Nasira

Kahulugan

putol na linya, o sa madaling salita, putol na linya, ay isang may hangganang pagkakasunod-sunod ng mga segment na ang isa sa mga dulo ng unang segment ay nagsisilbing dulo ng pangalawa, ang kabilang dulo ng pangalawang segment ay nagsisilbing dulo ng pangatlo, atbp. Sa kasong ito, ang mga katabing segment ay hindi nakahiga sa parehong tuwid na linya. Ang mga segment na ito ay tinatawag na mga link ng putol na linya.

Mga uri ng polyline

Ang putol na linya ay tinatawag sarado, kung ang simula ng unang segment ay tumutugma sa dulo ng huli.

Ang isang putol na linya ay maaaring tumawid sa sarili nito, mahawakan ang sarili nito, o mag-overlap sa sarili nito. Kung walang ganoong mga singularidad, kung gayon ang isang putol na linya ay tinatawag simple lang.

Mga polygon

Kahulugan

Ang isang simpleng saradong putol na linya kasama ang isang bahagi ng eroplano na nakatali dito ay tinatawag polygon.

Magkomento

Sa bawat vertex ng isang polygon, ang mga gilid nito ay tumutukoy sa isang tiyak na anggulo ng polygon. Maaari itong maging hindi gaanong pinalawak o mas pinalawak.

Ari-arian

Ang bawat polygon ay may anggulo na mas mababa sa $180^\circ$.

Patunay

Hayaang magbigay ng polygon na $P$.

Gumuhit tayo ng ilang tuwid na linya na hindi bumabagtas dito. Ililipat namin ito parallel sa polygon. Sa isang punto, sa unang pagkakataon ay makakakuha tayo ng isang tuwid na linya na $a$ na mayroong kahit isang karaniwang punto na may polygon na $P$. Ang polygon ay nasa isang gilid ng linyang ito (ang ilan sa mga punto nito ay nasa linya $a$).

Ang linyang $a$ ay naglalaman ng kahit isang vertex ng polygon. Dalawa sa mga gilid nito, na matatagpuan sa isang gilid ng linyang $a$, ay nagtatagpo sa loob nito (kabilang ang kaso kapag ang isa sa kanila ay nasa linyang ito). Nangangahulugan ito na sa vertex na ito ang anggulo ay mas mababa kaysa sa nakabuka.

Kahulugan

Ang polygon ay tinatawag matambok, kung ito ay nasa isang gilid ng bawat linya na naglalaman ng gilid nito. Kung ang isang polygon ay hindi matambok, ito ay tinatawag hindi matambok.

Magkomento

Ang convex polygon ay ang intersection ng mga kalahating eroplano na nakatali ng mga linya na naglalaman ng mga gilid ng polygon.

Mga katangian ng isang convex polygon

Ang convex polygon ay may lahat ng mga anggulo na mas mababa sa $180^\circ$.

Ang isang segment ng linya na nagkokonekta sa anumang dalawang punto ng isang matambok na polygon (sa partikular, alinman sa mga diagonal nito) ay nakapaloob sa polygon na ito.

Patunay

Patunayan natin ang unang pag-aari

Kunin ang anumang anggulo na $A$ ng isang matambok na polygon na $P$ at ang gilid nito na $a$ na nagmumula sa vertex na $A$. Hayaang ang $l$ ay isang linyang naglalaman ng gilid na $a$. Dahil ang polygon na $P$ ay matambok, ito ay nasa isang gilid ng linyang $l$. Dahil dito, ang anggulo nitong $A$ ay nasa isang gilid ng linyang ito. Nangangahulugan ito na ang anggulo na $A$ ay mas mababa sa nabuong anggulo, ibig sabihin, mas mababa sa $180^\circ$.

Patunayan natin ang pangalawang pag-aari

Kumuha ng alinmang dalawang puntos na $A$ at $B$ ng convex polygon na $P$. Ang polygon na $P$ ay ang intersection ng ilang kalahating eroplano. Ang segment na $AB$ ay nasa bawat kalahating eroplanong ito. Samakatuwid, ito ay nakapaloob din sa polygon na $P$.

Kahulugan

Diagonal ng isang polygon tinatawag na segment na nag-uugnay sa mga di-katabing vertices nito.

Theorem (tungkol sa bilang ng mga diagonal ng isang n-gon)

Ang bilang ng mga diagonal ng isang matambok na $n$-gon ay kinakalkula ng formula na $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Patunay

Mula sa bawat vertex ng isang n-gon posible na gumuhit ng $n-3$ diagonal (hindi ka maaaring gumuhit ng diagonal sa mga kalapit na vertex o sa mismong vertex na ito). Kung bibilangin natin ang lahat ng posibleng mga segment, magkakaroon ng $n\cdot(n-3)$ ng mga ito, dahil mayroong $n$ vertices. Ngunit ang bawat dayagonal ay bibilangin nang dalawang beses. Kaya, ang bilang ng mga diagonal ng isang n-gon ay katumbas ng $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Theorem (tungkol sa kabuuan ng mga anggulo ng isang n-gon)

Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang matambok na $n$-gon ay $180^\circ(n-2)$.

Patunay

Isaalang-alang ang $n$-gon $A_1A_2A_3\ldots A_n$.

Kumuha tayo ng di-makatwirang puntong $O$ sa loob ng polygon na ito.

Ang kabuuan ng mga anggulo ng lahat ng tatsulok $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_(n-1)OA_n$ ay katumbas ng $180^\circ\cdot n$.

Sa kabilang banda, ang kabuuan na ito ay ang kabuuan ng lahat ng panloob na anggulo ng polygon at ang kabuuang anggulo $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$.

Kung gayon ang kabuuan ng mga anggulo ng $n$-gon na isinasaalang-alang ay katumbas ng $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Bunga

Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang hindi matambok na $n$-gon ay $180^\circ(n-2)$.

Patunay

Isaalang-alang ang polygon na $A_1A_2\ldots A_n$, na ang tanging anggulo na $\angle A_2$ ay hindi matambok, iyon ay, $\angle A_2>180^\circ$.

Tukuyin natin ang kabuuan ng kanyang nahuli bilang $S$.

Ikonekta natin ang mga puntos na $A_1A_3$ at isaalang-alang ang polygon na $A_1A_3\ldots A_n$.

Ang kabuuan ng mga anggulo ng polygon na ito ay:

$180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\angle A_2+\angle 1+\angle 2=S-\angle A_2+180^\circ-\angle A_1A_2A_3=S+180^\circ-( \angle A_1A_2A_3+\angle A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.

Samakatuwid, $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Kung ang orihinal na polygon ay may higit sa isang hindi matambok na anggulo, kung gayon ang operasyong inilarawan sa itaas ay maaaring gawin sa bawat ganoong anggulo, na hahantong sa pagpapatunay ng pahayag.

Theorem (sa kabuuan ng mga panlabas na anggulo ng isang convex n-gon)

Ang kabuuan ng mga panlabas na anggulo ng isang matambok na $n$-gon ay $360^\circ$.

Patunay

Ang panlabas na anggulo sa vertex $A_1$ ay katumbas ng $180^\circ-\angle A_1$.

Ang kabuuan ng lahat ng mga panlabas na anggulo ay katumbas ng:

$\sum\limits_(n)(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_(n)A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n -2)=360^\circ$.

iyong kanya polygon. Halimbawa, kung kailangan mong hanapin mga anggulo tama polygon na may 15 panig, palitan ang n=15 sa equation. Makakakuha ka ng S=180⁰(15-2), S=180⁰x13, S=2340⁰.

Susunod, hatiin ang nagresultang kabuuan ng mga panloob na anggulo sa kanilang numero. Halimbawa, sa isang polygon, ang bilang ng mga anggulo ay ang bilang ng mga panig, iyon ay, 15. Kaya, nakuha mo na ang anggulo ay 2340⁰/15=156⁰. Bawat panloob na sulok polygon katumbas ng 156⁰.

Kung ito ay mas maginhawa para sa iyo upang kalkulahin mga anggulo polygon sa radians, magpatuloy bilang mga sumusunod. Ibawas ang numero 2 mula sa bilang ng mga panig at i-multiply ang resultang pagkakaiba sa bilang na P (Pi). Pagkatapos ay hatiin ang produkto sa bilang ng mga anggulo sa polygon. Halimbawa, kung kailangan mong kalkulahin mga anggulo regular na 15-gon, magpatuloy tulad ng sumusunod: P*(15-2)/15=13/15P, o 0.87P, o 2.72 (ngunit, tulad ng , ang bilang P ay nananatiling hindi nagbabago). O hatiin lamang ang laki ng anggulo sa mga degree sa pamamagitan ng 57.3 - kung magkano ang nilalaman sa isang radian.

Maaari mo ring subukang kalkulahin mga anggulo tama polygon sa grads. Upang gawin ito, ibawas ang numero 2 mula sa bilang ng mga panig, hatiin ang nagresultang numero sa bilang ng mga panig at i-multiply ang resulta ng 200. Ang anggulong ito ay halos hindi ginagamit, ngunit kung magpasya ka mga anggulo sa granizo, huwag kalimutan na ang yelo ay nahahati sa panukat na segundo at minuto (100 segundo bawat isa).

Maaaring kailanganin mong kalkulahin ang panlabas na anggulo ng tama polygon, sa kasong ito, gawin ito. Ibawas ang panloob na anggulo mula sa 180⁰ - bilang isang resulta makakakuha ka ng halaga ng katabi, iyon ay, panlabas na anggulo. Maaari itong mula -180⁰ hanggang +180⁰.

Nakatutulong na payo

Kung namamahala ka upang malaman ang mga anggulo ng isang regular na polygon, madali mo itong mabuo. Gumuhit ng isang gilid ng isang tiyak na haba at gumamit ng isang protractor upang iguhit ang nais na anggulo mula dito. Sukatin ang eksaktong parehong distansya (lahat ng panig ng regular na polygon ay pantay) at muling itabi ang nais na anggulo. Magpatuloy hanggang sa magkatagpo ang mga panig.

Mga Pinagmulan:

• anggulo sa isang regular na polygon

Ang polygon ay binubuo ng ilang mga segment na konektado sa isa't isa at bumubuo ng isang saradong linya. Ang lahat ng mga figure sa klase na ito ay nahahati sa simple at kumplikado. Kasama sa mga simple ang mga triangles at quadrilaterals, at ang mga kumplikado ay kinabibilangan ng mga polygon na may malaking halaga mga partido, pati na rin ang mga star polygon.

Mga tagubilin

Kadalasan sa mga problema ay nakatagpo tayo ng isang regular na tatsulok mga partido oh a. Dahil ang polygon ay regular, kung gayon ang lahat ng tatlo nito mga partido s ay pantay. Samakatuwid, ang pag-alam sa median at taas ng isang tatsulok, maaari mong mahanap ang lahat nito mga partido s. Upang gawin ito, gamitin ang paraan ng paghahanap mga partido s :a=x/cosα. Mula noon mga partido s, ibig sabihin. a=b=c=a, a=b=c=x/cosα, kung saan ang x ay ang taas, median o bisector. Hanapin ang lahat ng tatlong hindi alam sa katulad na paraan mga partido s sa isang isosceles triangle, ngunit sa ilalim ng isang kondisyon - isang naibigay na taas. Dapat itong i-project sa base ng tatsulok. Pag-alam sa taas ng base x, hanapin mga partido y a:a=x/cosα. Dahil a=b, dahil isosceles ang triangle, hanapin ito mga partido s gaya ng sumusunod:a=b=x/cosα.Pagkatapos mong mahanap ang gilid mga partido s ng isang tatsulok, kalkulahin ang haba ng base ng tatsulok, gamit ang Pythagorean theorem upang mahanap ang kalahati ng base: c/2=√(x/cosα)^2-(x^2)=√x^2 (1 -cos^2α)/ cos^2α =xtgα.Mula dito hanapin ang base:c=2xtgα.

Ang parisukat ay kumakatawan, mga partido s kung saan ay kinakalkula sa maraming paraan. Ang bawat isa sa kanila ay tinalakay sa ibaba.Ang unang paraan ay nagmumungkahi ng paghahanap mga partido s parisukat. Dahil ang lahat ng mga anggulo ng isang parisukat ay mga tamang anggulo, pinutol ang mga ito sa kalahati sa paraang dalawa kanang tatsulok na may mga anggulo na 45 degrees sa . Ayon sa pagkakabanggit, mga partido at ang parisukat ay katumbas ng:a=b=c=f=d*cosα=d√2/2, kung saan ang d ay ang parisukat. Kung ang parisukat ay nakasulat sa isang bilog, pagkatapos ay alam ang radius ng bilog na ito, hanapin ito mga partido y:a4=R√2, kung saan ang R ay ang radius ng bilog.

Uri ng aralin: praktikal na aralin, pinagsamang aralin.

Mga layunin ng aralin:

1. Magbigay ng formula na nagpapahayag ng kabuuan ng mga anggulo ng isang matambok na polygon

2. Pag-unlad ng lohikal na pag-iisip at atensyon

3. Pagpapaunlad ng kultura ng gawaing pangkaisipan

Kagamitan: talahanayan "Kabuuan ng mga anggulo ng convex polygon", workbook sa geometry, set ng mga modelo ng convex polygons.

Mga teknolohiyang ginamit: elemento ng teknolohiya kritikal na pag-iisip, mga teknolohiyang nagliligtas sa kalusugan, teknolohiya sa pag-aaral na nakabatay sa problema.

Sa panahon ng mga klase:

ako . Emosyonal na simula ng aralin:

Hello guys. Hello, mga bisita. Guys, tumingin sa akin. Nag-aalala ako, at ikaw? Ano ang iyong kalooban? Suportahan natin ang isa't isa, ngumiti sa isa't isa, at sigurado akong malalampasan natin ang lahat ng paghihirap nang magkasama, magagawa natin ito.

Ano sa palagay mo ang magiging aralin ngayon? Lugi ka ba? Hindi namin bubuoin ang paksa ng aming aralin sa ngayon; babalikan namin ito mamaya, sa kurso ng trabaho.

II . Pag-update ng kaalaman:

Mathematical dictation (frontal) na sinusundan ng pagsubok sa likod ng board. Ang mag-aaral ay gumagawa sa likod ng pisara.

Ang layunin ng gawaing ito: ulitin lahat kinakailangang impormasyon para sa karagdagang trabaho.

Uri ng pagsusulit: mutual o self-test, pipiliin ng mga mag-aaral.

Sinusuri ng guro ang 2-3 akda na pinili ng mga mag-aaral. Ang marka ay batay sa bilang ng mga tamang sagot.

Pagdidikta:

1 Polygon na maynvertex ay tinatawag na... (n-parisukat).

2. Ang isang segment na nagkokonekta sa alinmang dalawang di-katabing vertices ay tinatawag na... (diagonal ng isang polygon).

3. Kung ang isang polygon ay namamalagi sa isang gilid ng bawat tuwid na linya na dumadaan sa dalawang magkatabing vertices nito, kung gayon ito ay tinatawag na... (convex).

4. Dalawang vertices ng isang quadrilateral na hindi magkatabi ay tinatawag na... (kabaligtaran).

5. Ano ang halaga? mga sukat ng antas lahat ng anggulo ng isang tatsulok?.. (180°).

Mga resulta: konsepton-gon, ang mga dayagonal nito, isang matambok na polygon, ang kabaligtaran na mga vertices nito, ang kabuuan ng mga sukat ng antas ng lahat ng mga anggulo ng isang tatsulok na gagamitin natin sa susunod na yugto ng ating aralin, sa pagsasagawa ng gawaing laboratoryo.

III . Pag-aaral ng bagong materyal:

Laboratory work (pares).

Layunin ng gawain: eksperimento na nakakakuha ng isang formula na nagpapahayag ng kabuuan ng mga anggulo ng isang convex polygon.

Mga direksyon para sa paggamit:

1. Bumuo ng tatlong matambok na polygon.

2. Gumuhit ng mga diagonal mula sa isang vertex.

3. Ihambing ang bilang ng mga gilid ng polygon sa bilang ng mga resultang tatsulok.

4. Ipahayag ang kabuuan ng mga anggulo ng bawat polygon sa mga tuntunin ng kabuuan ng mga anggulo ng tatsulok.

Itala ang mga resulta sa isang talahanayan (isulat ng ilang mag-aaral ang kanilang mga resulta sa pisara)

Posible bang bumalangkas ng paksa ng aralin ngayon?

- Paksa: "Kabuuan ng mga anggulo ng convex polygon"

5. Bumuo ng hypothesis: “Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang matambokn-gon ay katumbas ng (n-2) ٠ 180°"

Patunayan natin ang hypothesis na ito sa pamamagitan ng pagbabasa ng derivation ng formula sa pahina 99 ng textbook. Isulat natin ang formula sa isang kuwaderno. Sinusuri ng mga mag-aaral ang mga resulta ng kanilang gawain sa laboratoryo gamit ang isang five-point system.

IV . Break na nakakatipid sa kalusugan.

Target: maiwasan ang pagkapagod, pangalagaan ang kalusugan ng mga mag-aaral sa pamamagitan ng pagkonekta ng mga ehersisyo sa mga elementong kasama sa paksa ng aralin (na may mga anggulo ng iba't ibang uri).

Ang mga bata ay nakaupo sa isang mesa. Anyayahan silang umupo sa 90° anggulo.

Guys, tumayo ka na. Gamitin ang iyong mga kamay upang gumuhit ng isang malawak na anggulo. Pagbubuhat kanang kamay, magpakita ng tamang anggulo. Gawin din ito sa pamamagitan ng pag-angat kaliwang kamay. Pagkatapos ay salit-salit na gumuhit ng obtuse at pagkatapos ay acute angles. Umupo.

V . Pagsasama-sama ng pinag-aralan na materyal.

Target: turuan ang mga mag-aaral na lutasin ang direkta at baligtad na mga problema gamit ang formula para sa kabuuan ng mga anggulo ng isang convex polygon.

Pagtugon sa suliranin

1. Magtrabaho sa mga workbook. (Binabasa ng isa sa mga mag-aaral ang problema at ang solusyon nito nang malakas, pinupunan ang mga patlang, ang iba ay maingat na sinusubaybayan ang kanyang gawain. Kung ang isang mag-aaral ay nagkamali, itatama ito ng klase.)

Gawain Blg. 4. Gamit ang formula (n-2) 180°, hanapin ang kabuuan ng mga anggulo ng matambok:

a) decagon

b) dalawampu't dalawang panig na tatsulok

Sagot: a) 1620°, b) 3600°

2. Magpasya sa pamamagitan ng pagsulat Blg. 365 (c). Ilang panig mayroon ang isang matambok na polygon, ang bawat anggulo ay may sukat na 120°?

Ang isa sa mga mag-aaral ay tinawag sa pisara upang lutasin ang problema, ang iba ay nagtatrabaho sa kanilang mga kuwaderno.

Solusyon: kabuuan ng mga anggulo ng isang matambokn-gon ay 180°٠ ( n-2). Samakatuwid 180 °٠ ( n-2)=120°٠ n

Mula rito: 180°٠ n-360°=120°٠ n, 60°٠ n=360°,n=6.

Sagot: 6 na panig.

Mga nagmumungkahi na tanong:

Ano ang kabuuan ng mga anggulo ng isang matambokn-parisukat?

Ang isa pang paraan upang makalkula ang kabuuan ng mga anggulo ng isang matambokn-gon, kung ang bawat isa nitonang mga anggulo na katumbas ng 120°?

Paano mahahanap ang bilang ng mga gilid ng naturang polygon?

VI . Pansariling gawain

Target: suriin ang antas ng karunungan sa paksa

Ehersisyo 1.

Gamit ang formula, hanapin ang kabuuan ng mga anggulo ng matamboknparisukat

Opsyon 1 Opsyon 2

n=12. Sagot: 1800°n=32. Sagot: 5400°

Gawain 2.

Ilang panig mayroon ang convex polygon, ang bawat anggulo nito ay katumbas ng:

Opsyon 1 Opsyon 2

90°. Sagot: Apat 60° Sagot: Tatlo

Ilang mga mag-aaral mula sa bawat opsyon ay isulat ang kanilang mga sagot sa likod ng pisara, ang guro ay nagsusuri, at ang iba pang mga mag-aaral ay nagsasagawa ng sarili o mutual na pagsubok na kanilang pinili.

Takdang aralin:

Target: Palakasin ang kakayahan ng mga mag-aaral sa paglutas ng mga problema gamit ang formula para sa kabuuan ng mga anggulo ng isang convex polygon.

1. Punto 40 sa pahina 99, tanong 3 sa pahina 114;

2. Lutasin ang mga problema No. 364 (c), 365 (d).

VII . Buod ng aralin:

1. Pag-compile ng syncwine.

2. Pagbibigay ng mga marka (aritmetika average: pagdidikta, l/r, s/r).

3. Pagkomento sa takdang-aralin.

4. Pag-abot ng mga kuwaderno ng mga mag-aaral.

Sinkwine

Mga polygon

matambok,n-uling

Bumubuo tayo, sinira natin, kinakalkula natin

Kabuuan ng matambok na anggulon-gon ay katumbas ng (n-2) 180°

Formula

Kabuuan ng mga anggulo ng isang n-gon Theorem. Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang convex n-gon ay 180 o (n-2). Patunay. Mula sa ilang vertex ng isang convex n-gon iginuhit namin ang lahat ng mga diagonal nito. Pagkatapos ang n-gon ay hahatiin sa n-2 triangles. Sa bawat tatsulok, ang kabuuan ng mga anggulo ay 180°, at ang mga anggulong ito ay bumubuo sa mga anggulo ng n-gon. Samakatuwid, ang kabuuan ng mga anggulo ng isang n-gon ay 180 o (n-2).

Ang pangalawang paraan upang patunayan ang teorama. Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang convex n-gon ay 180 o (n-2). Patunay 2. Hayaang O ang ilang panloob na punto ng isang matambok n-gon A 1 ...A n. Ikonekta natin ito sa mga vertices ng polygon na ito. Pagkatapos ang n-gon ay hahatiin sa n triangles. Sa bawat tatsulok, ang kabuuan ng mga anggulo ay 180 degrees. Ang mga anggulong ito ay bumubuo sa mga anggulo ng n-gon at isa pang 360 degrees. Samakatuwid, ang kabuuan ng mga anggulo ng isang n-gon ay 180 o (n-2).

Pagsasanay 3 Patunayan na ang kabuuan ng mga panlabas na anggulo ng isang convex n-gon ay katumbas ng 360 degrees. Patunay. Ang panlabas na anggulo ng isang matambok na polygon ay katumbas ng 180° minus ang katumbas na panloob na anggulo. Samakatuwid, ang kabuuan ng mga panlabas na anggulo ng isang matambok n-gon ay katumbas ng 180 o n minus ang kabuuan ng mga panloob na anggulo. Dahil ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ng isang matambok n-gon ay katumbas ng 180 o (n-2), kung gayon ang kabuuan ng mga panlabas na anggulo ay magiging katumbas ng 180 o n o (n-2) = 360 o.

Pagsasanay 4 Ano ang mga anggulo ng regular: a) tatsulok; b) quadrangle; c) pentagon; d) heksagono; e) octagon; f) decagon; g) dodecagon? Sagot: a) 60 o; b) 90 o; c) 108 o; d) 120 o; e) 135 o; f) 144 o; g) 150 o.

Pagsasanay 12* Alin pinakamalaking bilang Anong matalim na anggulo ang maaaring magkaroon ng convex n-gon? Solusyon. Dahil ang kabuuan ng mga panlabas na anggulo ng isang matambok na polygon ay katumbas ng 360 degrees, kung gayon ang isang matambok na polygon ay hindi maaaring magkaroon ng higit sa tatlong obtuse na mga anggulo, samakatuwid, hindi ito maaaring magkaroon ng higit sa tatlong panloob na talamak na mga anggulo. Sagot. 3.

Sa pangunahing kursong geometry, napatunayan na ang kabuuan ng mga anggulo ng isang convex n-gon ay 180° (n-2). Lumalabas na ang pahayag na ito ay totoo din para sa mga hindi matambok na polygon.

Theorem 3. Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang arbitrary n-gon ay 180° (n - 2).

Patunay. Hatiin natin ang polygon sa mga tatsulok sa pamamagitan ng pagguhit ng mga dayagonal (Larawan 11). Ang bilang ng naturang mga tatsulok ay n-2, at sa bawat tatsulok ang kabuuan ng mga anggulo ay 180°. Dahil ang mga anggulo ng mga tatsulok ay bumubuo sa mga anggulo ng isang polygon, ang kabuuan ng mga anggulo ng isang polygon ay 180° (n - 2).

Isaalang-alang natin ngayon ang di-makatwirang saradong mga putol na linya, posibleng may mga intersection sa sarili A1A2...AnA1 (Larawan 12, a). Tatawagin natin ang gayong mga self-intersecting na sirang linya na mga star polygons (Fig. 12, b-d).

Ayusin natin ang direksyon ng pagbibilang ng mga anggulo sa counterclockwise. Tandaan na ang mga anggulo na nabuo ng isang saradong polyline ay nakasalalay sa direksyon kung saan ito tinatahak. Kung ang direksyon ng pagtawid sa polygon ay baligtad, ang mga anggulo ng polygon ay ang mga anggulo na umakma sa mga anggulo ng orihinal na polygon hanggang 360°.

Kung ang M ay isang polygon na nabuo sa pamamagitan ng isang simpleng saradong putol na linya, na naitawid sa direksyong pakanan (Larawan 13, a), kung gayon ang kabuuan ng mga anggulo ng polygon na ito ay magiging katumbas ng 180° (n - 2). Kung ang sirang linya ay tumatakbo sa isang counterclockwise na direksyon (Larawan 13, b), kung gayon ang kabuuan ng mga anggulo ay magiging katumbas ng 180° (n + 2).

Kaya, ang pangkalahatang formula para sa kabuuan ng mga anggulo ng isang polygon na nabuo ng isang simpleng saradong putol na linya ay may anyo = 180° (n 2), kung saan ang kabuuan ng mga anggulo, n ay ang bilang ng mga anggulo ng polygon, Ang “+” o “-” ay kinukuha depende sa direksyon kung saan tinatahak ang putol na linya.

Ang aming gawain ay upang makakuha ng isang formula para sa kabuuan ng mga anggulo ng isang arbitrary na polygon na nabuo sa pamamagitan ng isang saradong (posibleng self-intersecting) na sirang linya. Upang gawin ito, ipinakilala namin ang konsepto ng antas ng isang polygon.

Ang antas ng isang polygon ay ang bilang ng mga rebolusyon na ginagawa ng isang punto kapag ganap na sunud-sunod na binabagtas ang mga gilid nito. Bukod dito, ang mga rebolusyon na ginawa sa isang pakaliwa na direksyon ay binibilang na may "+" na senyas, at ang mga rebolusyon na ginawa sa isang direksyong pakanan ay binibilang sa isang "-" na senyas.

Ito ay malinaw na ang isang polygon na nabuo sa pamamagitan ng isang simpleng closed polyline ay may isang antas ng +1 o -1 depende sa direksyon ng traversal. Ang antas ng putol na linya sa Figure 12a ay katumbas ng dalawa. Ang antas ng mga hugis-bituin na heptagons (Larawan 12, c, d) ay katumbas ng dalawa at tatlo, ayon sa pagkakabanggit.

Ang konsepto ng degree ay tinukoy sa isang katulad na paraan para sa mga closed curves sa eroplano. Halimbawa, ang antas ng kurba na ipinapakita sa Figure 14 ay dalawa.

Upang mahanap ang antas ng isang polygon o curve, maaari kang magpatuloy bilang mga sumusunod. Ipagpalagay natin na, gumagalaw sa kurba (Larawan 15, a), tayo, simula sa ilang lugar A1, ay gumawa ng isang buong rebolusyon at natapos sa parehong puntong A1. Alisin natin ang kaukulang seksyon mula sa kurba at magpatuloy sa paglipat sa natitirang kurba (Larawan 15,b). Kung, simula sa ilang lugar A2, muli kaming gumawa ng isang buong rebolusyon at pindutin ang parehong punto, pagkatapos ay tanggalin namin ang kaukulang seksyon ng curve at magpatuloy sa paglipat (Larawan 15, c). Sa pamamagitan ng pagbibilang ng bilang ng mga malalayong seksyon na may "+" o "-" na mga senyales, depende sa kanilang direksyon ng pagtawid, nakukuha namin ang kinakailangang antas ng kurba.

Theorem 4. Para sa isang arbitrary polygon, ang formula ay humahawak

180° (n +2m),

kung saan ang kabuuan ng mga anggulo, n ay ang bilang ng mga anggulo, m ay ang antas ng polygon.

Patunay. Hayaang may degree na m ang polygon M at ayon sa kaugalian ay inilalarawan sa Figure 16. Ang M1, ..., Mk ay mga simpleng saradong putol na linya, na dumadaan kung saan ang punto ay gumagawa ng buong rebolusyon. Ang A1, …, Ak ay ang kaukulang mga punto ng intersection sa sarili ng putol na linya, na hindi mga vertices nito. Tukuyin natin ang bilang ng mga vertices ng polygon M na kasama sa polygons M1, …, Mk sa pamamagitan ng n1, …, nk, ayon sa pagkakabanggit. Dahil, bilang karagdagan sa mga vertices ng polygon M, vertices A1, ..., Ak ay idinagdag sa mga polygons na ito, kung gayon ang bilang ng mga vertices ng polygons M1, ..., Mk ay magiging katumbas ng n1+1, . .., nk+1, ayon sa pagkakabanggit. Kung gayon ang mga kabuuan ng kanilang mga anggulo ay magiging katumbas ng 180° (n1+12), ..., 180° (nk+12). Ang plus o minus ay kinuha depende sa direksyon ng pagtawid sa mga putol na linya. Ang kabuuan ng mga anggulo ng polygon M0 na natitira mula sa polygon M pagkatapos alisin ang mga polygon M1, ..., Mk ay katumbas ng 180° (n-n1- ...-nk+k2). Ang mga kabuuan ng mga anggulo ng polygons M0, M1, ..., Mk ay nagbibigay ng kabuuan ng mga anggulo ng polygon M at sa bawat vertex A1, ..., Ak ay nakakakuha din tayo ng 360°. Samakatuwid, mayroon tayong pagkakapantay-pantay

180° (n1+12)+…+180° (nk+12)+180° (n-n1- …-nk+k2)=+360°k.

180° (n2…2) = 180° (n+2m),

kung saan ang m ay ang antas ng polygon M.

Bilang halimbawa, isaalang-alang ang pagkalkula ng kabuuan ng mga anggulo ng isang limang-tulis na bituin (Larawan 17, a). Ang antas ng kaukulang saradong sirang linya ay -2. Samakatuwid, ang kinakailangang kabuuan ng mga anggulo ay 180.