Tema razgovora: TOPOLOGIJA.

Topologija (od starogrčkog τόπος - mjesto i λόγος - riječ, doktrina) je grana matematike koja proučava u svom najopštijem obliku fenomen kontinuiteta, posebno svojstva prostora koja ostaju nepromijenjena pod kontinuiranim deformacijama, na primjer, povezanost, orijentacija. Za razliku od geometrije, topologija ne uzima u obzir metrička svojstva objekata (na primjer, udaljenost između para tačaka). Na primjer, sa topološke tačke gledišta, krug i krafna (čvrsti torus) se ne razlikuju.

Ali ovo je u matematici. Kako stoje stvari sa likovima? Dozvolite mi da to izrazim svojim riječima.
Topologija je sposobnost mreže da pravilno reaguje na deformacije. Bilo da se radi o animaciji, kompresiji, istezanju ili drugim vrstama deformacija. Ovo se postiže kompetentnom konstrukcijom poligonalne mreže lika. Za to postoje neka pravila. S nekima od njih možete se upoznati.

Postoji i koncept RE-TOPOLOGIJA. Promjena topološke mreže uz očuvanje oblika objekta što je više moguće. Svrha retopologije je ispravljanje prethodne (netačne) topologije i/ili smanjenje broja poligona.

Gotovo svi moderni paketi 3D grafike imaju alate za retopologiju. Lično sam probao:
1. Maya - i standardni alati i dodaci.
2. Max - standardni alati (horor), dodaci i skripte (sviđao mi se wrapit, ali opet ne toliko)
3. Zbrush - zategnut i neudoban..
4. Topogun - konacno nasao nesto sto mi se svidelo...da nisam sreo
5. 3DCoat....evo shvatio sam da je ovo do sada najpogodnije za retopologiju i UV odmotavanje...iako je bilo tesko na pocetku shvatiti...ali kad sam shvatio princip programa - to je to... sada je retopologija sve o tome. (nemojte ovo shvatiti kao reklamu.)

Pa, pošto je ovo piće počelo, postaviću par svojih slika na temu topologije.
Glava i lice

Našao sam stari render ove glave.

Ručni zglob.

Rođen je budući istraživač

nema 30 godina, studira na postdiplomskim studijama,

i mnogo ranije od vremena kada

roditelji će ga prvi put voditi u vrtić.

Aleksandar Iljič Savenkov

Doktor pedagoških nauka, profesor Moskovskog državnog pedagoškog univerziteta

Razvojem novih tehnologija naglo je porasla potražnja za ljudima inovativnog razmišljanja i sposobnosti postavljanja i rješavanja novih problema. Stoga matematička priprema učenika postaje aktuelnija nego ikad. Ovdje je prikladno podsjetiti se na izjavu velikog ruskog naučnika Mihaila Vasiljeviča Lomonosova: „Matematika se mora predavati samo tada jer ona dovodi um u red.“

Svaka osoba ima vizualni koncept prostora, tijela i geometrijskih oblika. U školskom kursu geometrije proučavaćemo različita tijela i njihova svojstva.

Ali to će biti u budućnosti, ali za sada me zanima pitanje: "Šta je Möbius traka?" Pitat ćete me zašto me ovo zanima. Ja ću odgovoriti. Zaista volim da čitam. Posebno naučna fantastika. Jedan od mojih omiljenih pisaca naučne fantastike je Arthur C. Clarke.

U svojoj priči “Zid tame” jedan od likova putuje kroz neobičnu planetu, zakrivljenu u obliku Mobiusove trake. Zanimalo me je kakva je ovo figura i koja su njena svojstva.

Proučivši relevantnu literaturu i internet izvore, saznao sam da se ovo pitanje proučava u posebnoj grani matematike – topologiji. Zato je moj rad posvećen rješavanju najjednostavnijeg istraživačkog problema u ovoj oblasti.

Svrha rada se može formulisati kao sticanje razumijevanja jedne od najzanimljivijih i najneobičnijih grana matematike, a to je topologija i proučavanje topoloških svojstava nekih objekata.

Da bih postigao cilj, riješio sam sljedeće zadatke:

razumjeti šta ova nauka proučava;

proučavaju istoriju njegovog nastanka;

razmotriti topološka svojstva nekih objekata;

naučiti o praktičnoj primjeni topologije.

Relevantnost odabrane teme leži u činjenici da je u posljednje vrijeme ova znanost sve više prodirala u takva temeljna područja ljudskog znanja kao što su fizika, hemija i biologija. Stoga poznavanje njegovih osnova postaje značajno za tehnički obrazovanu osobu koja živiXXIveka.

GLAVNI DIO

Topologija kao nauka i preduslovi za njen nastanak

Za razliku od drugih grana geometrije, gdje su omjer dužina, površina, uglova i drugih kvantitativnih karakteristika objekata od velike važnosti, topologiju sve ovo ne zanima, jer se ovdje proučavaju druga, kvalitativna pitanja o geometrijskim strukturama.

Počnimo s razumijevanjem osnova ove fascinantne nauke. Ako se okrenemo literarnim izvorima, možemo pronaći sljedeću definiciju ovog pojma.

Topologija - grana matematike koja proučava svojstva figura (ili prostora) koji su sačuvani pod kontinuiranim deformacijama, kao što su istezanje, kompresija ili savijanje.

Objasnimo koncept "kontinuirane deformacije" na koji se ovdje susrećemo. Kontinuirana deformacija je deformacija figure u kojoj nema lomova (tj. kršenja integriteta figure) ili lijepljenja (odnosno identifikacije njegovih točaka).

Svaka grana matematike ima osnovnu ideju. Topologija nije izuzetak. Glavna ideja topologije je ideja kontinuiteta, odnosno topologija proučava ona svojstva geometrijskih objekata koja se čuvaju u kontinuiranim transformacijama.

Kontinuirane transformacije karakterizira činjenica da tačke koje se nalaze “blizu jedna drugoj” prije transformacije ostaju takve i nakon što je transformacija završena. Tokom topoloških transformacija, objektima je dozvoljeno da se rastežu i savijaju, ali im nije dozvoljeno da se kidaju ili lome.

Da bismo vizualizirali definiciju topologije, treba reći da se sa stanovišta ove nauke predmeti kao što su šolja za čaj i krofna međusobno ne razlikuju. Zato među naučnicima postoji fraza koja kaže da je matematičar koji proučava topologiju osoba koja ne može da razlikuje đevrek od šoljice za čaj. Ova tvrdnja je tačna jer stiskanjem i rastezanjem komada gume od kojeg su napravljeni ovi predmeti možete prelaziti s jednog tijela na drugo.

Crtanje 1Proces pretvaranja šoljice u krofnu (torus)

Krenimo na istorijski izlet i vratimo seXVIIIveka kada su postavljeni temelji ove nauke.

Jedan od naučnika koji je stajao na početku ove nauke je nemački matematičar i mehaničarXVIIIveka Leonhard Euler. Godine 1752. dokazao je Descartesovu formulu koja izražava odnos između broja vrhova, ivica i lica jednostavnih poliedara:

Gdje, .

Ojlerov sljedeći doprinos razvoju topologije bilo je rješenje poznatog problema mosta. Radilo se o ostrvu na reci Pregol u Kenigsbergu (na mestu gde se reka deli na dva kraka – Stari i Novi Pregol) i sedam mostova koji povezuju ostrvo sa obalama (sl. 2).

Trebalo je saznati da li je moguće obići svih sedam mostova kontinuiranom rutom, obići svaki samo jednom i vratiti se na početnu tačku. Ojler je kopnene mase zamijenio tačkama, a mostove linijama. Euler je nazvao rezultujuću shemucount (Sl. 3), tačke su njegovi vrhovi, a linije su njegove ivice.

Crtanje 2Problem mostova u Kenigsbergu

L - lijeva obala , R - desna obala ,

Crtanje 3Graf

Naučnik je podijelio vrhove na parne i neparne, ovisno o broju ivica koje izlaze iz vrha. Ojler je dokazao da se sve ivice grafa mogu preći tačno jednom duž neprekidne zatvorene rute samo ako graf sadrži samo parne vrhove.

Budući da graf u problemu Königsberg mostova sadrži samo neparne vrhove, potrebna ruta za hodanje ne postoji.

Ovaj problem ilustruje praktičnu primenu koncepta „unikurzalnog grafa“, koji se pojavio u rečniku topologije uXXveka. Graf se zoveunicursal , ako se može "nacrtati jednim potezom", tj. proći kroz sve to u neprekidnom kretanju, bez prolaska kroz istu ivicu dvaput.

Dakle, graf problema Königsberg mostova nije unikurzalan i stoga problem nema rješenja.

Termin "topologija" se prvi put pojavljuje u pismu njegovom školskom učitelju Mulleru, koje je njemački matematičar i fizičar, profesor na Univerzitetu u Getingenu Johann Listing napisao 1836. godine. Opća topologija, porijeklom izXIXstoljeća, konačno formirana u samostalnu matematičku disciplinu u drugoj poloviniXXveka. Tome su u velikoj mjeri doprinijeli radovi akademika P.S. Alexandrova.

Topološka svojstva objekata

Topologija se u popularnoj naučnoj literaturi često naziva gumena geometrija. Da biste to razumjeli, morate zamisliti da je geometrijski objekt napravljen od gume i da istovremeno ima sljedeća svojstva: može se komprimirati, rastezati, uvijati (tj. podvrgnuti svim vrstama deformacija), ali ne može biti pocepano i zalijepljeno zajedno.

Na primjer, mala lopta se može naduvati do veličine velike, zatim pretvoriti u elipsu, a zatim deformirati u bučicu.

Crtanje 4Proces deformisanja objekata

Na sličan način možete pretvoriti površinu lopte u površinu kocke, stošca i drugih figura. U matematici postoje svojstva koja se ne narušavaju nikakvim kontinuiranim deformacijama. To je ono što jetopološka svojstva . Jedna od grana topologije, opšta topologija, proučava ova svojstva.

Svojstva koja se proučavaju u školskoj (euklidskoj) geometriji nisu topološka. Na primjer, ravnost nije topološko svojstvo, budući da se prava linija može saviti i iskriviti. Trougaonost takođe nije topološko svojstvo, jer se trougao može kontinuirano deformisati u krug.

Dužina segmenata, uglova, površina - svi ovi koncepti se menjaju kontinuiranim transformacijama. Primjer topološke osobine je prisustvo “rupe” u torusu (krofni). Štaviše, važno je da rupa nije dio torusa. Bez obzira koliko kontinuiranih deformacija torus bude podvrgnut, rupa će ostati.

Jednostrane površine

Svako od nas ima ideju o tome šta je "površina". Jednostavno smo okruženi raznim površinama: površinom lista papira, površinom jezera, površinom globusa...

Po pravilu zamišljamo površinu sa dvije strane: vanjskom i unutrašnjom, prednjom i stražnjom, itd. Može li biti išta neočekivano, pa čak i misteriozno u tako običnom konceptu? Ispostavilo se da može.

Godine 1858., njemački matematičar i astronom August Ferdinand Möbius (1790-1868) otkrio je površinu koja je kasnije postala poznata kao "Möbiusova traka". Prema legendi, Mobijusu je pomogla da otkrije svoj "list" od strane služavke koja je pogrešno zašila krajeve obične vrpce.

Möbius traka je najjednostavnija jednostrana površina sa ivicom. Moguće je doći od jedne tačke takve površine do druge bez prelaska rubova.

Ponovimo ovo otkriće. Kreirajmo površinu koja se proučava i proučimo njena svojstva.

Za rad nam je potreban A4 list papira, ravnalo, olovka, makaze i ljepilo.

Crtanje 5Alati

Na listu papira nacrtajte dvije trake širine 4 cm i izrežite ih. To će biti praznine od kojih ćemo napraviti našu traku (list).

Crtanje 6Kreiranje praznine

S jedne trake ćemo zalijepiti običan prsten, a s druge - Möbius traku. Da biste to učinili, okrenite drugu traku za pola okreta i zalijepite krajeve zajedno.

Crtanje 7Faze rada

Ovo bi trebali dobiti.

Crtanje 8Rezultat rada

Počnimo istraživati ​​svojstva rezultirajućih figura. Nemoguće je razlikovati prednju stranu od stražnje strane Möbiusove trake. Oni se neprekidno transformišu jedno u drugo. Zadatak bojanja različitih strana prstena različitim bojama neće uzrokovati nikakve poteškoće. Pogledajmo ovo na jednostavnom primjeru. Uzmite flomaster, označite tačku i počnite kontinuirano slikati jednu stranu. Vidjet ćete da će biti obojena samo njegova unutrašnja površina.

Crtanje 9Bojenje prstena

Ali hoće li to biti istina za naš drugi papirni objekt? Ponovimo eksperiment, birajući za eksperimentalnu površinu ne prsten, već Möbiusovu traku.

Crtanje 10Bojanje Möbiusove trake

Vidite da je cijeli list postao obojen. Ali ipak smo flomasterom nacrtali samo jednu stranu. Iz ovoga možemo zaključiti dada traka od koje je napravljena Möbiusova traka ima dvije strane, a sama traka jednu .

Ako se krećemo uz rub Möbiusove trake, onda ćemo se nakon punog okreta naći na drugoj ivici i doći sa suprotne strane.

Nastavimo naše istraživanje i razmotrimo pitanje kako će se naše dvije figure (prsten i Möbiusova traka) ponašati kada se preseku. Ako prsten isečete po srednjoj liniji, dobićete dva uža prstena

Crtanje 11Rezanje prstena

Crtanje 12Rezultat rezanja prstena

Ako isečete Möbiusovu traku duž srednje linije, ona se neće podijeliti na dva prstena, kao što je bio slučaj u eksperimentu s prstenom. Dobit ćemo jedan prsten, ali dvostruko duži (rezultirajući prsten će imati dvostranu površinu).

Crtanje 13Rezanje Möbiusove trake duž srednje linije

Šta se dešava ako isečete Möbiusovu traku duž linije koja leži blizu ivice? Da bismo došli do početka reza, morat ćemo ići dvostruko duže od rezanja ovog lista duž srednje linije. Dobićete dva međusobno povezana prstena, jedan veliki i uski, a drugi mali i širok. Najzanimljivija činjenica je da će veliki prsten imati jednostranu površinu, a mali dvostranu.

Ako napravite Möbius traku koja je uvijena 3 pola okreta (540 stepeni), a zatim je prepolovite, dobićete Möbius traku upletenu u čvor.

Možete dobiti zanimljive stvari ako savijete papir kao harmoniku, a zatim od njega napravite Möbiusovu traku i prepolovite je ili jednu trećinu. Pred nama će se pojaviti tri međusobno povezana prstena.

Kao istraživače svojstava ove figure, zanimalo nas je pitanje: da li je uvijek moguće napraviti Möbiusovu traku? Ispostavilo se da ako uzmemo kvadratni list papira i iz njega izrežemo traku, nećemo moći dobiti figuru koja nas zanima.

Tada se postavlja novo pitanje: koliki bi trebao biti omjer dužine i širine trake da se ona uvijek može koristiti za dobivanje Möbiusove trake? Matematički je dokazano da ako uzmemo širinu trake kao 1, onda bi dužina trebala biti 1,73.

Praktična primjena topologije

Kada se govori o topologiji, Möbiusova traka je prva stvar koja pada na pamet osobi koja je upoznata sa ovim pitanjem. Stoga se u području praktične primjene ove nauke u različitim granama ljudske djelatnosti najčešće susreće upotreba upravo ove figure.

Neverovatna svojstva Möbiusove trake služe kao izvor inspiracije za pisce i pesnike. Kao primjer, želio bih dati kratak odlomak iz pjesme Natalije Ivanove:

Moebiusova traka je simbol matematike,

Ono što služi kao kruna najviše mudrosti...

Pun je nesvjesne romantike:

U njemu je beskonačnost uvijena u prsten.

U njemu postoji jednostavnost, a sa njom i složenost,

koja je nedostupna čak i mudrima:

Ovdje se avion transformirao pred našim očima

U površinu bez početka i kraja.

Flatland Edwina Abbotta i njegov nastavak Spherland, koji je napisao David Burger 1976. godine, s pravom se smatraju klasičnom knjigom o životu u dvodimenzionalnom prostoru.

Flatlander živi na planeti u obliku dvodimenzionalne površine. Ako je njegov univerzum beskonačna ravan, onda on može putovati na bilo koju udaljenost u bilo kojem smjeru. Ali ako je površina na kojoj živi zatvorena poput sfere, onda je neograničena i konačna.

U kojem god pravcu Flatlander krenuo, krećući se pravo i nikuda ne skrećući, sigurno će se vratiti tamo odakle je započeo svoje putovanje. Kada Flatlander putuje oko svijeta na sferi, kao da se kreće duž trake zalijepljene u prsten.

Ali ako stanovnik ove planete putuje duž Mobiusove trake, tada će po povratku na početnu tačku pronaći svoje srce ne s lijeve, već s desne strane! Slična situacija je opisana u fantastičnoj priči H.G. Wellsa, “Priča o Platneru”. Čovjek, koji je bio u četvrtoj dimenziji, vratio se na Zemlju kao njegov dvojnik ogledala - sa srcem smještenim na desnoj strani.

U proizvodnji se transportna traka izrađuje u obliku Möbius trake. Ova karakteristika dizajna vam omogućava da produžite vijek trajanja pojasa, jer se njegova površina ravnomjerno troši.

Crtanje 14Tračni transporter

Relativno nedavno, glavni uređaj za izlaz informacija sa računara na štampanje bio je matrični štampač. U glavi za štampanje, traka sa mastilom je takođe bila raspoređena u obliku Möbiusove trake.

Crtanje 15Matrični štampač

Pošto je reč o računarima, računarska mreža se koristi za povezivanje više mašina u jednu celinu. Jedan od osnovnih pojmova mrežne tehnologije je koncept mrežne topologije.Topologija – opšti dijagram računarske mreže, koji prikazuje fizičku lokaciju računara i veze između njih.

Crtanje 16Primjeri topologije računarske mreže

Oblik Möbiusove trake se prilično uspješno koristi u arhitekturi. Navedimo nekoliko sličnih primjera.

Crtanje 18Logotipi bazirani na Mobius traci

Postoji hipoteza da je sama spirala DNK fragment Mobiusove trake i da je zbog toga genetski kod tako teško dešifrovati i percipirati. Osim toga, takva struktura sasvim logično objašnjava razlog početka biološke smrti - spirala se zatvara sama od sebe i dolazi do samouništenja.

Crtanje 19DNK spirala

Umjetnici i grafičari također nisu zanemarili temu koja nas zanima. Indikativno u tom pogledu je rad holandskog grafičaraXXvijeka od Maurice Eschera. Poznat je po svojim litografijama, u kojima je maestralno istraživao plastične aspekte beskonačnosti i simetrije.

O svom radu je rekao: „Iako sam potpuno neupućen u egzaktne nauke, ponekad mi se čini da sam bliži matematičarima nego svojim kolegama umetnicima.

Crtanje 20Litografije Mauricea Eschera

ZAKLJUČAK

Topologija je najmlađa i najviše

moćna grana geometrije, jasno

pokazuje plodonosan uticaj

kontradikcije između intuicije i logike.

Richard Courant

američki matematičar

Ruska narodna poslovica kaže: „Kraj je kruna stvari“. Tako je moje malo putovanje u fascinantan i neobičan svijet topologije došlo do kraja. Vrijeme je da se sagledamo.

Tokom svog rada upoznao sam se sa novom za mene područjem matematike - topologijom. Ispitao sam neke od najjednostavnijih koncepata koje koristi ova nauka i koji su dostupni za razumijevanje bez ozbiljne matematičke obuke.

U praksi je rekreirao najpoznatiju topološku površinu - Möbiusovu traku i proučavao njena opšta svojstva. Upoznao sam i praktičnu primjenu topoloških površina u različitim sferama ljudske djelatnosti.

Tako su svi zadaci koje sam postavio na početku ovog rada uspješno riješeni. Nadam se da moje upoznavanje sa ovom oblašću matematike u budućnosti neće biti tako površno, što daje osnovu za nastavak rada na odabranoj temi kako se moje matematičko znanje gomila.

BIBLIOGRAFIJA

Matematički enciklopedijski rječnik / Yu.V. Prokhorov [i drugi]. – M.: Izdavačka kuća „Sovjetska enciklopedija”, 1988. – 340 str.

Boltyansky, V.G. Vizuelna topologija / V.G. Boltyansky, V.A. Efremovič – M.: Nauka, 1975. – 160 str.

Starova, O.A. Topologija / O.A. Starova // Matematika. Sve za nastavnika. – 2013. – br. 9. – str.28-34.

Stewart, J. Topology / J. Stewart // Quantum. – 1992. – br. 7. – str. 28-30.

Projekat za darovitu djecu: Scarlet Sails [Elektronski izvor] – Način pristupa:http:// nportal. ru/ ap/ blog/ naučno- tehnički- tvorchestvo/ lista- myobiusa– datum pristupa: 18.01.2017

Prasolov, V.V. Vizuelna topologija / V.V. Prasolov. – M.: MTsNMO, 1995. – 110 str.

Abbott, E. Flatland / E. Abbott. – M.: Mir, 1976. – 130 str.

Ovaj vodič je dobar početak za sve koji žele naučiti kako modelirati vrhunske likove. Poznat u svom krugu, Jahirul Amin će govoriti o važnosti ispravne topologije, uniformne mreže, važnosti četvorougaonih poligona i još mnogo toga.

Prije ronjenja u 3D whirlpool, predlažem kratak edukativni program i prskanje u plitkoj vodi. U nastavku ćemo se dotaknuti osnova poligonalnog modeliranja, bez poznavanja kojih je besmisleno ići dalje.

Uvod

Kada geometrija postane pomoć modelaru ili animatoru, idealan raspored mreže je na prvom mjestu. Nakon toga, dobra topologija bi trebala ući u igru, smanjujući broj nedostataka u animaciji likova. Drugim riječima, pravilno (i na vrijeme) kreiran poligon uštedjet će vam ne samo sate nego i dane života.

3-gona naspram 4-kuta protiv N-ugla

Dakle, koja je razlika između 3-, 4- i N-ugaonih poligona? Odgovor je očigledan: prva ima 3 strane, druga ima 4, treća ih ima bilo koji broj, više od 4. Ako modelirate lik za dalju animaciju, preporučujemo koristiti samo četvorouglove. Proces deformiranja i dijeljenja četverokutnih poligona je mnogo lakši, a naići ćete na manje izobličenja teksture.

Preporučljivo je sakriti trouglove od svojih i tuđih očiju. Na primjer, u pazuhu ili u području prepona lika. Zauzvrat, na poligone se nameće neizgovorena zabrana - oni ne bi trebali postojati. Oni uzrokuju izobličenje i uzrokuju mnogo problema kada je u pitanju postavljanje i uređivanje grupa temena (poznato kao „slikanje težine“).

Konačno, model koji se sastoji prvenstveno od četverouglova poligona će biti lakše izvesti u druge programe za modeliranje kao što je Mudbox.

Radosti četvorougla i trougla poligona i užas N-ugla

Konture lica, koje po definiciji podsjećaju na N-ugao, trebale bi biti što bliže četverokutnom formatu. malo od - lokacija poligona u principu treba da bude što ujednačenija. To je ono na šta poziva istoimena geometrija. Praćenje ovih pravila će olakšati prolazak kroz fazu montiranja i pomoći će pri deformisanju lika tokom procesa animacije. Osim toga, smanjit će se razmjer izobličenja povezanih s korištenjem tekstura, iako ovdje ne treba zaboraviti na važnost samog UV skeniranja.

Za obavljanje opisanog zadatka, Maya nudi alat Sculpt Geometry.

Alat Sculpt Geometry u Mayi pomoći će vam da "izgladite" mrežu vašeg modela

Odgovoran za glatku tranziciju svake pojedinačne ivice (aka Edge Flow). Možda zvuči jednostavno, ali u praksi je to vrlo podmukla stvar.

Ako namjeravate stvoriti realističan lik, preporučuje se da prije početka rada proučite osnove anatomije. Prateći strukturu ljudskog tijela i prirodno kretanje mišića, animator na kraju dobiva kopiju koja je bliska originalu. To se posebno jasno vidi tokom procesa deformacije. Preporučujemo da počnete s procesom stvaranja bora i istezanja kože.

Za stilizovane i crtane likove, Edge Flow je mnogo manje važan. Ali ipak, toplo preporučujem da steknete barem osnovno razumijevanje ljudske anatomije.

Da bi oblik bio realističan, kreirajte dobru topologiju i vodite računa o glatkom smjeru mreže (ivice, poligoni).

Takođe nije višestruko. Znači da se trodimenzionalni objekt ne može izrezati i učiniti ravnim.

Primjer: Kreirajte kocku, odaberite bilo koju ivicu (ivicu) i ekstrudirajte je Uredi mrežu > Ekstrudiranje. Pred vama je nešto oblikovan objekat. (Primjer dolje lijevo) Kada bi kocka bila napravljena od papira, onda kada bi se rasklopila dobila bi figuru u obliku krsta izlomljenih proporcija. Korištenje takvog objekta u Booleovim operacijama je praktično nemoguće.
Da popravite situaciju, koristite alat za čišćenje.

Kršenje topologije geometrije može stvoriti desetke problema. Budite oprezni i povremeno pregledajte figuru iz različitih uglova.

Svaka petlja (ivica) mora imati cilj

U pravilu, modeliranje počinje s primitivnom figurom (na primjer, kockom), čija se struktura naknadno komplicira dodavanjem rubnih petlji.

Važno je da svaki novi element bude kreiran sa određenom svrhom. Postoje situacije u kojima je „manje“ jednako „bolje“. Razumijevanje principa optimizacije modela dolazi samo s iskustvom, stoga nemojte se obeshrabriti i nastavite raditi.

Ne komplikujte svoj život: detalji bi trebali biti primjereni

Sve što pokušavamo da uradimo na ekranu je odraz sveta oko nas u njegovim različitim oblicima i manifestacijama. Zbog toga je tako važno s vremena na vrijeme ustati od stola. Važno ne samo za programere, već i za animatore, riggere, direktore rasvjete, itd.

Pogledajte izbliza površinu, njenu strukturu i sjenu. Kako reflektuje svetlost? Kako nastaje proces deformacije? Odgovor na ova i druga pitanja pomoći će vam da donesete pravu odluku prilikom modeliranja bilo kojeg objekta.

Matematičke strukture i modeliranje 2000, br. 6, str. 107-114

UDK 530.12:531.18

VRIJEME I TOPOLOGIJA LJUDSKOG TIJELA

Filozof Kant je izjavio da nam je vrijeme dato a piori, tj. je definisano za osobu od rođenja. Ima li to veze sa topologijom i geometrijom ljudskog tijela? U prostor-vremenu Minkowskyja četverodimenzionalna topologija ljudskog tijela je trivijalna i difeomorfna prema R = x B, gdje je BcRl Takva topologija omogućava opažanje osjeta uzastopno bilo kojom tačkom tijela. Ako tijelo ima drugu četverodimenzionalnu topologiju koja nije difeomorfna sa R, tada postoji potpuni kolaps memorije u nastojanju da se osjet uzastopno promatra. Dakle, druga topologija tijela znači odsustvo vremena u onom obliku na koji smo navikli.

Ovaj članak je napisan s ciljem sveobuhvatnog proučavanja posljedica teorije apsolutnog prostora-vremena. Poznato je da je materijalno tijelo opisano u teoriji relativnosti skupom svjetskih linija, ali fiziku ljudsko tijelo ne zanima. Pokušajmo, međutim, otkriti kako pseudo-euklidska geometrija prostor-vremena korelira s četverodimenzionalnom topologijom tijela koju živi organizam može imati u apsolutnom svijetu događaja Minkowskog.

1. Iluzija vremena

Ljudski život se odvija u vremenu. Događaje koji nam se dešavaju organizujemo tako što ćemo ih upoznati. Dobro znamo da je prošlost u našim životima nešto što je nepovratno nestalo, a budućnost koja nas čeka je nepoznata jer još nije stigla. Ali znamo da nas smrt čeka ispred.

Pri rođenju osoba dobija tijelo. Sa stanovišta matematike, život je četvorodimenzionalni region R, koji ima topološku strukturu difeomorfnu D1 xB, gde je D1 jednodimenzionalni disk, vremenski period koji je čoveku predodređen da živi, ​​a B je njegovo tijelo u trodimenzionalnom prostoru, čija je topologija pojednostavljena na slici 1. Moderna teorija prostora i vremena sugerira da je Svijet događaja takozvani četverodimenzionalni pseudo-euklidski prostor V4, nazvan prostor-vrijeme. Događaj je tačka u prostor-vremenu V4. Životni put elementarnog materijalnog objekta je kriva, svjetska linija, u V4 Događajnom svijetu. Stoga je život osobe kao ukupnost svih događaja koji se dešavaju u njegovom životu glatko uklopljeno h: D1 x B -> V4. Svjetska linija

© 2000 A.K. Guts

Email: [email protected] Omsk State University

Topologija- jedna prilično lepa, zvučna reč, veoma popularna u nekim nematematičkim krugovima, zainteresovala me još u 9. razredu. Naravno, nisam imao tačnu ideju, međutim, sumnjao sam da je sve vezano za geometriju.

Riječi i tekst odabrani su na način da je sve bilo „intuitivno jasno“. Rezultat je potpuni nedostatak matematičke pismenosti.

Šta je topologija ? Odmah ću reći da postoje najmanje dva pojma "Topologija" - jedan od njih jednostavno označava određenu matematičku strukturu, drugi sa sobom nosi cijelu nauku. Ova nauka se sastoji od proučavanja svojstava objekta koji se neće promijeniti kada se deformiše.

Ilustrativni primjer 1. Šalica za pecivo.

Vidimo da se šalica, kontinuiranim deformacijama, pretvara u krofnu (u običnom govoru, “dvodimenzionalni torus”). Uočeno je da topologija proučava ono što ostaje nepromijenjeno pod takvim deformacijama. U ovom slučaju, broj "rupa" u objektu ostaje nepromijenjen - postoji samo jedna. Za sada ćemo to ostaviti kako jeste, shvatit ćemo malo kasnije)

Ilustrativni primjer 2. Topološki čovjek.

Da budemo jasni

Vrlo korisna kutija je kugla sa ručkama. Sfera može imati 0 ručki - onda je to samo sfera, možda jedna - onda je to krofna (uobičajeno, "dvodimenzionalni torus") itd.
Pa zašto se sfera s ručkama ističe među ostalim figurama? Sve je vrlo jednostavno - svaka figura je homeomorfna sferi s određenim brojem ručki. To jest, u suštini, nemamo ništa drugo O_o Bilo koji trodimenzionalni objekat je strukturiran kao sfera sa određenim brojem ručki. Bilo da je to šolja, kašika, viljuška (kašika=vilica!), kompjuterski miš, osoba.

Ovo je prilično smislena teorema koja je dokazana. Ne od nas i ne sada. Tačnije, dokazano je za mnogo opštiju situaciju. Da objasnim: ograničili smo se na razmatranje figura oblikovanih od plastelina i bez šupljina. To povlači za sobom sljedeće probleme:
1) ne možemo dobiti površinu koja se ne može orijentirati (Klein boca, Möbius traka, projektivna ravan),
2) ograničavamo se na dvodimenzionalne površine (n/a: sfera - dvodimenzionalna površina),
3) ne možemo dobiti površine, figure koje se protežu u beskonačnost (naravno da to možemo zamisliti, ali nikakva količina plastelina neće biti dovoljna).

Mobius traka

Klein boca