Разделы сайта
Выбор редакции:
- Василий Андреевич Жуковский: биография
- Русские мужские имена, начинающиеся на буквы м, н Православные имена на букву м
- История мощей святителя николая мирликийского
- Храм апостолов петра и павла на новой басманной
- Приметы и обряды на пасху должен знать каждый Примета почему не поднялся кулич
- Выпекаем коржи для торта Как сделать обычный корж торта
- Прошу рецепт соте из кабачков на зиму
- Вишня в желе — простой и вкусный рецепт на зиму Как приготовить желе из войлочной вишни
- Рождественский пудинг от мамы джейми оливера Кулинарный поединок с джейми оливером йоркширский пудинг
- Котлеты из курицы с грибами Аппетитные куриные котлеты с грибами
Реклама
Проект метод координат в математике и географии. Методические рекомендации на тему "метод координат" Методические основы обучения координатному методу |
Для того, чтобы использовать метод координат, надо хорошо знать формулы. Их три: На первый взгляд, выглядит угрожающе, но достаточно немного практики - и все будет работать великолепно.
Решение. Поскольку координаты векторов нам даны, подставляем их в первую формулу:
Решение. Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, но, поскольку искомая плоскость не проходит через начало координат - точку (0; 0; 0) - то положим D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки M, N и K, то координаты этих точек должны обращать уравнение в верное числовое равенство. Подставим вместо x, y и z координаты точки M = (2; 0; 1). Имеем: Аналогично, для точек N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0) получим уравнения: Итак, у нас есть три уравнения и три неизвестных. Составим и решим систему уравнений: Получили, что уравнение плоскости имеет вид: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.
Решение. Используя третью формулу, получаем n = (7; − 2; 4) - вот и все! Вычисление координат векторовА что, если в задаче нет векторов - есть только точки, лежащие на прямых, и требуется вычислить угол между этими прямыми? Все просто: зная координаты точек - начала и конца вектора - можно вычислить координаты самого вектора.
Эта теорема одинаково работает и на плоскости, и в пространстве. Выражение «вычесть координаты» означает, что из координаты x одной точки вычитается координата x другой, затем то же самое надо сделать с координатами y и z. Вот несколько примеров:
Рассмотрим вектор AB: его начало находится в точке A, а конец - в точке B. Следовательно, чтобы найти его координаты, надо из координат точки B вычесть координаты точки A: Аналогично, начало вектора AC - все та же точка A, зато конец - точка C. Поэтому имеем: Наконец, чтобы найти координаты вектора BC, надо из координат точки C вычесть координаты точки B: Ответ: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9) Обратите внимание на вычисление координат последнего вектора BC: очень многие ошибаются, когда работают с отрицательными числами. Это касается переменной y: у точки B координата y = − 1, а у точки C y = 3. Получаем именно 3 − (− 1) = 4, а не 3 − 1, как многие считают. Не допускайте таких глупых ошибок! Вычисление направляющих векторов для прямыхЕсли вы внимательно прочитаете задачу C2, то с удивлением обнаружите, что никаких векторов там нет. Там только прямые да плоскости. Для начала разберемся с прямыми. Здесь все просто: на любой прямой найдутся хотя бы две различные точки и, наоборот, любые две различные точки задают единственную прямую... Кто-нибудь понял, что написано в предыдущем абзаце? Я и сам не понял, поэтому объясню проще: в задаче C2 прямые всегда задаются парой точек. Если ввести систему координат и рассмотреть вектор с началом и концом в этих точках, получим так называемый направляющий вектор для прямой: Зачем нужен этот вектор? Дело в том, что угол между двумя прямыми - это угол между их направляющими векторами. Таким образом, мы переходим от непонятных прямых к конкретным векторам, координаты которых легко считаются. Насколько легко? Взгляните на примеры:
Поскольку длина ребер куба в условии не указана, положим AB = 1. Введем систему координат с началом в точке A и осями x, y, z, направленными вдоль прямых AB, AD и AA 1 соответственно. Единичный отрезок равен AB = 1. Теперь найдем координаты направляющего вектора для прямой AC. Нам потребуются две точки: A = (0; 0; 0) и C = (1; 1; 0). Отсюда получаем координаты вектора AC = (1 − 0; 1 − 0; 0 − 0) = (1; 1; 0) - это и есть направляющий вектор. Теперь разберемся с прямой BD 1 . На ней также есть две точки: B = (1; 0; 0) и D 1 = (0; 1; 1). Получаем направляющий вектор BD 1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1). Ответ: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (− 1; 1; 1)
Введем систему координат: начало в точке A, ось x совпадает с AB, ось z совпадает с AA 1 , ось y образует с осью x плоскость OXY, которая совпадает с плоскостью ABC. Для начала разберемся с прямой AB 1 . Тут все просто: у нас есть точки A = (0; 0; 0) и B 1 = (1; 0; 1). Получаем направляющий вектор AB 1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1). Теперь найдем направляющий вектор для AC 1 . Все то же самое - единственное отличие в том, что у точки C 1 иррациональные координаты. Итак, A = (0; 0; 0), поэтому имеем: Ответ: AB 1 = (1; 0; 1); Небольшое, но очень важное замечание насчет последнего примера. Если начало вектора совпадает с началом координат, вычисления резко упрощаются: координаты вектора просто равны координатам конца. К сожалению, это верно лишь для векторов. Например, при работе с плоскостями присутствие на них начала координат только усложняет выкладки. Вычисление нормальных векторов для плоскостейНормальные векторы - это не те векторы, у которых все в порядке, или которые чувствуют себя хорошо. По определению, нормальный вектор (нормаль) к плоскости - это вектор, перпендикулярный данной плоскости. Другими словами, нормаль - это вектор, перпендикулярный любому вектору в данной плоскости. Наверняка вы встречали такое определение - правда, вместо векторов речь шла о прямых. Однако чуть выше было показано, что в задаче C2 можно оперировать любым удобным объектом - хоть прямой, хоть вектором. Еще раз напомню, что всякая плоскость задается в пространстве уравнением Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D - некоторые коэффициенты. Не умаляя общности решения, можно полагать D = 1, если плоскость не проходит через начало координат, или D = 0, если все-таки проходит. В любом случае, координаты нормального вектора к этой плоскости равны n = (A; B; C). Итак, плоскость тоже можно успешно заменить вектором - той самой нормалью. Всякая плоскость задается в пространстве тремя точками. Как найти уравнение плоскости (а следовательно - и нормали), мы уже обсуждали в самом начале статьи. Однако этот процесс у многих вызывает проблемы, поэтому приведу еще парочку примеров:
Поскольку плоскость не проходит через начало координат, ее уравнение выглядит так: Ax + By + Cz + 1 = 0, т.е. коэффициент D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки A 1 , B и C 1 , то координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство.
Аналогично, для точек B = (1; 0; 0) и C 1 = (1; 1; 1) получим уравнения: Но коэффициенты A = − 1 и C = − 1 нам уже известны, поэтому остается найти коэффициент B: Получаем уравнение плоскости: − A + B − C + 1 = 0, Следовательно, координаты нормального вектора равны n = (− 1; 1; − 1).
В данном случае плоскость проходит через начало координат, поэтому коэффициент D = 0, а уравнение плоскости выглядит так: Ax + By + Cz = 0. Поскольку плоскость проходит через точки A 1 и C, координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство. Подставим вместо x, y и z координаты точки A 1 = (0; 0; 1). Имеем: Аналогично, для точки C = (1; 1; 0) получим уравнение: Положим B = 1. Тогда A = − B = − 1, и уравнение всей плоскости имеет вид: − A + B = 0, Следовательно, координаты нормального вектора равны n = (− 1; 1; 0). Вообще говоря, в приведенных задачах надо составлять систему уравнений и решать ее. Получится три уравнения и три переменных, но во втором случае одна из них будет свободной, т.е. принимать произвольные значения. Именно поэтому мы вправе положить B = 1 - без ущерба для общности решения и правильности ответа. Очень часто в задаче C2 требуется работать с точками, которые делят отрезок пополам. Координаты таких точек легко считаются, если известны координаты концов отрезка. Итак, пусть отрезок задан своими концами - точками A = (x a ; y a ; z a) и B = (x b ; y b ; z b). Тогда координаты середины отрезка - обозначим ее точкой H - можно найти по формуле: Другими словами, координаты середины отрезка - это среднее арифметическое координат его концов.
Поскольку точка K - середина отрезка A 1 B 1 , ее координаты равных среднему арифметическому координат концов. Запишем координаты концов: A 1 = (0; 0; 1) и B 1 = (1; 0; 1). Теперь найдем координаты точки K:
Из курса планиметрии известно, что точка пересечения диагоналей квадрата равноудалена от всех его вершин. В частности, A 1 L = C 1 L, т.е. точка L - это середина отрезка A 1 C 1 . Но A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), поэтому имеем: Ответ : L = (0,5; 0,5; 1)
Международный Университет природы, общества и человека «Дубна» Проект программы по курсу Разработка уроков по теме: «Расстояние от точки до прямой» «Расстояние между параллельными прямыми» Дмитров, 2013 год 1. Введение…………………………………………………………………………………......…3 2. Проект программы по курсу «Метод координат и основы аналитической геометрии на плоскости» ……………………………………………………………………………….......4 3. Разработка уроков: Урок-лекция «Расстояние от точки до прямой»…………………….…...8 Урок-лекция «Расстояние между параллельными прямыми»…..17 4. Заключение……………………………………………………………………………………..23 5. Список литературы…………………………………………………………………………23 6. Приложения…………………………………………………………………………………….24 1.ВВЕДЕНИЕ Стратегия развития современного общества на основе знаний и высокоэффективных технологий объективно требует внесения значительных корректив в педагогическую теорию и практику, активизации поиска новых моделей образования. Изучение геометрии на ступени основного общего образования направлено на достижение следующих целей: - овладение системой знаний и умений , необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования; - интеллектуальное развитие , формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе, свойственных математической деятельности: ясности и точности мысли, критичности мышления, интуиции, логического мышления, элементов алгоритмической культуры, пространственных представлений, способности к преодолению трудностей; - формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов; - воспитание культуры личности, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры, играющей особую роль в общественном развитии. В данном проекте изучение основ аналитической геометрии начинается с 7 класса , что позволит учащимся подойти к решению стереометрических задач с использованием метода координат на более осознанном и качественном уровне. 2.ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ Проект программы по курсу «Метод координат и основы аналитической геометрии на плоскости» для учащихся 7-8 классов основной школы , (Международный Университет природы, общества и человека «Дубна») и слушатели курсов ПК Международного университета «Дубна 1. Идея курса, цели и задачи – Актуальность данной темы обусловлена тем, что используемые в основной школе содержание и методы преподавания математики в некоторой части не соответствуют современным потребностям подготовки специалистов в технических направлениях. Цель : Приблизить содержание и методы преподавания математики в основной школе к современным потребностям технологического общества. Задачи : 1. Проанализировать потребности современного технологического общества и сопоставить аппарат математики, используемый при решении прикладных задач с содержанием математики в основной школе. 2. Создание проекта программы по курсу «Метод координат и основы аналитической геометрии на плоскости» 3. Разработка уроков по теме «Расстояние от точки до прямой», «Расстояние между параллельными прямыми» р аздела «Взаимное расположение объектов на плоскости» 2. Место в программе общеобразовательной школы – 7-9 класс. Объем – 1 урок в неделю, параллельно с основным курсом традиционной геометрии, преподаваемой, например, по учебнику Атанасяна (с соавторами). Общий объём – 70 часов, что составляет 1/3 от общего объема курса по геометрии для 7-9 класса. Рекомендуемые сроки прохождения курса: начало – второе полугодие 7-го класса, окончание – 1-е полугодие 9-го класса. Однако в зависимости от конкретных условий освоения программы в каждой конкретной школе (учебные планы, рабочие программы, базовые учебники, наличие дополнительных часов в учебной сетке на геометрию) возможны другие сроки её освоения. Например, при наличии дополнительных часов срок освоения может быть сокращен за счет увеличения числа часов в неделю 3. Основные разделы и содержание.
3.РАЗРАБОТКА УРОКОВ Урок-лекция: «Расстояние от точки до прямой» Цели: ввести понятия расстояния от точки до прямой, показать, как они применяются при решении задач. 1. Объяснение нового материала Определение. Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой Следует обратить внимание на то, что расстояние от точки до прямой – это наименьшее из расстояний от этой точки до точек заданной прямой. Покажем это. Возьмем на прямой a точку Q , не совпадающую с точкой M1 . Отрезок M1Q называют наклонной , проведенной из точки M1 к прямой a . Нам нужно показать, что перпендикуляр, проведенный из точки M1 к прямой a , меньше любой наклонной, проведенной из точки M1 к прямой a . Это действительно так: треугольник M1QH1 прямоугольный с гипотенузой M1Q , а длина гипотенузы всегда больше длины любого из катетов, следовательно, font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">. font-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">Если же при нахождении расстояния от точки до прямой есть возможность ввести прямоугольную систему координат, то можно воспользоваться методом координат. В этом уроке мы подробно остановимся на двух способах нахождения расстояния от точки M1 до прямой a , которые заданы в прямоугольной декартовой системе координат Oxy на плоскости. В первом случае расстояние от точки M1 до прямой a мы будем искать как расстояние от точки M1 до точки H1 , где H1 – основание перпендикуляра, опущенного из точки M1 на прямую a . Во втором способе нахождения расстояния от точки M1 до прямой a будем использовать нормальное уравнение прямой a . Итак, поставим перед собой следующую задачу: пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная система координат Oxy мы сможем вычислить, используя формулу для нахождения расстояния от точки M1 до точки H1 по их координатам: . Осталось разобраться с нахождением координат точки H1 . Мы знаем, что прямой линии в прямоугольной системе координат Oxy соответствует некоторо уравнение прямой на плоскости. Будем считать, что способ задания прямой a в условии задачи позволяет написать общее уравнение прямой a ил уравнение прямой с угловым коэффициентом. После этого мы можем составить уравнение прямой, проходящей через заданную точку М1, перпендикулярно прямой a . Обозначим эту прямую буквой b . Тогда точка H1 – это точка пересечения прямых a a и b , решая систему линейных уравнений font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana;color:#32322E">или ; 4) вычисляем требуемое расстояние от точки M1 до прямой a по формуле . Сущность координатного метода для решения геометрических задач Сущностью решения задач с помощью координатного метода состоит в том, чтоб ввести удобную нам в том или ином случае систему координат и переписать все данные с помощью него. После этого все неизвестные величины или доказательства проводятся с помощью этой системы. Как ввести координаты точек в любой системе координат, было нами рассмотрено в другой статье – здесь мы на этом останавливаться не будем. Введем основные утверждения, которые используются в координатном методе. Утверждение 1: Координаты вектора будут определяться разностью соответственных координат конца данного вектора и его же начала. Утверждение 2: Координаты середины отрезка будут определяться как полусумма соответственных координат его границ. Утверждение 3: Длина любого вектора $\overline{δ}$ с данными координатами $(δ_1,δ_2,δ_3)$ будет определяться формулой $|\overline{δ}|=\sqrt{δ_1^2+δ_2^2+δ_3^2}$ Утверждение 4: Расстояние между двумя любыми точками, заданными координатами $(δ_1,δ_2,δ_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$ будет определяться формулой $d=\sqrt{(δ_1-β_1)^2+(δ_2-β_2)^2+(δ_3-β_3)^2}$ Схема решения геометрических задач с использованием координатного методаДля решения геометрических задач с помощью координатного метода лучше всего пользоваться данной схемой:
Провести анализ того, что дано в задаче: Примеры задач, решаемые координатным методомОсновными задачами, приводящими к координатному методу можно выделить следующие задачи (их решения здесь приводить не будем):
Результаты решения первой и четвертой задачи приведены нами как основные утверждения выше и довольно часто используются для решения других задач с помощью координатного метода. Примеры задач на применение метода координатПример 1 Найти боковую сторону правильной пирамиды, у которого высота равняется $3$ см, если сторона основания равняется $4$ см. Пусть нам дана правильная пирамида $ABCDS$, высота которой – $SO$. Введем систему координат, как на рисунке 1. Так как точка $A$ - центр построенной нами системы координат, то Так как точки $B$ и $D$ принадлежат осям $Ox$ и $Oy$, соответственно, то $B=(4,0,0)$, $D=(0,4,0)$ Так как точка $C$ принадлежит плоскости $Oxy$, то Так как пирамида правильная, то $O$ - середина отрезка $$. По утверждению 2, получаем: $O=(\frac{0+4}{2},\frac{0+4}{2},\frac{0+0}{2})=(2,2,0)$ Так как высота $SO$ |
Читайте: |
---|
Популярное:
Курсовая работа нормативно-техническая документация на фирменное блюдо салат "цезарь с форелью" |
Новое
- Русские мужские имена, начинающиеся на буквы м, н Православные имена на букву м
- История мощей святителя николая мирликийского
- Храм апостолов петра и павла на новой басманной
- Приметы и обряды на пасху должен знать каждый Примета почему не поднялся кулич
- Выпекаем коржи для торта Как сделать обычный корж торта
- Прошу рецепт соте из кабачков на зиму
- Вишня в желе — простой и вкусный рецепт на зиму Как приготовить желе из войлочной вишни
- Рождественский пудинг от мамы джейми оливера Кулинарный поединок с джейми оливером йоркширский пудинг
- Котлеты из курицы с грибами Аппетитные куриные котлеты с грибами
- Как приготовить рыбу тилапию