!) ng mga bola. Samakatuwid, ang kabuuang bilang ng mga kinalabasan ay ang bilang ng mga kumbinasyon: n == 120 (10 = 5 + 3 + 2).

    Kaganapan A ay binubuo lamang ng mga triplet na iyon na nakuha mula sa limang pulang bola, i.e. n(A)==10.

    Kaganapan SA Bilang karagdagan sa 10 pulang tres, ang itim na tatlo ay pabor din, ang bilang nito ay = 1. Samakatuwid: n (B)=10+1=11.

    Kaganapan SA Ang tatlong bolang iyon na naglalaman ng 2 itim at isang hindi itim ay pinapaboran. Ang bawat paraan ng pagpili ng dalawang itim na bola ay maaaring pagsamahin sa pagpili ng isang hindi itim na bola (sa pito). Samakatuwid: n (C) = = 3 * 7 = 21.

    Kaya: P(A) = 10/120; P(B) = 11/120; R(S) = 21/120.

    Halimbawa 2. Sa mga kondisyon ng nakaraang problema, ipagpalagay namin na ang mga bola ng bawat kulay ay may sariling pagnunumero, simula sa 1. Hanapin ang mga probabilidad ng mga kaganapan:

    D– “ang maximum na nakuhang numero ay 4”;

    E– “Ang maximum na bilang na nakuha ay 3.”

    Solusyon:

    Upang kalkulahin ang n(D), maaari nating ipagpalagay na ang urn ay may isang bola na may numero 4, isang bola na may mas mataas na numero at 8 bola (3k+3h+2b) na may mas mababang mga numero. Kaganapan D Ang mga tatlong bola na kinakailangang naglalaman ng bola na may numero 4 at 2 na bola na may mas mababang mga numero ay pinapaboran. Samakatuwid: n(D) =

    P(D) = 28/120.

    Upang makalkula ang n (E) isaalang-alang namin: mayroong dalawang bola sa urn na may numero 3, dalawa na may malalaking numero at anim na bola na may mas mababang mga numero (2k+2h+2b). Kaganapan E binubuo ng triplets ng dalawang uri:

    1. isang bola na may numero 3 at dalawa na may mas mababang mga numero;

    2.dalawang bola na may numero 3 at isa na may mas mababang numero.

    Samakatuwid: n(E)=

    P(E) = 36/120.

    Halimbawa 3. Ang bawat isa sa M iba't ibang mga particle ay itinapon nang random sa isa sa mga N cell. Hanapin ang mga probabilidad ng mga kaganapan:

    A- lahat ng mga particle ay nahulog sa pangalawang cell;

    SA- lahat ng mga particle ay nahulog sa isang cell;

    SA– bawat cell ay naglalaman ng hindi hihigit sa isang particle (M £ N);

    D– lahat ng mga cell ay inookupahan (M =N +1);

    E– ang pangalawang cell ay naglalaman ng eksakto Upang mga particle.

    Solusyon:

    Para sa bawat particle mayroong N mga paraan upang makapasok sa isang partikular na cell. Ayon sa pangunahing prinsipyo ng combinatorics para sa M particle mayroon tayong N *N *N *…*N (M beses). Kaya, ang kabuuang bilang ng mga kinalabasan sa SE n = N M na ito.

    Para sa bawat particle mayroon tayong isang pagkakataon na makapasok sa pangalawang cell, samakatuwid n (A) = 1*1*…*1= 1 M = 1, at P(A) = 1/ N M.

    Ang pagpasok sa isang cell (para sa lahat ng particle) ay nangangahulugan ng pagpasok ng lahat sa una, o lahat ng tao sa pangalawa, o atbp. lahat sa Nth. Ngunit ang bawat isa sa mga opsyon na ito ay maaaring ipatupad sa isang paraan. Samakatuwid n (B)=1+1+…+1(N -beses)=N at Р(В)=N/N M.

    Nangangahulugan ang Event C na ang bawat particle ay may mas kaunting bilang ng mga opsyon sa paglalagay kaysa sa nakaraang particle, at ang una ay maaaring mahulog sa alinman sa mga N cell. kaya naman:

    n (C) = N *(N -1)*…*(N +M -1) at Р(С) =

    Sa partikular na kaso sa M =N: Р(С)=

    Nangangahulugan ang Event D na ang isa sa mga cell ay naglalaman ng dalawang particle, at bawat isa sa (N -1) natitirang mga cell ay naglalaman ng isang particle. Upang mahanap ang n (D) nangangatuwiran tayo ng ganito: pumili ng isang cell kung saan magkakaroon ng dalawang particle, ito ay maaaring gawin sa =N na paraan; pagkatapos ay pipili tayo ng dalawang particle para sa cell na ito, may mga paraan upang gawin ito. Pagkatapos nito, ibinahagi namin ang natitirang (N -1) na mga particle nang paisa-isa sa natitirang (N -1) na mga cell, para dito mayroong (N -1)! mga paraan.

    Kaya n(D) =

    .

    Ang numero n(E) ay maaaring kalkulahin tulad ng sumusunod: Upang Ang mga particle para sa pangalawang cell ay maaaring gawin sa mga paraan; ang natitirang (M – K) na mga particle ay random na ipinamamahagi sa ibabaw ng (N -1) cell (N -1) sa M-K na paraan. kaya naman:

    Probability sa matematika

    Sa modernong diskarte sa matematika, ang posibilidad ng klasikal (iyon ay, hindi quantum) ay ibinibigay ng Kolmogorov axiomatics. Ang posibilidad ay isang sukatan P, na tinukoy sa set X, na tinatawag na probability space. Ang panukalang ito ay dapat magkaroon ng mga sumusunod na katangian:

    Mula sa tinukoy na mga kondisyon ito ay sumusunod na ang sukatan ng posibilidad P mayroon ding ari-arian pagkakadagdag: kung set A 1 at A 2 huwag bumalandra, pagkatapos . Upang patunayan kailangan mong ilagay ang lahat A 3 , A 4 , ... katumbas ng empty set at ilapat ang property ng countable additivity.

    Maaaring hindi tukuyin ang sukatan ng posibilidad para sa lahat ng subset ng set X. Ito ay sapat na upang tukuyin ito sa isang sigma algebra, na binubuo ng ilang mga subset ng set X. Sa kasong ito, ang mga random na kaganapan ay tinukoy bilang nasusukat na mga subset ng espasyo X, iyon ay, bilang mga elemento ng sigma algebra.

    Probability sense

    Kapag nalaman namin na ang mga dahilan para sa ilang posibleng katotohanang aktwal na nagaganap ay mas malaki kaysa sa mga salungat na dahilan, isinasaalang-alang namin ang katotohanang iyon malamang, kung hindi - hindi kapani-paniwala. Ang kalakhang ito ng mga positibong batayan kaysa sa mga negatibo, at kabaliktaran, ay maaaring kumatawan sa isang hindi tiyak na hanay ng mga antas, bilang isang resulta kung saan probabilidad(At kawalan ng posibilidad) Nangyayari ito higit pa o mas kaunti .

    Ang mga kumplikadong indibidwal na katotohanan ay hindi nagpapahintulot para sa isang eksaktong pagkalkula ng mga antas ng kanilang posibilidad, ngunit kahit dito ay mahalaga na magtatag ng ilang malalaking subdivision. Kaya, halimbawa, sa legal na larangan, kapag ang isang personal na katotohanang napapailalim sa paglilitis ay itinatag sa batayan ng patotoo, ito ay palaging nananatili, mahigpit na pagsasalita, malamang lamang, at kinakailangang malaman kung gaano kahalaga ang posibilidad na ito; sa batas ng Roma, pinagtibay dito ang isang quadruple division: probatio plena(kung saan ang posibilidad ay halos nagiging pagiging maaasahan), Dagdag pa - probatio minus plena, pagkatapos - probatio semiplena major at sa wakas probatio semiplena minor .

    Bilang karagdagan sa tanong ng posibilidad ng kaso, maaaring bumangon ang tanong, kapwa sa larangan ng batas at sa larangang moral (na may tiyak na pananaw sa etika), kung gaano kalamang na ang isang partikular na katotohanan ay bumubuo ng isang paglabag karaniwang batas. Ang tanong na ito, na nagsilbing pangunahing motibo sa relihiyosong hurisprudensya ng Talmud, ay nagbunga rin ng teolohiyang moral ng Romano Katoliko (lalo na sa huli XVI siglo) napakakomplikadong sistematikong mga konstruksyon at isang malaking panitikan, dogmatiko at polemikal (tingnan ang Probabilism).

    Ang konsepto ng probabilidad ay nagbibigay-daan para sa isang tiyak na numerical expression kapag inilapat lamang sa mga naturang katotohanan na bahagi ng ilang magkakatulad na serye. Kaya (sa pinakasimpleng halimbawa), kapag may naghagis ng barya nang isang daang beses sa isang hilera, makikita natin dito ang isang pangkalahatan o malaking serye (ang kabuuan ng lahat ng pagbagsak ng barya), na binubuo ng dalawang pribado o mas maliit, sa kasong ito ayon sa numero. pantay, serye (bumagsak " mga ulo" at bumagsak "mga buntot"); Ang posibilidad na sa pagkakataong ito ang barya ay mapupunta sa mga ulo, iyon ay, na ang bagong miyembro ng pangkalahatang serye ay kabilang dito sa dalawang mas maliliit na serye, ay katumbas ng fraction na nagpapahayag ng numerical na relasyon sa pagitan ng maliit na seryeng ito at ng mas malaki, ibig sabihin, 1/2, iyon ay, ang parehong posibilidad ay kabilang sa isa o sa isa pa sa dalawang partikular na serye. Sa mas kaunti mga simpleng halimbawa ang konklusyon ay hindi direktang mahihinuha mula sa data ng problema mismo, ngunit nangangailangan ng paunang induction. Kaya, halimbawa, ang tanong ay: ano ang posibilidad na mabuhay ang isang bagong panganak na 80 taong gulang? Dito dapat mayroong isang pangkalahatan, o malaki, serye ng isang tiyak na bilang ng mga taong ipinanganak sa magkatulad na mga kondisyon at namamatay sa iba't ibang edad (dapat sapat na malaki ang bilang na ito upang maalis ang mga random na paglihis, at sapat na maliit upang mapanatili ang homogeneity ng serye, para sa para sa isang tao, ipinanganak, halimbawa, sa St. Petersburg sa isang mayaman, may kulturang pamilya, ang buong milyon-malakas na populasyon ng lungsod, isang makabuluhang bahagi nito ay binubuo ng mga tao mula sa iba't ibang grupo na maaaring mamatay nang maaga - mga sundalo, mamamahayag, manggagawa sa mga mapanganib na propesyon - kumakatawan sa isang pangkat na masyadong magkakaiba para sa isang tunay na pagpapasiya ng posibilidad); hayaan ang pangkalahatang hanay na ito ay binubuo ng sampung libo buhay ng tao; kabilang dito ang mas maliliit na serye na kumakatawan sa bilang ng mga taong nabubuhay sa isang partikular na edad; isa sa mas maliliit na seryeng ito ay kumakatawan sa bilang ng mga taong nabubuhay hanggang 80 taong gulang. Ngunit imposibleng matukoy ang bilang ng mas maliit na seryeng ito (tulad ng lahat ng iba pa) isang priori; ito ay ginagawa nang pasaklaw, sa pamamagitan ng mga istatistika. Sabihin nating istatistikal na pananaliksik nalaman na sa 10,000 middle-class na residente ng St. Petersburg, 45 lang ang nabubuhay hanggang 80; Kaya, ang mas maliit na seryeng ito ay nauugnay sa mas malaki dahil ang 45 ay hanggang 10,000, at ang posibilidad na mapabilang ang isang tao sa mas maliit na seryeng ito, iyon ay, upang mabuhay hanggang 80 taong gulang, ay ipinahayag bilang isang bahagi ng 0.0045. Ang pag-aaral ng probabilidad mula sa isang mathematical point of view ay bumubuo ng isang espesyal na disiplina - probability theory.

    Tingnan din

    Mga Tala

    Panitikan


    Wikimedia Foundation. 2010.

    Mga kasingkahulugan:

    Antonyms:

    Tingnan kung ano ang "Probability" sa ibang mga diksyunaryo:

      Pangkalahatang siyentipiko at pilosopiko. isang kategorya na nagsasaad ng dami ng antas ng posibilidad ng paglitaw ng mass random na mga kaganapan sa ilalim ng nakapirming mga kondisyon ng pagmamasid, na nagpapakilala sa katatagan ng kanilang mga kamag-anak na frequency. Sa lohika, semantic degree... ... Philosophical Encyclopedia

      PROBABILITY, isang numero sa hanay mula sa zero hanggang sa isang kasama, na kumakatawan sa posibilidad ng isang partikular na kaganapan na nagaganap. Ang posibilidad ng isang kaganapan ay tinukoy bilang ang ratio ng bilang ng mga pagkakataon na maaaring mangyari ang isang kaganapan sa kabuuang bilang ng posibleng... ... Pang-agham at teknikal na encyclopedic na diksyunaryo

      Sa lahat ng posibilidad.. Diksyunaryo ng mga kasingkahulugan ng Ruso at mga katulad na expression. sa ilalim. ed. N. Abramova, M.: Russian Dictionaries, 1999. probability possibility, likelihood, chance, objective possibility, maza, admissibility, risk. Langgam. imposible...... diksyunaryo ng kasingkahulugan

      probabilidad- Isang sukatan na posibleng mangyari ang isang kaganapan. Tandaan Ang mathematical na kahulugan ng probabilidad ay: "isang tunay na numero sa pagitan ng 0 at 1 na nauugnay sa isang random na kaganapan." Maaaring ipakita ng numero ang relatibong dalas sa isang serye ng mga obserbasyon... ... Gabay ng Teknikal na Tagasalin

      Probability- "isang mathematical, numerical na katangian ng antas ng posibilidad ng paglitaw ng anumang kaganapan sa ilang partikular na kundisyon na maaaring ulitin ng walang limitasyong bilang ng beses." Batay sa klasikong ito... ... Diksyonaryo ng ekonomiya at matematika

      - (Probability) Ang posibilidad ng paglitaw ng isang kaganapan o isang tiyak na resulta. Maaari itong ipakita sa anyo ng isang sukat na may mga dibisyon mula 0 hanggang 1. Kung ang posibilidad ng isang kaganapan ay zero, ang paglitaw nito ay imposible. Sa probabilidad na katumbas ng 1, ang simula ng... Diksyunaryo ng mga termino ng negosyo

    Kapag ang isang barya ay inihagis, maaari nating sabihin na ito ay dumarating sa ulo, o probabilidad ito ay 1/2. Siyempre, hindi ito nangangahulugan na kung ang isang barya ay ihagis ng 10 beses, ito ay kinakailangang mapunta sa mga ulo ng 5 beses. Kung ang barya ay "patas" at kung ito ay ihahagis ng maraming beses, ang mga ulo ay malapit na malapit sa kalahati ng oras. Kaya, mayroong dalawang uri ng mga probabilidad: eksperimental At teoretikal .

    Eksperimental at teoretikal na posibilidad

    Kung maghagis ka ng barya malaking bilang ng beses - sabihin 1000 - at bilangin ang bilang ng mga beses na itinapon ang mga ulo, matutukoy natin ang posibilidad ng mga ulo na itinapon. Kung ang mga ulo ay itinapon ng 503 beses, maaari nating kalkulahin ang posibilidad ng pag-landing nito:
    503/1000, o 0.503.

    Ito eksperimental kahulugan ng probabilidad. Ang kahulugan ng probabilidad na ito ay nagmumula sa pagmamasid at pag-aaral ng data at medyo karaniwan at lubhang kapaki-pakinabang. Narito, halimbawa, ang ilang mga probabilidad na natukoy sa eksperimento:

    1. Ang posibilidad na magkaroon ng breast cancer ang isang babae ay 1/11.

    2. Kung hahalikan mo ang taong may sipon, 0.07 ang probabilidad na sipon ka rin.

    3. Ang isang taong kalalabas lang sa kulungan ay may 80% na pagkakataong makabalik sa kulungan.

    Kung isasaalang-alang natin ang paghahagis ng barya at isinasaalang-alang na ito ay kasing posibilidad na lalabas ito ng mga ulo o buntot, maaari nating kalkulahin ang posibilidad na makakuha ng mga ulo: 1/2. Ito ay isang teoretikal na kahulugan ng posibilidad. Narito ang ilang iba pang mga probabilidad na natukoy ayon sa teorya gamit ang matematika:

    1. Kung mayroong 30 tao sa isang silid, ang posibilidad na dalawa sa kanila ay may parehong kaarawan (hindi kasama ang taon) ay 0.706.

    2. Sa isang paglalakbay, may nakilala kang isang tao, at sa panahon ng pag-uusap ay natuklasan mo na mayroon kang kapwa kaibigan. Karaniwang reaksyon: "Hindi ito maaari!" Sa katunayan, ang pariralang ito ay hindi angkop, dahil ang posibilidad ng naturang kaganapan ay medyo mataas - higit sa 22%.

    Kaya, ang mga probabilidad ng pang-eksperimento ay tinutukoy sa pamamagitan ng pagmamasid at pagkolekta ng data. Ang mga teoretikal na probabilidad ay natutukoy sa pamamagitan ng mathematical reasoning. Ang mga halimbawa ng eksperimental at teoretikal na probabilidad, tulad ng mga tinalakay sa itaas, at lalo na ang mga hindi natin inaasahan, ay humahantong sa atin sa kahalagahan ng pag-aaral ng probabilidad. Maaari mong itanong, "Ano ang tunay na posibilidad?" Kung tutuusin, walang ganoon. Ang mga probabilidad sa loob ng ilang partikular na limitasyon ay maaaring matukoy sa eksperimentong paraan. Maaari silang tumugma o hindi sa mga probabilidad na nakukuha natin ayon sa teorya. May mga sitwasyon kung saan mas madaling matukoy ang isang uri ng posibilidad kaysa sa iba. Halimbawa, magiging sapat na upang mahanap ang posibilidad na magkaroon ng sipon gamit ang teoretikal na posibilidad.

    Pagkalkula ng mga pang-eksperimentong probabilidad

    Isaalang-alang muna natin ang pang-eksperimentong kahulugan ng posibilidad. Ang pangunahing prinsipyo na ginagamit namin upang kalkulahin ang mga probabilidad ay ang mga sumusunod.

    Prinsipyo P (pang-eksperimento)

    Kung sa isang eksperimento kung saan ang n obserbasyon ay ginawa, ang isang sitwasyon o kaganapan E ay nangyayari nang m beses sa n obserbasyon, kung gayon ang pang-eksperimentong posibilidad ng kaganapan ay sinasabing P (E) = m/n.

    Halimbawa 1 Sociological survey. Isang eksperimental na pag-aaral ang isinagawa upang matukoy ang bilang ng mga taong kaliwete, kanang kamay at mga tao na ang parehong mga kamay ay pantay na binuo. Ang mga resulta ay ipinapakita sa graph.

    a) Tukuyin ang posibilidad na ang tao ay kanang kamay.

    b) Tukuyin ang posibilidad na ang tao ay kaliwete.

    c) Tukuyin ang posibilidad na ang isang tao ay pantay na matatas sa magkabilang kamay.

    d) Karamihan sa mga tournament ng Professional Bowling Association ay limitado sa 120 na manlalaro. Batay sa data mula sa eksperimentong ito, ilang manlalaro ang maaaring maging kaliwete?

    Solusyon

    a) Ang bilang ng mga taong kanang kamay ay 82, ang bilang ng mga kaliwete ay 17, at ang bilang ng mga taong pantay na matatas sa magkabilang kamay ay 1. Ang kabuuang bilang ng mga obserbasyon ay 100. Kaya, ang posibilidad na ang isang tao ay kanang kamay ay P
    P = 82/100, o 0.82, o 82%.

    b) Ang posibilidad na ang isang tao ay kaliwete ay P, kung saan
    P = 17/100, o 0.17, o 17%.

    c) Ang posibilidad na ang isang tao ay pantay na matatas sa magkabilang kamay ay P, kung saan
    P = 1/100, o 0.01, o 1%.

    d) 120 bowlers, at mula sa (b) maaari nating asahan na 17% ay kaliwete. Mula rito
    17% ng 120 = 0.17.120 = 20.4,
    iyon ay, maaari naming asahan ang tungkol sa 20 mga manlalaro na kaliwete.

    Halimbawa 2 Kontrol sa kalidad . Napakahalaga para sa isang tagagawa na mapanatili ang kalidad ng mga produkto nito sa mataas na lebel. Sa katunayan, ang mga kumpanya ay kumukuha ng mga quality control inspector upang matiyak ang prosesong ito. Ang layunin ay upang makagawa ng pinakamababang posibleng bilang ng mga may sira na produkto. Ngunit dahil ang kumpanya ay gumagawa ng libu-libong mga produkto araw-araw, hindi nito kayang subukan ang bawat produkto upang matukoy kung ito ay may depekto o hindi. Upang malaman kung anong porsyento ng mga produkto ang may depekto, ang kumpanya ay sumusubok ng mas kaunting mga produkto.
    ministeryo Agrikultura Kinakailangan ng US na 80% ng mga buto na ibinebenta ng mga grower ay dapat tumubo. Upang matukoy ang kalidad ng mga buto na ginagawa ng isang kumpanyang pang-agrikultura, 500 na binhi mula sa mga ginawa ang itinanim. Pagkatapos nito, nakalkula na 417 na mga buto ang umusbong.

    a) Ano ang posibilidad na tumubo ang binhi?

    b) Ang mga binhi ba ay nakakatugon sa mga pamantayan ng pamahalaan?

    Solusyon a) Alam natin na sa 500 buto na itinanim, 417 ang umusbong. Ang posibilidad ng pagtubo ng binhi P, at
    P = 417/500 = 0.834, o 83.4%.

    b) Dahil ang porsyento ng mga buto na tumubo ay lumampas sa 80% kung kinakailangan, ang mga buto ay nakakatugon sa mga pamantayan ng pamahalaan.

    Halimbawa 3 Mga rating sa telebisyon. Ayon sa istatistika, mayroong 105,500,000 kabahayan na may mga telebisyon sa Estados Unidos. Bawat linggo, ang impormasyon tungkol sa pagtingin sa mga programa ay kinokolekta at pinoproseso. Sa isang linggo, 7,815,000 na sambahayan ang nanood sa hit na serye ng komedya na "Everybody Loves Raymond" sa CBS at 8,302,000 na sambahayan ang tumutok sa hit series na "Law & Order" sa NBC (Source: Nielsen Media Research). Ano ang posibilidad na ang TV ng isang sambahayan ay nakatutok sa "Everybody Loves Raymond" sa isang partikular na linggo? sa "Law & Order"?

    Solusyon Ang posibilidad na ang TV sa isang sambahayan ay nakatutok sa "Everybody Loves Raymond" ay P, at
    P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0.074 ≈ 7.4%.
    Ang pagkakataon na ang TV ng sambahayan ay nakatutok sa Law & Order ay P, at
    P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0.079 ≈ 7.9%.
    Ang mga porsyentong ito ay tinatawag na mga rating.

    Teoretikal na posibilidad

    Ipagpalagay na nagsasagawa kami ng isang eksperimento, tulad ng paghahagis ng barya o darts, pagguhit ng card mula sa isang deck, o pagsubok ng mga produkto para sa kalidad sa isang linya ng pagpupulong. Ang bawat posibleng resulta ng naturang eksperimento ay tinatawag Exodo . Ang hanay ng lahat ng posibleng resulta ay tinatawag espasyo ng kinalabasan . Kaganapan ito ay isang hanay ng mga kinalabasan, iyon ay, isang subset ng espasyo ng mga kinalabasan.

    Halimbawa 4 Paghahagis ng darts. Ipagpalagay na sa isang eksperimento sa paghahagis ng dart, ang isang dart ay tumama sa isang target. Hanapin ang bawat isa sa mga sumusunod:

    b) Outcome space

    Solusyon
    a) Ang mga kinalabasan ay: pagpindot sa itim (B), pagpindot sa pula (R) at pagpindot sa puti (B).

    b) Ang espasyo ng mga kinalabasan ay (pagpindot sa itim, pagpindot sa pula, pagtama sa puti), na maaaring isulat lamang bilang (H, K, B).

    Halimbawa 5 Paghahagis ng dice. Ang isang die ay isang kubo na may anim na gilid, bawat isa ay may isa hanggang anim na tuldok dito.


    Ipagpalagay na naghahagis tayo ng isang mamatay. Hanapin
    a) Mga kinalabasan
    b) Outcome space

    Solusyon
    a) Mga Resulta: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
    b) Outcome space (1, 2, 3, 4, 5, 6).

    Tinutukoy namin ang posibilidad na ang isang kaganapan E ay nangyayari bilang P(E). Halimbawa, ang “the coin will land on heads” ay maaaring tukuyin ng H. Pagkatapos ay kinakatawan ng P(H) ang posibilidad na mapunta ang coin sa mga ulo. Kapag ang lahat ng kinalabasan ng isang eksperimento ay may parehong posibilidad na mangyari, sinasabing magkapareho ang posibilidad ng mga ito. Upang makita ang mga pagkakaiba sa pagitan ng mga kaganapang pareho ang posibilidad at mga kaganapang hindi, isaalang-alang ang target na ipinapakita sa ibaba.

    Para sa target A, ang mga kaganapan ng pagpindot sa itim, pula at puti ay pantay na posibilidad, dahil pareho ang mga sektor ng itim, pula at puti. Gayunpaman, para sa target B, ang mga zone na may ganitong mga kulay ay hindi pareho, iyon ay, ang pagpindot sa kanila ay hindi pantay na posibilidad.

    Prinsipyo P (Teoretikal)

    Kung ang isang kaganapan E ay maaaring mangyari sa m paraan sa labas ng n posibleng pantay na posibleng resulta mula sa kinalabasang espasyo S, kung gayon teoretikal na posibilidad mga pangyayari, ang P(E) ay
    P(E) = m/n.

    Halimbawa 6 Ano ang posibilidad ng pag-roll ng isang die upang makakuha ng 3?

    Solusyon Mayroong 6 na pantay na posibleng resulta sa isang dice at mayroon lamang isang posibilidad na igulong ang numerong 3. Kung gayon ang posibilidad na P ay magiging P(3) = 1/6.

    Halimbawa 7 Ano ang posibilidad ng pag-roll ng even number sa isang die?

    Solusyon Ang kaganapan ay ang paghagis ng kahit na numero. Ito ay maaaring mangyari sa 3 paraan (kung magpapagulong-gulong ka ng 2, 4 o 6). Ang bilang ng pantay na posibleng resulta ay 6. Pagkatapos ang probabilidad P(even) = 3/6, o 1/2.

    Gagamit kami ng ilang halimbawa na kinasasangkutan ng karaniwang 52 card deck. Ang deck na ito ay binubuo ng mga card na ipinapakita sa figure sa ibaba.

    Halimbawa 8 Ano ang posibilidad ng pagguhit ng Ace mula sa isang mahusay na binasa na deck ng mga baraha?

    Solusyon Mayroong 52 na resulta (ang bilang ng mga card sa deck), pareho silang malamang (kung maayos na binasa ang deck), at mayroong 4 na paraan upang gumuhit ng Ace, kaya ayon sa prinsipyo ng P, ang posibilidad
    P(gumuhit ng alas) = ​​4/52, o 1/13.

    Halimbawa 9 Ipagpalagay na pipiliin natin, nang hindi tumitingin, ng isang bola mula sa isang bag na may 3 pulang bola at 4 na berdeng bola. Ano ang posibilidad ng pagpili ng pulang bola?

    Solusyon Mayroong 7 pantay na posibleng resulta ng pagguhit ng anumang bola, at dahil ang bilang ng mga paraan upang gumuhit ng pulang bola ay 3, nakukuha natin
    P(pagpili ng pulang bola) = 3/7.

    Ang mga sumusunod na pahayag ay mga resulta mula sa Prinsipyo P.

    Mga Katangian ng Probability

    a) Kung ang kaganapan E ay hindi maaaring mangyari, kung gayon ang P(E) = 0.
    b) Kung tiyak na mangyayari ang kaganapan E, P(E) = 1.
    c) Ang posibilidad na mangyari ang kaganapang E ay isang numero mula 0 hanggang 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

    Halimbawa, sa isang coin toss, ang kaganapan na ang barya ay dumapo sa gilid nito ay walang posibilidad. Ang posibilidad na ang isang barya ay alinman sa mga ulo o buntot ay may posibilidad na 1.

    Halimbawa 10 Ipagpalagay natin na ang 2 card ay nakuha mula sa isang 52-card deck. Ano ang posibilidad na pareho silang peak?

    Solusyon Ang bilang n ng mga paraan upang gumuhit ng 2 card mula sa isang well-shuffled deck ng 52 card ay 52 C 2 . Dahil ang 13 sa 52 na baraha ay mga pala, ang bilang ng mga paraan ng m upang gumuhit ng 2 mga pala ay 13 C 2 . pagkatapos,
    P(paghila ng 2 peak) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

    Halimbawa 11 Ipagpalagay na 3 tao ang random na pinili mula sa isang grupo ng 6 na lalaki at 4 na babae. Ano ang posibilidad na 1 lalaki at 2 babae ang mapipili?

    Solusyon Ang bilang ng mga paraan upang pumili ng tatlong tao mula sa isang grupo ng 10 tao ay 10 C 3. Maaaring piliin ang isang lalaki sa 6 C 1 na paraan, at 2 babae ang maaaring piliin sa 4 C 2 paraan. Ayon sa pangunahing prinsipyo ng pagbibilang, ang bilang ng mga paraan upang pumili ng 1 lalaki at 2 babae ay 6 C 1. 4 C 2 . Pagkatapos, ang posibilidad na mapili ang 1 lalaki at 2 babae ay
    P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

    Halimbawa 12 Paghahagis ng dice. Ano ang posibilidad ng paggulong ng kabuuang 8 sa dalawang dice?

    Solusyon Ang bawat dice ay may 6 na posibleng resulta. Dinoble ang mga resulta, ibig sabihin mayroong 6.6 o 36 na posibleng paraan kung saan maaaring lumitaw ang mga numero sa dalawang dice. (Mas maganda kung magkaiba ang mga cube, sabihin nating ang isa ay pula at ang isa ay asul - makakatulong ito na makita ang resulta.)

    Ang mga pares ng mga numero na nagdaragdag ng hanggang 8 ay ipinapakita sa figure sa ibaba. Mayroong 5 mga posibleng paraan tumatanggap ng kabuuan na katumbas ng 8, kaya ang probabilidad ay 5/36.

    Dinala sa petsa bukas na garapon Pinag-isang mga problema sa Pagsusuri ng Estado sa matematika (mathege.ru), ang solusyon nito ay batay lamang sa isang pormula, na siyang klasikal na kahulugan ng posibilidad.

    Ang pinakamadaling paraan upang maunawaan ang formula ay may mga halimbawa.
    Halimbawa 1. Mayroong 9 na pulang bola at 3 asul na bola sa basket. Ang mga bola ay naiiba lamang sa kulay. Inilabas namin ang isa sa kanila nang random (nang hindi tumitingin). Ano ang posibilidad na ang bola na pinili sa ganitong paraan ay magiging asul?

    Komento. Sa mga probabilidad na problema, may mangyayari (sa kasong ito, ang pagkilos natin sa pagguhit ng bola) na maaaring magkaroon magkaibang resulta- kinalabasan. Dapat tandaan na ang resulta ay maaaring tingnan sa iba't ibang paraan. "Naglabas kami ng ilang uri ng bola" ay isang resulta din. "Inilabas namin ang asul na bola" - ang resulta. "Nakuha namin nang eksakto ang bola na ito mula sa lahat ng posibleng mga bola" - ang hindi gaanong pangkalahatan na pagtingin sa resulta ay tinatawag na elementarya na kinalabasan. Ito ay ang elementarya na mga kinalabasan na sinadya sa formula para sa pagkalkula ng probabilidad.

    Solusyon. Ngayon kalkulahin natin ang posibilidad ng pagpili ng asul na bola.
    Event A: "naging asul ang napiling bola"
    Kabuuang bilang ng lahat ng posibleng resulta: 9+3=12 (ang bilang ng lahat ng bola na maaari naming ibunot)
    Bilang ng mga resultang paborable para sa kaganapan A: 3 (ang bilang ng mga naturang resulta kung saan nangyari ang kaganapan A - iyon ay, ang bilang ng mga asul na bola)
    P(A)=3/12=1/4=0.25
    Sagot: 0.25

    Para sa parehong problema, kalkulahin natin ang posibilidad ng pagpili ng pulang bola.
    Ang kabuuang bilang ng mga posibleng resulta ay mananatiling pareho, 12. Bilang ng mga kanais-nais na resulta: 9. Hinahanap ang posibilidad: 9/12=3/4=0.75

    Ang posibilidad ng anumang kaganapan ay palaging nasa pagitan ng 0 at 1.
    Minsan sa pang-araw-araw na pagsasalita (ngunit hindi sa teorya ng posibilidad!) ang posibilidad ng mga kaganapan ay tinatantya bilang isang porsyento. Ang paglipat sa pagitan ng mga marka ng matematika at pakikipag-usap ay nagagawa sa pamamagitan ng pag-multiply (o paghahati) ng 100%.
    Kaya,
    Bukod dito, ang posibilidad ay zero para sa mga kaganapan na hindi maaaring mangyari - hindi kapani-paniwala. Halimbawa, sa aming halimbawa ito ang posibilidad na gumuhit ng berdeng bola mula sa basket. (Ang bilang ng mga kanais-nais na resulta ay 0, P(A)=0/12=0, kung kalkulahin gamit ang formula)
    Ang probabilidad 1 ay may mga kaganapang tiyak na mangyayari, nang walang mga pagpipilian. Halimbawa, ang posibilidad na "ang napiling bola ay magiging pula o asul" ay para sa aming gawain. (Bilang ng mga kanais-nais na resulta: 12, P(A)=12/12=1)

    Tumingin kami sa isang klasikong halimbawa na naglalarawan ng kahulugan ng posibilidad. Ang lahat ng mga katulad na problema ng Pinag-isang State Exam sa probability theory ay nalutas sa pamamagitan ng paggamit ng formula na ito.
    Sa halip ng pula at asul na mga bola ay maaaring may mga mansanas at peras, mga lalaki at babae, natutunan at hindi pinag-aralan na mga tiket, mga tiket na naglalaman at hindi naglalaman ng isang katanungan sa ilang paksa (mga prototype,), may sira at mataas na kalidad na mga bag o mga bomba sa hardin (mga prototype ,) - ang prinsipyo ay nananatiling pareho.

    Ang mga ito ay bahagyang naiiba sa pagbabalangkas ng problema ng probabilidad na teorya ng Pinag-isang Pagsusuri ng Estado, kung saan kailangan mong kalkulahin ang posibilidad ng ilang kaganapan na nagaganap sa isang tiyak na araw. ( , ) Tulad ng sa mga nakaraang problema, kailangan mong matukoy kung ano ang elementarya na kinalabasan, at pagkatapos ay ilapat ang parehong formula.

    Halimbawa 2. Ang kumperensya ay tumatagal ng tatlong araw. Sa una at ikalawang araw ay mayroong 15 tagapagsalita, sa ikatlong araw - 20. Ano ang posibilidad na mahulog ang ulat ni Propesor M. sa ikatlong araw kung ang pagkakasunud-sunod ng mga ulat ay natutukoy sa pamamagitan ng pagguhit ng palabunutan?

    Ano ang kinalabasan ng elementarya dito? – Pagtatalaga sa ulat ng propesor ng isa sa lahat ng posibleng serial number para sa talumpati. 15+15+20=50 tao ang lumahok sa draw. Kaya, ang ulat ni Propesor M. ay maaaring makatanggap ng isa sa 50 isyu. Nangangahulugan ito na mayroon lamang 50 elementarya na kinalabasan.
    Ano ang mga kanais-nais na kinalabasan? - Ang mga kung saan ito ay lumabas na ang propesor ay magsasalita sa ikatlong araw. Ibig sabihin, ang huling 20 numero.
    Ayon sa formula, probability P(A)= 20/50=2/5=4/10=0.4
    Sagot: 0.4

    Ang pagguhit ng mga palabunutan dito ay kumakatawan sa pagtatatag ng isang random na pagsusulatan sa pagitan ng mga tao at mga nakaayos na lugar. Sa halimbawa 2, ang pagtatatag ng mga sulat ay isinasaalang-alang mula sa punto ng view kung alin sa mga lugar ang maaaring kunin espesyal na tao. Maaari mong lapitan ang parehong sitwasyon mula sa kabilang panig: sino sa mga taong may posibilidad na makarating sa isang partikular na lugar (prototypes , , , ):

    Halimbawa 3. Kasama sa draw ang 5 Germans, 8 French at 3 Estonians. Ano ang posibilidad na ang una (/pangalawa/ikapito/huling – hindi mahalaga) ay magiging isang Frenchman.

    Bilang ng elementarya na kinalabasan – bilang ng lahat posibleng mga tao, na makakarating sa lugar na ito sa pamamagitan ng pagguhit ng palabunutan. 5+8+3=16 na tao.
    Mga kanais-nais na kinalabasan - Pranses. 8 tao.
    Kinakailangang posibilidad: 8/16=1/2=0.5
    Sagot: 0.5

    Ang prototype ay bahagyang naiiba. May mga problema pa rin tungkol sa mga barya () at dais(), medyo mas malikhain. Ang solusyon sa mga problemang ito ay matatagpuan sa mga pahina ng prototype.

    Narito ang ilang halimbawa ng paghagis ng barya o dice.

    Halimbawa 4. Kapag naghagis tayo ng barya, ano ang posibilidad na mapunta sa mga ulo?
    Mayroong 2 kinalabasan - ulo o buntot. (pinaniniwalaan na ang barya ay hindi kailanman dumarating sa gilid nito) Ang isang kanais-nais na resulta ay mga buntot, 1.
    Probability 1/2=0.5
    Sagot: 0.5.

    Halimbawa 5. Paano kung maghagis tayo ng barya ng dalawang beses? Ano ang posibilidad na magkaroon ng mga ulo sa dalawang beses?
    Ang pangunahing bagay ay upang matukoy kung anong mga pangunahing resulta ang isasaalang-alang natin kapag naghagis ng dalawang barya. Pagkatapos maghagis ng dalawang barya, maaaring mangyari ang isa sa mga sumusunod na resulta:
    1) PP - parehong beses na ito ay dumating sa ulo
    2) PO – unang beses na mga ulo, pangalawang beses na mga ulo
    3) OP - ulo sa unang pagkakataon, buntot sa pangalawang pagkakataon
    4) OO - dalawang beses na lumabas ang mga ulo
    Walang ibang mga pagpipilian. Nangangahulugan ito na mayroong 4 na elementarya na resulta. Tanging ang una, 1, ay paborable.
    Probability: 1/4=0.25
    Sagot: 0.25

    Ano ang posibilidad na ang dalawang coin tosses ay magreresulta sa mga buntot?
    Ang bilang ng elementarya na kinalabasan ay pareho, 4. Ang mga kanais-nais na resulta ay ang pangalawa at pangatlo, 2.
    Ang posibilidad na makakuha ng isang buntot: 2/4=0.5

    Sa ganitong mga problema, maaaring maging kapaki-pakinabang ang isa pang formula.
    Kung sa isang paghagis ng barya posibleng mga opsyon mayroon kaming 2 resulta, pagkatapos para sa dalawang paghagis ang mga resulta ay 2 2 = 2 2 = 4 (tulad ng sa halimbawa 5), ​​para sa tatlong paghagis 2 2 2 = 2 3 = 8, para sa apat: 2 2 2 2 =2 4 = 16, ... para sa N throws ang mga posibleng resulta ay 2·2·...·2=2 N .

    Kaya, maaari mong mahanap ang posibilidad na makakuha ng 5 ulo sa 5 coin tosses.
    Kabuuang bilang ng elementarya na kinalabasan: 2 5 =32.
    Mga kanais-nais na resulta: 1. (RRRRRR – ulo lahat ng 5 beses)
    Probability: 1/32=0.03125

    Ang parehong ay totoo para sa dice. Sa isang paghagis, mayroong 6 na posibleng resulta. Kaya, para sa dalawang paghagis: 6 6 = 36, para sa tatlo 6 6 6 = 216, atbp.

    Halimbawa 6. Inihagis namin ang dice. Ano ang posibilidad na ang isang even na numero ay i-roll?

    Kabuuang mga resulta: 6, ayon sa bilang ng mga panig.
    Kanais-nais: 3 resulta. (2, 4, 6)
    Probability: 3/6=0.5

    Halimbawa 7. Naghahagis kami ng dalawang dice. Ano ang posibilidad na ang kabuuan ay magiging 10? (iikot sa pinakamalapit na daang)

    Para sa isang pagkamatay mayroong 6 na posibleng resulta. Nangangahulugan ito na para sa dalawa, ayon sa tuntunin sa itaas, 6·6=36.
    Anong mga resulta ang magiging kanais-nais para sa kabuuan na gumulong sa 10?
    Ang 10 ay dapat mabulok sa kabuuan ng dalawang numero mula 1 hanggang 6. Magagawa ito sa dalawang paraan: 10=6+4 at 10=5+5. Nangangahulugan ito na ang mga sumusunod na pagpipilian ay posible para sa mga cube:
    (6 sa una at 4 sa pangalawa)
    (4 sa una at 6 sa pangalawa)
    (5 sa una at 5 sa pangalawa)
    Kabuuan, 3 pagpipilian. Kinakailangang posibilidad: 3/36=1/12=0.08
    Sagot: 0.08

    Ang iba pang uri ng mga problema sa B6 ay tatalakayin sa hinaharap na artikulong Paano Lutasin.

     

    Basahin:



    Tulong sa paggawa ng plano sa negosyo

    Tulong sa paggawa ng plano sa negosyo

    Ang isang plano sa negosyo ay kung ano ang tumutulong sa isang negosyante na mag-navigate sa kapaligiran ng merkado at makita ang mga layunin. Maraming matagumpay na tao ang nakapansin na ang isang ideya ay nangangailangan ng...

    Pagsusuri ng mga aktibidad ng negosyo

    Pagsusuri ng mga aktibidad ng negosyo

    Ang pangmatagalang pag-unlad ng anumang negosyo ay nakasalalay sa kakayahan ng pamamahala na agad na makilala ang mga umuusbong na problema at mahusay na malutas ang mga ito...

    Hegumen Evstafiy (Zhakov): "Katawan B

    Hegumen Evstafiy (Zhakov):

    TINGNAN ang “THE DAPAT BE DIFFERENCES OF THOUGHT...” Narito ang isang artikulo ng manunulat na si Nikolai Konyaev bilang pagtatanggol sa St. Petersburg abbot Eustathius (Zhakov) kaugnay ng...

    Bakit hindi gusto ng Europe ang Russia (1 larawan) Hindi gusto ng mga Europeo ang mga Russian

    Bakit hindi gusto ng Europe ang Russia (1 larawan) Hindi gusto ng mga Europeo ang mga Russian

    Ako ay Ruso! Ipinagmamalaki ko na ako ay Ruso!!! Alam ko na tayo (mga Ruso) ay hindi minamahal kahit saan - kahit sa Europa, o sa Amerika. At alam ko kung bakit...***Sabi ni Luc Besson...
    feed-image RSS