Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: комбинированный.

Цели урока:

• Рассмотреть осевую, центральную и зеркальную симметрии как свойства некоторых геометрических фигур.
• Научить строить симметричные точки и распознавать фигуры, обладающие осевой симметрией и центральной симметрией.
• Совершенствовать навыки решения задач.

Задачи урока:

• Формирование пространственных представлений учащихся.
• Развитие умения наблюдать и рассуждать; развитие интереса к предмету через использование информационных технологий.
• Воспитание человека, умеющего ценить прекрасное.

Оборудование урока:

• Использование информационных технологий (презентация).
• Рисунки.
• Карточки с домашним заданием.

Ход урока

I. Организационный момент .

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II. Введение .

Что такое симметрия?

Выдающийся математик Герман Вейль высоко оценил роль симметрии в современной науке: "Симметрия, как бы широко или узко мы не понимали это слово, есть идея, с помощью которой человек пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство".

Мы живем в очень красивом и гармоничном мире. Нас окружают предметы, которые радуют глаз. Например, бабочка, кленовый лист, снежинка. Посмотрите, как они прекрасны. Вы обращали на них внимание? Сегодня мы с вами прикоснемся к этому прекрасному математическому явлению – симметрии. Познакомимся с понятием осевой, центральной и зеркальной симметрий. Будем учиться строить и определять симметричные относительно оси, центра и плоскости фигуры.

Слово “симметрия” в переводе с греческого звучит как “гармония”, означая красоту, соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей. Издавна человек использовал симметрию в архитектуре. Древним храмам, башням средневековых замков, современным зданиям она придает гармоничность, законченность.

В наиболее общем виде под "симметрией" в математике понимается такое преобразование пространства (плоскости), при котором каждая точка M переходит в другую точку M" относительно некоторой плоскости (или прямой) a, когда отрезок MM" является перпендикулярным плоскости (или прямой) a и делится ею пополам. Плоскость (прямая) a называется при этом плоскостью (или осью) симметрии. К фундаментальным понятиям симметрии относятся плоскость симметрии, ось симметрии, центр симметрии. Плоскостью симметрии P называется такая плоскость, которая делит фигуру на две зеркально равные части, расположенные друг относительно друга так, как предмет и его зеркальное отражение.

III. Основная часть. Виды симметрии.

Центральная симметрия

Симметрия относительно точки или центральная симметрия – это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону центра симметрии, соответствует другая точка, расположенная по другую сторону центра. При этом точки находятся на отрезке прямой, проходящей через центр, делящий отрезок пополам.

Практическое задание .

1. Даны точки А , В и М М относительно середины отрезка АВ .
2. Какие из следующих букв имеют центр симметрии: А, О, М, Х, К?
3. Имеют ли центр симметрии: а) отрезок; б) луч; в) пара пересекающихся прямых; г) квадрат?

Осевая симметрия

Симметрия относительно прямой (или осевая симметрия) – это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда будет соответствовать точка, расположенная по другую сторону прямой, а отрезки, соединяющие эти точки, будут перпендикулярны оси симметрии и делятся ею пополам.

Практическое задание .

1. Даны две точки А и В , симметричные относительно некоторой прямой, и точка М . Постройте точку, симметричную точке М относительно той же прямой.
2. Какие из следующих букв имеют ось симметрии: А, Б, Г, Е, О?
3. Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) прямая; в) луч?
4. Сколько осей симметрии имеет рисунок? (см. рис. 1)

Зеркальная симметрия

Точки А и В называются симметричными относительно плоскости α (плоскость симметрии), если плоскость α проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка плоскости α считается симметричной сама себе.

Практическое задание .

1. Найдите координаты точек, в которые переходят точки А (0; 1; 2), В (3; -1; 4), С (1; 0; -2) при: а) центральной симметрии относительно начала координат; б) осевой симметрии относительно координатных осей; в)зеркальной симметрии относительно координатных плоскостей.
2. В правую или левую перчатку переходит правая перчатка при зеркальной симметрии? осевой симметрии? центральной симметрии?
3. На рисунке показано, как цифра 4 отражается в двух зеркалах. Что будет видно на месте знака вопроса, если то же самое сделать с цифрой 5? (см. рис. 2)
4. На рисунке показано, как слово КЕНГУРУ отражается в двух зеркалах. Что получится, если то же самое проделать с числом 2011? (см. рис. 3)

Рис. 2

Это интересно.

Симметрия в живой природе.

Почти все живые существа построены по законам симметрии, недаром в переводе с греческого слово «симметрия» означает «соразмерность».

Среди цветов, например, наблюдается поворотная симметрия. Многие цветы можно повернуть так, что каждый лепесток займет положение соседнего, цветок совместится с самим собой. Минимальный угол такого поворота для различных цветов неодинаков. Для ириса он равен 120°, для колокольчика – 72°, для нарцисса – 60°.

В расположении листьев на стеблях растений наблюдается винтовая симметрия. Располагаясь винтом по стеблю, листья как бы раскидываются в разные стороны и не заслоняют друг друга от света, хотя сами листья тоже имеют ось симметрии. Рассматривая общий план строения какого-либо животного, мы замечаем обычно известную правильность в расположении частей тела или органов, которые повторяются вокруг некоторой оси или занимают одно и то же положение по отношению к некоторой плоскости. Эту правильность называют симметрией тела. Явления симметрии столь широко распространены в животном мире, что весьма трудно указать группу, в которой никакой симметрии тела подметить нельзя. Симметрией обладают и маленькие насекомые, и крупные животные.

Симметрия в неживой природе.

Среди бесконечного разнообразия форм неживой природы в изобилии встречаются такие совершенные образы, чей вид неизменно привлекает наше внимание. Наблюдая за красотой природы, можно заметить, что при отражении предметов в лужах, озерах проявляется зеркальная симметрия (см. рис. 4).

В мир неживой природы очарование симметрии вносят кристаллы. Каждая снежинка – это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают поворотной симметрией и, кроме того, зеркальной симметрией.

Нельзя не увидеть симметрию и в ограненных драгоценных камнях. Многие гранильщики стараются придать бриллиантам форму тетраэдра, куба, октаэдра или икосаэдра. Так как гранат имеет те же элементы что и куб, он высоко ценится знатоками драгоценных камней. Художественные изделия из гранатов были обнаружены в могилах Древнего Египта, относящихся еще к додинастическому периоду (свыше двух тысячелетий до н.э.) (см. рис. 5).

В коллекциях Эрмитажа особым вниманием пользуются золотые украшения древних скифов. Необычайно тонка художественная работа золотых венков, диадем, дерева и украшенных драгоценными красно-фиолетовыми гранатами.

Одним из самых наглядных использований законов симметрии в жизни служат строения архитектуры. Это то, что чаще всего мы можем увидеть. В архитектуре оси симметрии используются как средства выражения архитектурного замысла (см. рис. 6). В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях.

Еще одним примером использования человеком симметрии в своей практике – это техника. В технике оси симметрии наиболее четко обозначаются там, где требуется оценить отклонение от нулевого положения, например на руле грузовика или на штурвале корабля. Или одно из важнейших изобретений человечества, имеющих центр симметрии, является колесо, также центр симметрии есть у пропеллера и других технических средств.

«Посмотри в зеркало!»

Должны ли мы считать, что самих себя видим только в «зеркальном отражении»? Или в лучшем случае лишь на фото и кинопленке можем узнать, как мы выглядим «на самом деле»? Конечно, нет: достаточно зеркальное изображение вторично отразить в зеркале, чтобы увидеть свое истинное лицо. На помощь приходят трельяжи. Они имеют одно большое главное зеркало в центре и два меньших зеркала по сторонам. Если такое боковое зеркало поставить под прямым углом к среднему, то можно увидеть себя именно в том виде, в каком вас видят окружающие. Зажмурьте левый глаз, и ваше отражение во втором зеркале повторит ваше движение левым глазом. Перед трельяжем вы можете выбирать, хотите ли вы увидеть себя в зеркальном или в непосредственном изображении.

Легко вообразить, какая бы царила на Земле неразбериха, если бы симметрия в природе была нарушена!

Рис. 4	Рис. 5	Рис. 6

IV. Физкультминутка.

• «Ленивые восьмерки » – активизируют структуры, обеспечивающие запоминание, повышают устойчивость внимания.
  Нарисовать в воздухе в горизонтальной плоскости цифру восемь по три раза сначала одной рукой, затем сразу обеими руками.
• «Симметричные рисунки » – улучшают зрительно-моторную координацию, облегчают процесс письма.
  Нарисовать в воздухе обеими руками симметричные рисунки.

V. Самостоятельная работа проверочного характера.

Ι вариант

ΙΙ вариант

1. В прямоугольнике MPKH О – точка пересечения диагоналей, РА и BH – перпендикуляры, проведенные из вершин Р и H к прямой МК. Известно, что МА = ОВ. Найдите угол РОМ.
2. В ромбе MPKH диагонали пересекаются в точке О. На сторонах МК, KH, PH взяты точки А, В, С соответственно, АК = КВ = РС. Докажите, что ОА = ОВ, и найдите сумму углов РОС и МОА.
3. Постройте квадрат по данной диагонали так, чтобы две противоположные вершины этого квадрата лежали на разных сторонах данного острого угла.

VI. Подведение итогов урока. Оценивание.

• С какими видами симметрии вы познакомились на уроке?
• Какие две точки называются симметричными относительно данной прямой?
• Какая фигура называется симметричной относительно данной прямой?
• Какие две точки называются симметричными относительно данной точки?
• Какая фигура называется симметричной относительно данной точки?
• Что такое зеркальная симметрия?
• Приведите примеры фигур, обладающих: а) осевой симметрией; б) центральной симметрией; в) и осевой, и центральной симметрией.
• Приведите примеры симметрии в живой и неживой природе.

VII. Домашнее задание.

1. Индивидуальное: достройте, применив осевую симметрию (см. рис. 7).

Рис. 7

2. Постройте фигуру, симметричную данной относительно: а) точки; б) прямой (см. рис. 8, 9).

Рис. 8	Рис. 9

3. Творческое задание: «В мире животных». Нарисуйте представителя из мира животных и покажите ось симметрии.

VIII. Рефлексия.

• Что понравилось на уроке?
• Какой материал был наиболее интересен?
• Какие трудности возникли при выполнении того или иного задания?
• Что бы вы изменили в ходе урока?

Эта пара средств определяет расположение элементов композиции относительно главной оси. Если оно одинаково, то композиция выступает как симметричная, если в нем есть небольшое отклонение в сторону, то композиция является дисимметричной. При значительном таком отклонении она становится асимметричной.

Очень часто симметрия, как и асимметрия, выражается в сопоставлении нескольких композиционных осей. Самый простой случай – соотношение главной оси и подчиненных ей осей, определяющих положение второстепенных частей композиции. При значительном расхождении второстепенных осей с главной осью композиция может разрушиться. Для достижения ее целостности используются разные приемы: сближение осей, их слияние, принятие общего направления. На рисунке 17 представлены формальные композиции (схемы), построенные на их основе.

Рисунок 17 - Композиции с разными осями симметрии

Практическое задание

1 Создать симметричную композицию (разные виды симметрии) (Приложение А, рисунки 15-16).

2 Создать асимметричную композицию (Приложение А, рисунок 17).

Требования:

выполняется 7-10 поисковых вариантов композиции;

внимательно отнестись к компоновке элементов; при реализации основной идеи заботиться об аккуратности исполнения.

Карандаш, тушь, акварель, цветные карандаши. Формат листа – А3.

Равновесие

Правильно построенная композиция является уравновешенной.

Равновесие – это размещение элементов композиции, при котором каждый предмет находится в устойчивом положении. Его местонахождение не вызывает сомнения и желания передвинуть его по изобразительной плоскости. При этом не требуется точного зеркального соответствия правой и левой сторон. Количественное соотношение тональных и цветовых контрастов левой и правой частей композиции должно быть равным. Если же в одной части число контрастных пятен больше, необходимо усилить контрастные отношения в другой части либо ослабить контрасты в первой. Можно изменить очертания предметов, увеличив периметр контрастных отношений.

Для установления равновесия в композиции важны форма, направление, место расположения изобразительных элементов (рисунок 18).

Рисунок 18 - Равновесие контрастных пятен в композиции

Неуравновешенная композиция выглядит случайной и необоснованной, вызывающей желание дальше работать над ней (производить перекомпоновку элементов и их деталей) (рисунок 19).

Рисунок 19 - Уравновешенная и неуравновешенная композиция

Правильно построенная композиция не может вызывать сомнения и чувства неопределенности. В ней должна быть успокаивающая глаз ясность соотношений, пропорций.

Рассмотрим простейшие схемы построения композиций:

Рисунок 20 – Схемы уравновешенности композиции

Изображение А – уравновешенное. В сочетании его квадратов и прямоугольников различных размеров и пропорций чувствуется жизнь, ничего не хочется изменить или добавить, есть композиционная ясность пропорций.

Можно сравнить устойчивую вертикальную линию на рисунке 20, А с колеблющейся на рисунке 20, Б. Пропорции на рисунке Б основаны на небольших различиях, которые мешают определить их равноценность, понять, что изображено - прямоугольник или квадрат.

На рисунке 20, В каждый диск в отдельности выглядит неуравновешенным. Вместе они образуют пару, которая находится в состоянии покоя. На рисунке 20, Г та же самая пара выглядит совершенно несбалансированной, т.к. сдвинута относительно осей квадрата.

Равновесие бывает двух видов.

Статическое равновесие возникает при симметричном расположении фигур на плоскости относительно вертикальной и горизонтальной осей формата композиции симметричной формы (рисунок 21).

Рисунок 21 - Статическое равновесие

Динамическое равновесие возникает при асимметричном расположении фигур на плоскости, т.е. при их сдвиге вправо, влево, вверх, вниз (рисунок 22).

Рисунок 22 - Динамическое равновесие

Чтобы фигура казалась изображенной в центре плоскости, ее нужно немного передвинуть вверх относительно осей формата. Круг, расположенный в центре, кажется смещенным вниз, этот эффект усиливается, если низ круга окрасить в темный цвет (рисунок 23).

Рисунок 23 – Уравновешенность круга

Крупную фигуру в левой части плоскости в состоянии уравновесить небольшой контрастный элемент в правой, который активен в силу своих тональных отношений с фоном (рисунок 24).

Рисунок 24 – Уравновешенность крупного и мелкого элемента

Практическое задание

1 Выполнить уравновешенную композицию, используя любые мотивы (Приложение А, рисунок 18).

2 Выполнить неуравновешенную композицию (Приложение А, рисунок 19).

Требования:

выполнить поисковые варианты (5-7 шт.) в ахроматическом исполнении с нахождением тональных отношений;

работа должна быть аккуратной.

Материал и размеры композиции

Тушь. Формат листа – А3.

Если на минутку задуматься и представить у себя в воображении какой-либо предмет, то в 99% случаев фигура, пришедшая на ум, будет правильной формы. Лишь 1 % людей, точнее их воображение, нарисует замысловатый объект, выглядящий совсем неправильно или непропорционально. Это скорее исключение из правил и относится к нетрадиционно размышляющим личностям с особым взглядом на вещи. Но возвращаясь к абсолютному большинству, стоит сказать, что существенная доля правильных предметов все же преобладает. В статье пойдет речь исключительно о них, а именно о симметричном рисовании таковых.

Изображение правильных предметов: всего несколько шагов до законченного рисунка

Прежде чем приступить к рисованию симметричного предмета, нужно его выбрать. В нашем варианте это будет ваза, но даже если она никак не напоминает то, что решили изображать вы, не отчаивайтесь: все шаги абсолютно идентичны. Придерживайтесь последовательности и все получится:

1. У всех предметов правильной формы есть так называемая центральная ось, которую при симметричном рисовании обязательно стоит выделить. Для этого можно даже воспользоваться линейкой и провести по центру альбомного листа прямую линию.
2. Далее внимательно посмотрите на выбранный вами предмет и постарайтесь перенести его пропорции на лист бумаги. Сделать это несложно, если с обеих сторон проведенной заранее линии, наметить легкие штрихи, которые впоследствии станут очертаниями рисуемого предмета. В случае с вазой необходимо выделить горлышко, донышко и самую широкую часть корпуса.
3. Не забывайте о том, что симметричное рисование не терпит неточностей, поэтому если есть некоторые сомнения относительно намеченных штрихов, или вы не уверены в правильности собственного глазомера, перепроверьте отложенные расстояния при помощи линейки.
4. Последний шаг - соединение всех линий воедино.

Симметричное рисование доступно компьютерным пользователям

В силу того что большинство окружающих нас предметов имеют правильные пропорции, иначе говоря симметричны, разработчики компьютерных приложений создали программы, в которых легко можно нарисовать абсолютно все. Достаточно лишь скачать их и наслаждаться творческим процессом. Однако помните, машина никогда не станет заменой остро наточенному карандашу и альбомному листу.

Цели:

• образовательные:
  • дать представление о симметрии;
  • познакомить с основными видами симметрии на плоскости и в пространстве;
  • выработать прочные навыки построения симметричных фигур;
  • расширить представления об известных фигурах, познакомив со свойствами, связанных с симметрией;
  • показать возможности использования симметрии при решении различных задач;
  • закрепить полученные знания;
• общеучебные:
  • научить настраивать себя на работу;
  • научить вести контроль за собой и соседом по парте;
  • научить оценивать себя и соседа по парте;
• развивающие:
  • активизировать самостоятельную деятельность;
  • развивать познавательную деятельность;
  • учить обобщать и систематизировать полученную информацию;
• воспитательные:
  • воспитываать у учащихся “чувство плеча”;
  • воспитывать коммуникативность;
  • прививать культуру общения.

ХОД УРОКА

Перед каждым лежат ножницы и лист бумаги.

Задание 1 (3 мин).

– Возьмем лист бумаги, сложим его попалам и вырежем какую-нибудь фигурку. Теперь развернем лист и посмотрим на линию сгиба.

Вопрос: Какую функцию выполняет эта линия?

Предполагаемый ответ: Эта линия делит фигуру пополам.

Вопрос: Как расположены все точки фигуры на двух получившихся половинках?

Предполагаемый ответ: Все точки половинок находятся на равном расстоянии от линии сгиба и на одном уровне.

– Значит, линия сгиба делит фигурку пополам так, что 1 половинка является копией 2 половинки, т.е. эта линия непростая, она обладает замечательным свойством (все точки относительно ее находятся на одинаковом расстоянии), эта линия – ось симметрии.

Задание 2 (2 мин).

– Вырезать снежинку, найти ось симметрии, охарактеризовать ее.

Задание 3 (5 мин).

– Начертить в тетради окружность.

Вопрос: Определить, как проходит ось симметрии?

Предполагаемый ответ: По-разному.

Вопрос: Так сколько осей симметрии имеет окружность?

Предполагаемый ответ: Много.

– Правильно, окружность имеет множество осей симметрии. Такой же замечательной фигурой является шар (пространственная фигура)

Вопрос: Какие еще фигуры имеют не одну ось симметрии?

Предполагаемый ответ: Квадрат, прямоугольник, равнобедренный и равносторонний треугольники.

– Рассмотрим объемные фигуры: куб, пирамиду, конус, цилиндр и т.д. Эти фигуры тоже имеют ось симметрии.Определите, сколько осей симметрии у квадрата, прямоугольника, равностороннего треугольника и у предложенных объемных фигур?

Раздаю учащимся половинки фигурок из пластилина.

Задание 4 (3 мин).

– Используя полученную информацию, долепить недостающую часть фигурки.

Примечание: фигурка может быть и плоскостной, и объемной. Важно, чтобы учащиеся определили, как проходит ось симметрии, и долепили недостающий элемент. Правильность выполнения определяет сосед по парте, оценивает, насколько правильно проделана работа.

Из шнурка одного цвета на рабочем столе выложена линия (замкнутая, незамкнутая, с самопересечением, без самопересечения).

Задание 5 (групповая работа 5 мин).

– Определить визуально ось симметрии и относительно нее достроить из шнурка другого цвета вторую часть.

Правильность выполненной работы определяется самими учениками.

Перед учащимися представлены элементы рисунков

Задание 6 (2 мин).

– Найдите симметричные части этих рисунков.

Для закрепления пройденного материала предлагаю следующие задания, предусмотренные на 15 мин.:

Назовите все равные элементы треугольника КОР и КОМ. Каков вид этих треугольников?

2. Начертите в тетради несколько равнобедренных треугольников с общим основанием равным 6 см.

3. Начертите отрезок АВ. Постройте прямую перпендикулярную отрезку АВ и проходящую через его середину. Отметьте на ней точки С и D так, чтобы четырехугольник АСВD был симметричен относительно прямой АВ.

– Наши первоначальные представления о форме относятся к очень отдаленной эпохе древнего каменного века – палеолита. В течение сотен тысячелетий этого периода люди жили в пещерах, в условиях мало отличавшихся от жизни животных. Люди изготовляли орудия для охоты и рыболовства, вырабатывали язык для общения друг с другом, а в эпоху позднего палеолита украшали свое существование, создавая произведения искусства, статуэтки и рисунки, в которых обнаруживается замечательное чувство формы.
Когда произошел переход от простого собирания пищи к активному ее производству, от охоты и рыболовства к земледелию, человечество вступает в новый каменный век, в неолит.
Человек неолита обладал острым чувством геометрической формы. Обжиг и раскраска глиняных сосудов, изготовление камышовых циновок, корзин, тканей, позже – обработка металлов вырабатывали представления о плоскостных и пространственных фигурах. Неолитические орнаменты радовали глаз, выявляя равенство и симметрию.
– А где в природе встречается симметрия?

Предполагаемый ответ: крылья бабочек, жуков, листья деревьев…

– Симметрию можно наблюдать и в архитектуре. Строя здания, строители четко придерживаются симметрии.

Поэтому здания получаются такие красивые. Также примером симметрии служит человек, животные.

Задание на дом:

1. Придумать свой орнамент, изобразить его на листе формат А4 (можно нарисовать в виде ковра).
2. Нарисовать бабочек, отметить, где присутствуют элементы симметрии.