Kapag maraming singil, may ilang mga paghihirap na lumitaw kapag kinakalkula ang mga patlang.

Nakakatulong ang teorama ni Gauss na malampasan ang mga ito. Ang kakanyahan Teorama ni Gauss Bumubuo sa sumusunod: kung ang isang di-makatwirang bilang ng mga singil ay napapaligiran ng isip ng isang saradong ibabaw na S, kung gayon ang daloy ng lakas ng patlang ng kuryente sa isang elementarya na lugar dS ay maaaring isulat bilang dФ = ЕсоsαdS kung saan ang α ay ang anggulo sa pagitan ng normal hanggang sa eroplano at ang vector ng lakas . (Larawan 12.7)

Ang kabuuang flux sa buong ibabaw ay magiging katumbas ng kabuuan ng mga flux mula sa lahat ng mga singil na random na ibinahagi sa loob nito at proporsyonal sa magnitude ng singil na ito

(12.9)

Alamin natin ang daloy ng intensity vector sa pamamagitan ng isang spherical surface ng radius r, sa gitna kung saan matatagpuan ang isang point charge +q (Larawan 12.8). Ang mga linya ng pag-igting ay patayo sa ibabaw ng globo, α = 0, samakatuwid cosα = 1. Pagkatapos

Kung ang patlang ay nabuo sa pamamagitan ng isang sistema ng mga singil, kung gayon

Teorama ni Gauss: ang daloy ng electrostatic field strength vector sa isang vacuum sa pamamagitan ng anumang saradong ibabaw ay katumbas ng algebraic na kabuuan ng mga singil na nasa loob ng ibabaw na ito, na hinati sa electric constant.

(12.10)

Kung walang mga singil sa loob ng globo, kung gayon Ф = 0.

Ang teorama ni Gauss ay ginagawang medyo simple ang pagkalkula ng mga electric field para sa simetriko na ipinamamahaging mga singil.

Ipakilala natin ang konsepto ng density ng mga ibinahagi na singil.

Ang linear density ay tinutukoy na τ at nagpapakilala sa singil q bawat yunit ng haba ℓ. Sa pangkalahatan, maaari itong kalkulahin gamit ang formula

(12.11)

Sa isang pare-parehong pamamahagi ng mga singil, ang linear density ay katumbas ng

Ang densidad ng ibabaw ay tinutukoy ng σ at nailalarawan ang singil q bawat yunit na lugar S. Sa pangkalahatan, ito ay tinutukoy ng formula

(12.12)

Sa isang pare-parehong pamamahagi ng mga singil sa ibabaw, ang density ng ibabaw ay katumbas ng

Ang density ng volume ay tinutukoy ng ρ at nagpapakilala sa singil q bawat yunit ng volume V. Sa pangkalahatan, ito ay tinutukoy ng formula

(12.13)

Sa isang pare-parehong pamamahagi ng mga singil, ito ay katumbas ng
.

Dahil ang singil q ay pantay na ipinamamahagi sa globo, kung gayon

σ = const. Ilapat natin ang teorama ni Gauss. Gumuhit tayo ng sphere ng radius sa pamamagitan ng point A. Ang daloy ng tension vector sa Fig. 12.9 sa pamamagitan ng spherical surface ng radius ay katumbas ng cosα = 1, dahil α = 0. Ayon sa Gauss's theorem,
.

o

(12.14)

Mula sa expression (12.14) sumusunod na ang lakas ng field sa labas ng charged sphere ay kapareho ng field strength ng isang point charge na inilagay sa gitna ng sphere. Sa ibabaw ng globo, i.e. r 1 = r 0, pag-igting
.

Sa loob ng sphere r 1< r 0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r 2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу равен нулю.

Ang isang silindro ng radius r 0 ay pare-parehong sinisingil sa density ng ibabaw σ (Larawan 12.10). Tukuyin natin ang lakas ng field sa isang arbitraryong napiling punto A. Gumuhit tayo ng isang haka-haka na cylindrical na ibabaw ng radius R at haba ℓ hanggang sa punto A. Dahil sa mahusay na proporsyon, ang daloy ay lalabas lamang sa pamamagitan ng mga gilid na ibabaw ng silindro, dahil ang mga singil sa silindro ng radius r 0 ay ipinamamahagi nang pantay-pantay sa ibabaw nito, i.e. ang mga linya ng pag-igting ay magiging radial straight lines, patayo sa mga lateral surface ng parehong cylinders. Dahil ang daloy sa base ng mga cylinder ay zero (cos α = 0), at ang lateral surface ng cylinder ay patayo sa mga linya ng puwersa (cos α = 1), kung gayon

o

(12.15)

Ipahayag natin ang halaga ng E sa pamamagitan ng σ - density ng ibabaw. A-priory,

kaya naman,

I-substitute natin ang value ng q sa formula (12.15)

(12.16)

Sa pamamagitan ng kahulugan ng linear density,
, saan
; pinapalitan namin ang expression na ito sa formula (12.16):

(12.17)

mga. Ang lakas ng field na nilikha ng isang walang katapusan na mahabang sisingilin na silindro ay proporsyonal sa linear na density ng singil at inversely proporsyonal sa distansya.

Lakas ng field na nilikha ng isang walang katapusang unipormeng sisingilin na eroplano

Tukuyin natin ang lakas ng field na nilikha ng isang walang katapusang unipormeng sisingilin na eroplano sa punto A. Hayaang ang surface charge density ng eroplano ay katumbas ng σ. Bilang isang saradong ibabaw, maginhawang pumili ng isang silindro na ang axis ay patayo sa eroplano, at ang kanang base ay naglalaman ng punto A. Hinahati ng eroplano ang silindro sa kalahati. Malinaw, ang mga linya ng puwersa ay patayo sa eroplano at parallel sa gilid na ibabaw ng silindro, kaya ang buong daloy ay dumadaan lamang sa base ng silindro. Sa parehong mga base ang lakas ng field ay pareho, dahil Ang mga puntong A at B ay simetriko na may kaugnayan sa eroplano. Pagkatapos ang daloy sa base ng silindro ay katumbas ng

Ayon sa teorama ni Gauss,

kasi
, Iyon
, saan

(12.18)

Kaya, ang lakas ng field ng isang infinite charged plane ay proporsyonal sa surface charge density at hindi nakadepende sa distansya sa eroplano. Samakatuwid, ang patlang ng eroplano ay pare-pareho.

Ang lakas ng field na nilikha ng dalawang magkasalungat na magkaparehong sisingilin na magkatulad na mga eroplano

Ang resultang field na nilikha ng dalawang eroplano ay tinutukoy ng prinsipyo ng field superposition:
(Larawan 12.12). Ang patlang na nilikha ng bawat eroplano ay pare-pareho, ang mga lakas ng mga patlang na ito ay pantay sa magnitude, ngunit kabaligtaran sa direksyon:
. Ayon sa prinsipyo ng superposisyon, ang kabuuang lakas ng field sa labas ng eroplano ay zero:

Sa pagitan ng mga eroplano, ang mga lakas ng field ay may parehong direksyon, kaya ang nagresultang lakas ay katumbas ng

Kaya, ang field sa pagitan ng dalawang magkaibang charge na eroplano ay pare-pareho at ang intensity nito ay dalawang beses na mas malakas kaysa sa field intensity na nilikha ng isang eroplano. Walang field sa kaliwa at kanan ng mga eroplano. Ang larangan ng may hangganan na mga eroplano ay may parehong anyo; lumilitaw lamang ang pagbaluktot malapit sa kanilang mga hangganan. Gamit ang resultang formula, maaari mong kalkulahin ang patlang sa pagitan ng mga plato ng isang flat capacitor.

Ang pinakamahirap na bagay ay ang pag-aralan ang mga electrical phenomena sa isang hindi pare-parehong elektrikal na kapaligiran. Sa gayong daluyan, ang ε ay may iba't ibang mga halaga, biglang nagbabago sa hangganan ng dielectric. Ipagpalagay natin na tinutukoy natin ang lakas ng field sa interface sa pagitan ng dalawang media: ε 1 =1 (vacuum o hangin) at ε 2 =3 (liquid - oil). Sa interface, sa panahon ng paglipat mula sa vacuum hanggang dielectric, ang lakas ng field ay bumababa ng tatlong beses, at ang flux ng vector ng lakas ay bumababa ng parehong halaga (Larawan 12.25, a). Ang isang biglaang pagbabago sa electrostatic field strength vector sa interface sa pagitan ng dalawang media ay lumilikha ng ilang partikular na kahirapan kapag kinakalkula ang mga field. Tulad ng para sa teorama ni Gauss, sa ilalim ng mga kundisyong ito sa pangkalahatan ay nawawala ang kahulugan nito.

Dahil ang polarizability at boltahe ng dissimilar dielectrics ay iba, ang bilang ng mga linya ng field sa bawat dielectric ay magkakaiba din. Ang kahirapan na ito ay maaaring alisin sa pamamagitan ng pagpapakilala ng isang bagong pisikal na katangian ng field, electric induction D (o vector pag-aalis ng kuryente ).

Ayon sa formula

ε 1 E 1 = ε 2 E 2 =E 0 =const

Pag-multiply ng lahat ng bahagi ng mga pagkakapantay-pantay na ito sa pamamagitan ng electric constant ε 0 na nakukuha natin

ε 0 ε 1 E 1 = ε 0 ε 2 E 2 =ε 0 E 0 =const

Ipakilala natin ang notasyon ε 0 εE=D pagkatapos ay magkakaroon ng anyo ang penultimate relation

D 1 = D 2 = D 0 = const

Ang Vector D, katumbas ng produkto ng lakas ng electric field sa dielectric at ang absolute dielectric constant nito, ay tinatawagelectric displacement vector

(12.45)

Electrical displacement unit - palawit bawat metro kuwadrado(C/m2).

Ang electrical displacement ay isang vector quantity at maaari ding ipahayag bilang

D = εε 0 E =(1+χ)ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E+P

(12.46)

Sa kaibahan sa boltahe E, ang electrical displacement D ay pare-pareho sa lahat ng dielectrics (Larawan 12.25, b). Samakatuwid, ito ay maginhawa upang makilala ang electric field sa isang inhomogeneous dielectric medium hindi sa pamamagitan ng intensity E, ngunit sa pamamagitan ng displacement vector D. Inilalarawan ng Vector D ang electrostatic field na nilikha ng mga libreng singil (i.e. sa isang vacuum), ngunit sa kanilang pamamahagi sa kalawakan tulad ng pagkakaroon ng isang dielectric, dahil ang mga nakatali na singil na nagmumula sa mga dielectric ay maaaring magdulot ng muling pamamahagi ng mga libreng singil na lumilikha ng field.

Patlang ng vector ay graphical na kinakatawan ng mga linya ng electric displacement sa parehong paraan tulad ng field inilalarawan ng mga linya ng puwersa.

Linya ng pag-aalis ng kuryente - ito ay mga linya na ang mga tangent sa bawat punto ay tumutugma sa direksyon sa electric displacement vector.

Ang mga linya ng vector E ay maaaring magsimula at magtapos sa anumang mga singil - libre at nakatali, habang ang mga linya ng vectorD- sa mga libreng bayad lamang. Mga linya ng vectorDHindi tulad ng mga linya ng pag-igting, ang mga ito ay tuluy-tuloy.

Dahil ang electric displacement vector ay hindi nakakaranas ng discontinuity sa interface sa pagitan ng dalawang media, lahat ng induction lines na nagmumula sa mga charge na napapalibutan ng ilang saradong ibabaw ay tatagos dito. Samakatuwid, para sa electric displacement vector, ang Gauss's theorem ay ganap na nagpapanatili ng kahulugan nito para sa isang inhomogeneous dielectric medium.

Gauss's theorem para sa electrostatic field sa isang dielectric : ang daloy ng electric displacement vector sa pamamagitan ng arbitrary closed surface ay katumbas ng algebraic sum ng mga charge na nasa loob ng surface na ito.

(12.47)

Layunin ng aralin: Ang Ostrogradsky–Gauss theorem ay itinatag ng Russian mathematician at mechanic na si Mikhail Vasilyevich Ostrogradsky sa anyo ng isang general mathematical theorem at ng German mathematician na si Carl Friedrich Gauss. Ang theorem na ito ay maaaring gamitin kapag nag-aaral ng physics sa isang espesyal na antas, dahil ito ay nagbibigay-daan para sa mas makatwirang mga kalkulasyon ng mga electric field.

Upang makuha ang Ostrogradsky–Gauss theorem, kinakailangan na ipakilala ang mga mahalagang pantulong na konsepto tulad ng electrical induction vector at ang flux ng vector na ito na F.

Ito ay kilala na ang electrostatic field ay madalas na inilalarawan gamit ang mga linya ng puwersa. Ipagpalagay natin na tinutukoy natin ang tensyon sa isang puntong nasa pagitan ng dalawang media: hangin (=1) at tubig (=81). Sa puntong ito, kapag lumilipat mula sa hangin patungo sa tubig, ang lakas ng electric field ayon sa formula bababa ng 81 beses. Kung pinabayaan natin ang conductivity ng tubig, ang bilang ng mga linya ng puwersa ay bababa ng parehong halaga. Kapag nilulutas ang iba't ibang mga problema ng pagkalkula ng mga patlang, dahil sa hindi pagkakatuloy ng boltahe vector sa interface sa pagitan ng media at sa dielectrics, ang ilang mga abala ay nilikha. Upang maiwasan ang mga ito, isang bagong vector ang ipinakilala, na tinatawag na electrical induction vector:

Ang electric induction vector ay katumbas ng produkto ng vector at ang electric constant at ang dielectric constant ng medium sa isang naibigay na punto.

Malinaw na kapag dumadaan sa hangganan ng dalawang dielectrics, ang bilang ng mga linya ng electric induction ay hindi nagbabago para sa larangan ng isang point charge (1).

Sa sistema ng SI, ang vector ng electrical induction ay sinusukat sa coulombs per square meter (C/m2). Ipinapakita ng expression (1) na ang numerical value ng vector ay hindi nakadepende sa mga katangian ng medium. Ang patlang ng vector ay graphic na inilalarawan nang katulad ng patlang ng intensity (halimbawa, para sa isang point charge, tingnan ang Fig. 1). Para sa isang vector field, nalalapat ang prinsipyo ng superposisyon:

Electrical induction flux

Ang electric induction vector ay nagpapakilala sa electric field sa bawat punto sa espasyo. Maaari kang magpakilala ng isa pang dami na nakasalalay sa mga halaga ng vector hindi sa isang punto, ngunit sa lahat ng mga punto ng ibabaw na nalilimitahan ng isang patag na saradong tabas.

Upang gawin ito, isaalang-alang ang isang flat closed conductor (circuit) na may surface area S, na inilagay sa isang pare-parehong electric field. Ang normal sa eroplano ng konduktor ay gumagawa ng isang anggulo sa direksyon ng electrical induction vector (Larawan 2).

Ang daloy ng electrical induction sa ibabaw ng S ay isang dami na katumbas ng produkto ng modulus ng induction vector sa pamamagitan ng area S at ang cosine ng anggulo sa pagitan ng vector at ng normal:

Ang theorem na ito ay nagpapahintulot sa amin na mahanap ang daloy ng electric induction vector sa pamamagitan ng isang saradong ibabaw, sa loob kung saan may mga singil sa kuryente.

Hayaang ilagay muna ang isang point charge q sa gitna ng isang globo ng arbitrary radius r 1 (Larawan 3). Pagkatapos ; . Kalkulahin natin ang kabuuang pagkilos ng bagay ng induction na dumadaan sa buong ibabaw ng globo na ito: ; (). Kung kukuha tayo ng isang globo ng radius , pagkatapos ay Ф = q din. Kung gumuhit kami ng isang globo na hindi sumasakop sa singil q, kung gayon ang kabuuang pagkilos ng bagay Ф = 0 (dahil ang bawat linya ay papasok sa ibabaw at iiwan ito sa ibang pagkakataon).

Kaya, Ф = q kung ang singil ay matatagpuan sa loob ng saradong ibabaw at Ф = 0 kung ang singil ay matatagpuan sa labas ng saradong ibabaw. Ang daloy Ф ay hindi nakasalalay sa hugis ng ibabaw. Ito ay independyente rin sa pagsasaayos ng mga singil sa loob ng ibabaw. Nangangahulugan ito na ang resulta na nakuha ay wasto hindi lamang para sa isang pagsingil, kundi pati na rin para sa anumang bilang ng mga singil na arbitraryo na matatagpuan, kung ang ibig nating sabihin ay q ang algebraic na kabuuan ng lahat ng mga singil na matatagpuan sa loob ng ibabaw.

Gauss's theorem: ang daloy ng electrical induction sa anumang saradong ibabaw ay katumbas ng algebraic sum ng lahat ng singil na matatagpuan sa loob ng surface: .

Mula sa formula ay malinaw na ang sukat ng daloy ng kuryente ay kapareho ng sa singil ng kuryente. Samakatuwid, ang yunit ng electrical induction flux ay ang coulomb (C).

Tandaan: kung ang field ay hindi pare-pareho at ang ibabaw kung saan tinutukoy ang daloy ay hindi isang eroplano, kung gayon ang ibabaw na ito ay maaaring hatiin sa mga infinitesimal na elemento ds at ang bawat elemento ay maaaring ituring na flat, at ang field na malapit dito ay pare-pareho. Samakatuwid, para sa anumang electric field, ang daloy ng electric induction vector sa pamamagitan ng surface element ay: dФ=. Bilang resulta ng pagsasama, ang kabuuang pagkilos ng bagay sa pamamagitan ng isang saradong ibabaw S sa anumang hindi magkakatulad na electric field ay katumbas ng: , kung saan ang q ay ang algebraic sum ng lahat ng singil na napapalibutan ng saradong ibabaw S. Ipahayag natin ang huling equation sa mga tuntunin ng lakas ng electric field (para sa vacuum): .

Ito ay isa sa mga pangunahing equation ni Maxwell para sa electromagnetic field, na nakasulat sa integral form. Ipinapakita nito na ang pinagmumulan ng isang permanenteng electric field ay mga nakatigil na singil sa kuryente.

Alamin natin ngayon ang lakas ng patlang para sa isang bilang ng mga kaso gamit ang Ostrogradsky-Gauss theorem.

1. Electric field ng isang unipormeng sisingilin na spherical surface.

Sphere ng radius R. Hayaang ang charge +q ay pantay na maipamahagi sa isang spherical surface ng radius R. Ang distribusyon ng singil sa ibabaw ay nailalarawan sa pamamagitan ng surface charge density (Fig. 4). Ang density ng singil sa ibabaw ay ang ratio ng singil sa lugar ng ibabaw kung saan ito ipinamamahagi. . Sa SI.

Tukuyin natin ang lakas ng field:

a) sa labas ng spherical surface,
b) sa loob ng isang spherical surface.

a) Kunin ang punto A, na matatagpuan sa layong r>R mula sa gitna ng naka-charge na spherical surface. Sa pamamagitan ng pag-iisip, gumuhit tayo ng isang spherical surface S ng radius r, na may karaniwang center na may charge na spherical surface. Mula sa mga pagsasaalang-alang ng simetrya, malinaw na ang mga linya ng puwersa ay mga linya ng radial na patayo sa ibabaw ng S at pantay na tumagos sa ibabaw na ito, i.e. ang pag-igting sa lahat ng mga punto ng ibabaw na ito ay pare-pareho sa magnitude. Ilapat natin ang Ostrogradsky-Gauss theorem sa spherical surface na ito na S ng radius r. Samakatuwid ang kabuuang pagkilos ng bagay sa pamamagitan ng globo ay N = E? S; N=E. Sa kabila . Equate natin: . Kaya naman: para sa r>R.

Kaya: ang pag-igting na nilikha ng isang pantay na sisingilin na spherical na ibabaw sa labas nito ay kapareho ng kung ang buong singil ay nasa gitna nito (Larawan 5).

b) Hanapin natin ang lakas ng field sa mga puntong nasa loob ng charged spherical surface. Kunin natin ang point B sa layo mula sa gitna ng globo . Pagkatapos, E = 0 sa r

2. Lakas ng field ng isang unipormeng sisingilin na walang katapusang eroplano

Isaalang-alang natin ang electric field na nilikha ng isang walang katapusang eroplano, na sinisingil ng isang pare-parehong density sa lahat ng mga punto ng eroplano. Para sa mga kadahilanan ng mahusay na proporsyon, maaari nating ipagpalagay na ang mga linya ng pag-igting ay patayo sa eroplano at nakadirekta mula dito sa parehong direksyon (Larawan 6).

Piliin natin ang point A na nakahiga sa kanan ng eroplano at kalkulahin sa puntong ito gamit ang Ostrogradsky-Gauss theorem. Bilang isang saradong ibabaw, pumili kami ng isang cylindrical na ibabaw upang ang gilid na ibabaw ng silindro ay kahanay sa mga linya ng puwersa, at ang base nito ay parallel sa eroplano at ang base ay dumadaan sa punto A (Larawan 7). Kalkulahin natin ang daloy ng pag-igting sa ibabaw ng cylindrical na isinasaalang-alang. Ang pagkilos ng bagay sa ibabaw ng gilid ay 0, dahil Ang mga linya ng pag-igting ay parallel sa lateral surface. Pagkatapos ang kabuuang daloy ay binubuo ng mga daloy at dumadaan sa mga base ng silindro at . Pareho sa mga daloy na ito ay positibo =+; =; =; ==; N=2.

– isang seksyon ng eroplano na nakahiga sa loob ng napiling cylindrical na ibabaw. Ang singil sa loob ng ibabaw na ito ay q.

Pagkatapos ; – maaaring kunin bilang singil sa punto) na may punto A. Upang mahanap ang kabuuang patlang, kailangan na geometriko na idagdag ang lahat ng mga patlang na nilikha ng bawat elemento: ; .

Ang batas ng pakikipag-ugnayan ng mga singil sa kuryente - ang batas ng Coulomb - ay maaaring mabalangkas nang iba, sa anyo ng tinatawag na Gauss theorem. Ang teorama ni Gauss ay nakuha bilang resulta ng batas ni Coulomb at ang prinsipyo ng superposisyon. Ang patunay ay batay sa kabaligtaran na proporsyonalidad ng puwersa ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng dalawang puntong singil sa parisukat ng distansya sa pagitan nila. Samakatuwid, ang teorama ni Gauss ay naaangkop sa anumang pisikal na larangan kung saan ang inverse square law at ang superposition na prinsipyo ay nalalapat, halimbawa, sa gravitational field.

kanin. 9. Mga linya ng lakas ng patlang ng kuryente ng isang point charge na nagsasalubong sa isang saradong ibabaw X

Upang mabuo ang teorama ni Gauss, bumalik tayo sa larawan ng mga linya ng electric field ng isang nakatigil na singil sa punto. Ang mga linya ng patlang ng isang nag-iisang singil sa punto ay simetriko na matatagpuan sa mga radial na tuwid na linya (Larawan 7). Maaari kang gumuhit ng anumang bilang ng mga naturang linya. Tukuyin natin ang kanilang kabuuang bilang sa pamamagitan ng Pagkatapos ang density ng mga linya ng field sa layo mula sa singil, ibig sabihin, ang bilang ng mga linya na tumatawid sa isang unit surface ng isang sphere ng radius ay katumbas ng Paghahambing ng relasyon na ito sa expression para sa lakas ng field ng isang point charge (4), nakikita natin na ang density ng mga linya ay proporsyonal sa lakas ng field. Magagawa nating pantay-pantay ang mga dami na ito sa pamamagitan ng tamang pagpili ng kabuuang bilang ng mga linya ng field N:

Kaya, ang ibabaw ng isang sphere ng anumang radius na nakapaloob sa isang point charge ay nag-intersect sa parehong bilang ng mga linya ng puwersa. Nangangahulugan ito na ang mga linya ng puwersa ay tuluy-tuloy: sa pagitan sa pagitan ng alinmang dalawang concentric spheres ng magkaibang radii, wala sa mga linya ang nasira at walang mga bagong idinagdag. Dahil ang mga linya ng field ay tuloy-tuloy, ang parehong bilang ng mga linya ng field ay nag-intersect sa anumang saradong ibabaw (Larawan 9) na sumasaklaw sa singil

Ang mga linya ng puwersa ay may direksyon. Sa kaso ng isang positibong singil, lumabas sila mula sa saradong ibabaw na nakapalibot sa singil, tulad ng ipinapakita sa Fig. 9. Sa kaso ng negatibong singil, pumapasok sila sa loob ng ibabaw. Kung ang bilang ng mga papalabas na linya ay itinuturing na positibo at ang bilang ng mga papasok na linya ay negatibo, kung gayon sa formula (8) maaari nating alisin ang tanda ng modulus ng singil at isulat ito sa anyo

Daloy ng tensyon. Ipakilala natin ngayon ang konsepto ng field strength vector flow sa isang surface. Ang isang arbitrary field ay maaaring hatiin sa isip sa maliliit na lugar kung saan ang intensity ay nagbabago sa magnitude at direksyon nang napakaliit na sa loob ng lugar na ito ay maituturing na pare-pareho ang field. Sa bawat ganoong lugar, ang mga linya ng puwersa ay parallel straight lines at may pare-parehong density.

kanin. 10. Upang matukoy ang flux ng field strength vector sa pamamagitan ng site

Isaalang-alang natin kung gaano karaming mga linya ng puwersa ang tumagos sa isang maliit na lugar, ang direksyon ng normal kung saan bumubuo ng isang anggulo a sa direksyon ng mga linya ng pag-igting (Larawan 10). Hayaang maging projection sa isang eroplanong patayo sa mga linya ng puwersa. Dahil ang bilang ng mga linya na tumatawid ay pareho, at ang density ng mga linya, ayon sa tinatanggap na kondisyon, ay katumbas ng modulus ng lakas ng field E, kung gayon

Ang value a ay ang projection ng vector E papunta sa direksyon ng normal sa site

Samakatuwid, ang bilang ng mga linya ng kuryente na tumatawid sa lugar ay katumbas ng

Ang produkto ay tinatawag na field strength flux sa ibabaw. Ipinapakita ng formula (10) na ang flux ng vector E sa ibabaw ay katumbas ng bilang ng mga field lines na tumatawid sa ibabaw na ito. Tandaan na ang flux ng intensity vector, tulad ng bilang ng mga linya ng puwersa na dumadaan sa ibabaw, ay isang scalar.

kanin. 11. Daloy ng tension vector E sa pamamagitan ng site

Ang pag-asa ng daloy sa oryentasyon ng site na may kaugnayan sa mga linya ng puwersa ay inilalarawan sa Fig.

Ang flux ng lakas ng field sa pamamagitan ng isang arbitrary na ibabaw ay ang kabuuan ng mga flux sa mga elementarya na lugar kung saan maaaring hatiin ang ibabaw na ito. Sa bisa ng mga ugnayan (9) at (10), masasabi na ang daloy ng lakas ng field ng isang point charge sa anumang saradong ibabaw 2 na bumabalot sa charge (tingnan ang Fig. 9), bilang ang bilang ng mga linya ng field na lumalabas mula sa ang ibabaw na ito ay katumbas ng. Sa kasong ito, ang normal na vector sa mga elementarya na lugar na saradong ibabaw ay dapat na nakadirekta palabas. Kung negatibo ang charge sa loob ng surface, papasok ang mga linya ng field sa loob ng surface na ito at negatibo rin ang flux ng field strength vector na nauugnay sa charge.

Kung mayroong ilang mga singil sa loob ng isang saradong ibabaw, pagkatapos ay alinsunod sa prinsipyo ng superposisyon ang mga daloy ng kanilang mga lakas ng field ay magdaragdag. Ang kabuuang pagkilos ng bagay ay magiging katumbas ng kung saan dapat unawain bilang algebraic na kabuuan ng lahat ng mga singil na matatagpuan sa loob ng ibabaw.

Kung walang mga singil sa kuryente sa loob ng isang saradong ibabaw o ang kanilang algebraic sum ay zero, kung gayon ang kabuuang flux ng lakas ng field sa ibabaw na ito ay zero: habang maraming linya ng puwersa ang pumapasok sa volume na nililimitahan ng ibabaw, ang parehong numero ay lumalabas.

Ngayon ay maaari na nating bumalangkas sa wakas ng Gauss's theorem: ang daloy ng electric field strength vector E sa isang vacuum sa anumang saradong ibabaw ay proporsyonal sa kabuuang singil na matatagpuan sa loob ng ibabaw na ito. Sa matematika, ang teorama ni Gauss ay ipinahayag ng parehong pormula (9), kung saan ang ibig sabihin ay ang algebraic na kabuuan ng mga singil. Sa ganap na electrostatic

sa sistema ng SGSE ng mga yunit, ang koepisyent at teorem ni Gauss ay nakasulat sa anyo

Sa SI at ang pagkilos ng bagay ng pag-igting sa pamamagitan ng isang saradong ibabaw ay ipinahayag ng formula

Ang teorama ni Gauss ay malawakang ginagamit sa electrostatics. Sa ilang mga kaso, maaari itong magamit upang madaling kalkulahin ang mga field na ginawa ng mga singil na simetriko na matatagpuan.

Mga larangan ng simetriko na mapagkukunan. Ilapat natin ang theorem ni Gauss upang kalkulahin ang intensity ng electric field na pantay na sinisingil sa ibabaw ng isang bola na may radius. Para sa katiyakan, ipapalagay natin na positibo ang singil nito. Ang distribusyon ng mga singil na lumilikha ng field ay may spherical symmetry. Samakatuwid, ang field ay mayroon ding parehong simetrya. Ang mga linya ng puwersa ng naturang field ay nakadirekta sa radii, at ang intensity modulus ay pareho sa lahat ng mga punto na katumbas ng distansya mula sa gitna ng bola.

Upang mahanap ang lakas ng field sa layo mula sa gitna ng bola, gumuhit tayo ng isang spherical surface ng radius concentric gamit ang bola. Dahil sa lahat ng punto ng sphere na ito ang field strength ay nakadirekta patayo sa ibabaw nito at ang pareho sa ganap na halaga, ang daloy ng intensity ay katumbas lamang ng produkto ng lakas ng field at ang ibabaw na lugar ng globo:

Ngunit ang dami na ito ay maaari ding ipahayag gamit ang teorem ni Gauss. Kung interesado tayo sa field sa labas ng bola, ibig sabihin, kung gayon, halimbawa, sa SI at, paghahambing sa (13), makikita natin

Sa sistema ng mga yunit ng SGSE, malinaw naman,

Kaya, sa labas ng bola ang lakas ng field ay kapareho ng sa isang point charge na nakalagay sa gitna ng bola. Kung kami ay interesado sa patlang sa loob ng bola, ibig sabihin, dahil ang buong singil na ibinahagi sa ibabaw ng bola ay matatagpuan sa labas ng globo na aming iginuhit sa isip. Samakatuwid, walang field sa loob ng bola:

Katulad nito, gamit ang teorem ni Gauss, maaaring kalkulahin ng isa ang electrostatic field na nilikha ng isang walang hanggan na sisingilin.

eroplanong may pare-parehong density sa lahat ng punto ng eroplano. Para sa mga kadahilanan ng simetrya, maaari nating ipagpalagay na ang mga linya ng puwersa ay patayo sa eroplano, na nakadirekta mula dito sa parehong direksyon at may parehong density sa lahat ng dako. Sa katunayan, kung ang density ng mga linya ng patlang sa iba't ibang mga punto ay naiiba, kung gayon ang paglipat ng isang sisingilin na eroplano sa kahabaan nito ay hahantong sa isang pagbabago sa larangan sa mga puntong ito, na sumasalungat sa mahusay na proporsyon ng sistema - ang gayong paglilipat ay hindi dapat magbago ng larangan. Sa madaling salita, ang patlang ng isang walang katapusang unipormeng sisingilin na eroplano ay pare-pareho.

Bilang isang saradong ibabaw para sa paglalapat ng teorama ni Gauss, pinipili namin ang ibabaw ng isang silindro na itinayo tulad ng sumusunod: ang generatrix ng silindro ay kahanay sa mga linya ng puwersa, at ang mga base ay may mga lugar na kahanay sa sisingilin na eroplano at nakahiga sa magkabilang panig nito. (Larawan 12). Ang flux ng lakas ng field sa gilid ng gilid ay zero, kaya ang kabuuang pagkilos ng bagay sa saradong ibabaw ay katumbas ng kabuuan ng mga flux sa mga base ng silindro:

kanin. 12. Patungo sa pagkalkula ng lakas ng field ng isang unipormeng sisingilin na eroplano

Ayon sa teorama ni Gauss, ang parehong pagkilos ng bagay ay tinutukoy ng singil ng bahaging iyon ng eroplano na nasa loob ng silindro, at sa SI ito ay katumbas ng Paghahambing ng mga ekspresyong ito para sa pagkilos ng bagay, nakita natin

Sa sistema ng SGSE, ang lakas ng field ng isang unipormeng sisingilin na walang katapusang eroplano ay ibinibigay ng formula

Para sa isang pare-parehong sisingilin na plato ng mga may hangganang sukat, ang nakuha na mga expression ay humigit-kumulang wasto sa isang rehiyon na matatagpuan sapat na malayo mula sa mga gilid ng plato at hindi masyadong malayo mula sa ibabaw nito. Malapit sa mga gilid ng plato, ang field ay hindi na magiging pare-pareho at ang mga field lines nito ay baluktot. Sa napakalaking distansya kumpara sa laki ng plato, ang field ay bumababa nang may distansya sa parehong paraan tulad ng field ng isang point charge.

Kabilang sa iba pang mga halimbawa ng mga field na ginawa ng mga pinagmumulan ng simetriko na ipinamamahagi ay ang field ng isang pare-parehong sisingilin sa haba ng isang walang katapusang rectilinear thread, ang field ng isang unipormeng sisingilin na walang katapusan na circular cylinder, ang field ng isang bola,

pantay na sinisingil sa buong volume, atbp. Ginagawang posible ng teorem ni Gauss na madaling kalkulahin ang lakas ng field sa lahat ng mga kasong ito.

Ang teorama ni Gauss ay nagbibigay ng ugnayan sa pagitan ng field at ng mga pinagmumulan nito, sa ilang kahulugan ang kabaligtaran ng ibinigay ng batas ni Coulomb, na nagpapahintulot sa isa na matukoy ang electric field mula sa mga ibinigay na singil. Gamit ang teorama ni Gauss, matutukoy mo ang kabuuang singil sa anumang rehiyon ng espasyo kung saan kilala ang distribusyon ng electric field.

Ano ang pagkakaiba sa pagitan ng mga konsepto ng long-range at short-range action kapag inilalarawan ang interaksyon ng mga electric charge? Hanggang saan mailalapat ang mga konseptong ito sa mga pakikipag-ugnayan ng gravitational?

Ano ang lakas ng patlang ng kuryente? Ano ang ibig nilang sabihin kapag ito ay tinatawag na katangian ng puwersa ng electric field?

Paano mahuhusgahan ng isang tao ang direksyon at magnitude ng lakas ng field sa isang tiyak na punto mula sa pattern ng mga linya ng field?

Maaari bang magsalubong ang mga linya ng electric field? Pangatwiranan ang iyong sagot.

Gumuhit ng isang husay na larawan ng mga electrostatic field na linya ng dalawang singil tulad na .

Ang daloy ng lakas ng patlang ng kuryente sa pamamagitan ng saradong ibabaw ay ipinahayag ng iba't ibang mga formula (11) at (12) sa mga yunit ng GSE at SI. Paano ito maitugma sa geometric na kahulugan ng daloy, na tinutukoy ng bilang ng mga linya ng puwersa na tumatawid sa ibabaw?

Paano gamitin ang teorama ni Gauss upang mahanap ang lakas ng patlang ng kuryente kapag ang mga singil na lumilikha nito ay simetriko na ipinamamahagi?

Paano ilapat ang mga formula (14) at (15) upang kalkulahin ang lakas ng field ng isang bola na may negatibong singil?

Ang teorama ni Gauss at ang geometry ng pisikal na espasyo. Tingnan natin ang patunay ng teorama ni Gauss mula sa isang bahagyang naiibang pananaw. Bumalik tayo sa formula (7), kung saan napagpasyahan na ang parehong bilang ng mga linya ng puwersa ay dumadaan sa anumang spherical surface na nakapalibot sa isang charge. Ang konklusyon na ito ay dahil sa ang katunayan na mayroong pagbawas sa mga denominador ng magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay.

Sa kanang bahagi ay lumitaw ito dahil sa katotohanan na ang puwersa ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga singil, na inilarawan ng batas ng Coulomb, ay inversely proportional sa parisukat ng distansya sa pagitan ng mga singil. Sa kaliwang bahagi, ang hitsura ay nauugnay sa geometry: ang ibabaw na lugar ng isang globo ay proporsyonal sa parisukat ng radius nito.

Ang proporsyonalidad ng surface area sa square ng mga linear na dimensyon ay isang tanda ng Euclidean geometry sa three-dimensional na espasyo. Sa katunayan, ang proporsyonalidad ng mga lugar na tiyak sa mga parisukat ng mga linear na sukat, at hindi sa anumang iba pang antas ng integer, ay katangian ng espasyo.

tatlong dimensyon. Ang katotohanan na ang exponent na ito ay eksaktong katumbas ng dalawa, at hindi naiiba sa dalawa, kahit na sa maliit na halaga, ay nagpapahiwatig na ang tatlong-dimensional na espasyo na ito ay hindi hubog, ibig sabihin, na ang geometry nito ay tiyak na Euclidean.

Kaya, ang teorama ni Gauss ay isang pagpapakita ng mga katangian ng pisikal na espasyo sa pangunahing batas ng pakikipag-ugnayan ng mga singil sa kuryente.

Ang ideya ng isang malapit na koneksyon sa pagitan ng mga pangunahing batas ng pisika at mga pag-aari ng espasyo ay ipinahayag ng maraming namumukod-tanging kaisipan bago pa man naitatag ang mga batas na ito. Kaya, si I. Kant, tatlong dekada bago ang pagkatuklas ng batas ni Coulomb, ay sumulat tungkol sa mga katangian ng espasyo: "Ang tatlong-dimensionalidad ay nangyayari, tila, dahil ang mga sangkap sa umiiral na mundo ay kumikilos sa isa't isa sa paraang ang puwersa ng pagkilos ay inversely proportional sa parisukat ng distansya."

Ang batas ni Coulomb at ang teorama ni Gauss ay aktwal na kumakatawan sa parehong batas ng kalikasan na ipinahayag sa iba't ibang anyo. Ang batas ng Coulomb ay sumasalamin sa konsepto ng long-range action, habang ang Gauss's theorem ay nagmula sa ideya ng force field filling space, ibig sabihin, mula sa konsepto ng short-range action. Sa electrostatics, ang pinagmulan ng force field ay isang charge, at ang katangian ng field na nauugnay sa source - ang daloy ng intensity - ay hindi maaaring magbago sa walang laman na espasyo kung saan walang iba pang mga singil. Dahil ang daloy ay maaaring biswal na maisip bilang isang hanay ng mga linya ng field, ang immutability ng daloy ay makikita sa pagpapatuloy ng mga linyang ito.

Ang teorama ni Gauss, batay sa kabaligtaran na proporsyonalidad ng pakikipag-ugnayan sa parisukat ng distansya at sa prinsipyo ng superposisyon (additivity ng pakikipag-ugnayan), ay naaangkop sa anumang pisikal na larangan kung saan gumagana ang inverse square law. Sa partikular, totoo rin ito para sa gravitational field. Ito ay malinaw na ito ay hindi lamang isang pagkakataon, ngunit isang pagmuni-muni ng katotohanan na ang parehong elektrikal at gravitational na pakikipag-ugnayan ay naglalaro sa tatlong-dimensional na pisikal na espasyong Euclidean.

Anong katangian ng batas ng pakikipag-ugnayan ng mga singil sa kuryente ang batayan ng Gauss theorem?

Patunayan, batay sa teorama ni Gauss, na ang lakas ng electric field ng isang point charge ay inversely proportional sa square ng distansya. Anong mga katangian ng space symmetry ang ginagamit sa patunay na ito?

Paano makikita ang geometry ng pisikal na espasyo sa batas ni Coulomb at teorama ni Gauss? Anong katangian ng mga batas na ito ang nagpapahiwatig ng Euclidean na katangian ng geometry at ang three-dimensionality ng pisikal na espasyo?

Ang vector flux ng lakas ng electric field. Hayaan ang isang maliit na platform DS(Larawan 1.2) i-intersect ang mga linya ng electric field, na ang direksyon ay kasama ng normal n anggulo sa site na ito a. Ipagpalagay na ang tension vector E ay hindi nagbabago sa loob ng site DS, tukuyin natin daloy ng vector ng pag-igting sa pamamagitan ng plataporma DS Paano

DFE =E DS cos a.(1.3)

Dahil ang density ng mga linya ng kuryente ay katumbas ng numerical na halaga ng pag-igting E, pagkatapos ay ang bilang ng mga linya ng kuryente na tumatawid sa lugarDS, ay magiging katumbas ng numero sa halaga ng daloyDFEsa pamamagitan ng ibabawDS. Katawanin natin ang kanang bahagi ng expression (1.3) bilang isang scalar na produkto ng mga vector E AtDS= nDS, Saan n– unit vector normal sa ibabawDS. Para sa elementarya na lugar d S ang ekspresyon (1.3) ay nasa anyo

dFE = E d S

Sa buong site S ang flux ng tension vector ay kinakalkula bilang integral sa ibabaw

Electrical induction vector flow. Ang flux ng electric induction vector ay tinutukoy na katulad ng flux ng electric field strength vector

dFD = D d S

Mayroong ilang kalabuan sa mga kahulugan ng mga daloy dahil sa ang katunayan na para sa bawat ibabaw ng dalawa normal sa kabaligtaran na direksyon. Para sa isang saradong ibabaw, ang panlabas na normal ay itinuturing na positibo.

Ang teorama ni Gauss. Isaalang-alang natin positibong punto singil ng kuryente q, na matatagpuan sa loob ng isang arbitrary na saradong ibabaw S(Larawan 1.3). Induction vector flux sa pamamagitan ng surface element d S katumbas
(1.4)

Bahagi d S D = d S cos aelemento sa ibabaw d S sa direksyon ng induction vectorDitinuturing bilang isang elemento ng isang spherical surface ng radius r, sa gitna kung saan matatagpuan ang singilq.

Isinasaalang-alang na d S D/ r 2 ay katumbas elementarya sa katawan sulok dw, kung saan mula sa punto kung saan matatagpuan ang singilqelemento sa ibabaw d nakikita S, binabago namin ang expression (1.4) sa form d FD = q d w / 4 p, mula sa kung saan, pagkatapos ng pagsasama sa buong espasyo na nakapalibot sa singil, ibig sabihin, sa loob ng solidong anggulo mula 0 hanggang 4p, nakukuha namin

FD = q.

Ang daloy ng electrical induction vector sa pamamagitan ng isang saradong ibabaw ng di-makatwirang hugis ay katumbas ng singil na nasa loob ng ibabaw na ito.

Kung ang isang arbitrary na saradong ibabaw S hindi sumasaklaw sa isang point charge q(Larawan 1.4), pagkatapos, na nakagawa ng conical na ibabaw na may vertex sa punto kung saan matatagpuan ang singil, hinahati namin ang ibabaw S sa dalawang bahagi: S 1 at S 2. Daloy ng vector D sa pamamagitan ng ibabaw S nakikita natin bilang algebraic na kabuuan ng mga flux sa mga ibabaw S 1 at S 2:

.

Parehong ibabaw mula sa punto kung saan matatagpuan ang singil q nakikita mula sa isang solidong anggulo w. Samakatuwid ang mga daloy ay pantay

Dahil kapag kinakalkula ang daloy sa isang saradong ibabaw, ginagamit namin panlabas na normal sa ibabaw, madaling makita na ang daloy ng F 1D < 0, тогда как поток Ф2D> 0. Kabuuang daloy Ф D= 0. Nangangahulugan ito na ang daloy ng electric induction vector sa pamamagitan ng saradong ibabaw ng di-makatwirang hugis ay hindi nakasalalay sa mga singil na matatagpuan sa labas ng ibabaw na ito.

Kung ang electric field ay nilikha ng isang sistema ng mga point charge q 1 , q 2 ,¼ , qn, na natatakpan ng saradong ibabaw S, pagkatapos, alinsunod sa prinsipyo ng superposisyon, ang flux ng induction vector sa ibabaw na ito ay tinutukoy bilang ang kabuuan ng mga flux na nilikha ng bawat isa sa mga singil. Ang daloy ng electrical induction vector sa pamamagitan ng isang saradong ibabaw ng arbitrary na hugis ay katumbas ng algebraic na kabuuan ng mga singil na sakop ng ibabaw na ito:

Dapat pansinin na ang mga singil qi hindi kailangang maging point-like, ang isang kinakailangang kundisyon ay ang lugar na sinisingil ay dapat na ganap na sakop ng ibabaw. Kung nasa isang puwang na nakatali sa saradong ibabaw S, ang singil ng kuryente ay patuloy na ipinamamahagi, pagkatapos ay dapat na ipagpalagay na ang bawat elementarya na dami d V may bayad. Sa kasong ito, sa kanang bahagi ng expression (1.5), ang algebraic summation ng mga singil ay pinapalitan ng pagsasama sa volume na nakapaloob sa loob ng saradong ibabaw. S:

(1.6)

Ang pagpapahayag (1.6) ay ang pinaka-pangkalahatang pagbabalangkas Teorama ni Gauss: ang daloy ng electric induction vector sa pamamagitan ng isang saradong ibabaw ng di-makatwirang hugis ay katumbas ng kabuuang singil sa volume na sakop ng ibabaw na ito at hindi nakasalalay sa mga singil na matatagpuan sa labas ng ibabaw na isinasaalang-alang. Ang theorem ni Gauss ay maaari ding isulat para sa daloy ng electric field strength vector:

.

Ang isang mahalagang katangian ng electric field ay sumusunod mula sa teorem ni Gauss: Ang mga linya ng puwersa ay nagsisimula o nagtatapos lamang sa mga singil sa kuryente o papunta sa infinity. Muli nating bigyang-diin na, sa kabila ng katotohanan na ang lakas ng patlang ng kuryente E at electrical induction D depende sa lokasyon sa espasyo ng lahat ng singil, ang mga daloy ng mga vector na ito sa pamamagitan ng isang arbitrary na saradong ibabaw S ay tinutukoy lamang yaong mga singil na nasa loob ng ibabaw S.

Differential form ng Gauss's theorem. Tandaan na integral na anyo Inilalarawan ng teorama ni Gauss ang kaugnayan sa pagitan ng mga pinagmumulan ng electric field (mga singil) at ang mga katangian ng electric field (tension o induction) sa volume V di-makatwirang, ngunit sapat para sa pagbuo ng mga integral na relasyon, magnitude. Sa pamamagitan ng paghahati ng lakas ng tunog V para sa maliliit na volume V i, nakukuha namin ang expression

wasto kapwa sa kabuuan at para sa bawat termino. Ibahin natin ang nagresultang expression tulad ng sumusunod:

(1.7)

at isaalang-alang ang limitasyon kung saan ang expression sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay, na nakapaloob sa mga kulot na bracket, ay may posibilidad para sa isang walang limitasyong dibisyon ng volume V. Sa matematika ang limitasyong ito ay tinatawag divergence vector (sa kasong ito, ang vector ng electrical induction D):

Vector divergence D sa mga coordinate ng Cartesian:

Kaya, ang expression (1.7) ay binago sa anyo:

.

Isinasaalang-alang na sa walang limitasyong paghahati ang kabuuan sa kaliwang bahagi ng huling expression ay napupunta sa isang dami ng integral, nakukuha namin

Ang resultang relasyon ay dapat masiyahan para sa anumang arbitraryong napiling volume V. Ito ay posible lamang kung ang mga halaga ng mga integrand sa bawat punto sa espasyo ay pareho. Samakatuwid, ang pagkakaiba-iba ng vector D ay nauugnay sa density ng singil sa parehong punto ng pagkakapantay-pantay

o para sa electrostatic field strength vector

Ang mga pagkakapantay-pantay na ito ay nagpapahayag ng teorama ni Gauss sa kaugalian na anyo.

Tandaan na sa proseso ng paglipat sa kaugalian na anyo ng teorem ni Gauss, ang isang relasyon ay nakuha na may pangkalahatang katangian:

.

Ang expression ay tinatawag na Gauss-Ostrogradsky formula at nag-uugnay sa dami ng integral ng divergence ng isang vector sa daloy ng vector na ito sa pamamagitan ng saradong ibabaw na nagbubuklod sa volume.

Mga tanong

1) Ano ang pisikal na kahulugan ng teorama ni Gauss para sa electrostatic field sa vacuum

2) May point charge sa gitna ng cubeq. Ano ang flux ng isang vector? E:

a) sa buong ibabaw ng kubo; b) sa pamamagitan ng isa sa mga mukha ng kubo.

Magbabago ba ang mga sagot kung:

a) ang singil ay wala sa gitna ng kubo, ngunit sa loob nito ; b) ang singil ay nasa labas ng kubo.

3) Ano ang mga linear, surface, volume charge density.

4) Ipahiwatig ang kaugnayan sa pagitan ng volume at mga density ng charge sa ibabaw.

5) Maaari bang maging non-zero ang field sa labas ng magkasalungat at pare-parehong sisingilin parallel infinite planes?

6) Ang isang electric dipole ay inilalagay sa loob ng isang saradong ibabaw. Ano ang daloy sa ibabaw na ito