Sa wakas, nakuha ko ang aking mga kamay sa malawak at pinakahihintay na paksang ito. analytical geometry. Una, kaunti tungkol sa seksyong ito ng mas mataas na matematika... Tiyak na naaalala mo na ngayon ang isang kursong geometry ng paaralan na may maraming teorema, ang kanilang mga patunay, mga guhit, atbp. Ano ang itatago, isang hindi minamahal at madalas na nakakubli na paksa para sa isang makabuluhang proporsyon ng mga mag-aaral. Ang analytical geometry, kakaiba, ay maaaring mukhang mas kawili-wili at naa-access. Ano ang ibig sabihin ng pang-uri na "analitikal"? Dalawang cliched na mathematical phrase ang agad na naiisip: "graphical solution method" at "analytical solution method." Paraan ng graphic, siyempre, ay nauugnay sa pagbuo ng mga graph at mga guhit. Analitikal o paraan nagsasangkot ng paglutas ng mga problema higit sa lahat sa pamamagitan ng algebraic operations. Sa pagsasaalang-alang na ito, ang algorithm para sa paglutas ng halos lahat ng mga problema ng analytical geometry ay simple at transparent, madalas sapat na upang maingat na ilapat ang mga kinakailangang formula - at handa na ang sagot! Hindi, siyempre, hindi namin magagawa ito nang walang mga guhit, at bukod pa, para sa isang mas mahusay na pag-unawa sa materyal, susubukan kong banggitin ang mga ito nang higit sa pangangailangan.

Ang bagong bukas na kurso ng mga aralin sa geometry ay hindi nagpapanggap na kumpleto sa teorya; ito ay nakatuon sa paglutas ng mga praktikal na problema. Isasama ko lamang sa aking mga lektura ang, mula sa aking pananaw, ay mahalaga sa mga praktikal na termino. Kung kailangan mo ng mas kumpletong tulong sa anumang subsection, inirerekumenda ko ang sumusunod na medyo naa-access na literatura:

1) Isang bagay na, walang biro, pamilyar sa ilang henerasyon: Textbook ng paaralan sa geometry, mga may-akda - L.S. Atanasyan at Kumpanya. Ang sabitan ng locker room ng paaralan ay dumaan na sa 20 (!) na muling pag-print, na, siyempre, ay hindi ang limitasyon.

2) Geometry sa 2 volume. Mga may-akda L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Ito ay panitikan para sa mataas na paaralan, kakailanganin mo unang volume. Ang mga bihirang nakatagpo na gawain ay maaaring mawala sa aking paningin, at ang tutorial ay magiging napakahalagang tulong.

Ang parehong mga libro ay maaaring ma-download nang libre online. Bilang karagdagan, maaari mong gamitin ang aking archive na may mga handa na solusyon, na matatagpuan sa pahina Mag-download ng mga halimbawa sa mas mataas na matematika.

Kabilang sa mga tool, muli kong iminumungkahi ang aking sariling pag-unlad - software package sa analytical geometry, na lubos na magpapasimple sa buhay at makatipid ng maraming oras.

Ipinapalagay na ang mambabasa ay pamilyar sa mga pangunahing geometric na konsepto at figure: punto, linya, eroplano, tatsulok, parallelogram, parallelepiped, cube, atbp. Maipapayo na tandaan ang ilang theorems, hindi bababa sa Pythagorean theorem, kumusta sa mga repeater)

At ngayon ay isasaalang-alang namin ang sunud-sunod: ang konsepto ng isang vector, mga aksyon na may mga vector, mga coordinate ng vector. Inirerekumenda kong magbasa pa ang pinakamahalagang artikulo Tuldok na produkto ng mga vector, at saka Vector at halo-halong produkto ng mga vector. Ang isang lokal na gawain - Dibisyon ng isang segment sa bagay na ito - ay hindi rin magiging kalabisan. Batay sa impormasyon sa itaas, maaari mong master equation ng isang linya sa isang eroplano Sa pinakasimpleng halimbawa ng mga solusyon, na magpapahintulot matutong lutasin ang mga problema sa geometry. Ang mga sumusunod na artikulo ay kapaki-pakinabang din: Equation ng isang eroplano sa kalawakan, Mga equation ng isang linya sa espasyo, Mga pangunahing problema sa isang tuwid na linya at isang eroplano, iba pang mga seksyon ng analytical geometry. Naturally, ang mga karaniwang gawain ay isasaalang-alang sa daan.

Konsepto ng vector. Libreng vector

Una, ulitin natin ang kahulugan ng paaralan ng isang vector. Vector tinawag nakadirekta isang segment kung saan ang simula at pagtatapos nito ay ipinahiwatig:

Sa kasong ito, ang simula ng segment ay ang punto, ang dulo ng segment ay ang punto. Ang vector mismo ay tinutukoy ng . Direksyon ay mahalaga, kung ililipat mo ang arrow sa kabilang dulo ng segment, makakakuha ka ng vector, at ito na ganap na naiibang vector. Ito ay maginhawa upang matukoy ang konsepto ng isang vector na may paggalaw ng isang pisikal na katawan: dapat kang sumang-ayon, ang pagpasok sa mga pintuan ng isang instituto o pag-alis sa mga pintuan ng isang instituto ay ganap na magkakaibang mga bagay.

Ito ay maginhawa upang isaalang-alang ang mga indibidwal na punto ng isang eroplano o espasyo bilang ang tinatawag na zero vector. Para sa tulad ng isang vector, ang dulo at simula ay nag-tutugma.

!!! Tandaan: Dito at higit pa, maaari mong ipagpalagay na ang mga vector ay namamalagi sa parehong eroplano o maaari mong ipagpalagay na sila ay matatagpuan sa kalawakan - ang kakanyahan ng materyal na ipinakita ay wasto para sa parehong eroplano at espasyo.

Mga pagtatalaga: Marami agad ang nakapansin sa stick na walang palaso sa designation at sinabing, may arrow din sa taas! Totoo, maaari mo itong isulat gamit ang isang arrow: , ngunit posible rin ito ang entry na gagamitin ko sa hinaharap. Bakit? Tila, ang ugali na ito ay nabuo para sa praktikal na mga kadahilanan; ang aking mga tagabaril sa paaralan at unibersidad ay naging masyadong magkaiba ang laki at balbon. Sa literatura na pang-edukasyon, kung minsan ay hindi sila nag-abala sa pagsulat ng cuneiform, ngunit i-highlight ang mga titik sa bold: , at sa gayon ay nagpapahiwatig na ito ay isang vector.

Iyon ay stylistics, at ngayon tungkol sa mga paraan upang magsulat ng mga vectors:

1) Ang mga vector ay maaaring isulat sa dalawang malalaking titik na Latin:
at iba pa. Sa kasong ito, ang unang titik Kailangan nagsasaad ng panimulang punto ng vector, at ang pangalawang titik ay tumutukoy sa dulong punto ng vector.

2) Ang mga vector ay isinusulat din sa maliliit na letrang Latin:
Sa partikular, ang aming vector ay maaaring muling italaga para sa kaiklian ng isang maliit na letrang Latin.

Ang haba o modyul ang isang di-zero na vector ay tinatawag na haba ng segment. Ang haba ng zero vector ay zero. Lohikal.

Ang haba ng vector ay ipinahiwatig ng modulus sign: ,

Malalaman natin kung paano hanapin ang haba ng isang vector (o uulitin natin ito, depende sa kung sino) mamaya.

Ito ay pangunahing impormasyon tungkol sa mga vector, pamilyar sa lahat ng mga mag-aaral. Sa analytical geometry, ang tinatawag na libreng vector.

Sa madaling salita - ang vector ay maaaring i-plot mula sa anumang punto:

Nakasanayan na nating tawaging pantay-pantay ang mga naturang vector (ibibigay sa ibaba ang kahulugan ng pantay na mga vector), ngunit mula sa isang mathematical point of view, sila ay PAREHONG VECTOR o libreng vector. Bakit libre? Dahil sa kurso ng paglutas ng mga problema, maaari mong "ilakip" ito o ang vector ng "paaralan" na iyon sa ANUMANG punto ng eroplano o espasyo na kailangan mo. Ito ay isang napaka-cool na tampok! Isipin ang isang nakadirekta na segment ng di-makatwirang haba at direksyon - maaari itong "i-clone" ng walang katapusang bilang ng beses at sa anumang punto sa kalawakan, sa katunayan, ito ay umiiral sa lahat ng dako. May isang mag-aaral na nagsasabi: Ang bawat lektor ay nagbibigay ng isang sumpain tungkol sa vector. Pagkatapos ng lahat, ito ay hindi lamang isang nakakatawang tula, ang lahat ay halos tama - isang nakadirekta na segment ay maaaring idagdag din doon. Ngunit huwag magmadali upang magalak, ang mga mag-aaral mismo ang madalas na nagdurusa =)

Kaya, libreng vector- Ito isang grupo ng magkaparehong nakadirekta na mga segment. Ang kahulugan ng paaralan ng isang vector, na ibinigay sa simula ng talata: "Ang isang nakadirekta na segment ay tinatawag na isang vector..." ay nagpapahiwatig tiyak isang nakadirekta na segment na kinuha mula sa isang ibinigay na hanay, na nakatali sa isang partikular na punto sa eroplano o espasyo.

Dapat pansinin na mula sa punto ng view ng pisika, ang konsepto ng isang libreng vector ay karaniwang hindi tama, at ang punto ng aplikasyon ay mahalaga. Sa katunayan, ang isang direktang suntok ng parehong puwersa sa ilong o noo, sapat na upang bumuo ng aking hangal na halimbawa, ay nangangailangan ng iba't ibang mga kahihinatnan. gayunpaman, hindi malaya Ang mga vector ay matatagpuan din sa kurso ng vyshmat (huwag pumunta doon :)).

Mga pagkilos na may mga vector. Collinearity ng mga vectors

Ang isang kurso sa geometry ng paaralan ay sumasaklaw sa ilang mga aksyon at panuntunan na may mga vector: karagdagan ayon sa tuntuning tatsulok, karagdagan ayon sa panuntunang paralelogram, panuntunan sa pagkakaiba ng vector, pagpaparami ng isang vector sa isang numero, produkto ng scalar ng mga vector, atbp. Bilang panimulang punto, ulitin natin ang dalawang panuntunan na partikular na nauugnay sa paglutas ng mga problema ng analytical geometry.

Ang panuntunan para sa pagdaragdag ng mga vector gamit ang panuntunang tatsulok

Isaalang-alang ang dalawang arbitrary na di-zero na vector at :

Kailangan mong hanapin ang kabuuan ng mga vector na ito. Dahil sa ang katunayan na ang lahat ng mga vector ay itinuturing na libre, isasaisantabi namin ang vector mula sa wakas vector:

Ang kabuuan ng mga vector ay ang vector. Para sa isang mas mahusay na pag-unawa sa panuntunan, ipinapayong ilagay ang isang pisikal na kahulugan dito: hayaan ang ilang katawan na maglakbay kasama ang vector , at pagkatapos ay kasama ang vector . Pagkatapos ang kabuuan ng mga vector ay ang vector ng nagresultang landas na may simula sa punto ng pag-alis at ang dulo sa punto ng pagdating. Ang isang katulad na panuntunan ay binuo para sa kabuuan ng anumang bilang ng mga vector. Tulad ng sinasabi nila, ang katawan ay maaaring pumunta sa kanyang paraan na napakahilig sa isang zigzag, o marahil sa autopilot - kasama ang nagresultang vector ng kabuuan.

Sa pamamagitan ng paraan, kung ang vector ay ipinagpaliban mula sa nagsimula vector, pagkatapos ay makuha namin ang katumbas tuntunin ng paralelogram pagdaragdag ng mga vector.

Una, tungkol sa collinearity ng mga vectors. Ang dalawang vector ay tinatawag collinear, kung nakahiga sila sa parehong linya o sa parallel na linya. Sa halos pagsasalita, pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga parallel vectors. Ngunit may kaugnayan sa kanila, palaging ginagamit ang pang-uri na "collinear".

Isipin ang dalawang collinear vectors. Kung ang mga arrow ng mga vector na ito ay nakadirekta sa parehong direksyon, kung gayon ang mga naturang vector ay tinatawag co-directed. Kung ang mga arrow ay tumuturo sa iba't ibang direksyon, kung gayon ang mga vector ay magiging magkasalungat na direksyon.

Mga pagtatalaga: collinearity ng mga vectors ay nakasulat na may karaniwang parallelism simbolo: , habang ang pagdedetalye ay posible: (vectors ay co-directed) o (vectors ay oppositely directed).

Ang trabaho ang isang di-zero na vector sa isang numero ay isang vector na ang haba ay katumbas ng , at ang mga vector at ay co-directed sa at oppositely directed sa .

Ang panuntunan para sa pagpaparami ng isang vector sa isang numero ay mas madaling maunawaan sa tulong ng isang larawan:

Tingnan natin ito nang mas detalyado:

1 Direksyon. Kung ang multiplier ay negatibo, kung gayon ang vector nagbabago ng direksyon sa kabaligtaran.

2) Haba. Kung ang multiplier ay nasa loob ng o , ang haba ng vector bumababa. Kaya, ang haba ng vector ay kalahati ng haba ng vector. Kung ang modulus ng multiplier ay mas malaki kaysa sa isa, kung gayon ang haba ng vector nadadagdagan sa oras.

3) Mangyaring tandaan na lahat ng mga vector ay collinear, habang ang isang vector ay ipinahayag sa pamamagitan ng isa pa, halimbawa, . Ang baligtad ay totoo rin: kung ang isang vector ay maaaring ipahayag sa pamamagitan ng isa pa, kung gayon ang mga vectors ay kinakailangang collinear. kaya: kung i-multiply natin ang isang vector sa isang numero, makakakuha tayo ng collinear(kamag-anak sa orihinal) vector.

4) Ang mga vector ay co-directed. Vectors at co-direct din. Anumang vector ng unang pangkat ay kabaligtaran na nakadirekta sa anumang vector ng pangalawang pangkat.

Aling mga vector ang pantay?

Ang dalawang vector ay magkapareho kung sila ay nasa parehong direksyon at may parehong haba. Tandaan na ang codirectionality ay nagpapahiwatig ng collinearity ng mga vectors. Ang kahulugan ay magiging hindi tumpak (kalabisan) kung sasabihin namin: "Ang dalawang vector ay magkapareho kung sila ay collinear, codirectional, at may parehong haba."

Mula sa punto ng view ng konsepto ng isang libreng vector, ang mga pantay na vector ay ang parehong vector, tulad ng tinalakay sa nakaraang talata.

Vector coordinate sa eroplano at sa kalawakan

Ang unang punto ay isaalang-alang ang mga vector sa eroplano. Ilarawan natin ang isang Cartesian rectangular coordinate system at i-plot ito mula sa pinagmulan ng mga coordinate walang asawa mga vector at:

Mga vector at orthogonal. Orthogonal = Perpendicular. Inirerekomenda ko na dahan-dahan kang masanay sa mga termino: sa halip na parallelism at perpendicularity, ginagamit namin ang mga salita ayon sa pagkakabanggit collinearity At orthogonality.

pagtatalaga: Ang orthogonality ng mga vectors ay nakasulat gamit ang karaniwang perpendicularity na simbolo, halimbawa: .

Ang mga vector na isinasaalang-alang ay tinatawag coordinate vectors o orts. Ang mga vectors na ito ay nabuo batayan sa ibabaw. Ano ang batayan, sa palagay ko, ay malinaw na malinaw sa marami; ang mas detalyadong impormasyon ay matatagpuan sa artikulo Linear (hindi) dependence ng mga vectors. Batayan ng mga vector Sa simpleng salita, ang batayan at pinagmulan ng mga coordinate ay tumutukoy sa buong sistema - ito ay isang uri ng pundasyon kung saan kumukulo ang isang buo at mayamang geometric na buhay.

Minsan tinatawag ang itinayong batayan orthonormal batayan ng eroplano: "ortho" - dahil ang mga coordinate vectors ay orthogonal, ang adjective na "normalized" ay nangangahulugang unit, i.e. ang haba ng mga batayang vector ay katumbas ng isa.

pagtatalaga: ang batayan ay karaniwang nakasulat sa panaklong, sa loob nito sa mahigpit na pagkakasunod-sunod nakalista ang mga base vector, halimbawa: . Mga vector ng coordinate ito ay ipinagbabawal muling ayusin.

Anuman vector ng eroplano ang tanging paraan ipinahayag bilang:
, Saan - numero na tinatawag na mga coordinate ng vector sa batayan na ito. At ang mismong ekspresyon tinawag pagkabulok ng vectorsa pamamagitan ng batayan .

Hinahain ang hapunan:

Magsimula tayo sa unang titik ng alpabeto: . Ang pagguhit ay malinaw na nagpapakita na kapag nabubulok ang isang vector sa isang batayan, ang mga tinalakay ay ginagamit:
1) ang panuntunan para sa pagpaparami ng vector sa isang numero: at ;
2) pagdaragdag ng mga vector ayon sa tuntunin ng tatsulok: .

Ngayon ay i-plot ng isip ang vector mula sa anumang iba pang punto sa eroplano. Malinaw na ang kanyang pagkabulok ay "susundan siya nang walang humpay." Narito ito, ang kalayaan ng vector - ang vector ay "dinadala ang lahat sa sarili nito." Ang property na ito, siyempre, ay totoo para sa anumang vector. Nakakatawa na ang mga batayan (libre) na mga vector mismo ay hindi kailangang i-plot mula sa pinanggalingan; ang isa ay maaaring iguhit, halimbawa, sa kaliwang ibaba, at ang isa sa kanang tuktok, at walang magbabago! Totoo, hindi mo kailangang gawin ito, dahil ang guro ay magpapakita din ng pagka-orihinal at bibigyan ka ng "kredito" sa isang hindi inaasahang lugar.

Eksaktong inilalarawan ng mga vector ang panuntunan para sa pagpaparami ng vector sa isang numero, ang vector ay codirectional sa base vector, ang vector ay nakadirekta sa tapat ng base vector. Para sa mga vector na ito, ang isa sa mga coordinate ay katumbas ng zero; maaari mong maingat na isulat ito tulad nito:


At ang mga batayang vector, sa pamamagitan ng paraan, ay ganito: (sa katunayan, sila ay ipinahayag sa pamamagitan ng kanilang sarili).

At sa wakas: , . Sa pamamagitan ng paraan, ano ang pagbabawas ng vector, at bakit hindi ko pinag-usapan ang panuntunan ng pagbabawas? Sa isang lugar sa linear algebra, hindi ko matandaan kung saan, nabanggit ko na ang pagbabawas ay isang espesyal na kaso ng karagdagan. Kaya, ang mga pagpapalawak ng mga vector na "de" at "e" ay madaling nakasulat bilang isang kabuuan: , . Sundin ang pagguhit upang makita kung gaano kalinaw gumagana ang magandang lumang pagdaragdag ng mga vector ayon sa panuntunang tatsulok sa mga sitwasyong ito.

Ang itinuturing na agnas ng form minsan tinatawag na vector decomposition sa ort system(i.e. sa isang sistema ng mga unit vector). Ngunit hindi ito ang tanging paraan upang magsulat ng isang vector; ang sumusunod na opsyon ay karaniwan:

O may katumbas na tanda:

Ang mga batayang vector mismo ay nakasulat bilang mga sumusunod: at

Iyon ay, ang mga coordinate ng vector ay ipinahiwatig sa mga panaklong. Sa mga praktikal na problema, lahat ng tatlong opsyon sa notasyon ay ginagamit.

Nag-alinlangan ako kung magsasalita, ngunit sasabihin ko pa rin: hindi maaaring muling ayusin ang mga coordinate ng vector. Mahigpit sa unang lugar isulat namin ang coordinate na tumutugma sa unit vector, mahigpit sa pangalawang lugar isulat namin ang coordinate na tumutugma sa unit vector. Sa katunayan, at dalawang magkaibang vectors.

Inisip namin ang mga coordinate sa eroplano. Ngayon tingnan natin ang mga vector sa tatlong-dimensional na espasyo, halos lahat ay pareho dito! Magdaragdag lamang ito ng isa pang coordinate. Mahirap gumawa ng mga three-dimensional na mga guhit, kaya lilimitahan ko ang aking sarili sa isang vector, na para sa pagiging simple ay itatabi ko sa pinagmulan:

Anuman 3D space vector ang tanging paraan palawakin sa isang orthonormal na batayan:
, nasaan ang mga coordinate ng vector (numero) sa batayan na ito.

Halimbawa mula sa larawan: . Tingnan natin kung paano gumagana ang mga panuntunan ng vector dito. Una, pagpaparami ng vector sa isang numero: (pulang arrow), (berdeng arrow) at (raspberry arrow). Pangalawa, narito ang isang halimbawa ng pagdaragdag ng ilan, sa kasong ito ng tatlo, mga vectors: . Ang kabuuan ng vector ay nagsisimula sa paunang punto ng pag-alis (simula ng vector) at nagtatapos sa huling punto ng pagdating (pagtatapos ng vector).

Ang lahat ng mga vector ng three-dimensional na espasyo, natural, ay libre din; subukang itabi ang vector mula sa anumang iba pang punto, at mauunawaan mo na ang agnas nito ay "mananatili dito."

Katulad ng flat case, bukod pa sa pagsusulat ang mga bersyon na may mga bracket ay malawakang ginagamit: alinman .

Kung ang isa (o dalawang) coordinate vector ay nawawala sa pagpapalawak, ang mga zero ay ilalagay sa kanilang lugar. Mga halimbawa:
vector (maingat ) - magsulat tayo;
vector (meticulously) - isulat;
vector (maingat ) – magsulat tayo.

Ang mga batayang vector ay nakasulat bilang mga sumusunod:

Ito, marahil, ay ang lahat ng pinakamababang teoretikal na kaalaman na kinakailangan upang malutas ang mga problema ng analytical geometry. Maaaring maraming termino at kahulugan, kaya inirerekomenda ko na basahin muli ng mga teapot at unawaing muli ang impormasyong ito. At magiging kapaki-pakinabang para sa sinumang mambabasa na sumangguni sa pangunahing aralin paminsan-minsan upang mas mahusay na maunawaan ang materyal. Collinearity, orthogonality, orthonormal na batayan, vector decomposition - ito at iba pang mga konsepto ay madalas na gagamitin sa hinaharap. Napansin ko na ang mga materyales sa site ay hindi sapat upang makapasa sa teoretikal na pagsubok o colloquium sa geometry, dahil maingat kong i-encrypt ang lahat ng mga theorems (at walang mga patunay) - sa kapinsalaan ng pang-agham na istilo ng pagtatanghal, ngunit isang plus sa iyong pag-unawa sa ang paksa. Upang makatanggap ng detalyadong teoretikal na impormasyon, mangyaring yumuko kay Propesor Atanasyan.

At lumipat tayo sa praktikal na bahagi:

Ang pinakasimpleng mga problema ng analytical geometry.
Mga pagkilos na may mga vector sa mga coordinate

Ito ay lubos na ipinapayong matutunan kung paano lutasin ang mga gawain na ganap na awtomatikong isasaalang-alang, at ang mga formula kabisaduhin, hindi mo na kailangang tandaan ito nang kusa, maaalala nila ito mismo =) Napakahalaga nito, dahil ang iba pang mga problema ng analytical geometry ay batay sa pinakasimpleng mga halimbawa ng elementarya, at nakakainis na gumugol ng karagdagang oras sa pagkain ng mga pawn. . Hindi na kailangang i-fasten ang mga top button sa iyong shirt; maraming bagay ang pamilyar sa iyo mula sa paaralan.

Ang pagtatanghal ng materyal ay susunod sa isang parallel na kurso - kapwa para sa eroplano at para sa espasyo. Sa kadahilanang lahat ng mga formula... makikita mo mismo.

Paano makahanap ng isang vector mula sa dalawang puntos?

Kung ang dalawang punto ng eroplano ay ibinigay, kung gayon ang vector ay may mga sumusunod na coordinate:

Kung ang dalawang puntos sa espasyo at ibinigay, ang vector ay may mga sumusunod na coordinate:

Yan ay, mula sa mga coordinate ng dulo ng vector kailangan mong ibawas ang kaukulang mga coordinate simula ng vector.

Pagsasanay: Para sa parehong mga punto, isulat ang mga formula para sa paghahanap ng mga coordinate ng vector. Mga pormula sa pagtatapos ng aralin.

Halimbawa 1

Ibinigay ang dalawang punto ng eroplano at . Maghanap ng mga coordinate ng vector

Solusyon: ayon sa kaukulang formula:

Bilang kahalili, maaaring gamitin ang sumusunod na entry:

Ang mga Aesthetes ang magpapasya nito:

Sa personal, sanay na ako sa unang bersyon ng pag-record.

Sagot:

Ayon sa kondisyon, hindi kinakailangan na gumawa ng isang pagguhit (na karaniwan para sa mga problema ng analytical geometry), ngunit upang linawin ang ilang mga punto para sa mga dummies, hindi ako magiging tamad:

Talagang kailangan mong maunawaan pagkakaiba sa pagitan ng mga coordinate ng punto at mga coordinate ng vector:

Mga coordinate ng punto– ito ay mga ordinaryong coordinate sa isang rectangular coordinate system. Sa palagay ko alam ng lahat kung paano mag-plot ng mga puntos sa isang coordinate plane mula sa ika-5-6 na baitang. Ang bawat punto ay may mahigpit na lugar sa eroplano, at hindi sila maaaring ilipat kahit saan.

Ang mga coordinate ng vector– ito ang pagpapalawak nito ayon sa batayan, sa kasong ito. Ang anumang vector ay libre, kaya kung ninanais o kinakailangan, madali nating maililipat ito mula sa ibang punto sa eroplano. Ito ay kagiliw-giliw na para sa mga vector ay hindi mo kailangang bumuo ng mga axes o isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate; kailangan mo lamang ng isang batayan, sa kasong ito ay isang orthonormal na batayan ng eroplano.

Ang mga talaan ng mga coordinate ng mga puntos at coordinate ng mga vector ay tila magkatulad: , at kahulugan ng mga coordinate ganap magkaiba, at dapat ay alam mong mabuti ang pagkakaibang ito. Ang pagkakaibang ito, siyempre, ay nalalapat din sa espasyo.

Mga kababaihan at mga ginoo, punan natin ang ating mga kamay:

Halimbawa 2

a) Mga puntos at ibinibigay. Maghanap ng mga vector at .
b) Ang mga puntos ay ibinibigay At . Maghanap ng mga vector at .
c) Mga puntos at ibinibigay. Maghanap ng mga vector at .
d) Ang mga puntos ay ibinibigay. Maghanap ng mga vector .

Marahil sapat na iyon. Ito ay mga halimbawa para sa iyo na magpasya sa iyong sarili, subukang huwag pabayaan ang mga ito, ito ay magbubunga ;-). Hindi na kailangang gumawa ng mga guhit. Mga solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Ano ang mahalaga sa paglutas ng mga problema sa analytical geometry? Mahalagang maging LUBOS NA MAG-INGAT upang maiwasan ang paggawa ng mahusay na pagkakamali na "two plus two equals zero". Humihingi ako ng paumanhin kaagad kung nagkamali ako sa isang lugar =)

Paano mahahanap ang haba ng isang segment?

Ang haba, tulad ng nabanggit na, ay ipinahiwatig ng modulus sign.

Kung ang dalawang punto ng eroplano ay ibinigay at , kung gayon ang haba ng segment ay maaaring kalkulahin gamit ang formula

Kung dalawang puntos sa espasyo at ibinigay, kung gayon ang haba ng segment ay maaaring kalkulahin gamit ang formula

Tandaan: Ang mga formula ay mananatiling tama kung ang mga katumbas na coordinate ay pinalitan: at , ngunit ang unang opsyon ay mas karaniwan

Halimbawa 3

Solusyon: ayon sa kaukulang formula:

Sagot:

Para sa kalinawan, gagawa ako ng drawing

Segment ng linya - hindi ito vector, at, siyempre, hindi mo ito maililipat kahit saan. Bilang karagdagan, kung gumuhit ka sa sukat: 1 yunit. = 1 cm (dalawang notebook cell), pagkatapos ay masusuri ang resultang sagot sa isang regular na ruler sa pamamagitan ng direktang pagsukat sa haba ng segment.

Oo, ang solusyon ay maikli, ngunit mayroong ilang mas mahahalagang punto dito na nais kong linawin:

Una, sa sagot ay inilalagay namin ang dimensyon: "mga yunit". Hindi sinasabi ng kundisyon kung ANO ito, milimetro, sentimetro, metro o kilometro. Samakatuwid, ang isang mathematically tamang solusyon ay ang pangkalahatang pagbabalangkas: "mga yunit" - dinaglat bilang "mga yunit."

Pangalawa, ulitin natin ang materyal sa paaralan, na kapaki-pakinabang hindi lamang para sa gawaing isinasaalang-alang:

pansinin mo mahalagang teknik – pag-alis ng multiplier mula sa ilalim ng ugat. Bilang resulta ng mga kalkulasyon, mayroon kaming isang resulta at ang mahusay na istilo ng matematika ay nagsasangkot ng pag-alis ng kadahilanan mula sa ilalim ng ugat (kung maaari). Sa mas detalyado ang proseso ay ganito: . Siyempre, hindi isang pagkakamali ang pag-iwan sa sagot bilang ay - ngunit ito ay tiyak na isang pagkukulang at isang mabigat na argumento para sa quibbling sa bahagi ng guro.

Narito ang iba pang karaniwang mga kaso:

Kadalasan ang ugat ay gumagawa ng isang medyo malaking bilang, halimbawa . Ano ang gagawin sa mga ganitong kaso? Gamit ang calculator, sinusuri namin kung ang numero ay nahahati sa 4: . Oo, ito ay ganap na nahahati, kaya: . O baka mahati ulit ng 4 ang numero? . kaya: . Ang huling digit ng numero ay kakaiba, kaya ang paghahati sa 4 sa pangatlong pagkakataon ay malinaw na hindi gagana. Subukan nating hatiin sa siyam: . Ang resulta:
handa na.

Konklusyon: kung sa ilalim ng ugat ay nakakakuha tayo ng isang numero na hindi maaaring makuha sa kabuuan, pagkatapos ay susubukan naming alisin ang kadahilanan mula sa ilalim ng ugat - gamit ang isang calculator, sinusuri namin kung ang numero ay nahahati sa: 4, 9, 16, 25, 36, 49, atbp.

Kapag nilulutas ang iba't ibang mga problema, madalas na nakatagpo ang mga ugat; palaging subukang kunin ang mga salik mula sa ilalim ng ugat upang maiwasan ang mas mababang grado at hindi kinakailangang mga problema sa pagsasapinal ng iyong mga solusyon batay sa mga komento ng guro.

Ulitin din natin ang pag-squaring ng mga ugat at iba pang kapangyarihan:

Ang mga patakaran para sa pagpapatakbo na may mga kapangyarihan sa pangkalahatang anyo ay matatagpuan sa isang aklat-aralin sa algebra ng paaralan, ngunit sa palagay ko mula sa mga halimbawang ibinigay, lahat o halos lahat ay malinaw na.

Gawain para sa independiyenteng solusyon na may isang segment sa espasyo:

Halimbawa 4

Mga puntos at ibinibigay. Hanapin ang haba ng segment.

Ang solusyon at sagot ay nasa katapusan ng aralin.

Paano mahahanap ang haba ng isang vector?

Kung ang isang vector ng eroplano ay ibinigay, pagkatapos ay ang haba nito ay kinakalkula ng formula.

Kung ang isang space vector ay ibinigay, pagkatapos ay ang haba nito ay kinakalkula ng formula .

Magkakaroon din ng mga problema para malutas mo nang mag-isa, kung saan makikita mo ang mga sagot.

Konsepto ng vector

Bago mo matutunan ang lahat tungkol sa mga vector at mga operasyon sa mga ito, maghanda upang malutas ang isang simpleng problema. Mayroong isang vector ng iyong entrepreneurship at isang vector ng iyong mga makabagong kakayahan. Ang vector ng entrepreneurship ay magdadala sa iyo sa Layunin 1, at ang vector ng mga makabagong kakayahan ay magdadala sa iyo sa Layunin 2. Ang mga alituntunin ng laro ay tulad na hindi ka makakagalaw sa direksyon ng dalawang vector na ito nang sabay-sabay at makamit ang dalawang layunin nang sabay-sabay. Nakikipag-ugnayan ang mga vector, o, nagsasalita sa wikang matematika, ang ilang operasyon ay ginagawa sa mga vector. Ang resulta ng operasyong ito ay ang vector na "Resulta", na magdadala sa iyo sa Layunin 3.

Ngayon sabihin sa akin: ang resulta ng kung aling operasyon sa mga vectors na "Entrepreneurship" at "Mga makabagong kakayahan" ay ang vector na "Resulta"? Kung hindi mo masabi kaagad, huwag kang panghinaan ng loob. Sa pagsulong mo sa araling ito, masasagot mo ang tanong na ito.

Tulad ng nakita na natin sa itaas, ang vector ay kinakailangang nagmula sa isang tiyak na punto A sa isang tuwid na linya hanggang sa ilang punto B. Dahil dito, ang bawat vector ay hindi lamang isang numerical na halaga - haba, ngunit din ng isang pisikal at geometric na halaga - direksyon. Dito nagmumula ang una, pinakasimpleng kahulugan ng isang vector. Kaya, ang isang vector ay isang nakadirekta na segment na nagmumula sa isang punto A sa punto B. Ito ay itinalaga bilang mga sumusunod: .

At upang simulan ang iba't-ibang mga operasyon na may mga vectors , kailangan nating kilalanin ang isa pang kahulugan ng vector.

Ang vector ay isang uri ng representasyon ng isang punto na kailangang maabot mula sa ilang panimulang punto. Halimbawa, ang isang three-dimensional na vector ay karaniwang nakasulat bilang (x, y, z) . Sa napakasimpleng termino, ang mga numerong ito ay nangangahulugan kung gaano kalayo ang kailangan mong lakaran sa tatlong magkakaibang direksyon upang makarating sa isang punto.

Hayaang magbigay ng vector. Kung saan x = 3 (nakaturo ang kanang kamay sa kanan), y = 1 (nakaturo ang kaliwang kamay pasulong) z = 5 (sa ilalim ng punto ay may hagdanan na humahantong sa itaas). Gamit ang data na ito, makakahanap ka ng isang punto sa pamamagitan ng paglalakad ng 3 metro sa direksyon na ipinahiwatig ng iyong kanang kamay, pagkatapos ay 1 metro sa direksyon na ipinahiwatig ng iyong kaliwang kamay, at pagkatapos ay isang hagdan ang naghihintay sa iyo at, tumataas ng 5 metro, makikita mo sa wakas. ang iyong sarili sa dulong punto.

Ang lahat ng iba pang mga termino ay mga paglilinaw ng paliwanag na ipinakita sa itaas, kinakailangan para sa iba't ibang mga operasyon sa mga vector, iyon ay, paglutas ng mga praktikal na problema. Tingnan natin ang mas mahigpit na mga kahulugang ito, na tumutuon sa mga karaniwang problema sa vector.

Mga pisikal na halimbawa Ang mga dami ng vector ay maaaring ang displacement ng isang materyal na punto na gumagalaw sa espasyo, ang bilis at pagbilis ng puntong ito, pati na rin ang puwersang kumikilos dito.

Geometric na vector ipinakita sa dalawang-dimensional at tatlong-dimensional na espasyo sa anyo direksyong bahagi. Ito ay isang segment na may simula at wakas.

Kung A- ang simula ng vector, at B- ang dulo nito, pagkatapos ang vector ay ipinapahiwatig ng simbolo o isang maliit na titik . Sa figure, ang dulo ng vector ay ipinahiwatig ng isang arrow (Larawan 1)

Ang haba(o modyul) ng isang geometric vector ay ang haba ng segment na bumubuo nito

Ang dalawang vector ay tinatawag pantay , kung maaari silang pagsamahin (kung ang mga direksyon ay nag-tutugma) sa pamamagitan ng parallel transfer, i.e. kung sila ay parallel, nakadirekta sa parehong direksyon at may pantay na haba.

Sa physics ito ay madalas na isinasaalang-alang naka-pin na mga vector, na tinukoy ng punto ng aplikasyon, haba at direksyon. Kung ang punto ng aplikasyon ng vector ay hindi mahalaga, pagkatapos ay maaari itong ilipat, pinapanatili ang haba at direksyon nito, sa anumang punto sa espasyo. Sa kasong ito, ang vector ay tinatawag libre. Kami ay sumasang-ayon na isaalang-alang lamang libreng vectors.

Mga linear na operasyon sa mga geometric na vector

Pagpaparami ng vector sa isang numero

Produkto ng isang vector bawat numero ay isang vector na nakukuha mula sa isang vector sa pamamagitan ng pag-unat (at ) o pag-compress (at ) sa pamamagitan ng isang factor, at ang direksyon ng vector ay nananatiling pareho kung , at nagbabago sa kabaligtaran kung . (Larawan 2)

Mula sa kahulugan, sumusunod na ang mga vectors at = ay palaging matatagpuan sa isa o parallel na linya. Ang ganitong mga vector ay tinatawag collinear. (Maaari din nating sabihin na ang mga vector na ito ay magkatulad, ngunit sa vector algebra ay kaugalian na sabihin ang "collinear.") Totoo rin ang kabaligtaran: kung ang mga vector ay collinear, kung gayon ang mga ito ay nauugnay sa kaugnayan.

Dahil dito, ang pagkakapantay-pantay (1) ay nagpapahayag ng kondisyon ng collinearity ng dalawang vectors.

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga vector

Kapag nagdadagdag ng mga vectors kailangan mong malaman iyon halaga vectors at tinatawag na vector, ang simula nito ay tumutugma sa simula ng vector, at ang dulo sa dulo ng vector, sa kondisyon na ang simula ng vector ay nakakabit sa dulo ng vector. (Larawan 3)

Ang kahulugan na ito ay maaaring ipamahagi sa anumang may hangganang bilang ng mga vector. Hayaan silang ibigay sa kalawakan n libreng vectors. Kapag nagdadagdag ng ilang mga vector, ang kanilang kabuuan ay kinukuha na ang pagsasara ng vector, ang simula nito ay tumutugma sa simula ng unang vector, at ang pagtatapos sa dulo ng huling vector. Iyon ay, kung ilakip mo ang simula ng vector sa dulo ng vector, at ang simula ng vector sa dulo ng vector, atbp. at, sa wakas, hanggang sa dulo ng vector - ang simula ng vector, kung gayon ang kabuuan ng mga vector na ito ay ang pagsasara ng vector , ang simula nito ay tumutugma sa simula ng unang vector, at ang dulo - sa dulo ng huling vector. (Larawan 4)

Ang mga termino ay tinatawag na mga bahagi ng vector, at ang formulated rule ay tuntuning polygon. Maaaring hindi flat ang polygon na ito.

Kapag ang isang vector ay pinarami ng numero -1, ang kabaligtaran na vector ay nakuha. Ang mga vector at may parehong haba at magkasalungat na direksyon. Ang kanilang kabuuan ay nagbibigay zero vector, na ang haba ay zero. Ang direksyon ng zero vector ay hindi tinukoy.

Sa vector algebra, hindi na kailangang isaalang-alang ang operasyon ng pagbabawas nang hiwalay: ang pagbabawas ng isang vector mula sa isang vector ay nangangahulugan ng pagdaragdag ng kabaligtaran na vector sa vector, i.e.

Halimbawa 1. Pasimplehin ang expression:

.

,

ibig sabihin, ang mga vector ay maaaring idagdag at i-multiply sa mga numero sa parehong paraan tulad ng polynomials (sa partikular, mga problema din sa pagpapasimple ng mga expression). Karaniwan, ang pangangailangan na gawing simple ang mga magkakatulad na expression na may mga vector ay lumitaw bago kalkulahin ang mga produkto ng mga vector.

Halimbawa 2. Mga Vector at nagsisilbing diagonal ng parallelogram ABCD (Fig. 4a). Ipahayag sa pamamagitan ng at ang mga vectors , , at , na mga gilid ng paralelogram na ito.

Solusyon. Ang punto ng intersection ng mga diagonal ng isang paralelogram ay hinahati ang bawat dayagonal. Nakikita namin ang mga haba ng mga vector na kinakailangan sa pahayag ng problema alinman bilang kalahati ng mga kabuuan ng mga vector na bumubuo ng isang tatsulok na may mga kinakailangan, o bilang kalahati ng mga pagkakaiba (depende sa direksyon ng vector na nagsisilbing dayagonal), o, tulad ng sa huling kaso, kalahati ng kabuuan na kinuha na may minus sign. Ang resulta ay ang mga vector na kinakailangan sa pahayag ng problema:

Mayroong lahat ng dahilan upang maniwala na nasagot mo na ngayon nang tama ang tanong tungkol sa mga vector na "Entrepreneurship" at "Mga makabagong kakayahan" sa simula ng araling ito. Tamang sagot: ang isang karagdagang operasyon ay isinasagawa sa mga vectors na ito.

Lutasin ang mga problema sa vector sa iyong sarili at pagkatapos ay tingnan ang mga solusyon

Paano mahahanap ang haba ng kabuuan ng mga vectors?

Ang problemang ito ay sumasakop sa isang espesyal na lugar sa mga operasyon na may mga vector, dahil ito ay nagsasangkot ng paggamit ng mga katangian ng trigonometriko. Sabihin nating nakatagpo ka ng isang gawain tulad ng sumusunod:

Ang mga haba ng vector ay ibinigay at ang haba ng kabuuan ng mga vector na ito. Hanapin ang haba ng pagkakaiba sa pagitan ng mga vector na ito.

Ang mga solusyon dito at iba pang katulad na mga problema at mga paliwanag kung paano lutasin ang mga ito ay nasa aralin " Pagdaragdag ng vector: haba ng kabuuan ng mga vector at ang cosine theorem ".

At maaari mong suriin ang solusyon sa mga naturang problema sa Online na calculator "Hindi kilalang bahagi ng isang tatsulok (pagdaragdag ng vector at cosine theorem)" .

Nasaan ang mga produkto ng mga vectors?

Ang mga produkto ng vector-vector ay hindi mga linear na operasyon at itinuturing na hiwalay. At mayroon kaming mga aralin na "Scalar product of vectors" at "Vector and mixed products of vectors".

Projection ng isang vector papunta sa isang axis

Ang projection ng isang vector sa isang axis ay katumbas ng produkto ng haba ng projected vector at ang cosine ng anggulo sa pagitan ng vector at ng axis:

Tulad ng nalalaman, ang projection ng isang punto A sa tuwid na linya (eroplano) ay ang base ng patayo na bumaba mula sa puntong ito papunta sa tuwid na linya (eroplano).

Hayaang maging isang di-makatwirang vector (Larawan 5), at at maging ang mga projection ng pinagmulan nito (mga puntos A) at wakas (puntos B) bawat axis l. (Upang bumuo ng projection ng isang punto A) gumuhit ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng punto A isang eroplanong patayo sa isang tuwid na linya. Ang intersection ng linya at ng eroplano ay tutukoy sa kinakailangang projection.

Bahagi ng vector sa l axis ay tinatawag na tulad ng isang vector na nakahiga sa axis na ito, ang simula nito ay tumutugma sa projection ng simula, at ang pagtatapos sa projection ng dulo ng vector.

Projection ng vector papunta sa axis l tinawag na numero

,

katumbas ng haba ng component vector sa axis na ito, na kinukuha gamit ang plus sign kung ang direksyon ng mga bahagi ay tumutugma sa direksyon ng axis l, at may minus sign kung ang mga direksyong ito ay kabaligtaran.

Mga pangunahing katangian ng mga projection ng vector sa isang axis:

1. Ang mga projection ng pantay na mga vector sa parehong axis ay katumbas ng bawat isa.

2. Kapag ang isang vector ay na-multiply sa isang numero, ang projection nito ay na-multiply sa parehong numero.

3. Ang projection ng kabuuan ng mga vector sa anumang axis ay katumbas ng kabuuan ng mga projection ng mga summand ng mga vector sa parehong axis.

4. Ang projection ng vector papunta sa axis ay katumbas ng produkto ng haba ng projected vector at ang cosine ng anggulo sa pagitan ng vector at ng axis:

.

Solusyon. I-project natin ang mga vectors sa axis l tulad ng tinukoy sa teoretikal na background sa itaas. Mula sa Fig. 5a ay malinaw na ang projection ng kabuuan ng mga vector ay katumbas ng kabuuan ng mga projection ng mga vector. Kinakalkula namin ang mga projection na ito:

Nahanap namin ang huling projection ng kabuuan ng mga vectors:

Relasyon sa pagitan ng isang vector at isang rectangular na Cartesian coordinate system sa kalawakan

Pagkilala naganap ang rectangular Cartesian coordinate system sa espasyo sa kaukulang aralin, ipinapayong buksan ito sa isang bagong window.

Sa isang ordered system ng coordinate axes 0xyz aksis baka tinawag x-axis, aksis 0y – y-axis, at axis 0z – ilapat ang axis.

Na may di-makatwirang punto M space connect vector

tinawag radius vector puntos M at i-project ito sa bawat coordinate axes. Tukuyin natin ang mga magnitude ng kaukulang projection:

Numero x, y, z ay tinatawag mga coordinate ng point M, ayon sa pagkakabanggit abscissa, ordinate At mag-apply, at isinulat bilang isang nakaayos na punto ng mga numero: M(x;y;z)(Larawan 6).

Ang isang vector ng haba ng yunit na ang direksyon ay tumutugma sa direksyon ng axis ay tinatawag unit vector(o ortom) mga palakol. Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng

Alinsunod dito, ang mga vector ng yunit ng coordinate axes baka, Oy, Oz

Teorama. Ang anumang vector ay maaaring palawakin sa mga unit vector ng mga coordinate axes:

(2)

Ang pagkakapantay-pantay (2) ay tinatawag na pagpapalawak ng vector kasama ang mga coordinate axes. Ang mga coefficient ng pagpapalawak na ito ay ang mga projection ng vector papunta sa mga coordinate axes. Kaya, ang mga coefficient ng pagpapalawak (2) ng vector kasama ang mga coordinate axes ay ang mga coordinate ng vector.

Pagkatapos pumili ng isang tiyak na sistema ng coordinate sa espasyo, ang vector at ang triplet ng mga coordinate nito ay natatanging tinutukoy ang isa't isa, kaya ang vector ay maaaring isulat sa anyo

Ang mga representasyon ng vector sa anyo (2) at (3) ay magkapareho.

Kundisyon para sa collinearity ng mga vectors sa mga coordinate

Tulad ng nabanggit na natin, ang mga vector ay tinatawag na collinear kung sila ay nauugnay sa kaugnayan

Hayaang ibigay ang mga vector . Ang mga vector na ito ay collinear kung ang mga coordinate ng mga vector ay nauugnay sa kaugnayan

,

ibig sabihin, ang mga coordinate ng mga vector ay proporsyonal.

Halimbawa 6. Ibinibigay ang mga vector . Collinear ba ang mga vectors na ito?

Solusyon. Alamin natin ang kaugnayan sa pagitan ng mga coordinate ng mga vector na ito:

.

Ang mga coordinate ng mga vector ay proporsyonal, samakatuwid, ang mga vector ay collinear, o, kung ano ang pareho, parallel.

Haba ng vector at mga cosine ng direksyon

Dahil sa mutual perpendicularity ng coordinate axes, ang haba ng vector

katumbas ng haba ng dayagonal ng isang parihabang parallelepiped na binuo sa mga vectors

at ipinapahayag ng pagkakapantay-pantay

(4)

Ang isang vector ay ganap na tinukoy sa pamamagitan ng pagtukoy ng dalawang punto (simula at wakas), kaya ang mga coordinate ng vector ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng mga coordinate ng mga puntong ito.

Hayaan, sa isang ibinigay na sistema ng coordinate, ang pinagmulan ng vector ay nasa punto

at ang wakas ay nasa punto

Mula sa pagkakapantay-pantay

Sinusundan iyon

o sa coordinate form

Kaya naman, Ang mga coordinate ng vector ay katumbas ng mga pagkakaiba sa pagitan ng parehong mga coordinate ng dulo at simula ng vector . Ang formula (4) sa kasong ito ay kukuha ng form

Natutukoy ang direksyon ng vector mga cosine ng direksyon . Ito ang mga cosine ng mga anggulo na ginagawa ng vector gamit ang mga axes baka, Oy At Oz. Tukuyin natin ang mga anggulong ito nang naaayon α , β At γ . Pagkatapos ang mga cosine ng mga anggulong ito ay matatagpuan gamit ang mga formula

Ang mga cosines ng direksyon ng isang vector ay ang mga coordinate din ng vector ng vector na iyon at sa gayon ay ang vector ng vector

.

Isinasaalang-alang na ang haba ng vector ng yunit ay katumbas ng isang yunit, iyon ay

,

nakukuha namin ang sumusunod na pagkakapantay-pantay para sa mga cosine ng direksyon:

Halimbawa 7. Hanapin ang haba ng vector x = (3; 0; 4).

Solusyon. Ang haba ng vector ay

Halimbawa 8. Mga puntos na ibinigay:

Alamin kung ang tatsulok na itinayo sa mga puntong ito ay isosceles.

Solusyon. Gamit ang formula ng haba ng vector (6), hinahanap natin ang mga haba ng mga gilid at tinutukoy kung mayroong dalawang magkapareho sa kanila:

Dalawang pantay na panig ang natagpuan, samakatuwid ay hindi na kailangang hanapin ang haba ng ikatlong panig, at ang ibinigay na tatsulok ay isosceles.

Halimbawa 9. Hanapin ang haba ng vector at ang direksyon nito ay cosines kung .

Solusyon. Ang mga coordinate ng vector ay ibinigay:

.

Ang haba ng vector ay katumbas ng square root ng kabuuan ng mga parisukat ng vector coordinates:

.

Paghahanap ng mga cosine ng direksyon:

Lutasin ang problema sa vector sa iyong sarili, at pagkatapos ay tingnan ang solusyon

Mga operasyon sa mga vector na ibinigay sa coordinate form

Hayaan ang dalawang vector at ibigay, na tinukoy ng kanilang mga projection:

Ipahiwatig natin ang mga aksyon sa mga vector na ito.

Sa isang paralelogram, ang punto ay nasa gilid ,. Ipahayag ang vector sa mga tuntunin ng mga vector at .

Ang solusyon sa problema

Ipinapakita ng araling ito kung paano gumamit ng mga kilalang vector sa anyo ng mga gilid ng isang paralelogram upang ipahayag ang isang arbitrary na segment bilang isang komposisyon ng mga orihinal na vector. Ang problemang ito ay hindi magkakaroon ng solusyon kung hindi natin alam kung anong ratio ang isa sa mga gilid ng paralelogram ay nahahati sa isang puntong kabilang sa kinakailangang segment. Ang mga karagdagang aksyon ay bumababa sa pagtukoy sa simula at pagtatapos ng ibinigay na mga vector at ang mga vector kung saan nahahati ang panig. Ang lahat ng ito ay kinakailangan upang wastong gumamit ng mga palatandaan kapag pinagsasama ang mga vector. Pagkatapos ng lahat, kinakailangang tandaan ang mga patakaran para sa pagdaragdag ng mga vector: ang kabuuan ng mga vector ay nagbibigay ng isang ikatlong vector, ang simula nito ay tumutugma sa simula ng unang vector, at ang pagtatapos sa dulo ng pangalawa; at ang panuntunan para sa pagbabawas ng mga vector: ang pagkakaiba ng dalawang vector ay ang ikatlong vector, ang simula nito ay tumutugma sa mga dulo ng pangalawang vector, at ang dulo sa dulo ng unang vector. Batay sa mga simpleng panuntunang ito, makukuha natin ang kumbinasyong kailangan natin.