Sa geometry, ang anggulo ay isang pigura na nabuo ng dalawang sinag na nagmumula sa isang punto (ang tuktok ng anggulo). Ang mga anggulo ay kadalasang sinusukat sa mga degree, na may kumpletong anggulo, o rebolusyon, na 360 degrees. Maaari mong kalkulahin ang anggulo ng isang polygon kung alam mo ang uri ng polygon at ang magnitude ng iba pang mga anggulo nito o, sa kaso kanang tatsulok, ang haba ng dalawang gilid nito.

Mga hakbang

Pagkalkula ng Mga Anggulo ng Polygon

Bilangin ang bilang ng mga anggulo sa polygon.

Hanapin ang kabuuan ng lahat ng mga anggulo ng polygon. Ang formula para sa paghahanap ng kabuuan ng lahat ng mga panloob na anggulo ng isang polygon ay (n - 2) x 180, kung saan ang n ay ang bilang ng mga gilid pati na rin ang mga anggulo ng polygon. Narito ang mga kabuuan ng anggulo ng ilang karaniwang nakakaharap na polygon:

• Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok (tatlong panig na polygon) ay 180 degrees.
• Ang kabuuan ng mga anggulo ng quadrilateral (four-sided polygon) ay 360 degrees.
• Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang pentagon (five-sided polygon) ay 540 degrees.
• Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang hexagon (anim na panig na polygon) ay 720 degrees.
• Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang octagon (walong panig na polygon) ay 1080 degrees.

1. Tukuyin kung regular ang polygon. Ang isang regular na polygon ay isa kung saan ang lahat ng panig at lahat ng mga anggulo ay pantay. Kasama sa mga halimbawa ng regular na polygon ang isang equilateral triangle at isang parisukat, habang ang Pentagon sa Washington ay itinayo sa hugis ng isang regular na pentagon, at ang isang stop sign ay hugis tulad ng isang regular na octagon.

   Idagdag ang mga kilalang anggulo ng polygon at pagkatapos ay ibawas ang kabuuan mula sa kabuuang halaga lahat ng sulok nito. Sa karamihan ng mga geometric na problema ng ganitong uri pinag-uusapan natin tungkol sa mga triangles o quadrilaterals, dahil nangangailangan sila ng mas kaunting data ng pag-input, kaya gagawin namin ang parehong.

   • Kung ang dalawang anggulo ng isang tatsulok ay katumbas ng 60 degrees at 80 degrees, ayon sa pagkakabanggit, idagdag ang mga numerong ito. Ang resulta ay magiging 140 degrees. Pagkatapos ay ibawas ang halagang ito mula sa kabuuang kabuuan ng lahat ng mga anggulo ng tatsulok, iyon ay, mula sa 180 degrees: 180 - 140 = 40 degrees. (Ang isang tatsulok na ang mga anggulo ay lahat ay hindi pantay ay tinatawag na equilateral.)
   • Maaari mong isulat ang solusyon na ito bilang formula a = 180 - (b + c), kung saan ang a ay ang anggulo na ang halaga ay kailangang matagpuan, b at c ay ang mga halaga ng mga kilalang anggulo. Para sa mga polygon na may higit sa tatlong panig, palitan ang 180 ng kabuuan ng mga anggulo ng polygon ng ganoong uri at magdagdag ng isang termino sa kabuuan sa mga panaklong para sa bawat kilalang anggulo.
   • Ang ilang polygon ay may sariling "mga trick" na tutulong sa iyong kalkulahin ang hindi kilalang anggulo. Halimbawa, ang isosceles triangle ay isang tatsulok na may dalawang magkapantay na gilid at dalawa pantay na anggulo. Ang parallelogram ay isang quadrilateral na ang magkabilang panig at magkasalungat na mga anggulo ay pantay.

   Kinakalkula ang mga anggulo ng isang tamang tatsulok

   1. Tukuyin kung anong data ang alam mo. Tinatawag itong right triangle dahil tama ang isa sa mga anggulo nito. Mahahanap mo ang magnitude ng isa sa dalawang natitirang anggulo kung alam mo ang isa sa mga sumusunod:

      Tukuyin kung aling trigonometric function ang gagamitin. Ang mga function na trigonometric ay nagpapahayag ng mga ugnayan sa pagitan ng dalawa sa tatlong panig ng isang tatsulok. Mayroong anim na trigonometriko function, ngunit ang pinakakaraniwang ginagamit ay:

Sa geometry ay madalas na may mga problema na nauugnay sa mga gilid ng mga tatsulok. Halimbawa, madalas na kinakailangan upang makahanap ng isang gilid ng isang tatsulok kung ang iba pang dalawa ay kilala.

Ang mga tatsulok ay isosceles, equilateral at hindi pantay. Mula sa lahat ng iba't, para sa unang halimbawa ay pipili kami ng isang hugis-parihaba (sa tulad ng isang tatsulok, ang isa sa mga anggulo ay 90 °, ang mga gilid na katabi nito ay tinatawag na mga binti, at ang pangatlo ay ang hypotenuse).

Mabilis na pag-navigate sa artikulo

Haba ng mga gilid ng isang tamang tatsulok

Ang solusyon sa problema ay sumusunod mula sa theorem ng mahusay na matematiko na si Pythagoras. Sinasabi nito na ang kabuuan ng mga parisukat ng mga binti ng isang tamang tatsulok ay katumbas ng parisukat ng hypotenuse nito: a²+b²=c²

• Hanapin ang parisukat ng haba ng binti a;
• Hanapin ang parisukat ng binti b;
• Pinagsama-sama namin sila;
• Mula sa nakuha na resulta ay kinukuha namin ang pangalawang ugat.

Halimbawa: a=4, b=3, c=?

• a²=4²=16;
• b² =3²=9;
• 16+9=25;
• √25=5. Iyon ay, ang haba ng hypotenuse ng tatsulok na ito ay 5.

Kung ang tatsulok ay wala tamang anggulo, kung gayon ang mga haba ng dalawang panig ay hindi sapat. Para dito, kinakailangan ang isang pangatlong parameter: ito ay maaaring isang anggulo, ang taas ng tatsulok, ang radius ng bilog na nakasulat dito, atbp.

Kung alam ang perimeter

Sa kasong ito, ang gawain ay mas simple. Ang perimeter (P) ay ang kabuuan ng lahat ng panig ng tatsulok: P=a+b+c. Kaya, sa pamamagitan ng paglutas ng isang simpleng mathematical equation ay nakukuha natin ang resulta.

Halimbawa: P=18, a=7, b=6, c=?

1) Nilulutas namin ang equation sa pamamagitan ng paglipat ng lahat ng kilalang parameter sa isang gilid ng pantay na tanda:

2) Palitan ang mga halaga sa halip na mga ito at kalkulahin ang ikatlong panig:

c=18-7-6=5, kabuuan: ang ikatlong bahagi ng tatsulok ay 5.

Kung alam ang anggulo

Upang kalkulahin ang ikatlong bahagi ng isang tatsulok na binigyan ng isang anggulo at dalawang iba pang panig, ang solusyon ay bumaba sa pagkalkula ng trigonometric equation. Alam ang kaugnayan sa pagitan ng mga gilid ng tatsulok at ang sine ng anggulo, madaling kalkulahin ang ikatlong panig. Upang gawin ito, kailangan mong i-square ang magkabilang panig at idagdag ang kanilang mga resulta nang magkasama. Pagkatapos ay ibawas mula sa resultang produkto ang produkto ng mga panig na pinarami ng cosine ng anggulo: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

Kung kilala ang lugar

Sa kasong ito, hindi gagana ang isang formula.

1) Una, kalkulahin ang sin γ, na nagpapahayag nito mula sa formula para sa lugar ng isang tatsulok:

kasalanan γ= 2S/(a*b)

2) Gamit ang sumusunod na formula, kinakalkula namin ang cosine ng parehong anggulo:

sin² α + cos² α=1

cos α=√(1 — sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)

3) At muli ginagamit namin ang theorem ng sines:

C=√((a²+b²)-a*b*cosα)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

Ang pagpapalit ng mga halaga ng mga variable sa equation na ito, nakuha namin ang sagot sa problema.

Online na calculator.
Paglutas ng mga tatsulok.

Ang paglutas ng isang tatsulok ay ang paghahanap ng lahat ng anim na elemento nito (ibig sabihin, tatlong panig at tatlong anggulo) mula sa anumang tatlong ibinigay na elemento na tumutukoy sa tatsulok.

Hinahanap ng mathematical program na ito ang gilid \(c\), anggulo \(\alpha \) at \(\beta \) mula sa mga gilid na tinukoy ng user \(a, b\) at ang anggulo sa pagitan ng mga ito \(\gamma \)

Ang programa ay hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ngunit ipinapakita din ang proseso ng paghahanap ng solusyon.

Ang online na calculator na ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa high school mga paaralang sekondarya bilang paghahanda sa mga pagsubok at mga pagsusulit, kapag sinusuri ang kaalaman bago ang Pinag-isang Pagsusulit ng Estado, para makontrol ng mga magulang ang solusyon ng maraming problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang bang matapos ang iyong araling-bahay sa matematika o algebra sa lalong madaling panahon? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may mga detalyadong solusyon.

Sa ganitong paraan, maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagsasanay at/o pagsasanay sa iyong mga nakababatang kapatid na lalaki o babae, habang tumataas ang antas ng edukasyon sa larangan ng paglutas ng mga problema.

Kung hindi ka pamilyar sa mga patakaran para sa pagpasok ng mga numero, inirerekomenda namin na maging pamilyar ka sa mga ito.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga numero

Ang mga numero ay maaaring tukuyin hindi lamang bilang mga buong numero, kundi pati na rin bilang mga fraction.
Ang integer at fractional na bahagi sa mga decimal fraction ay maaaring paghiwalayin ng alinman sa isang tuldok o kuwit.
Halimbawa, maaari kang magpasok ng mga decimal fraction tulad ng 2.5 o tulad ng 2.5

Natuklasan na ang ilang mga script na kinakailangan upang malutas ang problemang ito ay hindi na-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.
Maaaring pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.

kasi Maraming mga tao na handang lutasin ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Sa ilang segundo ang solusyon ay lilitaw sa ibaba.
Mangyaring maghintay sec...

kung ikaw napansin ang isang error sa solusyon, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Form ng Feedback.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka kung ano pumasok sa mga patlang.

Ang aming mga laro, puzzle, emulator:

Isang maliit na teorya.

Teorama ng mga sine

Teorama

Ang mga gilid ng isang tatsulok ay proporsyonal sa mga sine ng magkasalungat na anggulo:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

Cosine theorem

Teorama
Hayaan ang AB = c, BC = a, CA = b sa tatsulok na ABC. Pagkatapos
Ang parisukat ng isang gilid ng isang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng iba pang dalawang panig na binawasan ng dalawang beses ang produkto ng mga panig na iyon na pinarami ng cosine ng anggulo sa pagitan nila.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

Paglutas ng mga tatsulok

Ang paglutas ng isang tatsulok ay nangangahulugan ng paghahanap ng lahat ng anim na elemento nito (ibig sabihin, tatlong panig at tatlong anggulo) mula sa anumang tatlong ibinigay na elemento na tumutukoy sa tatsulok.

Tingnan natin ang tatlong problema na kinasasangkutan ng paglutas ng isang tatsulok. Sa kasong ito, gagamitin namin ang sumusunod na notasyon para sa mga gilid ng tatsulok na ABC: AB = c, BC = a, CA = b.

Paglutas ng isang tatsulok gamit ang dalawang panig at ang anggulo sa pagitan nila

Ibinigay: \(a, b, \angle C\). Hanapin ang \(c, \angle A, \angle B\)

Solusyon
1. Gamit ang cosine theorem nakita natin ang \(c\):

3. \(\anggulo B = 180^\circ -\angle A -\angle C\)

Paglutas ng isang tatsulok sa tabi at katabing mga anggulo

Ibinigay: \(a, \angle B, \angle C\). Hanapin ang \(\angle A, b, c\)

Solusyon
1. \(\anggulo A = 180^\circ -\angle B -\angle C\)

Paglutas ng isang tatsulok gamit ang tatlong panig

Ibinigay: \(a, b, c\). Hanapin ang \(\angle A, \angle B, \angle C\)

Solusyon
1. Gamit ang cosine theorem na nakukuha natin:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

2. Katulad nito, nakikita natin ang anggulo B.
3. \(\anggulo C = 180^\circ -\angle A -\angle B\)

Paglutas ng isang tatsulok gamit ang dalawang panig at isang anggulo sa tapat ng isang kilalang panig

Ibinigay: \(a, b, \angle A\). Hanapin ang \(c, \angle B, \angle C\)

Solusyon
1. Gamit ang theorem ng sines, makikita natin ang \(\sin B\) na nakukuha natin:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Rightarrow \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

Ipakilala natin ang notasyon: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). Depende sa numero D, posible ang mga sumusunod na kaso:
Kung D > 1, ang gayong tatsulok ay hindi umiiral, dahil Ang \(\sin B\) ay hindi maaaring higit sa 1
Kung D = 1, mayroong kakaibang \(\angle B: \quad \sin B = 1 \Rightarrow \angle B = 90^\circ \)
Kung D Kung D 2. \(\angle C = 180^\circ -\angle A -\angle B\)

3. Gamit ang sine theorem, kinakalkula namin ang gilid c:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Sa buhay, madalas nating haharapin ang mga problema sa matematika: sa paaralan, sa unibersidad, at pagkatapos ay tulungan ang ating anak sa pagkumpleto takdang aralin. Ang mga tao sa ilang mga propesyon ay makakatagpo ng matematika araw-araw. Samakatuwid, kapaki-pakinabang na kabisaduhin o alalahanin ang mga panuntunan sa matematika. Sa artikulong ito titingnan natin ang isa sa mga ito: paghahanap ng gilid ng isang tamang tatsulok.

Ano ang tamang tatsulok

Una, tandaan natin kung ano ang tamang tatsulok. Ang isang tamang tatsulok ay geometric na pigura ng tatlong mga segment na nag-uugnay sa mga punto na hindi nakahiga sa parehong tuwid na linya, at ang isa sa mga anggulo ng figure na ito ay 90 degrees. Ang mga gilid na bumubuo ng tamang anggulo ay tinatawag na mga binti, at ang panig na nasa tapat ng tamang anggulo ay tinatawag na hypotenuse.

Paghahanap ng binti ng isang tamang tatsulok

Mayroong ilang mga paraan upang malaman ang haba ng binti. Gusto kong isaalang-alang ang mga ito nang mas detalyado.

Pythagorean theorem upang mahanap ang gilid ng isang right triangle

Kung alam natin ang hypotenuse at ang binti, makikita natin ang haba ng hindi kilalang binti gamit ang Pythagorean theorem. Parang ganito: "Ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti." Formula: c²=a²+b², kung saan ang c ay ang hypotenuse, ang a at b ay ang mga binti. Binabago namin ang formula at makuha ang: a²=c²-b².

Halimbawa. Ang hypotenuse ay 5 cm, at ang binti ay 3 cm. Binabago namin ang formula: c²=a²+b² → a²=c²-b². Susunod na malulutas namin ang: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).

Trigonometric ratios upang mahanap ang binti ng isang right triangle

Makakahanap ka rin ng hindi kilalang binti kung alam ang anumang iba pang panig at anumang matinding anggulo ng tamang tatsulok. Mayroong apat na pagpipilian para sa paghahanap ng isang binti gamit ang mga trigonometric function: sine, cosine, tangent, cotangent. Ang talahanayan sa ibaba ay makakatulong sa amin na malutas ang mga problema. Isaalang-alang natin ang mga opsyong ito.

Hanapin ang binti ng isang kanang tatsulok gamit ang sine

Ang sine ng isang anggulo (sin) ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa hypotenuse. Formula: sin=a/c, kung saan ang a ay ang binti sa tapat ng ibinigay na anggulo, at c ay ang hypotenuse. Susunod, binabago namin ang formula at makuha ang: a=sin*c.

Halimbawa. Ang hypotenuse ay 10 cm, ang anggulo A ay 30 degrees. Gamit ang talahanayan, kinakalkula namin ang sine ng anggulo A, ito ay katumbas ng 1/2. Pagkatapos, gamit ang binagong formula, malulutas natin ang: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).

Hanapin ang binti ng isang tamang tatsulok gamit ang cosine

Ang cosine ng isang anggulo (cos) ay ang ratio ng katabing paa sa hypotenuse. Formula: cos=b/c, kung saan ang b ay ang binti na katabi ng isang naibigay na anggulo, at c ay ang hypotenuse. Ibahin natin ang formula at makuha ang: b=cos*c.

Halimbawa. Ang anggulo A ay katumbas ng 60 degrees, ang hypotenuse ay katumbas ng 10 cm. Gamit ang talahanayan, kinakalkula namin ang cosine ng anggulo A, ito ay katumbas ng 1/2. Susunod na malulutas natin ang: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Hanapin ang binti ng isang right triangle gamit ang tangent

Ang padaplis ng isang anggulo (tg) ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi. Formula: tg=a/b, kung saan ang a ay ang gilid na katapat ng anggulo, at ang b ay ang katabing gilid. Ibahin natin ang formula at makuha ang: a=tg*b.

Halimbawa. Ang anggulo A ay katumbas ng 45 degrees, ang hypotenuse ay katumbas ng 10 cm. Gamit ang talahanayan, kinakalkula namin ang tangent ng anggulo A, ito ay katumbas ng Solve: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).

Hanapin ang binti ng isang right triangle gamit ang cotangent

Angle cotangent (ctg) ay ang ratio ng katabing bahagi sa kabaligtaran. Formula: ctg=b/a, kung saan ang b ay ang binti na katabi ng anggulo, at ang kabaligtaran na binti. Sa madaling salita, ang cotangent ay isang "inverted tangent." Nakukuha namin ang: b=ctg*a.

Halimbawa. Ang anggulo A ay 30 degrees, ang tapat na binti ay 5 cm. Ayon sa talahanayan, ang tangent ng anggulo A ay √3. Kinakalkula namin: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Kaya ngayon alam mo kung paano makahanap ng isang binti sa isang tamang tatsulok. Tulad ng nakikita mo, hindi ganoon kahirap, ang pangunahing bagay ay tandaan ang mga formula.

Ang tatsulok ay isang primitive polygon na nakatali sa isang eroplano ng tatlong puntos at tatlong segment na nagkokonekta sa mga puntong ito nang magkapares. Ang mga anggulo sa isang tatsulok ay acute, obtuse at right. Ang kabuuan ng mga anggulo sa isang tatsulok ay tuloy-tuloy at katumbas ng 180 degrees.

Kakailanganin mong

• Pangunahing kaalaman sa geometry at trigonometry.

Mga tagubilin

1. Tukuyin natin ang mga haba ng mga gilid ng tatsulok bilang a=2, b=3, c=4, at ang mga anggulo nito bilang u, v, w, na ang bawat isa ay nasa tapat ng isa sa mga gilid. Ayon sa cosine theorem, ang parisukat ng haba ng isang gilid ng isang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga haba ng iba pang 2 panig na binawasan ng dalawang beses ang produkto ng mga panig na ito at ang cosine ng anggulo sa pagitan nila. Ibig sabihin, a^2 = b^2 + c^2 – 2bc*cos(u). Palitan natin ang mga haba ng mga gilid sa expression na ito at makuha ang: 4 = 9 + 16 – 24cos(u).

2. Ipahayag natin ang cos(u) mula sa nagresultang pagkakapantay-pantay. Nakukuha namin ang sumusunod: cos(u) = 7/8. Susunod ay makikita natin ang aktwal na anggulo u. Upang gawin ito, kalkulahin natin ang arccos(7/8). Ibig sabihin, anggulo u = arccos(7/8).

3. Katulad nito, ang pagpapahayag ng iba pang mga panig sa mga tuntunin ng iba, makikita natin ang natitirang mga anggulo.

Tandaan!
Ang halaga ng isang anggulo ay hindi maaaring lumampas sa 180 degrees. Ang sign arccos() ay hindi maaaring maglaman ng numerong mas malaki sa 1 at mas maliit sa -1.

Nakatutulong na payo
Upang makita ang lahat ng tatlong mga anggulo, hindi kinakailangang ipahayag ang lahat ng tatlong panig, pinapayagan na makita lamang ang 2 anggulo, at ang ika-3 ay nakuha sa pamamagitan ng pagbabawas ng halaga ng natitirang 2 mula sa 180 degrees. Ito ay sumusunod mula sa katotohanan na ang kabuuan ng lahat ng mga anggulo ng isang tatsulok ay tuloy-tuloy at katumbas ng 180 degrees.