Sinasabi nila na ang "banal na proporsyon" ay likas sa kalikasan, at sa maraming bagay sa paligid natin. Mahahanap mo ito sa mga bulaklak, bahay-pukyutan, kabibi, at maging sa ating mga katawan.

Ang divine ratio na ito, na kilala rin bilang golden ratio, divine ratio, o golden ratio ay maaaring ilapat sa iba't ibang anyo ng sining at pag-aaral. Sinasabi ng mga siyentipiko na mas malapit ang isang bagay sa gintong ratio, mas mahusay na nakikita ito ng utak ng tao.

Mula nang matuklasan ang relasyong ito, maraming mga artista at arkitekto ang gumamit nito sa kanilang mga gawa. Makikita mo ang golden ratio sa ilang mga obra maestra ng Renaissance, arkitektura, pagpipinta, at higit pa. Ang resulta ay isang maganda at aesthetically kasiya-siyang obra maestra.

Ilang tao ang nakakaalam kung ano ang lihim ng ginintuang ratio, na kung saan ay nakalulugod sa ating mga mata. Maraming naniniwala na ang katotohanan na ito ay lumilitaw sa lahat ng dako at ito ay isang "unibersal" na proporsyon ay nagpipilit sa amin na tanggapin ito bilang isang bagay na lohikal, maayos at organiko. Sa madaling salita, "nararamdaman" lamang nito ang kailangan natin.

Kaya ano ang ginintuang ratio?

Ang golden ratio, na kilala rin bilang "phi" sa Greek, ay isang mathematical constant. Maaari itong ipahayag sa pamamagitan ng equation na a/b=a+b/a=1.618033987, kung saan ang a ay mas malaki kaysa sa b. Maaari rin itong ipaliwanag ng Fibonacci sequence, isa pang banal na proporsyon. Ang Fibonacci sequence ay nagsisimula sa 1 (sabi ng ilan ay 0) at idinaragdag ang nakaraang numero dito upang makuha ang susunod (ibig sabihin, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...)

Kung susubukan mong hanapin ang quotient ng dalawang kasunod na Fibonacci na numero (i.e. 8/5 o 5/3), ang resulta ay napakalapit sa golden ratio na 1.6 o phi.

Ang gintong spiral ay nilikha gamit ang isang gintong parihaba. Kung mayroon kang parihaba ng mga parisukat 1, 1, 2, 3, 5 at 8 ayon sa pagkakasunod-sunod tulad ng ipinapakita sa larawan sa itaas, maaari mong simulan ang pagbuo ng gintong parihaba. Sa pamamagitan ng paggamit sa gilid ng parisukat bilang radius, lumikha ka ng isang arko na humahawak sa mga punto ng parisukat nang pahilis. Ulitin ang pamamaraang ito sa bawat parisukat sa ginintuang tatsulok at magtatapos ka sa isang gintong spiral.

Saan natin ito makikita sa kalikasan

Ang Golden Ratio at Fibonacci Sequence ay matatagpuan sa mga petals ng bulaklak. Para sa karamihan ng mga bulaklak, ang bilang ng mga petals ay nabawasan sa dalawa, tatlo, lima o higit pa, na katulad ng gintong ratio. Halimbawa, ang mga liryo ay may 3 talulot, ang mga buttercup ay may 5, ang mga bulaklak ng chicory ay may 21, at ang mga daisies ay may 34. Ang mga buto ng bulaklak ay malamang na sumusunod din sa gintong ratio. Halimbawa, ang mga buto ng sunflower ay tumutubo mula sa gitna at lumalaki patungo sa labas, na pumupuno sa ulo ng binhi. Karaniwan silang hugis spiral at kahawig ng gintong spiral. Bukod dito, ang bilang ng mga buto ay karaniwang binabawasan sa mga numerong Fibonacci.

Ang mga kamay at daliri ay isa ring halimbawa ng golden ratio. Tingnan mo ng malapitan! Ang base ng palad at dulo ng daliri ay nahahati sa mga bahagi (buto). Ang ratio ng isang bahagi kumpara sa isa pa ay palaging 1.618! Maging ang mga bisig at kamay ay nasa parehong ratio. At mga daliri, at mukha, at ang listahan ay nagpapatuloy...

Aplikasyon sa sining at arkitektura

Ang Parthenon sa Greece ay sinasabing itinayo gamit ang mga gintong sukat. Ito ay pinaniniwalaan na ang mga sukat na ratio ng taas, lapad, mga haligi, distansya sa pagitan ng mga haligi, at kahit na ang laki ng portico ay malapit sa gintong ratio. Ito ay posible dahil ang gusali ay mukhang proporsyonal na perpekto at naging ganito mula pa noong unang panahon.

Si Leonardo Da Vinci ay isa ring tagahanga ng golden ratio (at marami pang ibang curiosities, sa katunayan!). Ang kamangha-manghang kagandahan ng Mona Lisa ay maaaring dahil sa katotohanan na ang kanyang mukha at katawan ay kumakatawan sa ginintuang ratio, tulad ng mga tunay. mga mukha ng tao sa buhay. Bilang karagdagan, ang mga numero sa pagpipinta na "The Last Supper" ni Leonardo Da Vinci ay nakaayos sa pagkakasunud-sunod na ginamit sa gintong ratio. Kung gumuhit ka ng mga gintong parihaba sa canvas, si Jesus ay nasa gitnang lobe.

Application sa disenyo ng logo

Hindi nakakagulat na mahahanap mo rin ang paggamit ng golden ratio sa maraming modernong proyekto, partikular na ang disenyo. Sa ngayon, tumuon tayo sa kung paano ito magagamit sa disenyo ng logo. Una, tingnan natin ang ilan sa mga pinakasikat na brand sa mundo na gumamit ng golden ratio para gawing perpekto ang kanilang mga logo.

Tila ang Apple ay gumamit ng mga bilog mula sa mga numero ng Fibonacci, pagsali at pagputol ng mga hugis upang lumikha ng logo ng Apple. Hindi alam kung ito ay sinadya o hindi. Gayunpaman, ang resulta ay isang perpekto at visually aesthetic na disenyo ng logo.

Ang logo ng Toyota ay gumagamit ng ratio ng a at b, na bumubuo ng isang grid kung saan nabuo ang tatlong singsing. Pansinin kung paano gumagamit ang logo na ito ng mga parihaba sa halip na mga bilog upang gawin ang ginintuang ratio.

Ang logo ng Pepsi ay nilikha ng dalawang magkasalubong na bilog, ang isa ay mas malaki kaysa sa isa. Gaya ng ipinapakita sa larawan sa itaas, ang mas malaking bilog ay proporsyonal sa mas maliit na bilog - nahulaan mo! Ang kanilang pinakabagong non-emboss na logo ay simple, epektibo at maganda!

Bukod sa Toyota at Apple, ang mga logo ng ilang iba pang kumpanya tulad ng BP, iCloud, Twitter, at Grupo Boticario ay pinaniniwalaang gumamit din ng golden ratio. At alam nating lahat kung gaano sikat ang mga logo na ito - lahat dahil ang imahe ay agad na pumasok sa isip!

Narito kung paano mo ito mailalapat sa iyong mga proyekto

Gumuhit ng ginintuang parihaba tulad ng ipinapakita sa itaas dilaw. Ito ay maaaring makamit sa pamamagitan ng paggawa ng mga parisukat na may taas at lapad mula sa mga numerong kabilang sa golden ratio. Magsimula sa isang bloke at ilagay ang isa pa sa tabi nito. At maglagay ng isa pang parisukat, na ang lawak ay katumbas ng dalawang iyon, sa itaas ng mga ito. Awtomatiko kang makakatanggap ng bahagi ng 3 bloke. Pagkatapos buuin ang 3 bloke na istraktura, magkakaroon ka ng isang gilid ng 5 quads kung saan maaari kang gumawa ng isa pang (5 block area) na kahon. Maaari itong magpatuloy hangga't gusto mo hanggang sa makita mo ang laki na kailangan mo!

Ang parihaba ay maaaring ilipat sa anumang direksyon. Pumili ng maliliit na parihaba at gamitin ang bawat isa para mag-assemble ng layout na magsisilbing grid ng disenyo ng logo.

Kung mas bilugan ang logo, kakailanganin mo ng pabilog na bersyon ng golden rectangle. Maaari mong makamit ito sa pamamagitan ng pagguhit ng mga bilog na proporsyonal sa mga numero ng Fibonacci. Lumikha ng isang ginintuang parihaba gamit lamang ang mga bilog (ibig sabihin, ang pinakamalaking bilog ay magkakaroon ng diameter na 8, at ang mas maliit na bilog ay magkakaroon ng diameter na 5, at iba pa). Ngayon paghiwalayin ang mga lupon na ito at ilagay ang mga ito upang mabuo mo ang pangunahing balangkas para sa iyong logo. Narito ang isang halimbawa ng logo ng Twitter:

Tandaan: Hindi mo kailangang iguhit ang lahat ng golden ratio na bilog o parihaba. Maaari mo ring gamitin ang parehong laki nang higit sa isang beses.

Paano ito gamitin sa disenyo ng teksto

Ito ay mas madali kaysa sa pagdidisenyo ng isang logo. Ang isang simpleng panuntunan para sa paglalapat ng golden ratio sa text ay ang kasunod na mas malaki o mas maliit na text ay dapat sumunod sa Phi. Tingnan natin ang halimbawang ito:

Kung ang laki ng font ko ay 11, dapat na nakasulat ang subtitle sa mas malaking font. Pina-multiply ko ang text font sa golden ratio number para makakuha ng mas malaking numero (11*1.6=17). Nangangahulugan ito na ang subtitle ay dapat na nakasulat sa laki ng font 17. At ngayon ang pamagat o pamagat. I-multiply ko ang subtitle sa proporsyon at makakakuha ako ng 27 (1*1.6=27). Ganito! Ang iyong teksto ay proporsyonal na ngayon sa ginintuang ratio.

Paano ito ilapat sa disenyo ng web

Ngunit narito ito ay medyo mas kumplikado. Maaari kang manatiling tapat sa ginintuang ratio kahit na sa disenyo ng web. Kung ikaw ay isang bihasang web designer, nahulaan mo na kung saan at paano ito mailalapat. Oo, epektibo naming magagamit ang ginintuang ratio at ilapat ito sa aming mga grids ng web page at mga layout ng UI.

Kunin ang kabuuang bilang ng mga grid pixel bilang lapad o taas at gamitin ito upang buuin ang ginintuang parihaba. Hatiin ang pinakamalaking lapad o haba upang makakuha ng mas maliliit na numero. Ito ay maaaring ang lapad o taas ng iyong pangunahing nilalaman. Ang natitira ay maaaring sidebar (o bottombar kung ilalapat mo ito sa taas). Ngayon ipagpatuloy ang paggamit ng ginintuang parihaba upang higit pang ilapat ito sa mga bintana, mga pindutan, mga panel, mga larawan at teksto. Maaari ka ring bumuo ng isang buong mesh batay sa maliliit na bersyon ng ginintuang parihaba na inilagay nang pahalang at patayo upang lumikha ng mas maliliit na interface na bagay na proporsyonal sa ginintuang parihaba. Upang makuha ang mga proporsyon maaari mong gamitin ang calculator na ito.

Spiral

Maaari mo ring gamitin ang golden spiral upang matukoy kung saan maglalagay ng content sa iyong site. Kung nag-load ang iyong home page ng graphic na nilalaman, gaya ng website ng online store o photography blog, maaari mong gamitin ang golden spiral method na ginagamit ng maraming artist sa kanilang trabaho. Ang ideya ay ilagay ang pinakamahalagang nilalaman sa gitna ng spiral.

Ang nilalamang may nakagrupong materyal ay maaari ding ilagay gamit ang isang gintong parihaba. Nangangahulugan ito na mas malapit ang spiral na gumagalaw sa gitnang mga parisukat (sa isang parisukat na bloke), ang "siksik" ang mga nilalaman doon.

Maaari mong gamitin ang diskarteng ito upang isaad ang pagkakalagay ng iyong header, mga larawan, mga menu, toolbar, box para sa paghahanap, at iba pang mga elemento. Ang Twitter ay sikat hindi lamang sa paggamit nito ng ginintuang parihaba sa disenyo ng logo nito, kundi pati na rin sa paggamit nito sa disenyo ng web. Paano? Sa pamamagitan ng paggamit ng golden rectangle, o sa madaling salita ang golden spiral concept, sa page ng profile ng mga user.

Ngunit hindi ito madaling gawin sa mga platform ng CMS, kung saan tinutukoy ng may-akda ng nilalaman ang layout sa halip na ang web designer. Ang Golden Ratio ay angkop para sa WordPress at iba pang mga disenyo ng blog. Ito ay marahil dahil ang isang sidebar ay halos palaging naroroon sa isang disenyo ng blog, na angkop na angkop sa ginintuang parihaba.

Isang mas madaling paraan

Kadalasan, nilaktawan ng mga taga-disenyo ang kumplikadong matematika at inilalapat ang tinatawag na "panuntunan ng mga ikatlo". Ito ay maaaring makamit sa pamamagitan ng paghahati ng lugar sa tatlong pantay na bahagi nang pahalang at patayo. Ang resulta ay siyam na pantay na bahagi. Maaaring gamitin ang intersection line bilang focal point ng form at disenyo. Maaari kang maglagay ng pangunahing tema o pangunahing elemento sa isa o lahat ng mga focal point. Ginagamit din ng mga photographer ang konseptong ito para sa mga poster.

Kung mas malapit ang mga parihaba sa ratio na 1:1.6, mas kaaya-aya ang larawan na nakikita ng utak ng tao (dahil mas malapit ito sa gintong ratio).

Golden ratio sa sining

sa ilalim ng " panuntunan ng gintong ratio "V arkitektura At sining karaniwang naiintindihanwalang simetriko mga komposisyon , hindi kinakailangang naglalaman nggintong ratio mathematically.

Maraming tumututol na ang mga bagay na naglalaman ng "gintong ratio"ay itinuturing ng mga tao bilang ang pinakamagkakasuwato . Kadalasan ang mga ganitong pag-aaral ay hindi tumatayo sa mahigpit na pagpuna. Sa anumang kaso, ang lahat ng mga pahayag na ito ay dapat tratuhin nang may pag-iingat, dahil sa maraming mga kaso ang mga ito ay maaaring resulta ng angkop o nagkataon. May dahilan upang maniwala na ang kahalagahangintong ratio V sining pinalabis at batay sa mga maling kalkulasyon. Ilan sa mga pahayag na ito:

• Ayon kay Le Corbusier, sakaluwagan mula sa templo ni Paraon Seti I sa Abydos at sakaluwagan inilalarawan si Paraon Ramses,mga sukat tumutugma ang mga numerogintong ratio. Ang harapan ng sinaunang templong Griyego ay naglalaman dinginintuang sukat. Ang mga compass mula sa sinaunang Romanong lungsod ng Pompeii (museum sa Naples) ay naglalaman dinmga sukat gintong dibisyon, atbp.

• Mga resulta ng pananaliksikgintong ratiosa musika ay unang binalangkas sa ulat ni Emilius Rosenov (1903) at kalaunan ay binuo sa kanyang artikulo"Ang Batas ng Golden Ratio sa Tula at Musika"(1925). Ipinakita ni Rosenov ang epekto nitomga sukat sa mga musikal na anyo ng panahonBaroque at klasisismo sa halimbawa ng mga akda Bach, Mozart, Beethoven.

Kapag tinatalakay ang pinakamainam na aspect ratio ng mga parihaba (mga laki ng sheetpapel at multiple, photographic plate sizes (6:9, 9:12) o film frame (madalas na 2:3), film at television screen sizes - halimbawa, 3:4 o 9:16) iba't ibang opsyon ang nasubok. Ito ay naka-out na karamihan sa mga tao ay hindi nakikitagintong ratiobilang pinakamainam at isinasaalang-alang ang mga proporsyon nito "masyadong pinahaba».

Simula sa Leonardo da Vinci , maraming artista ang sinasadyang gumamitmga sukat « gintong ratio" Ginamit din ng arkitekto ng Russia na si Zholtovsky gintong ratio sa iyong mga proyekto.

Ito ay kilala na si Sergei Eisenstein ay artipisyal na itinayo ang pelikulang "Battleship Potemkin" ayon sa mga patakarangintong ratio.Hinati niya ang tape sa limang bahagi. Sa unang tatlo, ang aksyon ay nagaganap sa barko. Sa huling dalawang - sa Odessa, kung saan ang pag-aalsa ay paglalahad. Ang paglipat na ito sa lungsod ay nangyayari nang eksakto sa puntogintong ratio. Oo, at sa bawat bahagi ay may sariling bali, na nangyayari ayon sa batasgintong ratio. Sa isang frame, eksena, o episode mayroong isang tiyak na hakbang sa pagbuo ng tema:balangkas , mood. Naniniwala si Eisenstein na dahil ang gayong paglipat ay malapit sa puntogintong ratio, ito ay itinuturing na pinaka-lohikal at natural.

Isa pang halimbawa ng paggamit ng panuntunan " gintong ratio"Sa cinematography, ang lokasyon ng mga pangunahing bahagi ng frame sa mga espesyal na punto - "mga visual center" - ay ginagamit. Kadalasan ang apat na puntos ay ginagamit, na matatagpuan sa mga distansya ng 3/8 at 5/8 mula sa kaukulang mga gilid ng eroplano.

Golden ratio sa iskultura

Sculptural ang mga gusali at monumento ay itinayo upang ipagpatuloy ang mahahalagang kaganapan, upang mapanatili sa alaala ng mga inapo ang mga pangalan ng mga sikat na tao, ang kanilang mga pagsasamantala at mga gawa.

Ito ay kilala na kahit noong unang panahon ang batayanmga eskultura ay isang teoryamga sukat . Ang mga relasyon ng mga bahagi ng katawan ng tao ay nauugnay sa formulagintong ratio.

Mga proporsyon "gintong ratio"lumikha ng impresyonpagkakaisa kagandahan, samakatuwidmga iskultor ginamit ang mga ito sa kanilang mga gawa.

Mga iskultor sinasabi na ang baywang ay naghahati sa perpektong katawan ng tao na may kaugnayan sa"gintong ratio". Halimbawa, ang sikatrebulto Ang Apollo Belvedere ay binubuo ng mga bahagi na nahahati sagintong relasyon. Malaki Sinaunang Griyego madalas gamitin ang iskultor na si Phidias"gintong ratio"sa kanyang mga gawa. Ang pinakasikat sa kanila ayrebulto Zeus Olympian (na itinuturing na isa sa mga kababalaghan sa mundo) at Athena Parthenos.

Golden ratio sa arkitektura

Sa mga aklat tungkol sa "gintong ratio"makakahanap ka ng tala na saarkitektura, Tulad ng sa pagpipinta , ang lahat ay depende sa posisyon ng nagmamasid, at paano kung ilanmga sukat sa building sa isang side parang nabubuo sila"gintong ratio", pagkatapos ay mula sa iba pang mga punto ng view ay magiging iba ang hitsura nila."Golden ratio"nagbibigay ng pinaka nakakarelaks na ratio ng mga sukat ng ilang partikular na haba.

Isa sa mga pinakamagandang gawasinaunang Griyego arkitektura ay ang Parthenon (ika-5 siglo BC).

Ang Parthenon ay may 8 column sa maikling gilid at 17 sa mahabang gilid. ang mga projection ay ganap na ginawa ng mga parisukat ng Pentilean marble. Ang maharlika ng materyal kung saan itinayo ang templo ay naging posible upang limitahan ang paggamit ng maginooGriyego arkitektura coloring book, binibigyang-diin lamang nito ang mga detalye at bumubuo ng isang kulay na background (asul at pula) para samga eskultura. Ang ratio ng taas ng gusali sa haba nito ay 0.618. Kung hahatiin natin ang Parthenon ayon sa"gintong ratio", pagkatapos ay nakakakuha kami ng ilang mga protrusions ng harapan.

Isa pang halimbawa mula saarkitektura ang sinaunang panahon ay ang Pantheon.

Ang sikat na arkitekto ng Russia na si M. Kazakov ay malawakang ginagamit"gintong ratio". Ang kanyang talento ay multifaceted, ngunit ito ay ipinahayag sa isang mas malawak na lawak sa maraming natapos na mga proyekto ng mga residential na gusali at estates. Halimbawa,"gintong ratio"ay matatagpuan saarkitektura Gusali ng Senado sa Kremlin. Ayon sa proyekto ng M. Kazakov, ang Golitsyn Hospital ay itinayo sa Moscow, na kasalukuyang tinatawag na First Clinical Hospital na pinangalanan sa N.I. Pirogov (Leninsky Prospekt, 5).

Isa pa arkitektura obra maestra Ang Moscow - bahay ni Pashkov - ay isa sa mga pinaka perpektong gawaarkitektura V. Bazhenova.

Ang kahanga-hangang paglikha ng V. Bazhenov ay matatag na pumasok sa ensemble ng sentro ng modernong Moscow at pinayaman ito. Ang panlabas ng bahay ay nanatiling halos hindi nagbabago hanggang sa araw na ito, sa kabila ng katotohanan na ito ay malubha na nasunog noong 1812.

Sa panahon ng pagpapanumbalik, ang gusali ay nakakuha ng mas malakimga form . Ang panloob na layout ng gusali ay hindi napanatili, na makikita lamang sa pagguhit ng ibabang palapag.

Marami sa mga pahayag ng arkitekto ang nararapat pansinin ngayon. Tungkol sa iyong minamahalsining Sinabi ni V. Bazhenov:

“ Arkitektura – ang pinakamahalagang bagay ay tatlong bagay: kagandahan, katahimikan at lakas ng gusali... Upang makamit ito, ang kaalaman ay nagsisilbing gabaymga sukat , pananaw , mekanika o pisika sa pangkalahatan, at ang karaniwang pinuno ng lahat ng ito ay ang katwiran ”.

Golden ratio sa pagpipinta

Tinutukoy ng bawat drawerrelasyon magnitude at, huwag magulat, nakikilala sa kanilasaloobin "gintong seksyon" . Ang katangiang ito ng visual na perception ay kinumpirma ng maraming eksperimento na isinagawa sa iba't ibang panahon sa ilang bansa sa buong mundo.

Ang German psychologist na si Gustav Fechner ay nagsagawa ng isang serye ng mga eksperimento noong 1876, na nagpapakita ng mga lalaki at babae, lalaki at babae, pati na rin ang mga bata na iginuhit sapapel mga figure ng iba't ibang mga parihaba, na nag-aalok upang pumili lamang ng isa sa mga ito, ngunit ginagawa ang pinaka-kaaya-ayang impression sa bawat paksa.Ang bawat isa ay pumili ng isang parihaba na palabassaloobin ang dalawang panig nito samga sukat "gintong ratio" . Ang mga eksperimento ng ibang uri ay ipinakita sa mga mag-aaral ng US neurophysiologist na si Warren McCulloch noong 40s ng ating siglo, nang hilingin niya sa ilang mga boluntaryo mula sa mga hinaharap na mga espesyalista na magdala ng isang pahaba na bagay sa gusto.anyo . Nagtrabaho sandali ang mga estudyante at pagkatapos ay ibinalik ang mga gamit sa propesor. Halos lahat sila ay eksaktong namarkahan sa lugarrelasyon « gintong ratio», kahit na walang alam ang mga kabataan tungkol dito"banal mga sukat " Si McCulloch ay gumugol ng dalawang taon na kinukumpirma ang hindi pangkaraniwang bagay na ito, dahil siya mismo ay hindi personal na naniniwala na pinipili ito ng lahat ng taoproporsyon o i-install ito sa amateur work para sa paggawa ng lahat ng uri ng crafts.

Ang isang kagiliw-giliw na kababalaghan ay sinusunod kapag ang mga manonood ay bumisita sa mga museo at eksibisyon.sining biswal . Maraming mga tao na hindi pa iginuhit ang kanilang mga sarili ay maaaring madama nang may kamangha-manghang katumpakan kahit na ang pinakamaliit na mga kamalian sa prinsipyo.

“ Walang sinumang hindi matematiko ang mangahas na basahin ang aking mga gawa”.

Nakamit niya ang katanyagan bilang isang hindi maunahang artista, isang mahusay na siyentipiko, isang henyo na inaasahan ang maraming mga imbensyon na hindi natanto hanggang sa ika-20 siglo.
Walang duda iyonLeonardo da Vinci ay isang mahusay na artista, nakilala na ito ng kanyang mga kontemporaryo, ngunit ang kanyang personalidad at aktibidad ay mananatiling nababalot ng misteryo, dahil iniwan niya sa kanyang mga inapo ang hindi isang magkakaugnay na pagtatanghal ng kanyang mga ideya, ngunit lamang ng maraming sulat-kamay na sketch, mga tala na nagsasabing "tungkol sa lahat ng bagay. sa mundo."
Sumulat siya mula kanan pakaliwa sa hindi mabasang sulat-kamay at gamit ang kanyang kaliwang kamay. Ito ang pinakatanyag na halimbawa ng pagsusulat ng salamin na umiiral.
Larawan Naakit ni Monna Lisa (La Gioconda) ang atensyon ng mga mananaliksik sa loob ng maraming taon, na natuklasan iyonkomposisyon ang pagguhit ay batay samga gintong tatsulok, na mga bahagi ng isang regular na stellated pentagon.Mayroong maraming mga bersyon tungkol sa kasaysayan nitoportrait . Narito ang isa sa kanila.

Noong unang panahon, may isang mahirap na lalaki, mayroon siyang apat na anak na lalaki: tatlo ay matalino, at isa sa kanila ay ito at iyon. At pagkatapos ay dumating ang kamatayan para sa ama. Bago binawian ng buhay, tinawag niya ang kaniyang mga anak at sinabi: “Mga anak ko, malapit na akong mamatay. Sa sandaling ilibing mo ako, ikulong ang kubo at pumunta sa mga dulo ng mundo upang mahanap ang kaligayahan para sa iyong sarili. Hayaang matuto ang bawat isa sa inyo para mapakain ninyo ang inyong sarili." Namatay ang ama, at nagkalat ang mga anak sa buong mundo, na pumayag na bumalik sa paglilinis ng kanilang katutubong kakahuyan pagkalipas ng tatlong taon. Dumating ang unang kapatid na lalaki, na natutong magkarpintero, pumutol ng puno at pinutol ito, ginawang babae ito, lumayo ng kaunti at naghintay. Ang pangalawang kapatid ay bumalik, nakita ang kahoy na babae at, dahil siya ay isang sastre, binihisan siya sa isang minuto: tulad ng isang bihasang manggagawa, siya ay natahi ng magagandang damit na seda para sa kanya. Pinalamutian ng ikatlong anak na lalaki ang babae ng ginto at mamahaling bato - kung tutuusin, siya ay isang mag-aalahas. Sa wakas, dumating ang pang-apat na kapatid. Hindi siya marunong magkarpintero o manahi, marunong lang siyang makinig sa sinasabi ng lupa, puno, damo, hayop at ibon, alam niya ang galaw ng mga katawang langit at nakakanta rin ng mga magagandang kanta. Kinanta niya ang isang kanta na nagpaiyak sa magkapatid na nagtatago sa likod ng mga palumpong. Sa kantang ito ay binuhay niya ang babae, napangiti ito at napabuntong-hininga. Ang mga kapatid na lalaki ay sumugod sa kanya at bawat isa ay sumigaw ng parehong bagay: "Ikaw ay dapat na asawa ko." Ngunit sumagot ang babae: "Nilikha mo ako - maging aking ama. Binihisan mo ako, at pinalamutian mo ako - maging aking mga kapatid.

At ikaw, na nagbigay sa akin ng aking kaluluwa at nagturo sa akin na magsaya sa buhay, ikaw lamang ang kailangan ko sa natitirang bahagi ng aking buhay."

Nang matapos ang kuwento, tumingin si Leonardo kay Monna Lisa, lumiwanag ang kanyang mukha sa liwanag, kumikinang ang kanyang mga mata. Pagkatapos, na parang nagising mula sa isang panaginip, siya ay bumuntong-hininga, tinakpan ang kanyang kamay sa kanyang mukha at walang sabi-sabing pumunta sa kanyang lugar, hinalukip ang kanyang mga kamay at ipinalagay ang kanyang karaniwang pose. Ngunit ang trabaho ay tapos na - ginising ng artista ang walang malasakitrebulto ; isang ngiti ng kaligayahan, dahan-dahang nawawala sa kanyang mukha, nanatili sa mga sulok ng kanyang bibig at nanginginig, na nagbibigay sa kanyang mukha ng isang kamangha-manghang, misteryoso at bahagyang palihim na ekspresyon, tulad ng sa isang taong natuto ng isang lihim at, maingat na itinatago ito, hindi maaaring naglalaman ng kanyang tagumpay. Tahimik na nagtrabaho si Leonardo, natatakot na makaligtaan ang sandaling ito, itong sinag ng araw na nagpapaliwanag sa kanyang boring na modelo... portrait . Pinag-usapan nila ang pagiging natural ng pagpapahayag, ang pagiging simple ng pose, ang kagandahan ng mga kamay. Ang artista ay nakagawa ng isang bagay na hindi pa nagagawa: ang pagpipinta ay naglalarawan ng hangin, binalot nito ang pigura sa isang transparent na manipis na ulap. Sa kabila ng tagumpay, malungkot si Leonardo; ang sitwasyon sa Florence ay tila masakit sa artista; naghanda siyang pumunta sa kalsada. Ang mga paalala tungkol sa pagdagsa ng mga order ay hindi nakatulong sa kanya.

Ang ginintuang ratio ay isang unibersal na pagpapakita ng pagkakaisa ng istruktura. Ito ay matatagpuan sa kalikasan, agham, sining - sa lahat ng bagay na maaaring makontak ng isang tao. Sa sandaling nakilala ang ginintuang tuntunin, hindi na ito ipinagkanulo ng sangkatauhan.

Kahulugan

Ang pinaka-komprehensibong kahulugan ng golden ratio ay nagsasaad na ang mas maliit na bahagi ay nauugnay sa mas malaki, dahil ang mas malaking bahagi ay sa kabuuan. Ang tinatayang halaga nito ay 1.6180339887. Sa isang bilugan na halaga ng porsyento, ang mga proporsyon ng mga bahagi ng kabuuan ay tumutugma sa 62% hanggang 38%. Ang relasyon na ito ay gumagana sa mga anyo ng espasyo at oras. Nakita ng mga sinaunang tao ang golden ratio bilang isang salamin ng cosmic order, at tinawag ito ni Johannes Kepler na isa sa mga kayamanan ng geometry. Makabagong agham Isinasaalang-alang ang ginintuang ratio bilang "asymmetrical symmetry", na tinatawag itong isang pangkalahatang tuntunin na sumasalamin sa istraktura at kaayusan ng ating kaayusan sa mundo.

Kwento

Karaniwang tinatanggap na ang konsepto ng gintong dibisyon ay ipinakilala sa siyentipikong paggamit ni Pythagoras, sinaunang Griyegong pilosopo at matematiko (VI siglo BC). May isang palagay na hiniram ni Pythagoras ang kanyang kaalaman sa gintong dibisyon mula sa mga Egyptian at Babylonians. Sa katunayan, ang mga proporsyon ng Cheops pyramid, mga templo, bas-relief, mga gamit sa bahay at alahas mula sa libingan ng Tutankhamun ay nagpapahiwatig na ginamit ng mga manggagawang Egyptian ang mga ratio ng gintong dibisyon kapag nilikha ang mga ito. Nalaman ng Pranses na arkitekto na si Le Corbusien na sa relief mula sa templo ni Pharaoh Seti I sa Abydos at sa relief na naglalarawan kay Pharaoh Ramses, ang mga proporsyon ng mga figure ay tumutugma sa mga halaga ng gintong dibisyon. Ang arkitekto na si Khesira, na inilalarawan sa isang kaluwagan ng isang kahoy na tabla mula sa isang libingan na pinangalanan sa kanya, ay humahawak sa kanyang mga kamay ng mga instrumento sa pagsukat kung saan ang mga proporsyon ng gintong dibisyon ay naitala.

Ang mga Griyego ay mga bihasang geometer. Nagturo pa sila ng aritmetika sa kanilang mga anak gamit ang mga geometric na numero. Ang Pythagorean square at ang dayagonal ng parisukat na ito ay ang batayan para sa pagbuo ng mga dynamic na parihaba.

Plato(427...347 BC) ay alam din ang tungkol sa gintong paghahati. Ang kanyang dialogue na "Timaeus" ay nakatuon sa matematika at aesthetic na pananaw ng Pythagorean school at, lalo na, sa mga isyu ng golden division.

Ang harapan ng sinaunang Greek na templo ng Parthenon ay nagtatampok ng mga gintong sukat. Sa mga paghuhukay nito, natuklasan ang mga compass na ginamit ng mga arkitekto at eskultor ng sinaunang mundo. Ang Pompeian compass (museum sa Naples) ay naglalaman din ng mga proporsyon ng gintong dibisyon.

kanin. Antique golden ratio compass

Sa nabubuhay pa sinaunang panitikan unang binanggit ang gintong dibisyon sa Principia Euclid. Sa ika-2 aklat ng Mga Elemento, ibinigay ang isang geometriko na konstruksyon ng gintong dibisyon. Pagkatapos ng Euclid, ang pag-aaral ng ginintuang paghahati ay isinagawa ng Hypsicles (II siglo BC), Pappus (III siglo AD) at iba pa. medyebal na Europa Nakilala namin ang ginintuang dibisyon mula sa mga pagsasalin ng Arabic ng Euclid's Elements. Ang tagapagsalin na si J. Campano mula sa Navarre (III siglo) ay nagbigay ng mga komento sa pagsasalin. Ang mga lihim ng ginintuang dibisyon ay naiinggit na binantayan at itinatago sa mahigpit na lihim. Sila ay kilala lamang sa mga nagsisimula.

Ang konsepto ng mga gintong proporsyon ay kilala rin sa Rus', ngunit sa unang pagkakataon ang ginintuang ratio ay ipinaliwanag sa siyensiya. monghe Luca Pacioli sa aklat na "The Divine Proportion" (1509), ang mga ilustrasyon na diumano ay ginawa ni Leonardo da Vinci. Nakita ni Pacioli sa ginintuang seksyon ang banal na trinidad: ang maliit na bahagi ay nagpapakilala sa Anak, ang malaking bahagi ng Ama, at ang buong Banal na Espiritu. Ayon sa mga kontemporaryo at istoryador ng agham, si Luca Pacioli ay isang tunay na luminary, ang pinakadakilang mathematician ng Italya sa panahon sa pagitan ng Fibonacci at Galileo. Si Luca Pacioli ay isang mag-aaral ng pintor na si Piero della Franceschi, na sumulat ng dalawang aklat, na ang isa ay tinawag na "On Perspective in Painting." Siya ay itinuturing na lumikha ng descriptive geometry.

Si Luca Pacioli ay lubos na naunawaan ang kahalagahan ng agham para sa sining. Noong 1496, sa imbitasyon ni Duke Moreau, dumating siya sa Milan, kung saan nagbigay siya ng mga lektura sa matematika. Si Leonardo da Vinci ay nagtrabaho din sa Milan sa korte ng Moro noong panahong iyon.

Ang pangalan ng Italian mathematician ay direktang nauugnay sa golden ratio rule Leonardo Fibonacci. Bilang resulta ng paglutas ng isa sa mga problema, nakabuo ang siyentipiko ng isang pagkakasunud-sunod ng mga numero na kilala ngayon bilang serye ng Fibonacci: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, atbp. Binigyang-pansin ni Kepler ang kaugnayan ng pagkakasunud-sunod na ito sa ginintuang proporsyon: "Ito ay inayos sa paraang ang dalawang mas mababang termino ng walang katapusang proporsyon na ito ay nagdaragdag sa ikatlong termino, at anumang dalawang huling termino, kung idinagdag, ay magbibigay ng sa susunod na termino, at ang parehong proporsyon ay pinananatili ad infinitum " Ngayon ang serye ng Fibonacci ay ang batayan ng aritmetika para sa pagkalkula ng mga proporsyon ng gintong ratio sa lahat ng mga pagpapakita nito.

Leonardo da Vinci Naglaan din siya ng maraming oras sa pag-aaral ng mga tampok ng gintong ratio; malamang, ang termino mismo ay pag-aari niya. Ang kanyang mga guhit ng isang stereometric na katawan na nabuo ng mga regular na pentagon ay nagpapatunay na ang bawat isa sa mga parihaba na nakuha ng seksyon ay nagbibigay ng aspect ratio sa gintong dibisyon.

Sa paglipas ng panahon, ang panuntunan ng ginintuang ratio ay naging isang akademikong gawain, at ang pilosopo lamang Adolf Zeising noong 1855 binigyan niya ito ng pangalawang buhay. Dinala niya ang mga proporsyon ng ginintuang seksyon sa ganap, na ginagawa itong unibersal para sa lahat ng mga phenomena ng nakapaligid na mundo. Gayunpaman, ang kanyang "mathematical aesthetics" ay nagdulot ng maraming kritisismo.

Kalikasan

ika-16 na siglong astronomo Johannes Kepler tinawag ang golden ratio na isa sa mga kayamanan ng geometry. Siya ang unang nagbigay pansin sa kahalagahan ng ginintuang proporsyon para sa botany (paglago ng halaman at ang kanilang istraktura).

Tinawag ni Kepler ang ginintuang proporsyon na self-continuing. "Ito ay nakabalangkas sa paraang," isinulat niya, "na ang dalawang pinakamababang termino ng walang katapusang proporsyon na ito ay nagdaragdag ng hanggang sa ikatlong termino, at anumang dalawang huling termino, kung idinagdag magkasama. , ibigay ang susunod na termino, at ang parehong proporsyon ay nananatili hanggang sa infinity."

Ang pagtatayo ng isang serye ng mga segment ng ginintuang proporsyon ay maaaring gawin pareho sa direksyon ng pagtaas (pagtaas ng serye) at sa direksyon ng pagbaba (pababang serye).

Kung nasa isang tuwid na linya ng di-makatwirang haba, itabi ang segment m, ilagay ang segment sa tabi nito M. Batay sa dalawang segment na ito, bumuo kami ng sukat ng mga segment ng ginintuang proporsyon ng pataas at pababang serye.

kanin. Konstruksyon ng isang sukat ng mga gintong bahagi ng proporsyon

kanin. Chicory

Kahit na walang pagpunta sa mga kalkulasyon, ang ginintuang ratio ay madaling matagpuan sa kalikasan. Kaya, ang ratio ng buntot at katawan ng isang butiki, ang mga distansya sa pagitan ng mga dahon sa isang sanga ay nahulog sa ilalim nito, mayroong isang gintong ratio sa hugis ng isang itlog, kung ang isang kondisyon na linya ay iguguhit sa pinakamalawak na bahagi nito.

kanin. Masiglang butiki

kanin. itlog ng ibon

Ang Belarusian scientist na si Eduard Soroko, na nag-aral ng mga anyo ng mga gintong dibisyon sa kalikasan, ay nabanggit na ang lahat ng lumalaki at nagsusumikap na maganap sa espasyo ay pinagkalooban ng mga proporsyon ng gintong seksyon. Sa kanyang opinyon, isa sa mga pinaka kawili-wiling mga hugis Ito ay isang spiral twist.

Higit pa Archimedes, na binibigyang pansin ang spiral, ay nagmula sa isang equation batay sa hugis nito, na ginagamit pa rin sa teknolohiya. Napansin ni Goethe ang pagkahumaling ng kalikasan sa mga spiral form, pagtawag spiral ng "kurba ng buhay". Natuklasan ng mga modernong siyentipiko na ang gayong mga pagpapakita ng mga spiral form sa kalikasan bilang isang snail shell, ang pag-aayos ng mga buto ng sunflower, mga pattern ng spider web, ang paggalaw ng isang bagyo, ang istraktura ng DNA at maging ang istraktura ng mga kalawakan ay naglalaman ng serye ng Fibonacci.

Tao

Ang mga taga-disenyo ng fashion at taga-disenyo ng damit ay gumagawa ng lahat ng mga kalkulasyon batay sa mga proporsyon ng ginintuang ratio. Ang tao ay isang unibersal na anyo para sa pagsubok sa mga batas ng gintong ratio. Siyempre, sa likas na katangian, hindi lahat ng tao ay may perpektong sukat, na lumilikha ng ilang mga paghihirap sa pagpili ng mga damit.

Sa talaarawan ni Leonardo da Vinci ay may guhit ng isang hubad na lalaki na nakasulat sa isang bilog, sa dalawang superimposed na posisyon. Batay sa pananaliksik ng Romanong arkitekto na si Vitruvius, sinubukan din ni Leonardo na itatag ang mga proporsyon ng katawan ng tao. Nang maglaon, ang Pranses na arkitekto na si Le Corbusier, gamit ang "Vitruvian Man" ni Leonardo, ay lumikha ng kanyang sariling sukat ng "harmonic proportions," na nakaimpluwensya sa aesthetics ng ika-20 siglong arkitektura. Si Adolf Zeising, na nag-aaral ng proporsyonalidad ng isang tao, ay gumawa ng napakalaking trabaho. Sinukat niya ang humigit-kumulang dalawang libong katawan ng tao, pati na rin ang maraming mga sinaunang estatwa, at napagpasyahan na ang gintong ratio ay nagpapahayag ng average na batas sa istatistika. Sa isang tao, halos lahat ng bahagi ng katawan ay nasa ilalim nito, ngunit ang pangunahing tagapagpahiwatig ng gintong ratio ay ang dibisyon ng katawan sa pamamagitan ng pusod.

Bilang resulta ng mga sukat, natuklasan ng mananaliksik na ang mga proporsyon ng katawan ng lalaki na 13:8 ay mas malapit sa gintong ratio kaysa sa mga proporsyon ng katawan ng babae - 8:5.

Ang sining ng mga spatial na anyo

Sinabi ng artist na si Vasily Surikov "na sa komposisyon mayroong isang hindi nababagong batas, kapag sa isang larawan ay hindi mo maaaring alisin o magdagdag ng anuman, hindi ka maaaring magdagdag ng dagdag na punto, ito ay tunay na matematika." Sa loob ng mahabang panahon, sinusunod ng mga artista ang batas na ito nang intuitive, ngunit pagkatapos ng Leonardo da Vinci, ang proseso ng paglikha ng isang pagpipinta ay hindi na kumpleto nang hindi nalulutas ang mga geometric na problema. Halimbawa, Albrecht Durer Upang matukoy ang mga punto ng ginintuang seksyon, ginamit niya ang proporsyonal na kumpas na kanyang naimbento.

Ang kritiko ng sining na si F.V. Kovalev, nang masuri nang detalyado ang pagpipinta ni Nikolai Ge na "Alexander Sergeevich Pushkin sa nayon ng Mikhailovskoye," ay nagsasaad na ang bawat detalye ng canvas, maging ito ay isang fireplace, isang aparador ng mga aklat, isang armchair, o ang makata mismo, ay mahigpit na nakasulat. sa ginintuang sukat. Ang mga mananaliksik ng golden ratio ay walang kapagurang nag-aaral at sumusukat sa mga obra maestra ng arkitektura, na sinasabing sila ay naging ganoon dahil sila ay nilikha ayon sa mga ginintuang canon: kasama sa kanilang listahan ang Great Pyramids of Giza, Notre Dame Cathedral, St. Basil's Cathedral, at ang Parthenon.

At ngayon, sa anumang sining ng mga spatial na anyo, sinusubukan nilang sundin ang mga proporsyon ng ginintuang seksyon, dahil, ayon sa mga kritiko ng sining, pinadali nila ang pang-unawa sa gawain at bumubuo ng isang aesthetic na pakiramdam sa manonood.

Si Goethe, isang makata, naturalista at artista (iginuhit niya at ipininta sa mga watercolor), pinangarap na lumikha ng isang pinag-isang doktrina ng anyo, pagbuo at pagbabago ng mga organikong katawan. Siya ang nagpakilala ng termino sa pang-agham na gamit morpolohiya.

Si Pierre Curie sa simula ng siglong ito ay bumalangkas ng ilang malalim na ideya tungkol sa simetrya. Nagtalo siya na hindi maaaring isaalang-alang ng isa ang simetrya ng anumang katawan nang hindi isinasaalang-alang ang simetrya ng kapaligiran.

Ang mga batas ng "ginintuang" symmetry ay ipinakita sa mga paglipat ng enerhiya ng mga elementarya na particle, sa istraktura ng ilang mga kemikal na compound, sa mga sistema ng planeta at espasyo, sa mga istruktura ng gene ng mga buhay na organismo. Ang mga pattern na ito, tulad ng ipinahiwatig sa itaas, ay umiiral sa istraktura ng mga indibidwal na organo ng tao at ang katawan sa kabuuan, at nagpapakita rin ng kanilang mga sarili sa biorhythms at paggana ng utak at visual na pang-unawa.

Golden ratio at simetrya

Ang gintong ratio ay hindi maaaring isaalang-alang sa sarili nitong, hiwalay, nang walang koneksyon sa mahusay na proporsyon. Ang mahusay na Russian crystallographer na si G.V. Itinuring ni Wulf (1863...1925) ang gintong ratio bilang isa sa mga pagpapakita ng simetrya.

Ang ginintuang dibisyon ay hindi isang pagpapakita ng kawalaan ng simetrya, isang bagay na kabaligtaran ng simetrya. Ayon sa mga modernong konsepto, ang ginintuang dibisyon ay isang asymmetrical symmetry. Kasama sa agham ng simetrya ang mga konsepto tulad ng static At dynamic na simetrya. Ang static symmetry ay nagpapakilala sa kapayapaan at balanse, habang ang dynamic na simetrya ay nagpapakilala sa paggalaw at paglaki. Kaya, sa kalikasan, ang static na simetrya ay kinakatawan ng istraktura ng mga kristal, at sa sining ay nailalarawan nito ang kapayapaan, balanse at kawalang-kilos. Ang dinamikong simetrya ay nagpapahayag ng aktibidad, nagpapakilala sa paggalaw, pag-unlad, ritmo, ito ay katibayan ng buhay. Ang static na simetrya ay nailalarawan sa pamamagitan ng pantay na mga segment at pantay na halaga. Ang dinamikong simetrya ay nailalarawan sa pamamagitan ng pagtaas ng mga segment o ang kanilang pagbaba, at ito ay ipinahayag sa mga halaga ng ginintuang seksyon ng isang pagtaas o pagbaba ng serye.

Salita, tunog at pelikula

Ang mga anyo ng pansamantalang sining sa kanilang sariling paraan ay nagpapakita sa atin ng prinsipyo ng gintong dibisyon. Ang mga iskolar sa panitikan, halimbawa, ay napansin na ang pinakasikat na bilang ng mga linya sa mga tula ng huling panahon ng gawain ni Pushkin ay tumutugma sa serye ng Fibonacci - 5, 8, 13, 21, 34.

Nalalapat din ang panuntunan ng gintong seksyon sa mga indibidwal na gawa ng klasikong Ruso. Kaya ang climax" reyna ng Spades"ay isang dramatikong eksena sa pagitan ni Herman at ng Countess, na nagtatapos sa pagkamatay ng huli. Ang kuwento ay may 853 na linya, at ang rurok ay nangyayari sa linya 535 (853:535 = 1.6) - ito ang punto ng gintong ratio.

Ang musikero ng Sobyet na si E.K. Rosenov ay nagsasaad ng kamangha-manghang katumpakan ng mga ratios ng gintong seksyon sa mahigpit at libreng mga anyo ng mga gawa ni Johann Sebastian Bach, na tumutugma sa maalalahanin, puro, teknikal na na-verify na istilo ng master. Totoo rin ito sa mga namumukod-tanging gawa ng iba pang mga kompositor, kung saan ang pinakakapansin-pansin o hindi inaasahang solusyon sa musika ay kadalasang nangyayari sa puntong ginintuang ratio.

Ang direktor ng pelikula na si Sergei Eisenstein ay sadyang nag-coordinate ng script ng kanyang pelikulang "Battleship Potemkin" na may panuntunan ng golden ratio, na hinati ang pelikula sa limang bahagi. Sa unang tatlong seksyon ang aksyon ay nagaganap sa barko, at sa huling dalawa - sa Odessa. Ang paglipat sa mga eksena sa lungsod ay ang ginintuang gitna ng pelikula.

Inaanyayahan ka naming talakayin ang paksa sa aming grupo -

Ang geometry ay isang eksakto at medyo kumplikadong agham, na sa parehong oras ay isang uri ng sining. Mga linya, eroplano, proporsyon - lahat ng ito ay nakakatulong upang lumikha ng maraming tunay na magagandang bagay. At kakatwa, ito ay batay sa geometry sa mga pinaka-iba't ibang anyo nito. Sa artikulong ito titingnan natin ang isang hindi pangkaraniwang bagay na direktang nauugnay dito. Ang golden ratio ay eksaktong geometric na diskarte na tatalakayin.

Ang hugis ng isang bagay at ang pang-unawa nito

Ang mga tao ay kadalasang umaasa sa hugis ng isang bagay upang makilala ito sa milyun-milyong iba pa. Sa pamamagitan ng hugis nito natutukoy natin kung anong uri ng bagay ang nasa harap natin o nakatayo sa malayo. Una nating nakikilala ang mga tao sa hugis ng kanilang katawan at mukha. Samakatuwid, maaari nating kumpiyansa na sabihin na ang hugis mismo, ang laki at hitsura nito ay isa sa pinakamahalagang bagay sa pang-unawa ng tao.

Para sa mga tao, ang anyo ng anumang bagay ay kawili-wili sa dalawang pangunahing dahilan: ito ay idinidikta ng mahahalagang pangangailangan, o ito ay sanhi ng aesthetic na kasiyahan mula sa kagandahan. Ang pinakamahusay na visual na pang-unawa at pakiramdam ng pagkakaisa at kagandahan ay kadalasang dumarating kapag ang isang tao ay nagmamasid sa isang anyo sa pagbuo kung saan ginamit ang simetrya at isang espesyal na ratio, na tinatawag na golden ratio.

Ang konsepto ng gintong ratio

Kaya, ang golden ratio ay ang golden ratio, na isa ring harmonic division. Upang ipaliwanag ito nang mas malinaw, tingnan natin ang ilang mga tampok ng form. Namely: ang isang anyo ay isang bagay na buo, at ang kabuuan, naman, ay palaging binubuo ng ilang bahagi. Ang mga bahaging ito ay malamang na may iba't ibang katangian, hindi bababa sa iba't ibang laki. Buweno, ang gayong mga sukat ay palaging nasa isang tiyak na relasyon, kapwa sa kanilang sarili at may kaugnayan sa kabuuan.

Nangangahulugan ito, sa madaling salita, maaari nating sabihin na ang ginintuang ratio ay isang ratio ng dalawang dami, na may sariling formula. Ang paggamit ng ratio na ito kapag lumilikha ng isang form ay nakakatulong upang gawin itong maganda at magkatugma hangga't maaari para sa mata ng tao.

Mula sa sinaunang kasaysayan ng golden ratio

Ang golden ratio ay kadalasang ginagamit sa maraming iba't ibang larangan ng buhay ngayon. Ngunit ang kasaysayan ng konseptong ito ay bumalik sa sinaunang panahon, noong ang mga agham tulad ng matematika at pilosopiya ay umuusbong pa lamang. Bilang isang siyentipikong konsepto, ang ginintuang ratio ay ginamit noong panahon ni Pythagoras, lalo na noong ika-6 na siglo BC. Ngunit kahit na bago iyon, ang kaalaman tungkol sa gayong ratio ay ginamit sa pagsasanay sa Sinaunang Ehipto at Babylon. Ang isang malinaw na indikasyon nito ay ang mga pyramids, para sa pagtatayo kung saan eksaktong ginintuang proporsyon ang ginamit.

Bagong panahon

Ang Renaissance ay nagdala ng bagong hininga sa harmonic division, lalo na salamat kay Leonardo da Vinci. Ang ratio na ito ay lalong nagsimulang gamitin kapwa sa geometry at sa sining. Sinimulang pag-aralan ng mga siyentipiko at artista ang golden ratio nang mas malalim at lumikha ng mga aklat na sumusuri sa isyung ito.

Isa sa mga pinakaimportante mga akdang pangkasaysayan na may kaugnayan sa golden ratio ay isang libro ni Luca Pancholi na tinatawag na The Divine Proportion. Hinala ng mga mananalaysay na ang mga ilustrasyon ng aklat na ito ay ginawa mismo ni Leonardo bago si Vinci.

gintong ratio

Ang matematika ay nagbibigay ng napakalinaw na kahulugan ng proporsyon, na nagsasabing ito ay ang pagkakapantay-pantay ng dalawang ratios. Sa matematika, ito ay maaaring ipahayag sa pamamagitan ng sumusunod na pagkakapantay-pantay: a: b = c: d, kung saan ang a, b, c, d ay ilang partikular na halaga.

Kung isasaalang-alang namin ang proporsyon ng isang segment na nahahati sa dalawang bahagi, kakaunti lang ang mga sitwasyong makakaharap namin:

• Ang segment ay nahahati sa dalawang ganap na pantay na bahagi, na nangangahulugang AB:AC = AB:BC, kung AB ang eksaktong simula at dulo ng segment, at C ang puntong naghahati sa segment sa dalawang magkapantay na bahagi.
• Ang segment ay nahahati sa dalawang hindi pantay na bahagi, na maaaring magkaibang mga proporsyon sa isa't isa, na nangangahulugan na dito sila ay ganap na hindi katimbang.
• Hinati ang segment upang ang AB:AC = AC:BC.

Tulad ng para sa ginintuang ratio, ito ay isang proporsyonal na paghahati ng isang segment sa hindi pantay na mga bahagi, kapag ang buong segment ay nauugnay sa mas malaking bahagi, tulad ng mas malaking bahagi mismo na nauugnay sa mas maliit. May isa pang pormulasyon: ang mas maliit na segment ay nauugnay sa mas malaki, tulad ng mas malaki sa buong segment. Sa mga termino sa matematika, ganito ang hitsura: a:b = b:c o c:b = b:a. Ito ay eksakto kung ano ang hitsura ng golden ratio formula.

Golden ratio sa kalikasan

Ang ginintuang ratio, mga halimbawa kung saan isasaalang-alang natin ngayon, ay tumutukoy sa hindi kapani-paniwalang mga phenomena sa kalikasan. Ang mga ito ay napakagandang mga halimbawa ng katotohanan na ang matematika ay hindi lamang mga numero at pormula, ngunit isang agham na may higit pa sa isang tunay na pagmuni-muni sa kalikasan at sa ating buhay sa pangkalahatan.

Para sa mga buhay na organismo, ang isa sa mga pangunahing gawain sa buhay ay ang paglaki. Ang pagnanais na kumuha ng isang lugar sa kalawakan, sa katunayan, ay nangyayari sa iba't ibang anyo - lumalaki paitaas, halos pahalang na kumakalat sa lupa, o umiikot sa isang spiral sa ilang uri ng suporta. At kahit na hindi kapani-paniwala, maraming halaman ang lumalaki ayon sa gintong ratio.

Isa pa halos hindi kapani-paniwalang katotohanan- ito ang mga relasyon sa katawan ng mga butiki. Ang kanilang katawan ay mukhang medyo nakalulugod sa mata ng tao at ito ay posible dahil sa parehong ginintuang ratio. Upang maging mas tumpak, ang haba ng kanilang buntot ay nauugnay sa haba ng buong katawan bilang 62:38.

Mga kagiliw-giliw na katotohanan tungkol sa mga patakaran ng gintong ratio

Ang ginintuang ratio ay isang tunay na hindi kapani-paniwalang konsepto, na nangangahulugan na sa buong kasaysayan ay makakatagpo tayo ng maraming talagang kawili-wiling mga katotohanan tungkol sa proporsyon na ito. Ipinakita namin sa iyo ang ilan sa mga ito:

Golden ratio sa katawan ng tao

Sa seksyong ito ay kinakailangang banggitin ang isang napakahalagang tao, na si S. Zeizinga. Ito ay isang German researcher na gumawa ng napakalaking dami ng trabaho sa larangan ng pag-aaral ng golden ratio. Naglathala siya ng isang akda na pinamagatang Aesthetic Studies. Sa kanyang trabaho, ipinakita niya ang gintong ratio bilang isang ganap na konsepto na unibersal para sa lahat ng mga phenomena kapwa sa kalikasan at sa sining. Dito natin maaalala ang ginintuang ratio ng pyramid kasama ang maayos na proporsyon ng katawan ng tao at iba pa.

Si Zeising ang nakapagpatunay na ang golden ratio, sa katunayan, ay ang average na batas sa istatistika para sa katawan ng tao. Ipinakita ito sa pagsasanay, dahil sa panahon ng kanyang trabaho kailangan niyang sukatin ang maraming katawan ng tao. Naniniwala ang mga mananalaysay na higit sa dalawang libong tao ang nakibahagi sa eksperimentong ito. Ayon sa pananaliksik ni Zeising, ang pangunahing tagapagpahiwatig ng gintong ratio ay ang paghahati ng katawan sa pamamagitan ng pusod. Kaya, ang katawan ng lalaki na may average na ratio na 13:8 ay bahagyang mas malapit sa golden ratio kaysa sa babaeng katawan, kung saan ang golden ratio ay 8:5. Ang golden ratio ay maaari ding obserbahan sa ibang bahagi ng katawan, tulad ng kamay.

Tungkol sa pagtatayo ng gintong ratio

Sa katunayan, ang pagbuo ng golden ratio ay isang simpleng bagay. Tulad ng nakikita natin, kahit na ang mga sinaunang tao ay nakayanan ito nang madali. Ano ang masasabi natin tungkol sa makabagong kaalaman at teknolohiya ng sangkatauhan. Sa artikulong ito hindi namin ipapakita kung paano ito magagawa sa isang piraso ng papel lamang at may hawak na lapis, ngunit may kumpiyansa kaming idedeklara na ito ay, sa katunayan, posible. Bukod dito, ito ay maaaring gawin sa higit sa isang paraan.

Dahil ito ay isang medyo simpleng geometry, ang ginintuang ratio ay medyo simple upang bumuo kahit na sa paaralan. Samakatuwid, ang impormasyon tungkol dito ay madaling mahanap sa mga espesyal na libro. Sa pamamagitan ng pag-aaral ng golden ratio, ang mga 6th graders ay ganap na nauunawaan ang mga prinsipyo ng pagbuo nito, na nangangahulugang kahit na ang mga bata ay sapat na matalino upang makabisado ang gayong gawain.

Golden ratio sa matematika

Ang unang kakilala sa ginintuang ratio sa pagsasanay ay nagsisimula sa isang simpleng dibisyon ng isang tuwid na linya ng segment sa parehong mga proporsyon. Kadalasan ito ay ginagawa sa tulong ng isang pinuno, kumpas at, siyempre, isang lapis.

Ang mga segment ng ginintuang proporsyon ay ipinahayag bilang isang walang katapusan na di-makatuwirang praksyon AE = 0.618..., kung ang AB ay kukunin bilang isa, BE = 0.382... Upang gawing mas praktikal ang mga kalkulasyong ito, kadalasan ay gumagamit sila ng hindi eksakto, ngunit tinatayang mga halaga, katulad - 0 .62 at .38. Kung ang segment AB ay kinuha bilang 100 bahagi, kung gayon ang mas malaking bahagi nito ay magiging katumbas ng 62, at ang mas maliit na bahagi ay magiging katumbas ng 38 bahagi, ayon sa pagkakabanggit.

Ang pangunahing katangian ng gintong ratio ay maaaring ipahayag ng equation: x 2 -x-1=0. Kapag nilulutas, nakukuha natin ang mga sumusunod na ugat: x 1.2 =. Bagama't ang matematika ay isang eksakto at mahigpit na agham, tulad ng seksyon nito - geometry, ito ay mga katangian tulad ng mga batas ng ginintuang seksyon na nagbigay ng misteryo sa paksang ito.

Harmony sa sining sa pamamagitan ng golden ratio

Upang buod, isaalang-alang natin nang maikli ang napag-usapan na.

Karaniwan, maraming mga piraso ng sining ang nahuhulog sa ilalim ng panuntunan ng gintong ratio, kung saan ang isang ratio na malapit sa 3/8 at 5/8 ay sinusunod. Ito ang magaspang na formula ng golden ratio. Marami nang nabanggit ang artikulo tungkol sa mga halimbawa ng paggamit ng seksyon, ngunit titingnan natin itong muli sa pamamagitan ng prisma ng sinaunang at modernong sining. Kaya, ang pinaka-kapansin-pansin na mga halimbawa mula sa sinaunang panahon:

Tulad ng para sa malamang na may malay na paggamit ng proporsyon, simula sa panahon ni Leonardo da Vinci, ito ay ginamit sa halos lahat ng mga lugar ng buhay - mula sa agham hanggang sa sining. Kahit na ang biology at medisina ay napatunayan na ang ginintuang ratio ay gumagana kahit na sa mga buhay na sistema at organismo.

Mula noong sinaunang panahon, ang mga tao ay nababahala sa tanong kung ang mga mailap na bagay tulad ng kagandahan at pagkakaisa ay napapailalim sa anumang mga kalkulasyon sa matematika. Siyempre, ang lahat ng mga batas ng kagandahan ay hindi maaaring nilalaman sa ilang mga pormula, ngunit sa pamamagitan ng pag-aaral ng matematika, matutuklasan natin ang ilang bahagi ng kagandahan - ang ginintuang ratio. Ang aming gawain ay alamin kung ano ang ginintuang ratio at itatag kung saan natagpuan ng sangkatauhan ang paggamit ng gintong ratio.

Marahil ay napansin mo na iba ang pagtrato namin sa mga bagay at phenomena ng nakapaligid na katotohanan. Maging h tikas, blah h Ang pormalidad at di-proporsyon ay itinuturing nating pangit at nagbubunga ng isang kasuklam-suklam na impresyon. At ang mga bagay at phenomena na nailalarawan sa pamamagitan ng proporsyon, kapakinabangan at pagkakaisa ay itinuturing na maganda at pumukaw sa atin ng isang pakiramdam ng paghanga, kagalakan, at pagpapasigla sa ating espiritu.

Sa kanyang mga aktibidad, ang isang tao ay patuloy na nakatagpo ng mga bagay na batay sa gintong ratio. May mga bagay na hindi maipaliwanag. Kaya pumunta ka sa isang bakanteng bench at umupo doon. Saan ka uupo? Nasa gitna? O marahil mula sa pinakadulo? Hindi, malamang, ni isa o ang isa. Ikaw ay uupo upang ang ratio ng isang bahagi ng bangko sa isa pang kamag-anak sa iyong katawan ay humigit-kumulang 1.62. Isang simpleng bagay, ganap na likas... Nakaupo sa isang bangko, ginawa mo ang "gintong ratio".

Ang golden ratio ay kilala noong sinaunang Egypt at Babylon, sa India at China. Ang dakilang Pythagoras ay lumikha ng isang lihim na paaralan kung saan pinag-aralan ang mystical essence ng "golden ratio". Ginamit ito ni Euclid sa paglikha ng kanyang geometry, at Phidias - ang kanyang walang kamatayang mga eskultura. Sinabi ni Plato na ang Uniberso ay nakaayos ayon sa "gintong ratio". Natagpuan ni Aristotle ang isang sulat sa pagitan ng "gintong ratio" at ang etikal na batas. Ang pinakamataas na pagkakatugma ng "gintong ratio" ay ipangangaral nina Leonardo da Vinci at Michelangelo, dahil ang kagandahan at ang "gintong ratio" ay iisa at pareho. At ang mga Kristiyanong mistiko ay gumuhit ng mga pentagram ng "gintong ratio" sa mga dingding ng kanilang mga monasteryo, na tumatakas mula sa Diyablo. Kasabay nito, ang mga siyentipiko - mula Pacioli hanggang Einstein - ay maghahanap, ngunit hindi mahanap ang eksaktong kahulugan nito. Maging h ang huling hilera pagkatapos ng decimal point ay 1.6180339887... Isang kakaiba, mahiwaga, hindi maipaliwanag na bagay - ang banal na proporsyon na ito ay mystically na sinasamahan ng lahat ng nabubuhay na bagay. Ang walang buhay na kalikasan ay hindi alam kung ano ang "gintong ratio". Ngunit tiyak na makikita mo ang proporsyon na ito sa mga kurba ng mga shell ng dagat, at sa hugis ng mga bulaklak, at sa hitsura ng mga beetle, at sa magandang katawan ng tao. Lahat ng nabubuhay at lahat ay maganda - lahat ay sumusunod sa banal na batas, na ang pangalan ay "gintong ratio". Kaya ano ang "gintong ratio"? Ano ang perpektong, banal na kumbinasyong ito? Siguro ito ang batas ng kagandahan? O mystical secret pa rin siya? Scientific phenomenon o etikal na prinsipyo? Hindi pa rin alam ang sagot. Mas tiyak - hindi, ito ay kilala. Ang "Golden Ratio" ay pareho. Hindi lamang magkahiwalay, ngunit sabay-sabay... At ito ang kanyang tunay na misteryo, ang kanyang dakilang sikreto.

Malamang na mahirap makahanap ng isang maaasahang sukatan para sa isang layunin na pagtatasa ng kagandahan mismo, at ang lohika lamang ay hindi gagawa nito. Gayunpaman, ang karanasan ng mga kung kanino ang paghahanap para sa kagandahan ay ang tunay na kahulugan ng buhay, na ginawa itong kanilang propesyon, ay makakatulong dito. Ito ay, una sa lahat, mga tao ng sining, tulad ng tawag natin sa kanila: mga artista, arkitekto, eskultor, musikero, manunulat. Ngunit ito rin ay mga tao ng eksaktong agham, pangunahin ang mga mathematician.

Sa pagtitiwala sa mata nang higit kaysa sa ibang mga organo ng pandama, unang natutunan ng tao na makilala ang mga bagay sa paligid niya sa pamamagitan ng kanilang hugis. Ang interes sa hugis ng isang bagay ay maaaring idikta ng mahahalagang pangangailangan, o maaaring sanhi ito ng kagandahan ng hugis. Ang form, na batay sa isang kumbinasyon ng mahusay na proporsyon at ang ginintuang ratio, ay nag-aambag sa pinakamahusay na visual na pang-unawa at ang hitsura ng isang pakiramdam ng kagandahan at pagkakaisa. Ang kabuuan ay palaging binubuo ng mga bahagi, ang mga bahagi ng iba't ibang laki ay nasa isang tiyak na kaugnayan sa bawat isa at sa kabuuan. Ang prinsipyo ng gintong ratio ay ang pinakamataas na pagpapakita ng istruktura at pagganap na pagiging perpekto ng kabuuan at mga bahagi nito sa sining, agham, teknolohiya at kalikasan.

GOLDEN RATIO - HARMONIC PROPORTION

Sa matematika, ang isang proporsyon ay ang pagkakapantay-pantay ng dalawang ratios:

Ang isang tuwid na linya ng segment AB ay maaaring hatiin sa dalawang bahagi sa mga sumusunod na paraan:

• sa dalawang pantay na bahagi - AB:AC=AB:BC;
• sa dalawang hindi pantay na bahagi sa anumang paggalang (ang mga bahagi ay hindi bumubuo ng mga proporsyon);
• kaya, kapag AB:AC=AC:BC.

Ang huli ay ang gintong dibisyon (seksyon).

Ang golden ratio ay tulad ng isang proporsyonal na paghahati ng isang segment sa hindi pantay na mga bahagi, kung saan ang buong segment ay nauugnay sa mas malaking bahagi dahil ang mas malaking bahagi mismo ay nauugnay sa mas maliit, sa madaling salita, ang mas maliit na segment ay nauugnay sa mas malaki. isa bilang mas malaki sa kabuuan

a:b=b:c o c:b=b:a.

Geometric na imahe ng gintong ratio

Ang praktikal na kakilala sa golden ratio ay nagsisimula sa paghahati ng isang tuwid na linya ng segment sa ginintuang proporsyon gamit ang isang compass at ruler.

Paghahati ng isang tuwid na bahagi ng linya gamit ang gintong ratio. BC=1/2AB; CD=BC

Mula sa punto B isang patayo na katumbas ng kalahating AB ay naibalik. Ang resultang punto C ay konektado sa pamamagitan ng isang linya sa punto A. Sa nagresultang linya, isang segment BC ay inilatag, na nagtatapos sa punto D. Ang segment AD ay inilipat sa tuwid na linya AB. Ang resultang punto E ay naghahati sa segment na AB sa ginintuang proporsyon.

Ang mga segment ng golden ratio ay ipinahayag nang wala h ang huling fraction AE=0.618..., kung kukunin ang AB bilang isa, BE=0.382... Para sa mga praktikal na layunin, kadalasang ginagamit ang tinatayang mga value na 0.62 at 0.38. Kung ang segment AB ay kinuha na 100 bahagi, kung gayon ang mas malaking bahagi ng segment ay katumbas ng 62, at ang mas maliit na bahagi ay 38 bahagi.

Ang mga katangian ng gintong ratio ay inilarawan ng equation:

Solusyon sa equation na ito:

Ang mga katangian ng golden ratio ay lumikha ng isang romantikong aura ng misteryo at isang halos mystical na henerasyon sa paligid ng numerong ito. Halimbawa, sa isang regular na five-pointed star, ang bawat segment ay nahahati sa segment na nag-intersect dito sa proporsyon ng golden ratio (ibig sabihin, ang ratio ng asul na segment sa berde, pula sa asul, berde hanggang violet ay 1.618) .

IKALAWANG GINTONG RATIO

Ang proporsyon na ito ay matatagpuan sa arkitektura.

Konstruksyon ng pangalawang gintong ratio

Ang paghahati ay isinasagawa tulad ng sumusunod. Ang Segment AB ay nahahati sa proporsyon sa gintong ratio. Mula sa punto C, isang patayo na CD ang naibalik. Ang radius AB ay punto D, na kung saan ay konektado sa pamamagitan ng isang linya sa punto A. Ang kanang anggulo ACD ay nahahati sa kalahati. Ang isang linya ay iginuhit mula sa punto C hanggang sa intersection na may linya AD. Hinahati ng Point E ang segment AD sa ratio na 56:44.

Paghahati ng isang parihaba na may linya ng pangalawang gintong ratio

Ipinapakita ng figure ang posisyon ng linya ng pangalawang gintong ratio. Matatagpuan ito sa gitna sa pagitan ng linya ng golden ratio at gitnang linya ng rectangle.

GOLDEN TRIANGLE (pentagram)

Upang mahanap ang mga segment ng ginintuang proporsyon ng pataas at pababang serye, maaari mong gamitin ang pentagram.

Konstruksyon ng isang regular na pentagon at pentagram

Upang bumuo ng isang pentagram, kailangan mong bumuo ng isang regular na pentagon. Ang paraan ng pagtatayo nito ay binuo ng Aleman na pintor at graphic artist na si Albrecht Durer. Hayaang O ang sentro ng bilog, A ang punto sa bilog, at E ang gitnang punto ng segment OA. Ang patayo sa radius OA, na naibalik sa punto O, ay nagsalubong sa bilog sa punto D. Gamit ang isang compass, i-plot ang segment na CE=ED sa diameter. Ang haba ng gilid ng isang regular na pentagon na nakasulat sa isang bilog ay katumbas ng DC. I-plot namin ang mga segment na DC sa bilog at kumuha ng limang puntos para gumuhit ng regular na pentagon. Ikinonekta namin ang mga sulok ng pentagon sa isa't isa na may mga diagonal at kumuha ng pentagram. Ang lahat ng mga diagonal ng pentagon ay nahahati sa bawat isa sa mga segment na konektado ng gintong ratio.

Ang bawat dulo ng pentagonal na bituin ay kumakatawan sa isang gintong tatsulok. Ang mga gilid nito ay bumubuo ng isang anggulo ng 36 0 sa tuktok, at ang base, na inilatag sa gilid, hinahati ito sa proporsyon ng gintong ratio.

Gumuhit kami ng tuwid na AB. Mula sa punto A ay humiga kami dito ng tatlong beses ng isang segment O ng isang di-makatwirang laki, sa pamamagitan ng nagresultang punto P gumuhit kami ng isang patayo sa linya ng AB, sa patayo sa kanan at kaliwa ng punto P ay tinanggal namin ang mga segment O. Kami ikonekta ang mga resultang puntos d at d 1 na may mga tuwid na linya patungo sa punto A. Segment dd 1 inilalagay namin ito sa linyang Ad 1, pagkuha ng punto C. Hinati nito ang linyang Ad 1 sa proporsyon ng gintong seksyon. Ang mga Linya na Ad 1 at dd 1 ay ginagamit upang bumuo ng isang "ginintuang" parihaba.

Konstruksyon ng gintong tatsulok

KASAYSAYAN NG GOLDEN RATIO

Sa katunayan, ang mga proporsyon ng Cheops pyramid, mga templo, mga gamit sa bahay at alahas mula sa libingan ng Tutankhamun ay nagpapahiwatig na ginamit ng mga manggagawang Egyptian ang mga ratio ng gintong dibisyon kapag nilikha ang mga ito. Natuklasan ng arkitekto ng Pransya na si Le Corbusier na sa relief mula sa templo ni Pharaoh Seti I sa Abydos at sa relief na naglalarawan kay Pharaoh Ramses, ang mga proporsyon ng mga figure ay tumutugma sa mga halaga ng gintong dibisyon. Ang arkitekto na si Khesira, na inilalarawan sa isang kaluwagan ng isang kahoy na tabla mula sa isang libingan na pinangalanan sa kanya, ay humahawak sa kanyang mga kamay ng mga instrumento sa pagsukat kung saan ang mga proporsyon ng gintong dibisyon ay naitala.

Ang mga Griyego ay mga bihasang geometer. Nagturo pa sila ng aritmetika sa kanilang mga anak gamit ang mga geometric na numero. Ang Pythagorean square at ang dayagonal ng parisukat na ito ay ang batayan para sa pagbuo ng mga dynamic na parihaba.

Mga dynamic na parihaba

Alam din ni Plato ang tungkol sa golden division. Ang Pythagorean Timaeus, sa diyalogo ni Plato na may parehong pangalan, ay nagsabi: "Imposible para sa dalawang bagay na ganap na magkaisa nang walang ikatlo, yamang may isang bagay na dapat lumitaw sa pagitan nila na magsasama sa kanila. Ito ang pinakamahusay na paraan maaaring matupad ang proporsyon, dahil kung ang tatlong numero ay may katangian na ang average ay sa mas maliit dahil ang mas malaki ay sa average, at, sa kabaligtaran, ang mas maliit ay sa average dahil ang average ay sa mas malaki, pagkatapos ay ang huli at ang una ang magiging average, at ang average ang magiging una at huli. Kaya, lahat ng kailangan ay magiging pareho, at dahil ito ay magiging pareho, ito ay bubuo sa kabuuan." Binuo ni Plato ang mundo sa lupa gamit ang mga tatsulok ng dalawang uri: isosceles at non-isosceles. Ang pinaka maganda kanang tatsulok Isinasaalang-alang niya ang isa kung saan ang hypotenuse ay dalawang beses na mas malaki kaysa sa mas maliit na mga binti (tulad ng isang parihaba ay kalahati ng equilateral, pangunahing pigura ng mga Babylonians, ito ay may ratio na 1: 3 1/2, na naiiba sa gintong ratio ng humigit-kumulang 1/25, at tinatawag ng Timerding na "isang karibal ng mga ginintuang seksyon"). Gamit ang mga tatsulok, bumuo si Plato ng apat na regular na polyhedra, na iniuugnay ang mga ito sa apat na elemento sa lupa (lupa, tubig, hangin at apoy). At tanging ang pinakahuli sa limang umiiral na regular na polyhedra - ang dodecahedron, lahat ng labindalawa ay regular na mga pentagons, ay nagsasabing isang simbolikong imahe ng celestial na mundo.

ICOSAHEDRON AT DODECAHEDRON

Ang karangalan ng pagtuklas ng dodecahedron (o, gaya ng dapat, ang Uniberso mismo, ang quintessence na ito ng apat na elemento, na sinasagisag, ayon sa pagkakabanggit, ng tetrahedron, octahedron, icosahedron at cube) ay kabilang kay Hippasus, na kalaunan ay namatay sa pagkawasak ng barko. Ang figure na ito ay talagang kumukuha ng maraming mga relasyon ng ginintuang ratio, kaya ang huli ay itinalaga ang pangunahing tungkulin sa makalangit na daigdig, na pagkatapos ay iginiit ni Brother Minor Luca Pacioli.

Ang harapan ng sinaunang Greek na templo ng Parthenon ay nagtatampok ng mga gintong sukat. Sa mga paghuhukay nito, natuklasan ang mga compass na ginamit ng mga arkitekto at eskultor ng sinaunang mundo. Ang Pompeian compass (museum sa Naples) ay naglalaman din ng mga proporsyon ng gintong dibisyon.

Antique golden ratio compass

Sa sinaunang panitikan na dumating sa atin, ang gintong dibisyon ay unang nabanggit sa Euclid's Elements. Sa ika-2 aklat ng Mga Elemento, ibinigay ang isang geometriko na konstruksyon ng gintong dibisyon. Pagkatapos ng Euclid, ang pag-aaral ng golden division ay isinagawa ng Hypsicles (2nd century BC), Pappus (3rd century AD), at iba pa.Sa medieval Europe, nakilala nila ang golden division sa pamamagitan ng Arabic translations ng Euclid’s Elements. Ang tagapagsalin na si J. Campano mula sa Navarre (III siglo) ay nagbigay ng mga komento sa pagsasalin. Ang mga lihim ng ginintuang dibisyon ay naiinggit na binantayan at itinatago sa mahigpit na lihim. Sila ay kilala lamang sa mga nagsisimula.

Noong Middle Ages, ang pentagram ay na-demonyo (bilang, sa katunayan, marami na itinuturing na banal sa sinaunang paganismo) at nakahanap ng kanlungan sa mga okultong agham. Gayunpaman, muling binibigyang liwanag ng Renaissance ang parehong pentagram at ang gintong ratio. Kaya, sa panahong iyon ng pagkakatatag ng humanismo, isang diagram na naglalarawan sa istruktura ng katawan ng tao ay naging laganap.

Si Leonardo da Vinci ay paulit-ulit ding gumamit ng gayong larawan, na mahalagang nagpaparami ng isang pentagram. Ang kanyang interpretasyon: ang katawan ng tao ay may banal na pagiging perpekto, dahil ang mga proporsyon na likas dito ay kapareho ng sa pangunahing makalangit na pigura. Nakita ni Leonardo da Vinci, isang artista at siyentipiko, na ang mga artistang Italyano ay may maraming karanasan sa empirikal, ngunit kakaunti ang kaalaman. Naglihi siya at nagsimulang magsulat ng isang libro sa geometry, ngunit sa oras na iyon ay lumitaw ang isang libro ng monghe na si Luca Pacioli, at tinalikuran ni Leonardo ang kanyang ideya. Ayon sa mga kontemporaryo at istoryador ng agham, si Luca Pacioli ay isang tunay na luminary, ang pinakadakilang mathematician ng Italya sa panahon sa pagitan ng Fibonacci at Galileo. Si Luca Pacioli ay isang mag-aaral ng pintor na si Piero della Franceschi, na sumulat ng dalawang aklat, na ang isa ay tinawag na "On Perspective in Painting." Siya ay itinuturing na lumikha ng descriptive geometry.

Si Luca Pacioli ay lubos na naunawaan ang kahalagahan ng agham para sa sining.

Noong 1496, sa imbitasyon ni Duke Moreau, dumating siya sa Milan, kung saan nagbigay siya ng mga lektura sa matematika. Si Leonardo da Vinci ay nagtrabaho din sa Milan sa korte ng Moro noong panahong iyon. Noong 1509, ang aklat ni Luca Pacioli na "On the Divine Proportion" (De divina proportione, 1497, na inilathala sa Venice noong 1509) ay inilathala sa Venice na may napakatalino na mga guhit, kaya naman pinaniniwalaan na ang mga ito ay ginawa ni Leonardo da Vinci. Ang aklat ay isang masigasig na himno sa ginintuang ratio. Mayroon lamang isang tulad na proporsyon, at ang pagiging natatangi ay ang pinakamataas na pag-aari ng Diyos. Nilalaman nito ang banal na trinidad. Ang proporsyon na ito ay hindi maaaring ipahayag sa isang naa-access na numero, nananatiling nakatago at lihim at tinatawag na hindi makatwiran ng mga mathematician mismo (tulad ng Diyos ay hindi matukoy o maipaliwanag sa mga salita). Ang Diyos ay hindi kailanman nagbabago at kinakatawan ang lahat sa lahat ng bagay at lahat ng bagay sa bawat bahagi nito, kaya ang ginintuang ratio para sa anumang tuluy-tuloy at tiyak na dami (hindi alintana kung ito ay malaki o maliit) ay pareho, ay hindi mababago o mababago. dahilan. Tinawag ng Diyos ang pag-iral ng makalangit na birtud, kung hindi man ay tinatawag na ikalimang sangkap, sa tulong nito at apat na iba pang simpleng katawan (apat na elemento - lupa, tubig, hangin, apoy), at sa kanilang batayan ay tinawag ang bawat iba pang bagay sa kalikasan; kaya ang ating sagradong proporsyon, ayon kay Plato sa Timaeus, ay nagbibigay ng pormal na pag-iral sa langit mismo, dahil ito ay iniuugnay sa hitsura ng isang katawan na tinatawag na dodecahedron, na hindi maaaring itayo nang walang ginintuang ratio. Ito ang mga argumento ni Pacioli.

Si Leonardo da Vinci ay nagbigay din ng maraming pansin sa pag-aaral ng gintong dibisyon. Gumawa siya ng mga seksyon ng isang stereometric na katawan na nabuo ng mga regular na pentagon, at sa bawat oras na nakakuha siya ng mga parihaba na may mga aspect ratio sa golden division. Samakatuwid, binigyan niya ang dibisyong ito ng pangalang gintong ratio. Kaya nananatili pa rin itong pinakasikat.

Kasabay nito, sa hilaga ng Europa, sa Alemanya, si Albrecht Dürer ay nagtatrabaho sa parehong mga problema. Ini-sketches niya ang panimula sa unang bersyon ng treatise sa mga proporsyon. Sumulat si Dürer: “Kailangan na ang isang taong marunong gumawa ng isang bagay ay dapat magturo nito sa iba na nangangailangan nito. Ito ang itinakda kong gawin.”

Sa paghusga sa isa sa mga liham ni Dürer, nakilala niya si Luca Pacioli habang nasa Italya. Detalyadong binuo ni Albrecht Durer ang teorya ng mga proporsyon ng katawan ng tao. Nagtalaga si Dürer ng isang mahalagang lugar sa kanyang sistema ng mga relasyon sa gintong seksyon. Ang taas ng isang tao ay nahahati sa mga gintong proporsyon sa pamamagitan ng linya ng sinturon, pati na rin sa pamamagitan ng isang linya na iginuhit sa mga dulo ng gitnang daliri ng mga nakababang kamay, ang ibabang bahagi ng mukha sa pamamagitan ng bibig, atbp. Kilalang-kilala ang proportional compass ni Dürer.

Mahusay na astronomo noong ika-16 na siglo. Tinawag ni Johannes Kepler ang golden ratio na isa sa mga kayamanan ng geometry. Siya ang unang nagbigay pansin sa kahalagahan ng ginintuang proporsyon para sa botany (paglago ng halaman at ang kanilang istraktura).

Tinawag ni Kepler ang ginintuang proporsyon na self-continuing. "Ito ay nakabalangkas sa paraang," isinulat niya, "na ang dalawang pinakamababang termino ng walang katapusang proporsyon na ito ay nagdaragdag ng hanggang sa ikatlong termino, at anumang dalawang huling termino, kung pagsasamahin, ay magbibigay ng sa susunod na termino, at ang parehong proporsyon ay nananatili hanggang sa infinity."

Ang pagtatayo ng isang serye ng mga segment ng ginintuang proporsyon ay maaaring gawin pareho sa direksyon ng pagtaas (pagtaas ng serye) at sa direksyon ng pagbaba (pababang serye).

Kung nasa isang tuwid na linya ng di-makatwirang haba, itabi ang segment m , ilagay ang segment sa tabi nito M . Batay sa dalawang segment na ito, bumuo kami ng sukat ng mga segment ng ginintuang proporsyon ng pataas at pababang serye.

Konstruksyon ng isang sukat ng mga gintong bahagi ng proporsyon

Sa kasunod na mga siglo, ang panuntunan ng ginintuang proporsyon ay naging isang akademikong kanon, at nang, sa paglipas ng panahon, ang pakikibaka laban sa akademikong gawain ay nagsimula sa sining, sa init ng pakikibaka "itinapon nila ang sanggol na may tubig na paliguan." Ang gintong ratio ay "natuklasan" muli noong kalagitnaan ng ika-19 na siglo.

Noong 1855, inilathala ng German researcher ng golden ratio, Propesor Zeising, ang kanyang akdang "Aesthetic Studies". Ang nangyari kay Zeising ay kung ano mismo ang hindi maiiwasang mangyari sa isang mananaliksik na isinasaalang-alang ang isang kababalaghan bilang ganoon, nang walang koneksyon sa iba pang mga phenomena. Binubuo niya ang proporsyon ng gintong seksyon, na idineklara itong unibersal para sa lahat ng phenomena ng kalikasan at sining. Si Zeising ay may maraming tagasunod, ngunit mayroon ding mga kalaban na nagpahayag ng kanyang doktrina ng mga sukat bilang "matematika na aesthetics."

Napakalaking trabaho ang ginawa ni Zeising. Sinukat niya ang humigit-kumulang dalawang libong katawan ng tao at dumating sa konklusyon na ang ginintuang ratio ay nagpapahayag ng average na batas sa istatistika. Ang paghahati ng katawan sa pamamagitan ng pusod ay ang pinakamahalagang tagapagpahiwatig ng gintong ratio. Ang mga proporsyon ng katawan ng lalaki ay nagbabago sa loob ng average na ratio na 13:8 = 1.625 at medyo mas malapit sa gintong ratio kaysa sa mga proporsyon ng babaeng katawan, na may kaugnayan kung saan ang average na halaga ng proporsyon ay ipinahayag sa ratio na 8 :5 = 1.6. Sa isang bagong panganak, ang proporsyon ay 1:1; sa edad na 13 ito ay 1.6, at sa edad na 21 ito ay katumbas ng sa isang lalaki. Ang mga proporsyon ng gintong ratio ay lilitaw din na may kaugnayan sa iba pang mga bahagi ng katawan - ang haba ng balikat, bisig at kamay, kamay at mga daliri, atbp.

Sinubukan ni Zeising ang bisa ng kanyang teorya sa mga estatwa ng Greek. Binuo niya ang mga proporsyon ng Apollo Belvedere sa pinakadetalye. Ang mga plorera ng Griyego, mga istrukturang arkitektura ng iba't ibang panahon, mga halaman, mga hayop, mga itlog ng ibon, mga tono ng musika, at mga mala-tula na metro ay pinag-aralan. Nagbigay ng depinisyon si Zeising sa golden ratio at ipinakita kung paano ito ipinahayag sa mga segment ng tuwid na linya at sa mga numero. Nang makuha ang mga numerong nagpapahayag ng mga haba ng mga segment, nakita ni Zeising na bumubuo sila ng seryeng Fibonacci, na maaaring ipagpatuloy nang walang katapusan sa isang direksyon o sa iba pa. Ang kanyang susunod na libro ay pinamagatang "Ang Ginintuang Dibisyon bilang Batayang Batas ng Morpolohiya sa Kalikasan at Sining." Noong 1876, isang maliit na aklat, halos isang brochure, ang inilathala sa Russia na nagbabalangkas sa gawaing ito ni Zeising. Ang may-akda ay sumilong sa ilalim ng mga inisyal na Yu.F.V. Ang edisyong ito ay walang binanggit na isang gawa ng pagpipinta.

Sa pagtatapos ng ika-19 - simula ng ika-20 siglo. Maraming puro pormalistikong teorya ang lumitaw tungkol sa paggamit ng gintong ratio sa mga gawa ng sining at arkitektura. Sa pag-unlad ng disenyo at teknikal na aesthetics, ang batas ng gintong ratio ay pinalawak sa disenyo ng mga kotse, kasangkapan, atbp.

GOLDEN RATIO AT SYMMETRY

Ang gintong ratio ay hindi maaaring isaalang-alang sa sarili nitong, hiwalay, nang walang koneksyon sa mahusay na proporsyon. Ang mahusay na Russian crystallographer na si G.V. Itinuring ni Wolf (1863-1925) ang gintong ratio bilang isa sa mga pagpapakita ng simetrya.

Ang ginintuang dibisyon ay hindi isang pagpapakita ng kawalaan ng simetrya, isang bagay na kabaligtaran ng simetrya. Ayon sa mga modernong konsepto, ang ginintuang dibisyon ay isang asymmetrical symmetry. Kasama sa agham ng simetrya ang mga konsepto tulad ng static at dynamic na simetrya. Ang static symmetry ay nagpapakilala sa kapayapaan at balanse, habang ang dynamic na simetrya ay nagpapakilala sa paggalaw at paglaki. Kaya, sa kalikasan, ang static na simetrya ay kinakatawan ng istraktura ng mga kristal, at sa sining ay nailalarawan nito ang kapayapaan, balanse at kawalang-kilos. Ang dinamikong simetrya ay nagpapahayag ng aktibidad, nagpapakilala sa paggalaw, pag-unlad, ritmo, ito ay katibayan ng buhay. Ang static na simetrya ay nailalarawan sa pamamagitan ng pantay na mga segment at pantay na halaga. Ang dinamikong simetrya ay nailalarawan sa pamamagitan ng pagtaas ng mga segment o ang kanilang pagbaba, at ito ay ipinahayag sa mga halaga ng ginintuang seksyon ng isang pagtaas o pagbaba ng serye.

FIBONACCI SERIES

Ang pangalan ng Italian mathematician na monghe na si Leonardo ng Pisa, na mas kilala bilang Fibonacci, ay hindi direktang konektado sa kasaysayan ng golden ratio. Siya ay naglakbay nang malawakan sa Silangan, ipinakilala ang Europa sa Mga numerong Arabe. Noong 1202, ang kanyang gawaing matematika na "The Book of the Abacus" (counting board) ay nai-publish, na nakolekta ang lahat ng mga problema na kilala sa oras na iyon.

Isang serye ng mga numero 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, atbp. kilala bilang ang seryeng Fibonacci. Ang kakaiba ng pagkakasunud-sunod ng mga numero ay ang bawat isa sa mga miyembro nito, simula sa ikatlo, katumbas ng kabuuan dalawang nauna 2+3=5; 3+5=8; 5+8=13, 8+13=21; 13+21=34, atbp., at ang ratio ng mga katabing numero sa serye ay lumalapit sa ratio ng golden division. Kaya, 21:34 = 0.617, at 34:55 = 0.618. Ang ratio na ito ay tinutukoy ng simbolong F. Tanging ang ratio na ito - 0.618:0.382 - ang nagbibigay ng tuluy-tuloy na dibisyon ng isang tuwid na linya ng segment sa ginintuang proporsyon, na pinapataas o binabawasan ito hanggang sa infinity, kapag ang mas maliit na segment ay nauugnay sa mas malaki bilang ang mas malaki ay sa kabuuan.

Tulad ng ipinapakita sa ibabang figure, ang haba ng bawat joint ng daliri ay nauugnay sa haba ng susunod na joint sa pamamagitan ng proporsyon F. Ang parehong relasyon ay makikita sa lahat ng mga daliri at paa. Ang koneksyon na ito ay hindi karaniwan, dahil ang isang daliri ay mas mahaba kaysa sa isa nang walang anumang nakikitang pattern, ngunit ito ay hindi sinasadya, tulad ng lahat ng bagay sa katawan ng tao ay hindi sinasadya. Ang mga distansya sa mga daliri, na minarkahan mula A hanggang B hanggang C hanggang D hanggang E, ay nauugnay sa bawat isa sa proporsyon F, pati na rin ang mga phalanges ng mga daliri mula F hanggang G hanggang H.

Tingnan ang balangkas ng palaka na ito at tingnan kung paano umaangkop ang bawat buto sa pattern ng proporsyon ng F tulad ng sa katawan ng tao.

GENERALIZED GOLDEN RATIO

Patuloy na aktibong binuo ng mga siyentipiko ang teorya ng mga numero ng Fibonacci at ang gintong ratio. Nilulutas ni Yu. Matiyasevich ang ika-10 problema ni Hilbert gamit ang mga numerong Fibonacci. Lumilitaw ang mga pamamaraan para sa paglutas ng ilang cybernetic na problema (teorya ng paghahanap, laro, programming) gamit ang mga numerong Fibonacci at ang ginintuang ratio. Sa USA, kahit na ang Mathematical Fibonacci Association ay nilikha, na naglalathala ng isang espesyal na journal mula noong 1963.

Isa sa mga nagawa sa larangang ito ay ang pagtuklas ng mga pangkalahatang numero ng Fibonacci at mga pangkalahatang gintong ratio.

Ang serye ng Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8) at ang "binary" na serye ng mga timbang 1, 2, 4, 8, na natuklasan niya, ay ganap na naiiba sa unang tingin. Ngunit ang mga algorithm para sa kanilang pagtatayo ay halos magkapareho sa isa't isa: sa unang kaso, ang bawat numero ay ang kabuuan ng nakaraang numero na may sarili nitong 2=1+1; 4=2+2..., sa pangalawa - ito ang kabuuan ng dalawang naunang numero 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2... Posible bang mahanap ang kabuuan mathematical formula, mula saan parehong nakuha ang "binary" na serye at ang Fibonacci series? O baka ang formula na ito ay magbibigay sa amin ng mga bagong numerical set na may ilang bagong natatanging katangian?

Sa katunayan, tukuyin natin ang isang numerical parameter na S, na maaaring tumagal ng anumang mga halaga: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Isaalang-alang ang isang serye ng numero, S+1, ang mga unang termino kung saan ay isa, at bawat isa sa ang mga kasunod ay katumbas ng kabuuan ng dalawang termino ng nauna at pinaghihiwalay mula sa nauna ng S hakbang. Kung tukuyin natin ang nth term ng seryeng ito sa pamamagitan ng? S (n), pagkatapos ay makuha namin ang pangkalahatang formula? S(n)=? S(n-1)+? S(n-S-1).

Malinaw na sa S=0 mula sa formula na ito makakakuha tayo ng isang "binary" na serye, na may S=1 - ang Fibonacci series, na may S=2, 3, 4. bagong serye ng mga numero, na tinatawag na S-Fibonacci na mga numero .

Sa pangkalahatan, ang ginintuang S-proporsyon ay ang positibong ugat ng equation ng ginintuang S-section x S+1 -x S -1=0.

Madaling ipakita na kapag S = 0 ang segment ay nahahati sa kalahati, at kapag S = 1 ang pamilyar na classical golden ratio ay nakuha.

Ang mga ratio ng mga kalapit na Fibonacci S-number ay nag-tutugma sa ganap na katumpakan ng matematika sa limitasyon sa mga gintong S-proporsyon! Ang mga mathematician sa mga ganitong kaso ay nagsasabi na ang mga gintong S-ratios ay mga numerical invariant ng Fibonacci S-numbers.

Ang mga katotohanan na nagpapatunay sa pagkakaroon ng mga gintong S-section sa kalikasan ay ibinigay ng Belarusian scientist na si E.M. Soroko sa aklat na "Structural Harmony of Systems" (Minsk, "Science and Technology", 1984). Lumalabas, halimbawa, na ang mga binary alloy na pinag-aralan nang mabuti ay may mga espesyal, binibigkas na functional na mga katangian (thermal stable, hard, wear-resistant, lumalaban sa oksihenasyon, atbp.) Kung ang mga tiyak na gravity ng orihinal na mga bahagi ay nauugnay sa isa't isa ng isa mula sa gintong S-proporsyon. Pinahintulutan nito ang may-akda na isulong ang hypothesis na ang mga gintong S-section ay mga numerical invariant ng mga self-organizing system. Kapag nakumpirma nang eksperimento, ang hypothesis na ito ay maaaring may pangunahing kahalagahan para sa pagbuo ng synergetics - isang bagong larangan ng agham na nag-aaral ng mga proseso sa mga sistema ng pag-aayos ng sarili.

Gamit ang mga gintong S-proportion na code, maaari mong ipahayag ang anumang tunay na numero bilang isang kabuuan ng mga kapangyarihan ng ginintuang S-proporsyon na may mga coefficient ng integer.

Ang pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng pamamaraang ito ng pag-encode ng mga numero ay ang mga batayan ng mga bagong code, na kung saan ay ang ginintuang S-proporsyon, ay nagiging hindi makatwiran na mga numero kapag S>0. Kaya, ang mga bagong sistema ng numero na may hindi makatwirang mga batayan ay tila naglalagay ng makasaysayang itinatag na hierarchy ng mga ugnayan sa pagitan ng mga makatwiran at hindi makatwiran na mga numero "mula ulo hanggang paa." Ang katotohanan ay ang mga natural na numero ay unang "natuklasan"; pagkatapos ang kanilang mga ratio ay mga rational na numero. At nang maglaon, pagkatapos na matuklasan ng mga Pythagorean ang hindi katumbas na mga segment, ipinanganak ang mga hindi makatwiran na numero. Halimbawa, sa decimal, quinary, binary at iba pang classical positional na mga sistema ng numero, ang mga natural na numero ay pinili bilang isang uri ng pangunahing prinsipyo: 10, 5, 2, kung saan, ayon sa ilang mga patakaran, lahat ng iba pang natural na mga numero, pati na rin ang rational at hindi makatwiran na mga numero, ay itinayo.

Ang isang uri ng kahalili sa mga umiiral na pamamaraan ng notasyon ay isang bago, hindi makatwiran na sistema, kung saan ang isang hindi makatwiran na numero (na, naaalala, ay ang ugat ng golden ratio equation) ay pinili bilang pangunahing batayan ng simula ng notasyon; iba pang tunay na mga numero ay naipahayag na sa pamamagitan nito.

Sa ganoong sistema ng numero, anumang natural na numero ay maaaring palaging kinakatawan bilang may hangganan - at hindi walang hanggan, gaya ng naunang naisip! — ang kabuuan ng mga kapangyarihan ng alinman sa mga gintong S-proporsyon. Ito ay isa sa mga dahilan kung bakit ang "hindi makatwiran" na aritmetika, na may kamangha-manghang pagiging simple at kagandahan ng matematika, ay tila nakuha ang pinakamahusay na mga katangian ng klasikal na binary at "Fibonacci" na arithmetic.

MGA PRINSIPYO NG PAGBUO NG ANYO SA KALIKASAN

Lahat ng bagay na kinuha sa ilang anyo ay nabuo, lumago, hinahangad na kumuha ng lugar sa kalawakan at mapanatili ang sarili nito. Ang pagnanais na ito ay natanto pangunahin sa dalawang paraan: lumalaki paitaas o kumakalat sa ibabaw ng lupa at umiikot sa isang spiral.

Ang shell ay baluktot sa isang spiral. Kung buksan mo ito, makakakuha ka ng isang haba na bahagyang mas maikli kaysa sa haba ng ahas. Ang isang maliit na sampung sentimetro na shell ay may spiral na 35 cm ang haba. Ang mga spiral ay karaniwan sa kalikasan. Ang ideya ng golden ratio ay hindi kumpleto nang hindi pinag-uusapan ang spiral.

Ang hugis ng spirally curled shell ay nakakuha ng atensyon ni Archimedes. Pinag-aralan niya ito at nakuha ang equation ng spiral. Ang spiral na iginuhit ayon sa equation na ito ay tinatawag sa kanyang pangalan. Ang pagtaas ng kanyang hakbang ay palaging pare-pareho. Sa kasalukuyan, ang Archimedes spiral ay malawakang ginagamit sa teknolohiya.

Binigyang-diin din ni Goethe ang hilig ng kalikasan patungo sa spirality. Matagal nang napansin ang helical at spiral arrangement ng mga dahon sa mga sanga ng puno.

Ang spiral ay nakita sa pag-aayos ng mga buto ng sunflower, pine cones, pineapples, cacti, atbp. Ang magkasanib na gawain ng mga botanist at mathematician ay nagbigay liwanag sa mga kamangha-manghang natural na phenomena na ito. Ito ay lumabas na ang serye ng Fibonacci ay nagpapakita ng sarili sa pag-aayos ng mga dahon sa isang sangay (phylotaxis), mga buto ng mirasol, at mga pine cone, at samakatuwid, ang batas ng gintong ratio ay nagpapakita mismo. Hinahabi ng gagamba ang sapot nito sa hugis spiral. Ang isang bagyo ay umiikot na parang spiral. Ang isang takot na kawan ng mga reindeer ay nakakalat sa isang spiral. Ang molekula ng DNA ay pinaikot sa isang double helix. Tinawag ni Goethe ang spiral na "kurba ng buhay."

Mandelbrot series

Ang Golden Spiral ay malapit na nauugnay sa mga cycle. Pinag-aaralan ng modernong chaos science ang mga simpleng cyclic operation na may feedback at ang mga fractal na hugis na nabuo ng mga ito, na dati ay hindi kilala. Ipinapakita ng larawan ang sikat na serye ng Mandelbrot - isang pahina mula sa diksyunaryo h limbs ng mga indibidwal na pattern na tinatawag na Julian series. Iniuugnay ng ilang siyentipiko ang serye ng Mandelbrot sa genetic code cell nuclei. Ang isang pare-parehong pagtaas sa mga seksyon ay nagpapakita ng mga fractal na kamangha-mangha sa kanilang artistikong kumplikado. At dito rin, may mga logarithmic spiral! Ito ang lahat ng mas mahalaga dahil ang parehong Mandelbrot serye at ang Julian serye ay hindi isang imbensyon ng isip ng tao. Lumitaw sila mula sa lugar ng mga prototype ni Plato. Gaya ng sinabi ng doktor na si R. Penrose, “para silang Mount Everest.”

Kabilang sa mga damo sa gilid ng kalsada ay lumalaki ang isang hindi kapansin-pansin na halaman - chicory. Tingnan natin ito nang maigi. Ang isang shoot ay nabuo mula sa pangunahing tangkay. Ang unang dahon ay matatagpuan doon.

Ang shoot ay gumagawa ng isang malakas na pagbuga sa kalawakan, tumitigil, naglalabas ng isang dahon, ngunit ang oras na ito ay mas maikli kaysa sa una, muli ay gumagawa ng isang pagbuga sa kalawakan, ngunit sa mas kaunting puwersa, naglalabas ng isang dahon na mas maliit pa ang sukat at muling na-eject.

Kung ang unang paglabas ay kinuha na 100 mga yunit, kung gayon ang pangalawa ay katumbas ng 62 mga yunit, ang pangatlo ay 38, ang ikaapat ay 24, atbp. Ang haba ng mga petals ay napapailalim din sa ginintuang proporsyon. Sa paglaki at pananakop ng espasyo, pinanatili ng halaman ang ilang mga proporsyon. Ang mga impulses ng paglago nito ay unti-unting bumaba sa proporsyon sa gintong ratio.

Chicory

Sa maraming butterflies, ang ratio ng laki ng thoracic at tiyan na bahagi ng katawan ay tumutugma sa golden ratio. Sa pagtiklop ng mga pakpak nito, ang gamu-gamo ay bumubuo ng isang regular na equilateral triangle. Ngunit kung ikakalat mo ang iyong mga pakpak, makikita mo ang parehong prinsipyo ng paghahati ng katawan sa 2, 3, 5, 8. Ang tutubi ay nilikha din ayon sa mga batas ng ginintuang proporsyon: ang ratio ng haba ng buntot at katawan ay katumbas ng ratio ng kabuuang haba sa haba ng buntot.

Sa unang tingin, ang butiki ay may mga proporsyon na nakalulugod sa ating mga mata - ang haba ng buntot nito ay nauugnay sa haba ng natitirang bahagi ng katawan bilang 62 hanggang 38.

Masiglang butiki

Sa parehong mundo ng halaman at hayop, ang pagbuo ng tendensya ng kalikasan ay patuloy na bumabagsak - simetriya tungkol sa direksyon ng paglaki at paggalaw. Dito lumilitaw ang gintong ratio sa mga proporsyon ng mga bahagi na patayo sa direksyon ng paglago.

Ang kalikasan ay nagsagawa ng paghahati sa mga simetriko na bahagi at ginintuang sukat. Ang mga bahagi ay nagpapakita ng pag-uulit ng istraktura ng kabuuan.

Ang malaking interes ay ang pag-aaral ng mga hugis ng mga itlog ng ibon. Ang kanilang iba't ibang anyo ay nagbabago sa pagitan ng dalawang matinding uri: ang isa sa mga ito ay maaaring isulat sa isang rektanggulo ng gintong ratio, ang isa pa sa isang parihaba na may modulus na 1.272 (ang ugat ng gintong ratio)

Ang ganitong mga hugis ng mga itlog ng ibon ay hindi sinasadya, dahil naitatag na ngayon na ang hugis ng mga itlog na inilarawan ng ratio ng ginintuang ratio ay tumutugma sa mas mataas na mga katangian ng lakas ng shell ng itlog.

Ang mga tusks ng mga elepante at mga patay na mammoth, ang mga kuko ng mga leon, at ang mga tuka ng mga loro ay logarithmic sa hugis at kahawig ng hugis ng isang axis na may posibilidad na maging isang spiral.

Sa buhay na kalikasan, ang mga anyo batay sa "pentagonal" symmetry ( mga bituin sa dagat, mga sea urchin, mga bulaklak).

Ang ginintuang ratio ay naroroon sa istraktura ng lahat ng mga kristal, ngunit karamihan sa mga kristal ay microscopically maliit, kaya hindi namin makita ang mga ito sa mata. Gayunpaman, ang mga snowflake, na mga kristal din ng tubig, ay nakikita ng ating mga mata. Ang lahat ng napakagandang figure na bumubuo ng mga snowflake, lahat ng axes, bilog at geometric na figure sa mga snowflake ay palaging, nang walang pagbubukod, na binuo ayon sa perpektong malinaw na formula ng golden ratio.

Sa microcosm, ang mga three-dimensional na logarithmic form na binuo ayon sa mga gintong proporsyon ay nasa lahat ng dako. Halimbawa, maraming mga virus ang may three-dimensional na geometric na hugis ng isang icosahedron. Marahil ang pinakatanyag sa mga virus na ito ay ang Adeno virus. Ang protina na shell ng Adeno virus ay nabuo mula sa 252 na yunit ng mga selula ng protina na nakaayos sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod. Sa bawat sulok ng icosahedron mayroong 12 yunit ng mga selula ng protina sa hugis ng isang pentagonal prism, at ang mga istrukturang tulad ng gulugod ay umaabot mula sa mga sulok na ito.

Adeno virus

Ang ginintuang ratio sa istraktura ng mga virus ay unang natuklasan noong 1950s. mga siyentipiko mula sa Birkbeck College London A. Klug at D. Kaspar. Ang Polyo virus ang unang nagpakita ng logarithmic form. Ang anyo ng virus na ito ay natagpuang katulad ng sa Rhino virus.

Ang tanong ay lumitaw: paano ang mga virus ay bumubuo ng mga kumplikadong three-dimensional na mga anyo, ang istraktura na naglalaman ng ginintuang ratio, na medyo mahirap itayo kahit na sa ating isip ng tao? Ang nakatuklas ng mga anyo ng mga virus na ito, ang virologist na si A. Klug, ay nagbibigay ng sumusunod na komento: “Ipinakita namin ni Dr. Kaspar na para sa spherical shell ng virus, ang pinakamainam na hugis ay simetrya gaya ng icosahedron na hugis. Pinaliit ng order na ito ang bilang ng mga nagkokonektang elemento... Karamihan sa mga geodesic hemispherical cube ng Buckminster Fuller ay binuo sa isang katulad na geometric na prinsipyo. Ang pag-install ng gayong mga cube ay nangangailangan ng isang napaka-tumpak at detalyadong diagram ng pagpapaliwanag, habang ang mga virus na walang malay ay gumagawa mismo ng isang kumplikadong shell mula sa nababanat, nababaluktot na mga yunit ng selula ng protina."

Ang komento ni Klug ay muling nagpapaalala sa atin ng isang napakalinaw na katotohanan: sa istruktura ng kahit isang mikroskopiko na organismo na inuri ng mga siyentipiko bilang "pinaka primitive na anyo ng buhay," sa kasong ito ay isang virus, mayroong isang malinaw na plano at isang matalinong disenyo na ipinatupad. Ang proyektong ito ay hindi maihahambing sa pagiging perpekto at katumpakan ng pagpapatupad nito sa mga pinaka-advanced na proyekto sa arkitektura na nilikha ng mga tao. Halimbawa, ang mga proyektong nilikha ng napakatalino na arkitekto na si Buckminster Fuller.

Ang mga three-dimensional na modelo ng dodecahedron at icosahedron ay naroroon din sa istraktura ng mga skeleton ng single-celled marine microorganisms radiolarians (rayfish), ang balangkas kung saan ay gawa sa silica.

Binubuo ng mga radiolarians ang kanilang mga katawan ng napakaganda, hindi pangkaraniwang kagandahan. Ang kanilang hugis ay isang regular na dodecahedron, at mula sa bawat sulok nito ay umusbong ang isang pseudo-elongation-limb at iba pang hindi pangkaraniwang mga hugis-paglago.

Ang dakilang Goethe, isang makata, naturalista at artista (iginuhit niya at ipininta sa mga watercolor), pinangarap na lumikha ng isang pinag-isang doktrina ng anyo, pagbuo at pagbabago ng mga organikong katawan. Siya ang nagpasimula ng terminong morphology sa siyentipikong paggamit.

Si Pierre Curie sa simula ng siglong ito ay bumalangkas ng ilang malalim na ideya tungkol sa simetrya. Nagtalo siya na hindi maaaring isaalang-alang ng isa ang simetrya ng anumang katawan nang hindi isinasaalang-alang ang simetrya ng kapaligiran.

Ang mga batas ng "ginintuang" symmetry ay ipinahayag sa mga paglipat ng enerhiya ng mga elementarya na particle, sa istraktura ng ilang mga kemikal na compound, sa mga planetary at cosmic system, sa mga istruktura ng gene ng mga nabubuhay na organismo. Ang mga pattern na ito, tulad ng ipinahiwatig sa itaas, ay umiiral sa istraktura ng mga indibidwal na organo ng tao at ang katawan sa kabuuan, at nagpapakita rin ng kanilang mga sarili sa biorhythms at paggana ng utak at visual na pang-unawa.

ANG KATAWAN NG TAO AT ANG GINTONG RATIO

Ang lahat ng mga buto ng tao ay pinananatili sa proporsyon sa gintong ratio. Ang mga proporsyon ng iba't ibang bahagi ng ating katawan ay isang numero na napakalapit sa gintong ratio. Kung ang mga proporsyon na ito ay tumutugma sa formula ng ginintuang ratio, kung gayon ang hitsura o katawan ng tao ay itinuturing na perpektong proporsyon.

Mga gintong proporsyon sa mga bahagi ng katawan ng tao

Kung kukunin natin ang pusod bilang sentro ng katawan ng tao, at ang distansya sa pagitan ng paa ng isang tao at ng pusod bilang isang yunit ng pagsukat, kung gayon ang taas ng isang tao ay katumbas ng bilang na 1.618.

• ang distansya mula sa antas ng balikat hanggang sa korona ng ulo at ang laki ng ulo ay 1:1.618;
• ang distansya mula sa punto ng pusod hanggang sa korona ng ulo at mula sa antas ng balikat hanggang sa korona ng ulo ay 1:1.618;
• ang distansya ng punto ng pusod sa tuhod at mula sa tuhod hanggang sa paa ay 1:1.618;
• ang distansya mula sa dulo ng baba hanggang sa dulo ng itaas na labi at mula sa dulo ng itaas na labi hanggang sa mga butas ng ilong ay 1:1.618;
• ang aktwal na eksaktong presensya ng ginintuang proporsyon sa mukha ng isang tao ay ang ideal ng kagandahan para sa paningin ng tao;
• ang distansya mula sa dulo ng baba hanggang sa itaas na linya ng mga kilay at mula sa itaas na linya ng mga kilay hanggang sa korona ay 1:1.618;
• taas ng mukha/lapad ng mukha;
• ang gitnang punto ng koneksyon ng mga labi sa base ng ilong/haba ng ilong;
• taas ng mukha/distansya mula sa dulo ng baba hanggang sa gitnang punto kung saan nagtatagpo ang mga labi;
• lapad ng bibig/lapad ng ilong;
• lapad ng ilong/distansya sa pagitan ng mga butas ng ilong;
• distansya sa pagitan ng mga mag-aaral/distansya sa pagitan ng mga kilay.

Sapat na lamang na ilapit ang iyong palad sa iyo at tingnang mabuti hintuturo, at makikita mo kaagad ang formula ng golden ratio dito.

Ang bawat daliri ng ating kamay ay binubuo ng tatlong phalanges. Ang kabuuan ng mga haba ng unang dalawang phalanges ng daliri na may kaugnayan sa buong haba ng daliri ay nagbibigay ng bilang ng gintong ratio (maliban sa hinlalaki).

Bilang karagdagan, ang ratio sa pagitan ng gitnang daliri at maliit na daliri ay katumbas din ng gintong ratio.

Ang isang tao ay may 2 kamay, ang mga daliri sa bawat kamay ay binubuo ng 3 phalanges (maliban sa hinlalaki). Mayroong 5 daliri sa bawat kamay, iyon ay, 10 sa kabuuan, ngunit maliban sa dalawang dalawang-phalanx na hinlalaki, 8 daliri lamang ang nilikha ayon sa prinsipyo ng gintong ratio. Sapagkat ang lahat ng mga numerong ito 2, 3, 5 at 8 ay Fibonacci sequence number.

Kapansin-pansin din ang katotohanan na para sa karamihan ng mga tao, ang distansya sa pagitan ng mga dulo ng kanilang nakaunat na mga braso ay katumbas ng kanilang taas.

Ang mga katotohanan ng ginintuang ratio ay nasa loob natin at sa ating espasyo. Ang kakaibang uri ng bronchi na bumubuo sa mga baga ng tao ay nakasalalay sa kanilang kawalaan ng simetrya. Ang bronchi ay binubuo ng dalawang pangunahing daanan ng hangin, ang isa (sa kaliwa) ay mas mahaba at ang isa (ang kanan) ay mas maikli. Napag-alaman na ang kawalaan ng simetrya na ito ay nagpapatuloy sa mga sanga ng bronchi, sa lahat ng mas maliliit na respiratory tract. Bukod dito, ang ratio ng mga haba ng maikli at mahabang bronchi ay ang ginintuang ratio at katumbas ng 1:1.618.

Sa panloob na tainga ng tao ay mayroong isang organ na tinatawag na Cochlea ("Snail"), na gumaganap ng function ng pagpapadala ng sound vibration. Ang bony structure na ito ay puno ng likido at hugis din ng snail, na naglalaman ng isang matatag na logarithmic spiral shape =73 0 43".

Nagbabago ang presyon ng dugo habang gumagana ang puso. Naabot nito ang pinakamalaking halaga nito sa kaliwang ventricle ng puso sa sandali ng compression nito (systole). Sa mga arterya, sa panahon ng systole ng ventricles ng puso, ang presyon ng dugo ay umabot sa pinakamataas na halaga na katumbas ng 115-125 mmHg sa isang bata, malusog na tao. Sa sandali ng pagpapahinga ng kalamnan ng puso (diastole), ang presyon ay bumababa sa 70-80 mm Hg. Ang ratio ng maximum (systolic) hanggang minimum (diastolic) na presyon ay nasa average na 1.6, iyon ay, malapit sa gintong ratio.

Kung kukunin natin ang average na presyon ng dugo sa aorta bilang isang yunit, kung gayon ang systolic na presyon ng dugo sa aorta ay 0.382, at ang diastolic pressure ay 0.618, iyon ay, ang kanilang ratio ay tumutugma sa gintong proporsyon. Nangangahulugan ito na ang gawain ng puso na may kaugnayan sa mga siklo ng oras at mga pagbabago sa presyon ng dugo ay na-optimize ayon sa parehong prinsipyo, ang batas ng ginintuang proporsyon.

Ang molekula ng DNA ay binubuo ng dalawang vertically intertwined helices. Ang haba ng bawat isa sa mga spiral na ito ay 34 angstrom at ang lapad ay 21 angstrom. (Ang 1 angstrom ay isang daang milyon ng isang sentimetro).

Ang istraktura ng seksyon ng helix ng molekula ng DNA

Kaya, ang 21 at 34 ay mga numerong sumusunod sa isa't isa sa pagkakasunud-sunod ng mga numero ng Fibonacci, iyon ay, ang ratio ng haba at lapad ng logarithmic spiral ng DNA molecule ay nagdadala ng formula ng golden ratio 1:1.618.

GOLDEN RATIO SA SCULPTURE

Ang mga istruktura at monumento ng eskultura ay itinayo upang ipagpatuloy ang mga makabuluhang kaganapan, upang mapanatili sa alaala ng mga inapo ang mga pangalan ng mga sikat na tao, ang kanilang mga pagsasamantala at mga gawa. Ito ay kilala na kahit noong sinaunang panahon ang batayan ng iskultura ay ang teorya ng mga sukat. Ang mga ugnayan sa pagitan ng mga bahagi ng katawan ng tao ay nauugnay sa gintong ratio na formula. Ang mga proporsyon ng "gintong seksyon" ay lumilikha ng impresyon ng pagkakaisa at kagandahan, kaya't ginamit ito ng mga iskultor sa kanilang mga gawa. Sinasabi ng mga iskultor na ang baywang ay naghahati sa perpektong katawan ng tao na may kaugnayan sa "gintong ratio". Halimbawa, ang sikat na estatwa ni Apollo Belvedere ay binubuo ng mga bahagi na hinati ayon sa mga gintong ratios. Ang mahusay na sinaunang Greek sculptor na si Phidias ay madalas na gumamit ng "gintong ratio" sa kanyang mga gawa. Ang pinakatanyag sa kanila ay ang estatwa ni Olympian Zeus (na itinuturing na isa sa mga kababalaghan ng mundo) at ang Parthenon ng Athens.

Ang ginintuang proporsyon ng estatwa ni Apollo Belvedere ay kilala: ang taas ng itinatanghal na tao ay nahahati sa linya ng pusod sa gintong seksyon.

GOLDEN RATIO SA ARKITEKTURA

Sa mga libro tungkol sa "gintong ratio" mahahanap mo ang pangungusap na sa arkitektura, tulad ng sa pagpipinta, ang lahat ay nakasalalay sa posisyon ng tagamasid, at kung ang ilang mga proporsyon sa isang gusali mula sa isang panig ay tila bumubuo ng "gintong ratio", kung gayon mula sa iba pang mga punto ng view ay magiging iba ang hitsura nila. Ang "Golden Ratio" ay nagbibigay ng pinaka nakakarelaks na ratio ng mga sukat ng ilang partikular na haba.

Ang isa sa mga pinakamagandang gawa ng sinaunang arkitektura ng Greek ay ang Parthenon (ika-5 siglo BC).

Ang mga figure ay nagpapakita ng isang bilang ng mga pattern na nauugnay sa golden ratio. Ang mga proporsyon ng gusali ay maaaring ipahayag sa pamamagitan ng iba't ibang grado mga numero Ф=0.618...

Ang Parthenon ay may 8 column sa maikling gilid at 17 sa mahabang gilid. Ang mga projection ay ganap na gawa sa mga parisukat ng Pentilean marble. Ang maharlika ng materyal kung saan itinayo ang templo ay naging posible upang limitahan ang paggamit ng pangkulay, na karaniwan sa arkitektura ng Greek; binibigyang diin lamang nito ang mga detalye at bumubuo ng isang kulay na background (asul at pula) para sa iskultura. Ang ratio ng taas ng gusali sa haba nito ay 0.618. Kung hahatiin natin ang Parthenon ayon sa "gintong seksyon", makakakuha tayo ng ilang mga protrusions ng harapan.

Ang "mga gintong parihaba" ay makikita rin sa floor plan ng Parthenon.

Makikita natin ang golden ratio sa gusali ng Notre Dame Cathedral (Notre Dame de Paris) at sa Pyramid of Cheops.

Hindi lamang ang Egyptian pyramids ay itinayo alinsunod sa perpektong proporsyon ng golden ratio; ang parehong phenomenon ay natagpuan sa Mexican pyramids.

Sa loob ng mahabang panahon ay pinaniniwalaan na ang mga arkitekto ng Sinaunang Rus ay itinayo ang lahat "sa pamamagitan ng mata", nang walang mga espesyal na kalkulasyon sa matematika. Gayunpaman, ang pinakabagong pananaliksik ay nagpakita na ang mga arkitekto ng Russia ay lubos na nakakaalam ng mga proporsyon sa matematika, bilang ebidensya ng pagsusuri ng geometry ng mga sinaunang templo.

Ang sikat na arkitekto ng Russia na si M. Kazakov ay malawakang gumamit ng "gintong ratio" sa kanyang trabaho. Ang kanyang talento ay multifaceted, ngunit ito ay ipinahayag sa isang mas malawak na lawak sa maraming natapos na mga proyekto ng mga residential na gusali at estates. Halimbawa, ang "gintong ratio" ay matatagpuan sa arkitektura ng gusali ng Senado sa Kremlin. Ayon sa proyekto ng M. Kazakov, ang Golitsyn Hospital ay itinayo sa Moscow, na kasalukuyang tinatawag na First Clinical Hospital na pinangalanan sa N.I. Pirogov.

Petrovsky Palace sa Moscow. Itinayo ayon sa disenyo ng M.F. Kazakova

Ang isa pang obra maestra ng arkitektura ng Moscow - ang Pashkov House - ay isa sa mga pinaka perpektong gawa ng arkitektura ni V. Bazhenov.

Bahay ng Pashkov

Ang kahanga-hangang paglikha ng V. Bazhenov ay matatag na pumasok sa ensemble ng sentro ng modernong Moscow at pinayaman ito. Ang panlabas ng bahay ay nanatiling halos hindi nagbabago hanggang sa araw na ito, sa kabila ng katotohanan na ito ay nasunog nang husto noong 1812. Sa panahon ng pagpapanumbalik, ang gusali ay nakakuha ng mas malalaking hugis. Ang panloob na layout ng gusali ay hindi napanatili, na makikita lamang sa pagguhit ng ibabang palapag.

Marami sa mga pahayag ng arkitekto ang nararapat pansinin ngayon. Tungkol sa kanyang paboritong sining, sinabi ni V. Bazhenov: "Ang arkitektura ay may tatlong pangunahing bagay: kagandahan, katahimikan at lakas ng gusali... Upang makamit ito, ang kaalaman sa proporsyon, pananaw, mekanika o pisika sa pangkalahatan ay nagsisilbing gabay, at ang karaniwang pinuno sa kanilang lahat ay katwiran.”

GOLDEN RATIO SA MUSIKA

Ang anumang piraso ng musika ay may temporal na extension at nahahati sa ilang partikular na "aesthetic milestone" sa magkakahiwalay na bahagi na nakakaakit ng atensyon at nagpapadali sa perception sa kabuuan. Ang mga milestone na ito ay maaaring maging dynamic at intonation climax ng isang musical work. Ang mga hiwalay na agwat ng oras ng isang gawaing pangmusika, na konektado ng "kaganapang kasukdulan," bilang panuntunan, ay nasa Golden Ratio ratio.

Noong 1925, ang kritiko ng sining na si L.L. Sabaneev, na nasuri ang 1,770 musikal na mga gawa ng 42 mga may-akda, ay nagpakita na ang karamihan sa mga natitirang mga gawa ay madaling mahahati sa mga bahagi alinman sa pamamagitan ng tema, o sa pamamagitan ng istraktura ng intonasyon, o sa pamamagitan ng istruktura ng modal, na nauugnay sa bawat isa kaugnay ng ginintuang ratio. Bukod dito, mas talented ang kompositor, mas marami higit pa ang mga gintong ratio ay natagpuan sa kanyang mga gawa. Ayon kay Sabaneev, ang gintong ratio ay humahantong sa impresyon ng isang espesyal na pagkakaisa ng isang musikal na komposisyon. Sinuri ni Sabaneev ang resultang ito sa lahat ng 27 Chopin etudes. Natuklasan niya ang 178 golden ratios sa kanila. Ito ay lumabas na hindi lamang malalaking bahagi ng mga pag-aaral ang nahahati sa tagal na may kaugnayan sa gintong ratio, ngunit ang mga bahagi din ng mga pag-aaral sa loob ay madalas na nahahati sa parehong ratio.

Ang kompositor at siyentipiko na si M.A. Binilang ni Marutaev ang bilang ng mga bar sa sikat na sonata na "Appassionata" at natagpuan ang isang bilang ng mga kagiliw-giliw na numerical na relasyon. Sa partikular, sa pag-unlad - ang sentral na yunit ng istruktura ng sonata, kung saan ang mga tema ay masinsinang umuunlad at pinapalitan ng mga tono ang bawat isa - mayroong dalawang pangunahing seksyon. Sa una - 43.25 na mga panukala, sa pangalawa - 26.75. Ang ratio na 43.25:26.75=0.618:0.382=1.618 ay nagbibigay ng golden ratio.

Ang pinakamalaking bilang ng mga gawa kung saan naroroon ang Golden Ratio ay sina Arensky (95%), Beethoven (97%), Haydn (97%), Mozart (91%), Chopin (92%), Schubert (91%).

Kung ang musika ay ang maharmonya na pagkakasunud-sunod ng mga tunog, kung gayon ang tula ay ang maharmonya na pagkakasunud-sunod ng pananalita. Ang isang malinaw na ritmo, isang natural na paghahalili ng mga pantig na may diin at hindi naka-stress, isang nakaayos na metro ng mga tula, at ang kanilang emosyonal na kayamanan ay ginagawang kapatid ng mga gawang musikal ang tula. Ang ginintuang ratio sa tula una sa lahat ay nagpapakita ng sarili bilang ang pagkakaroon ng isang tiyak na sandali ng tula (kulminasyon, semantiko na punto ng pagliko, pangunahing ideya ng akda) sa isang linya na bumabagsak sa punto ng paghahati ng kabuuang bilang ng mga linya ng tula sa gintong sukat. Kaya, kung ang isang tula ay naglalaman ng 100 linya, kung gayon ang unang punto ng Golden Ratio ay nahuhulog sa ika-62 na linya (62%), ang pangalawa sa ika-38 (38%), atbp. Ang mga gawa ni Alexander Sergeevich Pushkin, kabilang ang "Eugene Onegin", ay ang pinakamagandang sulat sa ginintuang proporsyon! Mga gawa ni Shota Rustaveli at M.Yu. Ang Lermontov ay itinayo din ayon sa prinsipyo ng Golden Section.

Isinulat ni Stradivari na ginamit niya ang ginintuang ratio upang matukoy ang mga lokasyon para sa mga hugis-f na bingaw sa mga katawan ng kanyang sikat na biyolin.

GINTONG RATIO SA TULA

Ang pananaliksik sa mga akdang patula mula sa mga posisyong ito ay nagsisimula pa lamang. At kailangan mong magsimula sa tula ng A.S. Pushkin. Pagkatapos ng lahat, ang kanyang mga gawa ay isang halimbawa ng mga pinakatanyag na likha ng kulturang Ruso, isang halimbawa ng pinakamataas na antas ng pagkakaisa. Mula sa tula ni A.S. Pushkin, sisimulan natin ang paghahanap para sa ginintuang proporsyon - ang sukatan ng pagkakaisa at kagandahan.

Karamihan sa istruktura ng mga akdang patula ay gumagawa ng anyong sining na ito na katulad ng musika. Ang isang malinaw na ritmo, isang natural na paghahalili ng mga pantig na may diin at hindi naka-stress, isang nakaayos na metro ng mga tula, at ang kanilang emosyonal na kayamanan ay ginagawang kapatid ng mga gawang musikal ang tula. Ang bawat taludtod ay may sariling anyo ng musika, sariling ritmo at himig. Maaaring asahan na sa istruktura ng mga tula ang ilang mga tampok ng mga gawang musikal, mga pattern ng pagkakatugma ng musikal, at, dahil dito, lilitaw ang ginintuang proporsyon.

Magsimula tayo sa laki ng tula, iyon ay, ang bilang ng mga linya sa loob nito. Tila ang parameter na ito ng tula ay maaaring magbago nang arbitraryo. Gayunpaman, lumabas na hindi ito ang kaso. Halimbawa, ang pagsusuri ni N. Vasyutinsky sa mga tula ng A.S. Ipinakita ni Pushkina na ang mga sukat ng mga tula ay ibinahagi nang hindi pantay; ito ay naging malinaw na mas gusto ni Pushkin ang mga sukat ng 5, 8, 13, 21 at 34 na linya (mga numero ng Fibonacci).

Napansin ng maraming mananaliksik na magkatulad ang mga tula mga gawang musikal; mayroon din silang mga culminating point na naghahati sa tula ayon sa proporsyon ng gintong ratio. Isaalang-alang, halimbawa, ang tula ni A.S. "Tagagawa ng Sapatos" ni Pushkin:

Suriin natin ang talinghagang ito. Ang tula ay binubuo ng 13 linya. Ito ay may dalawang semantikong bahagi: ang una sa 8 linya at ang pangalawa (ang moral ng parabula) sa 5 linya (13, 8, 5 ay Fibonacci numero).

Ang isa sa mga huling tula ni Pushkin, "Hindi ko pinahahalagahan ang malakas na mga karapatan ..." ay binubuo ng 21 linya at mayroong dalawang semantikong bahagi dito: 13 at 8 linya:

Katangian na ang unang bahagi ng taludtod na ito (13 linya), ayon sa semantikong nilalaman nito, ay nahahati sa 8 at 5 linya, iyon ay, ang buong tula ay nakabalangkas ayon sa mga batas ng ginintuang sukat.

Ang pagsusuri ng nobelang "Eugene Onegin" na ginawa ni N. Vasyutinsky ay walang alinlangan na interes. Ang nobelang ito ay binubuo ng 8 kabanata, bawat isa ay may average na humigit-kumulang 50 taludtod. Ang ikawalong kabanata ay ang pinakaperpekto, pinakakinis at emosyonal na mayaman. Ito ay may 51 taludtod. Kasama ang sulat ni Eugene kay Tatiana (60 linya), eksaktong tumutugma ito sa Fibonacci number 55!

Sinabi ni N. Vasyutinsky: "Ang pagtatapos ng kabanata ay ang deklarasyon ng pag-ibig ni Evgeny para kay Tatyana - ang linyang "Upang mamutla at mawala... ito ay kaligayahan!" Hinahati ng linyang ito ang buong ikawalong kabanata sa dalawang bahagi: ang una ay may 477 na linya, at ang pangalawa ay may 295 na linya. Ang kanilang ratio ay 1.617! Ang pinakamagandang sulat sa halaga ng gintong proporsyon! Ito ay isang mahusay na himala ng pagkakaisa na nagawa ng henyo ng Pushkin!"

Sinuri ni E. Rosenov ang marami sa mga akdang patula ni M.Yu. Lermontov, Schiller, A.K. Tolstoy at natuklasan din ang "golden ratio" sa kanila.

Ang sikat na tula ni Lermontov na "Borodino" ay nahahati sa dalawang bahagi: isang pagpapakilala na tinutugunan sa tagapagsalaysay, na sumasakop lamang sa isang stanza ("Sabihin mo sa akin, tiyuhin, hindi ito walang dahilan ..."), at ang pangunahing bahagi, na kumakatawan sa isang independiyenteng kabuuan, na nahahati sa dalawang pantay na bahagi. Ang una sa kanila ay naglalarawan, na may pagtaas ng tensyon, ang pag-asa sa labanan, ang pangalawa ay naglalarawan sa labanan mismo, na may unti-unting pagbaba ng tensyon patungo sa pagtatapos ng tula. Ang hangganan sa pagitan ng mga bahaging ito ay ang culmination point ng trabaho at eksaktong bumabagsak sa punto ng paghahati ng gintong seksyon.

Ang pangunahing bahagi ng tula ay binubuo ng 13 pitong linyang linya, iyon ay, 91 na linya. Sa paghahati nito sa ginintuang ratio (91:1.618=56.238), kumbinsido tayo na ang punto ng paghahati ay nasa simula ng ika-57 na talata, kung saan mayroong isang maikling parirala: "Buweno, ito ay isang araw!" Ang pariralang ito ang kumakatawan sa "culmination point of excited anticipation", pagkumpleto sa unang bahagi ng tula (anticipation of the battle) at pagbubukas ng pangalawang bahagi nito (paglalarawan ng labanan).

Kaya, ang gintong ratio ay gumaganap ng isang makabuluhang papel sa tula, na nagbibigay-diin sa kasukdulan ng tula.

Maraming mananaliksik ng tula ni Shota Rustaveli na "The Knight in the Skin of a Tiger" ang nakapansin sa pambihirang pagkakatugma at himig ng kanyang taludtod. Ang mga katangiang ito ng tula ng Georgian scientist, academician G.V. Ang Tsereteli ay iniuugnay sa mulat na paggamit ng makata ng gintong ratio kapwa sa pagbuo ng anyo ng tula at sa pagbuo ng mga taludtod nito.

Ang tula ni Rustaveli ay binubuo ng 1587 saknong, bawat isa ay binubuo ng apat na linya. Ang bawat linya ay binubuo ng 16 na pantig at nahahati sa dalawang magkapantay na bahagi ng 8 pantig sa bawat hemistich. Ang lahat ng hemistich ay nahahati sa dalawang segment ng dalawang uri: A - hemistich na may pantay na mga segment at isang pantay na bilang ng mga pantig (4+4); Ang B ay isang hemistich na may asymmetrical na dibisyon sa dalawang hindi pantay na bahagi (5+3 o 3+5). Kaya, sa hemistich B ang ratio ay 3:5:8, na isang approximation sa gintong proporsyon.

Itinatag na sa tula ni Rustaveli, mula sa 1587 na mga saknong, higit sa kalahati (863) ang itinayo ayon sa prinsipyo ng gintong ratio.

Sa ating panahon, isang bagong anyo ng sining ang ipinanganak - ang sinehan, na sumisipsip sa drama ng aksyon, pagpipinta, at musika. Ito ay lehitimong maghanap ng mga pagpapakita ng gintong ratio sa mga natitirang gawa ng sinehan. Ang unang gumawa nito ay ang lumikha ng world cinema masterpiece na "Battleship Potemkin," direktor ng pelikula na si Sergei Eisenstein. Sa pagbuo ng larawang ito, nagawa niyang isama ang pangunahing prinsipyo ng pagkakaisa - ang ginintuang ratio. Tulad ng sinabi mismo ni Eisenstein, ang pulang bandila sa palo ng mapaghimagsik na barkong pandigma (ang rurok ng pelikula) ay lumilipad sa punto ng gintong ratio, na binibilang mula sa dulo ng pelikula.

GOLDEN RATIO SA FONT AT HOUSEHOLD ITEMS

Ang isang espesyal na uri ng pinong sining ng Sinaunang Greece ay dapat i-highlight sa paggawa at pagpipinta ng lahat ng uri ng mga sasakyang-dagat. Sa isang eleganteng anyo, ang mga proporsyon ng gintong ratio ay madaling mahulaan.

Sa pagpipinta at eskultura ng mga templo, at sa mga gamit sa bahay, ang mga sinaunang Egyptian ay madalas na naglalarawan ng mga diyos at pharaoh. Ang mga canon ng paglalarawan ng isang tao na nakatayo, naglalakad, nakaupo, atbp. Ang mga artista ay kinakailangang kabisaduhin ang mga indibidwal na anyo at mga pattern ng imahe gamit ang mga talahanayan at mga sample. Ang mga artista ng Sinaunang Greece ay gumawa ng mga espesyal na paglalakbay sa Egypt upang malaman kung paano gamitin ang canon.

OPTIMAL NA PISIKAL NA PARAMETER NG PANLABAS NA KAPALIGIRAN

Ito ay kilala na ang maximum Lakas ng tunog, na nagdudulot ng sakit, ay katumbas ng 130 decibels. Kung hahatiin natin ang agwat na ito sa ginintuang ratio na 1.618, makakakuha tayo ng 80 decibel, na karaniwan para sa dami ng sigaw ng tao. Kung hahatiin natin ngayon ang 80 decibel sa golden ratio, makakakuha tayo ng 50 decibels, na tumutugma sa dami ng pagsasalita ng tao. Sa wakas, kung hahatiin natin ang 50 decibel sa parisukat ng golden ratio na 2.618, makakakuha tayo ng 20 decibel, na tumutugma sa isang bulong ng tao. Kaya, ang lahat ng mga parameter ng katangian ng dami ng tunog ay magkakaugnay sa pamamagitan ng gintong proporsyon.

Sa temperatura na 18-20 0 C interval kahalumigmigan 40-60% ay itinuturing na pinakamainam. Ang mga hangganan ng pinakamainam na hanay ng halumigmig ay maaaring makuha kung ang ganap na halumigmig na 100% ay hinati nang dalawang beses sa ginintuang ratio: 100/2.618 = 38.2% (mas mababang limitasyon); 100/1.618=61.8% (itaas na limitasyon).

Sa presyon ng hangin 0.5 MPa, ang isang tao ay nakakaranas ng hindi kasiya-siyang sensasyon, lumalala ang kanyang pisikal at sikolohikal na aktibidad. Sa isang presyon ng 0.3-0.35 MPa, ang panandaliang trabaho lamang ang pinapayagan, at sa isang presyon ng 0.2 MPa, ang trabaho ay pinapayagan nang hindi hihigit sa 8 minuto. Ang lahat ng mga katangiang parameter na ito ay nauugnay sa bawat isa sa pamamagitan ng ginintuang proporsyon: 0.5/1.618 = 0.31 MPa; 0.5/2.618=0.19 MPa.

Mga parameter ng hangganan temperatura sa labas ng hangin, kung saan posible ang normal na pag-iral (at, higit sa lahat, naging posible ang pinagmulan) ng isang tao ay ang hanay ng temperatura mula 0 hanggang + (57-58) 0 C. Malinaw, hindi na kailangang magbigay ng mga paliwanag para sa unang limitasyon.

Hatiin natin ang ipinahiwatig na hanay ng mga positibong temperatura sa ginintuang seksyon. Sa kasong ito, nakakakuha tayo ng dalawang hangganan (ang parehong mga hangganan ay mga temperatura na katangian ng katawan ng tao): ang una ay tumutugma sa temperatura, ang pangalawang hangganan ay tumutugma sa pinakamataas na posibleng panlabas na temperatura ng hangin para sa katawan ng tao.

GOLDEN RATIO SA PAGPIPINTA

Bumalik sa Renaissance, natuklasan ng mga artista na ang anumang larawan ay may ilang mga punto na hindi sinasadyang nakakaakit ng ating pansin, ang tinatawag na mga visual center. Sa kasong ito, hindi mahalaga kung anong format ang mayroon ang larawan - pahalang o patayo. Mayroon lamang apat na ganoong mga punto, at matatagpuan ang mga ito sa layo na 3/8 at 5/8 mula sa kaukulang mga gilid ng eroplano.

Ang pagtuklas na ito ay tinawag na "golden ratio" ng pagpipinta ng mga artista noong panahong iyon.

Ang paglipat sa mga halimbawa ng "gintong ratio" sa pagpipinta, hindi maaaring hindi tumutok ang isang tao sa gawain ni Leonardo da Vinci. Ang kanyang pagkatao ay isa sa mga misteryo ng kasaysayan. Si Leonardo da Vinci mismo ang nagsabi: "Huwag hayaan ang sinuman na hindi isang matematiko na mangahas na basahin ang aking mga gawa."

Nakamit niya ang katanyagan bilang isang hindi maunahang artista, isang mahusay na siyentipiko, isang henyo na inaasahan ang maraming mga imbensyon na hindi natanto hanggang sa ika-20 siglo.

Walang alinlangan na si Leonardo da Vinci ay isang mahusay na artista, nakilala na ito ng kanyang mga kontemporaryo, ngunit ang kanyang personalidad at aktibidad ay mananatiling nababalot ng misteryo, dahil iniwan niya sa kanyang mga inapo ang hindi isang magkakaugnay na pagtatanghal ng kanyang mga ideya, ngunit maraming sulat-kamay lamang. sketches, mga tala na nagsasabing "tungkol sa lahat ng bagay sa mundo."

Sumulat siya mula kanan pakaliwa sa hindi mabasang sulat-kamay at gamit ang kanyang kaliwang kamay. Ito ang pinakatanyag na umiiral na halimbawa ng pagsulat ng salamin.

Ang larawan ni Monna Lisa (La Gioconda) ay nakakuha ng atensyon ng mga mananaliksik sa loob ng maraming taon, na natuklasan na ang komposisyon ng larawan ay batay sa mga gintong tatsulok, na mga bahagi ng isang regular na hugis-bituin na pentagon. Mayroong maraming mga bersyon tungkol sa kasaysayan ng larawang ito. Narito ang isa sa kanila.

Isang araw, nakatanggap si Leonardo da Vinci ng utos mula sa bangkero na si Francesco dele Giocondo na magpinta ng larawan ng isang dalaga, ang asawa ng bangkero, si Monna Lisa. Hindi maganda ang babae, ngunit naaakit siya sa pagiging simple at natural ng kanyang hitsura. Pumayag si Leonardo na ipinta ang larawan. Ang kanyang modelo ay malungkot at malungkot, ngunit sinabi sa kanya ni Leonardo ang isang fairy tale, pagkatapos marinig kung saan siya ay naging masigla at kawili-wili.

FAIRY TALE. Noong unang panahon, may isang mahirap na lalaki, mayroon siyang apat na anak na lalaki: tatlo ay matalino, at isa sa kanila ay ito at iyon. At pagkatapos ay dumating ang kamatayan para sa ama. Bago binawian ng buhay, tinawag niya ang kaniyang mga anak at sinabi: “Mga anak ko, malapit na akong mamatay. Sa sandaling ilibing mo ako, ikulong ang kubo at pumunta sa mga dulo ng mundo upang mahanap ang kaligayahan para sa iyong sarili. Hayaang matuto ang bawat isa sa inyo para mapakain ninyo ang inyong sarili." Namatay ang ama, at nagkalat ang mga anak sa buong mundo, na pumayag na bumalik sa paglilinis ng kanilang katutubong kakahuyan pagkalipas ng tatlong taon. Dumating ang unang kapatid na lalaki, na natutong magkarpintero, pumutol ng puno at pinutol ito, ginawang babae ito, lumayo ng kaunti at naghintay. Ang pangalawang kapatid ay bumalik, nakita ang kahoy na babae at, dahil siya ay isang sastre, binihisan siya sa isang minuto: tulad ng isang bihasang manggagawa, siya ay natahi ng magagandang damit na seda para sa kanya. Pinalamutian ng ikatlong anak na lalaki ang babae ng ginto at mamahaling bato - kung tutuusin, siya ay isang mag-aalahas. Sa wakas, dumating ang pang-apat na kapatid. Hindi siya marunong magkarpintero o manahi, ang alam lang niya ay makinig sa sinasabi ng lupa, puno, damo, hayop at ibon, alam niya ang galaw ng mga katawang langit at marunong ding umawit ng mga magagandang awit. Kinanta niya ang isang kanta na nagpaiyak sa magkapatid na nagtatago sa likod ng mga palumpong. Sa kantang ito ay binuhay niya ang babae, napangiti ito at napabuntong-hininga. Ang mga kapatid na lalaki ay sumugod sa kanya at bawat isa ay sumigaw ng parehong bagay: "Ikaw ay dapat na asawa ko." Ngunit sumagot ang babae: "Nilikha mo ako - maging aking ama. Binihisan mo ako, at pinalamutian mo ako - maging aking mga kapatid. At ikaw, na nagbigay sa akin ng aking kaluluwa at nagturo sa akin na magsaya sa buhay, ikaw lamang ang kailangan ko sa natitirang bahagi ng aking buhay."

Nang matapos ang kuwento, tumingin si Leonardo kay Monna Lisa, lumiwanag ang kanyang mukha sa liwanag, kumikinang ang kanyang mga mata. Pagkatapos, na parang nagising mula sa isang panaginip, siya ay bumuntong-hininga, tinakpan ang kanyang kamay sa kanyang mukha at walang sabi-sabing pumunta sa kanyang lugar, hinalukip ang kanyang mga kamay at ipinalagay ang kanyang karaniwang pose. Ngunit ang trabaho ay tapos na - ginising ng artista ang walang malasakit na estatwa; isang ngiti ng kaligayahan, dahan-dahang nawawala sa kanyang mukha, nanatili sa mga sulok ng kanyang bibig at nanginginig, na nagbibigay sa kanyang mukha ng isang kamangha-manghang, misteryoso at bahagyang palihim na ekspresyon, tulad ng sa isang taong natuto ng isang lihim at, maingat na itinatago ito, hindi maaaring naglalaman ng kanyang tagumpay. Tahimik na nagtrabaho si Leonardo, natatakot na makaligtaan ang sandaling ito, itong sinag ng araw na nagpapaliwanag sa kanyang boring na modelo...

Mahirap sabihin kung ano ang napansin sa obra maestra ng sining na ito, ngunit pinag-usapan ng lahat ang malalim na kaalaman ni Leonardo sa istraktura ng katawan ng tao, salamat sa kung saan nakuha niya ang tila misteryosong ngiti na ito. Pinag-usapan nila ang pagpapahayag ng mga indibidwal na bahagi ng larawan at tungkol sa tanawin, isang hindi pa nagagawang kasama sa larawan. Pinag-usapan nila ang pagiging natural ng pagpapahayag, ang pagiging simple ng pose, ang kagandahan ng mga kamay. Ang artista ay gumawa ng isang bagay na hindi pa nagagawa: ang larawan ay naglalarawan ng hangin, binalot nito ang pigura sa isang transparent na manipis na ulap. Sa kabila ng tagumpay, malungkot si Leonardo; ang sitwasyon sa Florence ay tila masakit sa artista; naghanda siyang pumunta sa kalsada. Ang mga paalala tungkol sa pagdagsa ng mga order ay hindi nakatulong sa kanya.

Ang gintong ratio sa pagpipinta ni I.I. Shishkin "Pine Grove". Dito sa sikat na pagpipinta I.I. Malinaw na ipinapakita ni Shishkin ang mga motibo ng gintong ratio. Hinahati ng maliwanag na sikat ng araw na pine tree (nakatayo sa harapan) ang haba ng larawan ayon sa golden ratio. Sa kanan ng pine tree ay isang burol na naliliwanagan ng araw. Hinahati nito ang kanang bahagi ng larawan nang pahalang ayon sa gintong ratio. Sa kaliwa ng pangunahing pine mayroong maraming mga pine - kung nais mo, maaari mong matagumpay na ipagpatuloy ang paghahati ng larawan ayon sa ginintuang ratio pa.

Pine Grove

Ang presensya sa larawan ng maliwanag na mga patayo at pahalang, na hinahati ito kaugnay ng gintong ratio, ay nagbibigay ito ng isang katangian ng balanse at kalmado alinsunod sa intensyon ng artist. Kapag iba ang intensyon ng artist, kung, sabihin nating, lumikha siya ng isang larawan na may mabilis na pagbuo ng aksyon, ang gayong geometric na scheme ng komposisyon (na may pamamayani ng mga vertical at horizontal) ay nagiging hindi katanggap-tanggap.

SA AT. Surikov. "Boyaryna Morozova"

Ang kanyang tungkulin ay itinalaga gitnang bahagi mga kuwadro na gawa. Siya ay nakatali sa punto ng pinakamataas na pagtaas at ang punto ng pinakamababang pagbaba ng balangkas ng larawan: ang pagtaas ng kamay ni Morozova gamit ang dalawang daliri. ang tanda ng krus, bilang pinakamataas na punto; isang kamay na walang magawa sa parehong marangal na babae, ngunit sa pagkakataong ito ang kamay ng isang matandang babae - isang pulubi na gumagala, isang kamay mula sa ilalim kung saan, kasama ang huling pag-asa ng kaligtasan, ang dulo ng paragos ay dumulas.

Paano naman ang "pinakamataas na punto"? Sa unang sulyap, mayroon tayong maliwanag na pagkakasalungatan: pagkatapos ng lahat, ang seksyon A 1 B 1, na may pagitan na 0.618... mula sa kanang gilid ng larawan, ay hindi dumadaan sa kamay, kahit sa ulo o mata ng maharlikang babae, ngunit nagtatapos sa isang lugar sa harap ng bibig ng maharlika.

Ang ginintuang ratio ay talagang pinuputol sa pinakamahalagang bagay dito. Sa kanya, at tiyak sa kanya, ang pinakadakilang lakas ni Morozova.

Walang pagpipinta na mas patula kaysa sa Botticelli Sandro, at ang dakilang Sandro ay walang pagpipinta na mas sikat kaysa sa kanyang "Venus". Para kay Botticelli, ang kanyang Venus ay ang sagisag ng ideya ng unibersal na pagkakaisa ng "gintong seksyon" na nangingibabaw sa kalikasan. Ang proporsyonal na pagsusuri ng Venus ay nakakumbinsi sa atin tungkol dito.

Venus

Raphael "Ang Paaralan ng Athens". Si Raphael ay hindi isang matematiko, ngunit, tulad ng maraming mga artista sa panahong iyon, mayroon siyang malaking kaalaman sa geometry. Sa sikat na fresco na "The School of Athens", kung saan sa templo ng agham mayroong isang lipunan ng mga dakilang pilosopo ng sinaunang panahon, ang aming pansin ay iginuhit sa pangkat ni Euclid, ang pinakadakilang sinaunang Griyego na matematiko, na sinusuri ang isang kumplikadong pagguhit.

Ang mapanlikha na kumbinasyon ng dalawang tatsulok ay itinayo din alinsunod sa proporsyon ng gintong ratio: maaari itong isulat sa isang rektanggulo na may aspect ratio na 5/8. Ang pagguhit na ito ay nakakagulat na madaling ipasok sa tuktok na seksyon ng arkitektura. Ang itaas na sulok ng tatsulok ay nakasalalay sa saligang bato ng arko sa lugar na pinakamalapit sa tumitingin, ang ibabang bahagi sa nawawalang punto ng mga pananaw, at ang bahaging bahagi ay nagpapahiwatig ng mga proporsyon ng spatial na agwat sa pagitan ng dalawang bahagi ng mga arko .

Golden spiral sa pagpipinta ni Raphael na "Massacre of the Innocents". Hindi tulad ng ginintuang ratio, ang pakiramdam ng dynamics at kaguluhan ay ipinahayag, marahil, pinaka-malakas sa isa pang simpleng geometric figure - isang spiral. Ang multi-figure na komposisyon, na isinagawa noong 1509 - 1510 ni Raphael, nang nilikha ng sikat na pintor ang kanyang mga fresco sa Vatican, ay tiyak na nakikilala sa pamamagitan ng dinamismo at drama ng balangkas. Hindi kailanman dinala ni Raphael ang kanyang plano upang makumpleto, ngunit ang kanyang sketch ay inukit ng hindi kilalang Italyano na graphic artist na si Marcantinio Raimondi, na, batay sa sketch na ito, ay lumikha ng ukit na "Massacre of the Innocents".

Massacre ng mga inosente

Kung, sa paghahanda ng sketch ni Raphael, gumuhit tayo ng mga linya sa pag-iisip na tumatakbo mula sa semantic center ng komposisyon - ang punto kung saan ang mga daliri ng mandirigma ay nakasara sa bukung-bukong ng bata, kasama ang mga figure ng bata, ang babaeng nakahawak sa kanya nang malapit, ang mandirigma na nakataas. tabak, at pagkatapos ay kasama ang mga figure ng parehong grupo sa kanang bahagi ng sketch (sa figure ang mga linyang ito ay iginuhit sa pula), at pagkatapos ay ikonekta ang mga piraso na may isang hubog na tuldok na linya, pagkatapos ay may napakahusay na katumpakan ang isang gintong spiral ay nakuha. Maaari itong suriin sa pamamagitan ng pagsukat ng ratio ng mga haba ng mga segment na pinutol ng isang spiral sa mga tuwid na linya na dumadaan sa simula ng curve.

GOLDEN RATIO AT IMAGE PERCEPTION

Ang kakayahan ng visual analyzer ng tao na kilalanin ang mga bagay na binuo gamit ang golden ratio algorithm bilang maganda, kaakit-akit at magkatugma ay kilala sa mahabang panahon. Ang ginintuang ratio ay nagbibigay ng pakiramdam ng pinakaperpektong kabuuan. Ang format ng maraming aklat ay sumusunod sa gintong ratio. Ito ay pinili para sa mga bintana, mga kuwadro na gawa at mga sobre, mga selyo, mga business card. Maaaring walang alam ang isang tao tungkol sa bilang na F, ngunit sa istraktura ng mga bagay, pati na rin sa pagkakasunud-sunod ng mga kaganapan, hindi niya sinasadya na nahahanap ang mga elemento ng gintong proporsyon.

Ang mga pag-aaral ay isinagawa kung saan ang mga paksa ay hiniling na pumili at kopyahin ang mga parihaba ng iba't ibang sukat. May tatlong parihaba na mapagpipilian: isang parisukat (40:40 mm), isang “golden ratio” na parihaba na may aspect ratio na 1:1.62 (31:50 mm) at isang parihaba na may pinahabang proporsyon na 1:2.31 (26:60). mm).

Kapag pumipili ng mga parihaba sa normal na estado, sa 1/2 ng mga kaso ang kagustuhan ay ibinibigay sa parisukat. Mas pinipili ng kanang hemisphere ang ginintuang ratio at tinatanggihan ang pinahabang parihaba. Sa kabaligtaran, ang kaliwang hemisphere ay kumikislap patungo sa mga pinahabang proporsyon at tinatanggihan ang gintong ratio.

Kapag kinokopya ang mga parihaba na ito, ang mga sumusunod ay naobserbahan: kapag ang kanang hemisphere ay aktibo, ang mga proporsyon sa mga kopya ay pinananatili nang tumpak; kapag ang kaliwang hemisphere ay aktibo, ang mga proporsyon ng lahat ng mga parihaba ay nasira, ang mga parihaba ay pinahaba (ang parisukat ay iginuhit bilang isang rektanggulo na may aspect ratio na 1:1.2; ang mga proporsyon ng pinahabang parihaba ay tumaas nang husto at umabot sa 1:2.8) . Ang mga proporsyon ng "ginintuang" parihaba ay pinaka-pangit; ang mga proporsyon nito sa mga kopya ay naging mga proporsyon ng isang parihaba 1:2.08.

Kapag gumuhit ng iyong sariling mga larawan, ang mga proporsyon na malapit sa ginintuang ratio at mga pinahabang ay nananaig. Sa karaniwan, ang mga proporsyon ay 1:2, na ang kanang hemisphere ay nagbibigay ng kagustuhan sa mga proporsyon ng gintong seksyon, ang kaliwang hemisphere ay lumalayo sa mga proporsyon ng ginintuang seksyon at iginuhit ang pattern.

Ngayon gumuhit ng ilang mga parihaba, sukatin ang kanilang mga gilid at hanapin ang aspect ratio. Aling hemisphere ang nangingibabaw para sa iyo?

GOLDEN RATIO SA PHOTOGRAPHY

Ang isang halimbawa ng paggamit ng golden ratio sa photography ay ang paglalagay ng mga pangunahing bahagi ng frame sa mga punto na matatagpuan 3/8 at 5/8 mula sa mga gilid ng frame. Ito ay maaaring ilarawan sa sumusunod na halimbawa: isang larawan ng isang pusa, na matatagpuan sa isang arbitrary na lugar sa frame.

Ngayon ay kondisyon na hatiin natin ang frame sa mga segment, sa proporsyon sa 1.62 kabuuang haba mula sa bawat gilid ng frame. Sa intersection ng mga segment magkakaroon ng pangunahing "visual centers" kung saan ito ay nagkakahalaga ng paglalagay ng mga kinakailangang pangunahing elemento ng imahe. Ilipat natin ang ating pusa sa mga punto ng “visual centers”.

GOLDEN RATIO AT LUWAS

Mula sa kasaysayan ng astronomiya ay kilala na si I. Titius, isang Aleman na astronomo noong ika-18 siglo, sa tulong ng seryeng ito, ay nakahanap ng pattern at kaayusan sa mga distansya sa pagitan ng mga planeta ng solar system.

Gayunpaman, isang kaso na tila sumasalungat sa batas: walang planeta sa pagitan ng Mars at Jupiter. Ang nakatutok na pagmamasid sa bahaging ito ng kalangitan ay humantong sa pagkatuklas ng asteroid belt. Nangyari ito pagkatapos ng pagkamatay ni Titius noong maagang XIX V. Ang seryeng Fibonacci ay malawakang ginagamit: ginagamit ito upang kumatawan sa arkitekto ng mga buhay na nilalang, mga istrukturang gawa ng tao, at ang istraktura ng mga Galaxies. Ang mga katotohanang ito ay katibayan ng kalayaan ng serye ng numero mula sa mga kondisyon ng pagpapakita nito, na isa sa mga palatandaan ng pagiging pandaigdigan nito.

Ang dalawang Golden Spirals ng kalawakan ay magkatugma sa Star of David.

Pansinin ang mga bituin na umuusbong mula sa kalawakan sa isang puting spiral. Eksaktong 180 0 mula sa isa sa mga spiral ang isa pang lumalabas na spiral ay lumabas... Sa mahabang panahon, ang mga astronomo ay naniniwala lamang na lahat ng bagay na naroroon ay kung ano ang nakikita natin; kung ang isang bagay ay nakikita, kung gayon ito ay umiiral. Hindi nila lubos na nalalaman ang hindi nakikitang bahagi ng Reality, o hindi nila ito itinuturing na mahalaga. Ngunit ang hindi nakikitang bahagi ng ating Reality ay talagang mas malaki nakikitang bahagi at malamang na mas mahalaga... Sa madaling salita, ang nakikitang bahagi ng Reality ay makabuluhang mas mababa sa isang porsyento ng kabuuan - halos wala. Sa katunayan, ang ating tunay na tahanan ay ang invisible universe...

Sa Uniberso, ang lahat ng mga kalawakan na kilala ng sangkatauhan at lahat ng mga katawan sa mga ito ay umiiral sa anyo ng isang spiral, na naaayon sa formula ng golden ratio. Ang golden ratio ay nasa spiral ng ating kalawakan

KONGKLUSYON

Ang kalikasan, na nauunawaan bilang ang buong mundo sa pagkakaiba-iba ng mga anyo nito, ay binubuo, kumbaga, ng dalawang bahagi: buhay at walang buhay na kalikasan. Ang mga nilikha ng walang buhay na kalikasan ay nailalarawan sa pamamagitan ng mataas na katatagan at mababang pagkakaiba-iba, na hinuhusgahan sa sukat ng buhay ng tao. Ang isang tao ay ipinanganak, nabubuhay, tumatanda, namamatay, ngunit ang mga granite na bundok ay nananatiling pareho at ang mga planeta ay umiikot sa Araw sa parehong paraan tulad ng sa panahon ng Pythagoras.

Ang mundo ng buhay na kalikasan ay lumilitaw sa amin na ganap na naiiba - mobile, nababago at nakakagulat na magkakaibang. Ang buhay ay nagpapakita sa amin ng isang kamangha-manghang karnabal ng pagkakaiba-iba at pagiging natatangi ng mga malikhaing kumbinasyon! Ang mundo ng walang buhay na kalikasan ay, una sa lahat, isang mundo ng simetrya, na nagbibigay sa kanyang mga nilikha ng katatagan at kagandahan. Ang natural na mundo ay, una sa lahat, isang mundo ng pagkakaisa, kung saan gumagana ang "batas ng ginintuang ratio".

Sa modernong mundo, ang agham ay partikular na kahalagahan dahil sa pagtaas ng epekto ng mga tao sa kalikasan. Ang mga mahahalagang gawain sa kasalukuyang yugto ay ang paghahanap ng mga bagong paraan ng pagkakaisa sa pagitan ng tao at kalikasan, ang pag-aaral ng mga problemang pilosopikal, panlipunan, pang-ekonomiya, pang-edukasyon at iba pang kinakaharap ng lipunan.

Sa gawaing ito, sinuri namin ang impluwensya ng mga katangian ng "gintong seksyon" sa buhay at walang buhay na kalikasan, sa makasaysayang hakbang pag-unlad ng kasaysayan ng sangkatauhan at ng planeta sa kabuuan. Sa pagsusuri sa lahat ng nasa itaas, maaari kang muling mamangha sa kalubhaan ng proseso ng pag-unawa sa mundo, ang pagtuklas ng mga bago nitong pattern at magtapos: ang prinsipyo ng ginintuang seksyon ay ang pinakamataas na pagpapakita ng istruktura at functional na pagiging perpekto ng kabuuan at mga bahagi nito sa sining, agham, teknolohiya at kalikasan. Maaaring asahan na ang mga batas ng pag-unlad ng iba't ibang mga natural na sistema, ang mga batas ng paglago, ay hindi masyadong magkakaibang at maaaring masubaybayan sa iba't ibang uri ng mga pormasyon. Dito naipakikita ang pagkakaisa ng kalikasan. Ang ideya ng gayong pagkakaisa, batay sa pagpapakita ng parehong mga pattern sa heterogenous natural phenomena, ay napanatili ang kaugnayan nito mula sa Pythagoras hanggang sa kasalukuyan.