Разделы сайта
Выбор редакции:
- Презентация по окружающему миру на тему «Самолеты» скачать бесплатно Презентация для детей самолеты
- Презентация на тему "растения-паразиты" Колумнеи - растения-эпифиты, требовательны к уходу
- Презентация на тему "звездное небо"
- Презентация к уроку на тему: Презентация к уроку по дисциплине "Финансы, денежное обращение и кредит" на тему "Сущность финансов, их функции и роль в экономике
- Презентация проекта по истории средних веков на тему "викинги"
- Молитва при зубной боли у детей и взрослых
- О боге святые отцы. Святые «О Боге. Священное писание о любви
- Лучшие цитаты достоевского о жизни, человеке и любви Любить человека по настоящему достоевский
- Женское начало и мужское начало: символы "инь" и "ян"
- Колеус: приметы и суеверия об огненном цветке Колеус цветок магические свойства
Реклама
Определение производной, её геометрический смысл. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали Геометрический смысл производной связан с |
Конспект открытого урока преподавателя ГБПОУ «Педагогического колледжа № 4 Санкт-Петербурга» Мартусевич Татьяны Олеговны Дата: 29.12.2014. Тема: Геометрический смысл производной. Тип урока: изучение нового материала. Методы обучения: наглядный, частично поисковый. Цель урока. Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его. Образовательные задачи: Добиться понимания геометрического смысла производной; вывода уравнения касательной; научиться решать базовые задачи; обеспечить повторение материала по теме «Определение производной»; создать условия контроля (самоконтроля) знаний и умений. Развивающие задачи: способствовать формированию умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного; продолжить развитие математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти. Воспитательные задачи: содействовать воспитанию интереса к математике; воспитание активности, мобильности, умения общаться. Тип урока – комбинированный урок с использованием ИКТ. Оборудование – мультимедийная установка, презентация Microsoft Power Point . Этап урока Время Деятельность преподавателя Деятельность учащегося 1. Организационный момент. Сообщение темы и цели урока. Тема: Геометрический смысл производной. Цель урока. Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его. Подготовка студентов к работе на занятии. Подготовка к работе на занятии. Осознание темы и цели урока. Конспектирование. 2. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний. Организация повторения и актуализации опорных знаний: определения производной и формулирование её физического смысла. Формулирование определения производной и формулирование её физического смысла. Повторение, актуализация и закрепление опорных знаний. Организация повторения и формирование навыка нахождения производной степенной функции и элемениарных функций. Нахождение производной данных функций по формулам. Повторение свойств линейной функции. Повторение, восприятие чертежей и высказываний преподавателя 3. Работа с новым материалом: объяснение. Объяснение смысла отношения приращения функции к приращению аргумента Объяснение геометрического смысла производной. Введение нового материала посредством словесных объяснений с привлечением образов и наглядных средств: мультимедийной презентации с анимацией. Восприятие объяснения, понимание, ответы на вопросы учителя. Формулирование вопроса преподавателю в случае затруднения. Восприятие новой информации, её первичное понимание и осмысление. Формулирование вопросов преподавателю в случае затруднения. Создание конспекта. Формулирование геометрического смысла производной. Рассмотрение трех случаев. Конспектирование, выполнение рисунков. 4. Работа с новым материалом. Первичное осмысление и применение изученного материала, его закрепление. В каких точках производная положительна? Отрицательна? Равна нулю? Обучение поиску алгоритма ответов на поставленные вопросы по графику. Понимание и осмысление и применение новой информации для решения задачи. 5. Первичное осмысление и применение изученного материала, его закрепление. Сообщение условия задачи. Запись условия задачи. Формулирование вопроса преподавателю в случае затруднения 6. Применение знаний: самостоятельная работа обучающего характера. Решите задачу самостоятельно: Применение полученных знаний. Самостоятельная работа по решению задачи на нахождение производной по рисунку. Обсуждение и сверка ответов в паре, формулирование вопроса преподавателю в случае затруднения. 7. Работа с новым материалом: объяснение. Вывод уравнения касательной к графику функции в точке. Подробное объяснение вывода уравнения касательной к графику функции в точке с привлечением в качестве наглядности в виде мультимедийной презентации, ответы на вопросы учащихся. Вывод уравнения касательной совместно с преподавателем. Ответы на вопросы преподавателя. Конспектирование, создание рисунка. 8. Работа с новым материалом: объяснение. В диалоге со студентами вывод алгоритма нахождения уравнения касательной к графику данной функции в данной точке. В диалоге с преподавателем вывод алгоритма нахождения уравнения касательной к графику данной функции в данной точке. Конспектирование. Сообщение условия задачи. Обучение применению полученных знаний. Организация поиска путей решения задачи и их реализация. подробный разбор решения с объяснением. Запись условия задачи. Выдвижение предположений о возможных путях решения задачи при реализации каждого пункта плана действий. Решение задачи совместно с преподавателем. Запись решения задачи и ответа. 9. Применение знаний: самостоятельная работа обучающего характера. Индивидуальный контроль. Консультирование и помощь студентам по мере необходимости. Проверка и объяснение решения с использованием презентации. Применение полученных знаний. Самостоятельная работа по решению задачи на нахождение производной по рисунку. Обсуждение и сверка ответов в паре, формулирование вопроса преподавателю в случае затруднения 10. Домашнее задание. §48, задачи 1 и 3, разобраться в решении и записать его в тетрадь, с рисунками. № 860 (2,4,6,8), Сообщение домашнего задания с комментариями. Запись домашнего задания. 11. Подведение итогов. Повторили определение производной; физический смысл производной; свойства линейной функции. Узнали, в чём заключается геометрический смысл производной. Научились выводить уравнение касательной к графику данной функции в данной точке. Корректировка и уточнение итогов урока. Перечисление итогов урока. 12. Рефлексия. 1. Вам было на уроке: а) легко; б) обычно; в) трудно. а) усвоил(а) полностью, могу применить; б) усвоил(а), но затрудняюсь в применении; в) не усвоил(а). 3. Мультимедийная презентация на уроке: а) помогала усвоению материала; б) не помогала усвоению материала; в) мешала усвоению материала. Проведение рефлексии. Тип задания: 7 УсловиеПрямая y=3x+2 является касательной к графику функции y=-12x^2+bx-10. Найдите b , учитывая, что абсцисса точки касания меньше нуля. Показать решениеРешениеПусть x_0 — абсцисса точки на графике функции y=-12x^2+bx-10, через которую проходит касательная к этому графику. Значение производной в точке x_0 равно угловому коэффициенту касательной, то есть y"(x_0)=-24x_0+b=3. С другой стороны, точка касания принадлежит одновременно и графику функции и касательной, то есть -12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. Получаем систему уравнений \begin{cases} -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end{cases} Решая эту систему, получим x_0^2=1, значит либо x_0=-1, либо x_0=1. Согласно условию абсцисса точки касания меньше нуля, поэтому x_0=-1, тогда b=3+24x_0=-21. ОтветТип задания: 7 УсловиеПрямая y=-3x+4 параллельна касательной к графику функции y=-x^2+5x-7. Найдите абсциссу точки касания. Показать решениеРешениеУгловой коэффициент прямой к графику функции y=-x^2+5x-7 в произвольной точке x_0 равен y"(x_0). Но y"=-2x+5, значит, y"(x_0)=-2x_0+5. Угловой коэффициент прямой y=-3x+4, указанной в условии, равен -3. Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. Поэтому находим такое значение x_0, что =-2x_0 +5=-3. Получаем: x_0 = 4. ОтветИсточник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. Тип задания: 7 УсловиеПоказать решениеРешениеПо рисунку определяем, что касательная проходит через точки A(-6; 2) и B(-1; 1). Обозначим через C(-6; 1) точку пересечения прямых x=-6 и y=1, а через \alpha угол ABC (на рисунке видно, что он острый). Тогда прямая AB образует с положительным направлением оси Ox угол \pi -\alpha, который является тупым. Как известно, tg(\pi -\alpha) и будет значением производной функции f(x) в точке x_0. Заметим, что tg \alpha =\frac{AC}{CB}=\frac{2-1}{-1-(-6)}=\frac15. Отсюда по формулам приведения получаем: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2. ОтветИсточник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. Тип задания: 7 УсловиеПрямая y=-2x-4 является касательной к графику функции y=16x^2+bx+12. Найдите b , учитывая, что абсцисса точки касания больше нуля. Показать решениеРешениеПусть x_0 — абсцисса точки на графике функции y=16x^2+bx+12, через которую проходит касательная к этому графику. Значение производной в точке x_0 равно угловому коэффициенту касательной, то есть y"(x_0)=32x_0+b=-2. С другой стороны, точка касания принадлежит одновременно и графику функции и касательной, то есть 16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. Получаем систему уравнений \begin{cases} 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end{cases} Решая систему, получим x_0^2=1, значит либо x_0=-1, либо x_0=1. Согласно условию абсцисса точки касания больше нуля, поэтому x_0=1, тогда b=-2-32x_0=-34. ОтветИсточник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. Тип задания: 7 УсловиеНа рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-2; 8). Определите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=6. Показать решениеРешениеПрямая y=6 параллельна оси Ox . Поэтому находим такие точки, в которых касательная к графику функции параллельна оси Ox. На данном графике такими точками являются точки экстремума (точки максимума или минимума). Как видим, точек экстремума 4 . ОтветИсточник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. Тип задания: 7 УсловиеПрямая y=4x-6 параллельна касательной к графику функции y=x^2-4x+9. Найдите абсциссу точки касания. Показать решениеРешениеУгловой коэффициент касательной к графику функции y=x^2-4x+9 в произвольной точке x_0 равен y"(x_0). Но y"=2x-4, значит, y"(x_0)=2x_0-4. Угловой коэффициент касательной y=4x-7, указанной в условии, равен 4 . Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. Поэтому находим такое значение x_0, что 2x_0-4=4. Получаем: x_0=4. ОтветИсточник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. Тип задания: 7 УсловиеНа рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x_0. Показать решениеРешениеПо рисунку определяем, что касательная проходит через точки A(1; 1) и B(5; 4). Обозначим через C(5; 1) точку пересечения прямых x=5 и y=1, а через \alpha угол BAC (на рисунке видно, что он острый). Тогда прямая AB образует с положительным направлением оси Ox угол \alpha. Цели урока: Учащиеся должны знать:
Задачи урока: Образовательные: создать условия для овладения учащимися системы знаний, умений и навыков с понятиями механический и геометрический смысл производной. Воспитательные: формировать у учащихся научное мировоззрение. Развивающие: развивать у учащихся познавательный интерес, творческие способности, волю, память, речь, внимание, воображение, восприятие. Методы организации учебно-познавательной деятельности:
План урока
Оборудование: мультимедийный проектор (презентация), карточки (лабораторная работа). Ход урока“Человек лишь там чего – то добивается, где он верит в свои силы” Л. Фейербах I. Организационный момент.Организация класса в течение всего урока, готовность учащихся к уроку, порядок и дисциплина. Постановка целей учения перед учащимися, как на весь урок, так и на отдельные его этапы. Определить значимость изучаемого материала как в данной теме, так и во все курсе. Устный счет 1. Найдите производные: " , ()" , (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", " 2. Логический тест. а) Вставить пропущенное выражение.
II. Сообщение ученика на тему “Причины появления математического анализа”.Общее направление развития науки, в конечном счете, обусловлено требованиями практики человеческой деятельности. Существование древних государств со сложной иерархической системой управления было бы невозможно без достаточного развития арифметики и алгебры, ибо сбор податей, организация снабжения армии, строительство дворцов и пирамид, создание оросительных систем требовали выполнения сложных расчетов. В эпоху Возрождения расширяются связи между различными частями средневекового мира, развиваются торговля и ремесла. Начинается быстрый подъем технического уровня производства, промышленное применение получают новые источники энергии, не связанные с мускульными усилиями человека или животных. В XI-XII столетии появляются сукновальные и ткацкие станки, а в середине XV - печатный станок. В связи с потребностью в быстром развитии общественного производства в этот период изменяется сущность естественных наук, носивших со времен древности описательный характер. Целью естествознания становится углубленное изучение естественных процессов, а не предметов. Описательному естествознанию древности соответствовала математика, оперировавшая постоянными величинами. Необходимо было создать математический аппарат, который давал бы описание не результата процесса, а характера его течения и свойственных ему закономерностей. В итоге к концу XII столетия, Ньютон в Англии и Лейбниц в Германии завершили первый этап создания математического анализа. Что же такое “математический анализ”? Как можно охарактеризовать, предсказать особенности протекания любого процесса? Использовать эти особенности? Глубже проникать в сущность того или иного явления? III. Изучение нового материала.Пойдем по пути Ньютона и Лейбница и посмотрим, каким способом можно анализировать процесс, рассматривая его как функцию времени. Введем несколько понятий, которые помогут нам в дальнейшем. Графиком линей ной функции y=kx+ b является прямая, число k называют угловым коэффициентом прямой. k=tg, где – угол прямой, то есть угол между этой прямой и положительным направлением оси Ох. Рисунок 1 Рассмотрим график функции у=f(х). Проведем секущую через любые две точки, например, секущую АМ. (Рис.2) Угловой коэффициент секущей k=tg. В прямоугольном треугольнике АМС <МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике. Рисунок 2 Рисунок 3 Сам термин “скорость” характеризует зависимость изменения одной величины от изменения другой, и последняя необязательно должна быть временем. Итак, тангенс угла наклона секущей tg = . Нас интересует зависимость изменения величин в более короткий промежуток времени. Устремим приращение аргумента к нулю. Тогда правая часть формулы – производная функции в точке А (объясните почему). Если х –> 0, то точка М движется по графику к точке А, значит прямая АМ приближается к некоторой прямой АВ, которая является касательной к графику функции у = f(х) в точке А . (Рис.3) Угол наклона секущей стремится к углу наклона касательной. Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке. Механический смысл производной. Тангенс угла наклона касательной есть величина, показывающая мгновенную скорость изменения функции в данной точке, то есть новая характеристика изучаемого процесса. Эту величину Лейбниц назвал производной , а Ньютон говорил, что производной называется сама мгновенная скорость . IV. Физкультминутка.V. Решение заданий.№91(1) стр 91 – показать на доске. Угловой коэффициент касательной к кривой f(х) = х 3 в точке х 0 – 1 есть значение производной этой функции при х = 1. f’(1) = 3х 2 ; f’(1) = 3. №91 (3,5) – под диктовку. №92(1) – на доске по желанию. № 92 (3) – самостоятельно с устной проверкой. №92 (5) – за доской. Ответы: 45 0 , 135 0 , 1,5 е 2 . VI. Лабораторная работа.Цель: отработка понятия “механический смысл производной”. Приложения производной к механике. Задан закон прямолинейного движения точки х = х(t), t.
Работа выполняется по 12 вариантам, задания дифференцированы по уровню сложности (первый вариант - наименьший уровень сложности). Перед началом работы беседа по вопросам:
Образец выполнения работы учащимся. х(t)= t 3 -2 t 2 +1, t 0 = 2. Рисунок 4 В противоположном направлении. Начертим схематично график скорости. Наибольшая скорость достигается в точке t=10, v (10) =3· 10 2 -4· 10 =300-40=260 Рисунок 5 VII. Подведение итогов урока1) В чем состоит геометрический смысл
производной? VIII. Комментирование домашнего задания.Стр.90. №91(2,4,6), №92(2,4,6,), стр. 92 №112. Используемая литература
Произво́дная (функции в точке) - основное понятие дифференциального исчисления , характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю , если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием . Обратный процесс - нахождение первообразной - интегрирование . Если функция задана графиком, её производная в каждой точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции. А если функция задана формулой - вам помогут таблица производных и правила дифференцирования, то есть правила нахождения производной. 4.Производная сложной и обратной функции.Пусть теперь задана сложная функция , т.е. переменная есть функция переменной , а переменная есть, в свою очередь, функция от независимой переменной . Теорема . Если и дифференцируемые функции своих аргументов, то сложная функция является дифференцируемой функцией и ее производная равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу и производной промежуточного аргумента по независимой переменной: . Утверждение легко получается из очевидного равенства (справедливого при и ) предельным переходом при (что в силу непрерывности дифференцируемой функции влечет ). Перейдем к рассмотрению производной обратной функции . Пусть на множестве дифференцируемая функция имеет множество значений и на множестве существует обратная функция . Теорема . Если в точке производная , то производная обратной функции в точке существует и равна обратной величине производной данной функции : , или Эта формула легко получается из геометрических соображений. Так как есть тангенс угла наклона касательной линии к оси , то есть тангенс угла наклона той же касательной (той же линии ) в той же точке к оси . Если и острые, то , а если тупые, то . В обоих случаях . Этому равенству и равносильно равенство 5.Геометрический и физический смысл производной.1) Физический смысл производной. Если функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами, то производная– скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке. Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t, то ее производная– скорость в момент времени. Если q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t, то– скорость изменения количества электричества в момент времени, т.е. сила тока в момент времени. 2) Геометрический смысл производной. Пусть – некоторая кривая,– точка на кривой. Любая прямая, пересекающая не менее чем в двух точках называется секущей. Касательной к кривой в точкеназывается предельное положение секущей, если точкастремится к, двигаясь по кривой. Из определения очевидно, что если касательная к кривой в точке существует, то она единственная Рассмотрим кривую y = f(x) (т.е. график функции y = f(x)). Пусть в точке он имеет невертикальную касательную. Ее уравнение:(уравнение прямой, проходящей через точкуи имеющую угловой коэффициент k). По определению углового коэффициента , где– угол наклона прямойк оси. Пусть– угол наклона секущейк оси, где. Так как– касательная, то при Следовательно, Таким образом, получили, что– угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке(геометрический смысл производной функции в точке). Поэтому уравнение касательной к кривой y = f(x) в точкеможно записать в виде Перед прочтением информации на текущей странице советуем посмотреть видео о производной и её геометрическом смысле Также смотрите пример вычисления производной в точке Касательной к линии l в точке М0 называется прямая М0Т — предельное положение секущей М0М, когда точка М стремится к М0 вдоль данной линии (т. е. угол устремится к нулю) произвольным образом. Производной функции у = f{x) в точке x0 называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Производную функции у = f{x) в точке х0 и учебниках обозначают символом f"(x0). Следовательно, по определению Термин «производная» (а также «вторая производная») ввел Ж. Лагранж (1797), к тому же он дал обозначения y’, f’(x), f”(x) (1770,1779). Обозначение dy/dx впервые встречается у Лейбница (1675). Производная функции y = f(х) при х = xо равна угловому коэффициенту касательной к графику данной функции в точке Мо(хо, f(xо)), т. е. где а - угол наклона касательной к оси Ох прямоугольной декартовой системы координат. Уравнение касательной к линии у = f(x) в точке Мо(хо, уо) принимает вид Нормалью к кривой в некоторой ее точке называется перпендикуляр к касательной в той же точке. Если f(x0) не равно 0, то уравнение нормали к линии у = f(x) в точке Мо(хо, уо) запишется так: Физический смысл производнойЕсли x = f(t) — закон прямолинейного движения точки, то x’ = f’(t) - скорость этого движения в момент времени t. Быстрота протекания физических, химических и других процессов выражается с помощью производной . Если отношение dy/dх при х->х0 имеет предел справа (или слева), то он называется производной справа (соответственно производной слева). Такие пределы называются односторонними производными . Очевидно, функция f{x) определенная в некоторой окрестности точки х0, имеет производную f’{x) тогда и только тогда, когда односторонние производные существуют и равны между собой. Геометрическое истолкование производной как углового коэффициента касательной к графику распространяется и на этот случай: касательная в данном случае параллельна оси Оу. Функция, имеющая производную в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке данного промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке. Если промежуток является замкнутым, то на концах его имеются односторонние производные. Операция нахождения производной называется . |
Читайте: |
---|
Популярное:
Новое
- Презентация на тему "растения-паразиты" Колумнеи - растения-эпифиты, требовательны к уходу
- Презентация на тему "звездное небо"
- Презентация к уроку на тему: Презентация к уроку по дисциплине "Финансы, денежное обращение и кредит" на тему "Сущность финансов, их функции и роль в экономике
- Презентация проекта по истории средних веков на тему "викинги"
- Молитва при зубной боли у детей и взрослых
- О боге святые отцы. Святые «О Боге. Священное писание о любви
- Лучшие цитаты достоевского о жизни, человеке и любви Любить человека по настоящему достоевский
- Женское начало и мужское начало: символы "инь" и "ян"
- Колеус: приметы и суеверия об огненном цветке Колеус цветок магические свойства
- В чем разница и сходство между католиками и православными