Обратимость чертежа, т. е. однозначное определение положения точки в пространстве по ее проекциям, может быть обеспечена проецированием на две непараллельные плоскости проекций.

Для удобства проецирования в качестве двух плоскостей проекций выбирают две взаимно перпендикулярные плоскости (рис. 1.11). Одну из них принято располагать горизонтально – ее называют горизонтальной плоскостью проекций , другую – вертикально, параллельно плоскости чертежа. Такую вертикальную плоскость называют фронтальной плоскостью проекций . Эти плоскости проекций пересекаются по линии, называемой осью проекций .

Ось проекций разделяет каждую из плоскостей проекций на две полуплоскости, или полы.

Обозначим плоскости проекций: π2 – фронтальную, π, – горизонтальную, ось проекций – буквой x или в виде дроби π2/ π1 . Плоскости проекций π2 и π, образуют систему π2, π,.

Плоскости проекций, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла, из которых приведенный на рис. 1.11 (с обозначениями граней π2, π1) считают первым.

В промышленности чертежи многих деталей выполняют также в системе двух взаимно перпендикулярных плоскостей, пересекающихся по вертикальной оси проекций ζ (рис. 1.12). При этом фронтальной плоскостью проекций оставляют также плоскость π2, а перпендикулярную ей и обозначаемую π3, называют .

В системе двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций: горизонтальной проекцией точки называют прямоугольную проекцию точки на горизонтальной плоскости проекций;

фронтальной проекцией точки называют прямоугольную проекцию точки на фронтальной плоскости проекций.

Наглядное изображение построения проекций произвольной точки А в системе π2, π, показано на рис. 1.13. Горизонтальную проекцию, обозначенную А ", находят как пересечение перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости π, с этой плоскостью. Фронтальную проекцию, обозначенную А ", находят как пересечение перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости π2, с этой плоскостью.

Проецирующие прямые ΑΑ " и ΑΑ перпендикулярные к плоскостям π2 и π, принадлежат плоскости α. Она перпендикулярна плоскостям проекций и пересекает ось проекций в точке Α χ. Три взаимно перпендикулярные плоскости α, π2 и π, пересекаются по взаимно перпендикулярным прямым, τ. е. прямые А "Α χ, А Ά χ и ось χ взаимно перпендикулярны.

Построение некоторой точки А в пространстве по двум заданным ее проекциям – фронтальной А " и горизонтальной А " – показано на рис. 1.14. Точку А находят в пересечении перпендикуляров, прове-

денных из проекции А” к плоскости π2 и из проекции А " к плоскости π,. Проведенные перпендикуляры принадлежат одной плоскости α, перпендикулярной плоскостям π2 и π, и пересекаются в единственной искомой точке А пространства.

Таким образом, две прямоугольные проекции точки вполне определяют ее положение в пространстве относительно данной системы взаимно перпендикулярных плоскостей проекций.

Рассмотренное наглядное изображение точки в системе π2, π, для целей черчения неудобно ввиду сложности. Преобразуем его так, чтобы горизонтальная плоскость проекций совпала с фронтальной плоскостью проекций, образуя одну плоскость чертежа. Это преобразование осуществляют (рис. 1.15) путем поворота вокруг оси χ плоскости π, на угол 90° вниз. При этом отрезки Α χ А " и Α χ А " образуют один отрезок А "А расположенный на одном перпендикуляре к оси проекции – на линии связи. В результате указанного совмещения плоскостей π2 и πι получается чертеж – рис. 1.16, известный под названием эпюр или эпюр Монжа . Это чертеж в системе π2, π, (или в системе двух прямоугольных проекций). Без обозначения плоскостей π2 и π, этот чертеж приведен на рис. 1.17.

Гаспар Монж (1746–1818) – французский ученый, общественный и государственный деятель в период французской революции 1789–1794 гг. и правления Наполеона 1 . Накапливавшиеся с древних времен сведения и приемы изображения пространственных форм на плоскости были приведены в систему и развиты в труде Г. Монжа, изданном в 1799 г. под названием Geometric descriptive (русский перевод (13)).

Начертательную геометрию в России начали преподаватьс 1810 г. Первые труды по ней опубликованы К.И. Потье (1816) и Я.А. Севастьяновым (1821). Большой вклад в развитие начертательной геометрии внесли многие русские и советские ученые (более подробные сведения приведены в книгах , , и др.).

Проецирование на три взаимно перпендикулярные плоскости проекций

В зависимости от сложности для полного выявления наружных и внутренних форм деталей и их соединений и для решения ряда задач бывают необходимы три и более изображений. Поэтому вводят три и более плоскостей проекций.

Введем в систему π2, π, третью вертикальную плоскость проекций (рис. 1.18), перпендикулярную оси χ и соответственно фронтальной и горизонтальной плокостям проекций. Ее называют профильной плоскостью проекций и обозначают π2 (см. также рис. 1.12). Такую систему плоскостей проекций называют системой π2, π, π3. В этой системе оси проекций ζ и у являются линиями пересечения профильной плоскости проекций с фронтальной и горизонтальной. Точка О – пересечение всех трех осей проекций.

Схема совмещения трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций в одну плоскость чертежа показана на рис. 1.19. При этом ось у занимает два положения.

Наглядное изображение некоторой точки А, ее проекций А ", А А в системе π2, щ, π }, а также их координат приведены на рис. 1.20, ее чертеж – на рис. 1.21.

Профильной проекцией точки называется прямоугольная проекция точки на профильной плоскости проекций (например, проекция А"" на рис. 1.21).

Фронтальная и профильная проекции точки (А" и А "") лежат на одной линии связи (А " А перпендикулярной оси ζ-

Профильную проекцию точки строят несколькими способами (рис. 1.21).

Через фронтальную проекцию проводят линию связи, перпендикулярную оси ζ, и от оси г отмечают координату у а (отрезок/1 Ά χ).

Это построение можно выполнить также с помощью дуги окружности, проведенной из центра О, или с помощью прямой, проведенной под углом 45° к оси у. Первый из указанных способов предпочтителен, как более точный.

• Наряду с указанными обозначениями плоскостей проекций в литературе применяют и другие обозначения, например буквами V, Η, W.
• Бриге (франц.) – чертеж, проект.

Транскрипт

1 Лекция 4 ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ Определение 1. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90. Перпендикулярные прямые могут пересекаться, но могут быть и скрещивающимися. Определение 2. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. Определение 3. Две пересекающиеся плоскости называются взаимно перпендикулярными, если образованный ими двугранный угол равен 90. Теоремы о перпендикулярности прямых и плоскостей, доказываемые в школьном курсе геометрии , могут быть сформулированы в виде признаков перпендикулярности Признаки перпендикулярности прямых и плоскостей Признак 1. Прямая, перпендикулярная к одной из параллельных прямых, перпендикулярна к обеим параллельным прямым. t t" Пусть прямые a и b параллельны (рис. 4.1). Проведем перпендикуляр t к одной из прямых, например, к прямой a. Тогда прямая t будет перпендикулярна не только к прямой a, но и к прямой b. Из этого признака следует, что две взаимно перпендикулярные A прямые в пространстве не обязаны пересекаться. Они могут скрещиваться, но при этом быть взаимно перпендикулярны. Например, a b B на рис. 4.1 каждая из параллельных прямых t и t" перпендикулярна Рис. 4.1 каждой из прямых a и b. Признак 2. Если прямая t перпендикулярна каким-нибудь двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости Σ, то прямая t перпендикулярна к этой плоскости Σ (рис. 4.2). Две пересекающиеся прямые a и b определяют в пространстве некоторую плоскость Σ. Проведем перпендикуляр t к этим прямым (см. рис. 4.2). Согласно признаку 2, прямая t перпендикулярна к плоскости Σ. b a Σ t a Рис. 4.2 Рис. 4.3 Рис. 4.4 Признак 3. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости (этот признак перпендикулярности следует непосредственно из определения 2). Дана плоскость Σ. Проведем к ней перпендикуляр t (рис. 4.3). Согласно признаку 3, прямая t перпендикулярна к произвольной прямой a, лежащей в плоскости Σ. Признак 4. Если плоскость Δ проходит через перпендикуляр к плоскости Σ, то плоскости Δ и Σ взаимно перпендикулярны (рис. 4.4). Σ t t Σ Δ 32

2 Дана плоскость Σ. Проведем к ней перпендикуляр t. Через прямую t проведем произвольную плоскость Δ (см. рис. 4.4). Согласно признаку 4, плоскость Δ перпендикулярна плоскости Σ. Признаки перпендикулярности используются при построении взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей на комплексном чертеже Теорема 1 (о проекциях прямого угла) Если одна сторона прямого угла параллельна какой-либо плоскости проекций, а другая сторона является прямой общего положения, то прямой угол изображается на этой плоскости проекций прямым углом. Пусть отрезок AB перпендикулярен отрезку BC, причем отрезок AB горизонталь (AB П 1), а отрезок BC прямая общего положения (рис. 4.5). Докажем, что угол C 1 прямой, то есть C 1. Доказательство 1) Отрезок AB перпендикулярен отрезку BC по условию: AB BC. 2) Отрезок AB перпендикулярен линии связи B по построению. Следовательно (в соответствии с признаком 2 перпендикулярности прямой и плоскости), отрезок AB перпендикулярен плоскости Δ(BC B). 3) Проекция отрезка AB параллельна самому отрезку AB по условию. Отрезок AB перпендикулярен плоскости Δ, следовательно, проекция также перпендикулярна плоскости Δ. 4) Поскольку прямая перпендикулярна плоскости Δ, то она перпендикулярна прямой C 1, лежащей в плоскости Δ (признак 3). Следовательно, C 1. Теорема доказана. Следствие из теоремы 1. Если одна из взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых параллельна какой-либо плоскости проекций, то данные скрещивающиеся прямые изображаются на этой плоскости проекций прямым углом. Одну из сторон висящего в воздухе прямого угла ABC, показанного на рис. 4.5 (например, сторону BC), можно мысленно переместить в пространстве параллельно самой себе. Тогда прямая BC выйдет из пересечения со стороной AB. Но горизонтальные проекции прямых AB и BC все равно образуют прямой угол. Рассмотрим примеры построения комплексных чертежей взаимно перпендикулярных прямых. Задача 1. На чертеже дана горизонталь h и точка A (рис. 4.6). Требуется из точки A опустить перпендикуляр t на прямую h. Требование опустить перпендикуляр на прямую означает, что перпендикуляр к прямой должен с ней пересечься. В соответствии с теоремой 1, если прямая t перпендикулярна горизонтали h, то их горизонтальные проекции t 1 и должны быть взаимно перпендикулярны. Горизонталь h и прямая t, показанные на рис. 4.6, пересекаются в точке B и образуют прямой угол. Задача имеет единствен- 33 t 2 t 1 Рис. 4.6 A Рис º B Δ B1 C 1 C Рис. 4.7

3 ное решение, так как из точки A можно опустить единственный перпендикуляр на прямую h. Задача 2. Дана горизонталь h и точка M (рис. 4.7). Требуется через точку M провести прямую, перпендикулярную к горизонтали h, но не пересекающуюся с ней. Проведем через точку M какую-нибудь прямую m, горизонтальная проекция которой образует прямой угол с. В соответствии со следствием из теоремы 1, горизонталь h и прямая m перпендикулярны друг другу, но не пересекаются между собой (см. рис. 4.7). Задача имеет бесчисленное множество решений. Все прямые, проходящие через точку M и перпендикулярные к горизонтали h, образуют плоскость, перпендикулярную к h. Задача 3. Дана фронталь f и точка A (рис. 4.8). Требуется из точки A опустить перпендикуляр t на прямую f. Если прямая t перпендикулярна фронтали f, то, в соответствии с теоремой 1, их фронтальные проекции t 2 и должны быть взаимно перпендикулярны (см. рис. 4.8). Фронталь f и прямая t, показанные на чертеже, пересекаются в точке B и образуют прямой угол. Задача имеет единственное решение. Задача 4. Дана фронталь f и точка M (рис. 4.9). Требуется через точку M провести прямую, перпендикулярную к фронтали f, но не пересекающуюся с ней. Проведем через точку M какую-нибудь прямую m, фронтальная проекция которой образует прямой угол с. Фронталь f и прямая m, показанные на рис. 4.9, перпендикулярны друг другу (согласно следствию из теоремы 1), но между собой не пересекаются (скрещиваются). Задача имеет бесчисленное множество решений. На рис. 4.9 показано только одно из решений задачи Теорема 2 (о взаимной перпендикулярности прямых и плоскостей) Напомним признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости (см. п. 4.1). В частности, прямая, перпендикулярная к плоскости, перпендикулярна к главным линиям плоскости горизонтали и фронтали. Отсюда следует теорема об изображении на комплексном чертеже перпендикуляра к плоскости общего положения. Если прямая d перпендикулярна к плоскости, то на комплексном чертеже горизонтальная проекция d 1 прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали (d 1), а фронтальная проекция d 2 прямой перпендикулярна фронтальной проекции фронтали (d 2), принадлежащим этой плоскости. Пусть прямая d перпендикулярна к плоскости общего положения Σ (рис. 4.10). Начертим в плоскости Σ ее d главные линии горизонталь h и фронталь f. Докажем, f что на комплексном чертеже проекции перпендикуляра d подчиняются условиям: d 1, d 2. Доказательство 1) Прямая d перпендикулярна плоскости Σ по условию. Следовательно, в соответствии с третьим призна- h ком перпендикулярности, прямая d перпендикулярна главным линиям плоскости Σ горизонтали h и фронтали f: d h, d f. Рис t 2 t 1 Рис. 4.8 Рис. 4.9

4 2) Прямые d и h образуют прямой угол, причем сторона h параллельна горизонтальной плоскости проекций. Следовательно, в соответствии с теоремой 1, горизонтальные проекции прямых d и h взаимно перпендикулярны: d 1. Первая часть теоремы доказана. 3) Прямые d и f также образуют прямой угол, причем сторона f параллельна фронтальной плоскости проекций. Следовательно, в соответствии с теоремой 1, фронтальные проекции прямых d и f взаимно перпендикулярны: d 2. Вторая часть теоремы, а вместе с тем и вся теорема, доказана. Запишем теорему 2 в символической форме. Если d Σ, то d 1, а d 2, где h и f - главные линии плоскости Σ. Рассмотрим примеры построения на чертеже взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей во всех возможных сочетаниях. Таких сочетаний всего три: 1) взаимно перпендикулярные прямая и плоскость, 2) две взаимно перпендикулярные плоскости, 3) две взаимно перпендикулярные прямые Построение взаимно перпендикулярных прямой и плоскости Напомним утверждение теоремы 2. Плоскость Σ и прямая m взаимно перпендикулярны, если на чертеже выполнены условия:, где h и f главные линии плоскости Σ. Прямая задача. Через данную точку M провести прямую m, перпендикулярную к плоскости Σ общего положения. Плоскость Σ задана на чертеже прямыми a и b, пересекающимися в точке K (рис. 4.11). Δ 2 b 1 a K b 2 K D 2 D 1 Рис Рис Начертим главные линии плоскости Σ (горизонталь h и фронталь f). Для построения этих линий в плоскости Σ проведена произвольная вспомогательная прямая 1-2. На этой прямой отмечены точки 3 и 4, принадлежащие фронтали и горизонтали. Проведем через точку M прямую m таким образом, чтобы выполнить условия теоремы 2: горизонтальная проекция прямой m перпендикулярна к, а фронтальная проекция прямой m перпендикулярна к. Прямая m(,) перпендикулярна к плоскости Σ. Задача решена. 35

5 Обратная задача. Через точку D провести плоскость Δ, перпендикулярную прямой общего положения m (рис. 4.12). Плоскость, перпендикулярная к прямой общего положения, может быть задана пересекающимися горизонталью и фронталью, перпендикулярными к данной прямой. На рис через точку D проведены горизонталь h и фронталь f таким образом, чтобы выполнить условия: и. Задача решена. Действительно, в соответствии с теоремой 2, начерченная на рис плоскость Δ(h f) перпендикулярна прямой m. Прямая m перпендикулярна как горизонтали h, так и фронтали f Построение взаимно перпендикулярных плоскостей Плоскость, перпендикулярную к данной плоскости, можно провести двумя способами: либо через прямую, перпендикулярную данной плоскости, либо перпендикулярно прямой, принадлежащей заданной плоскости. Задача. Плоскость Σ общего положения задана пересекающимися прямыми a и b. Требуется через данную точку M провести плоскость Δ, перпендикулярную к плоскости Σ. n 2 Δ 2 l 2 Δ 2 a2 b a b b 1 b 1 n 1 l 1 Рис Рис Первый способ Начертим в плоскости Σ главные линии (горизонталь и фронталь), затем в соответствии с теоремой 2 проведем через точку M перпендикуляр m к плоскости Σ: и (рис. 4.13). Любая плоскость, проходящая через прямую m, перпендикулярна плоскости Σ. Проведем через точку M произвольную прямую n. Пересекающиеся прямые m и n определяют в пространстве плоскость Δ, перпендикулярную плоскости Σ. Имеется бесчисленное множество решений, так как через перпендикуляр к плоскости Σ можно провести бесчисленное множество плоскостей. Все они перпендикулярны плоскости Σ. Второй способ Проведем в плоскости Σ(a b) произвольную прямую l (рис. 4.14). Плоскость Δ, перпендикулярная к прямой l, задается пересекающимися горизонталью и фронталью. На рис через точку M проведены горизонталь h и фронталь f таким образом, чтобы выполнить условия теоремы 2 о перпендикулярности прямой и плоскости: l 1 и l 2. Плоскость Δ, заданная горизонталью h и фронталью f, перпендикулярна к прямой l. 36

6 Прямая l лежит в плоскости Σ, следовательно, плоскость Δ(h f) перпендикулярна к плоскости Σ. Имеется бесчисленное множество решений: плоскость, перпендикулярная любой прямой l в плоскости Σ, будет перпендикулярна к Σ Построение взаимно перпендикулярных прямых Напомним один из признаков перпендикулярности прямых и плоскостей: если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости. Следовательно, для построения перпендикуляра к данной прямой m надо провести плоскость Σ, перпендикулярную к этой прямой. Любая прямая, лежащая в плоскости Σ, будет перпендикулярна прямой m. Задача. На чертеже (рис. 4.15) дана прямая m общего положения. Требуется через данную точку M провести прямую a, перпендикулярную прямой m. Через точку M проведем плоскость Σ, перпендикулярную прямой m. Плоскость Σ, перпендикулярная к прямой общего положения m, может быть задана пересекающимися горизонталью и фронталью, каждая из которых проводится перпендикулярно к прямой m. На рис через точку M проведены горизонталь h и фронталь f таким образом, чтобы выполнить условия: и. В соответствии с теоремой 2, начерченная на рис плоскость Σ, заданная горизонталью h и фронталью f, перпендикулярна прямой m. Любая прямая в плоскости Σ перпендикулярна прямой m. На чертеже показана только одна такая прямая (прямая a). Скрещивающиеся прямые общего положения m и a взаимно перпендикулярны. K 2 K 1 =Δ 2 Задача имеет множество решений: любая прямая в плоскости Σ, проходящая через точку M, перпендикулярна прямой m, то есть удовлетворяет условию задачи. Среди найденного множества прямых, проходящих через точку M, есть единственная прямая, которая не только перпендикулярна к прямой m, но и пересекается с ней. Как построить такую прямую? Эта задача будет рассмотрена в следующем параграфе Решение типовых задач Рассмотрим несколько геометрических задач, в которых Σ требуется выполнять на чертеже построение взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей. 1 Задача 1. Опустить перпендикуляр из точки M на прямую m общего положения (рис. 4.16). Через точку M проведем плоскость Σ, перпендикулярную Рис прямой m. Зададим эту плоскость горизонталью и фронталью так, чтобы на чертеже выполнялись условия теоремы 2: и. Все прямые в плоскости Σ перпендикулярны прямой m. 37 a Рис. 4.15

7 Найдем точку K пересечения прямой m с плоскостью Σ. Для построения точки K следует применить схему решения первой позиционной задачи: провести через m вспомогательную секущую плоскость Δ, построить линию разреза 1-2 и отметить искомую точку K=m (1-2). Прямая MK лежит в плоскости Σ, следовательно, она перпендикулярна прямой m. При этом прямая MK пересекает прямую m. Поэтому отрезок MK есть искомый перпендикуляр, опущенный из точки M на прямую m. " Рис " Задача 2. Найти расстояние от точки M до прямой m. Искомое расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки M на прямую m. Поэтому сначала надо опустить перпендикуляр MK на прямую m (см. рис. 4.16), а затем определить истинную длину отрезка MK способом прямоугольного треугольника (см. п). Задача 3. Построить ортогональную проекцию точки M на плоскость Σ общего положения (рис. 4.17). Для построения ортогональной проекции надо через точку M провести проецирующий луч m, перпендикулярный плоскости Σ. Точка пересечения M" этого луча с плоскостью Σ ортогональная проекция точки M на плоскость Σ. Чтобы начертить прямую m, перпендикулярную плоскости Σ, надо выполнить условия: и, где h и f главные линии плоскости Σ (теорема 2). После построения перпендикуляра m находим точку M" пересечения этого перпендикуляра m с плоскостью Σ, используя вспомогательную секущую плоскость Δ (первая позиционная задача, см. лекцию 3). Точка M" искомая ортогональная проекция. Задача 4. Найти расстояние от точки M до плоскости Σ. Искомое расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Поэтому сначала надо опустить перпендикуляр MM" из точки M на плоскость Σ (см. рис. 4.17), затем определить истинную длину отрезка MM" способом прямоугольного треугольника (см. п). Задача 5. Построить ортогональную проекцию отрезка AB на плоскость Σ, заданную горизонталью и фронталью (рис. 4.18). Чтобы найти ортогональные проекции A", B" концов отрезка AB на плоскость Σ, проведем через точки A и B перпендикуляры к плоскости Σ (теорема 2). Затем найдем точки A", B" пересечения этих перпендикуляров с плоскостью Σ (первая позиционная задача). Отрезок A"B" искомая ортогональная проекция данного отрезка AB на плоскость Σ. Если задача решена правильно, то ортогональная проекция A"B" пройдет через точку K пересечения прямой AB с плоскостью Σ (см. рис. 4.18). A" 2 K 2 B" 2 A" 1 K 1 B" 1 Рис

8 Задача 6. Построить ортогональную проекцию треугольника ABC на плоскость параллелограмма (рис. 4.19). K 2 K 1 A" 2 A" 1 A1 B" 2 Рис E 2 D 2 E 1 B" 1 C 2 D 1 C 1 C" 2 C" 1 Для решения задачи надо построить ортогональные проекции сторон треугольника на плоскость параллелограмма (так же, как и в предыдущей задаче). Ортогональная проекция какой-либо стороны треугольника на плоскость параллелограмма проходит через точку пересечения этой стороны с плоскостью параллелограмма. Например, в точке E сторона AB треугольника пересекается с плоскостью параллелограмма. Ортогональная проекция A"B" стороны AB проходит через точку E. Аналогичным образом, ортогональная проекция B"C" стороны BC проходит через точку D пересечения стороны BC с плоскостью параллелограмма. Точки D и E находят по схеме решения первой позиционной задачи. Вспомогательные построения на рис условно не показаны. Задача 7. Построить множество точек, удаленных от плоскости Σ(ABC) на расстояние 30 мм (рис. 4.20). Множество точек, удаленных от данной плоскости на заданное расстояние, расположено в плоскости Σ", параллельной данной плоскости Σ и удаленной от нее на заданное расстояние. n 1 n 2 R 0 Δz Δz R 2 R 1 A" 2 L 2 N 2 N 1 30 мм A" 1 L 1 Σ" 1 Σ" 2 Рис C 2 C 1 Восставим перпендикуляр n к плоскости Σ из любой точки этой плоскости (например, из точки A). Для этого в плоскости Σ начертим ее главные линии (горизонталь и фронталь) и начертим проекции перпендикуляра n в соответствии с условиями теоремы 2 (n 1 и n 2). Отложим вдоль перпендикуляра n от точки A отрезок AA" длиной 30 мм (см. п). Через точку A" проведем плоскость Σ", параллельную плоскости Σ. На рис плоскость Σ" задана парой пересекающихся прямых, параллельных сторонам треугольника ABC. Задача решена. Задача имеет два решения. Второе решение будет получено, если заданное расстояние 30 мм отложить вдоль перпендикуляра n в другую сторону от точки A. Задача 8. Построить множество точек, равноудаленных от данных точек A и B (рис. 4.21). Точки, одинаково удаленные от двух данных точек A и B, располагаются в плоскости Σ, перпендикулярной к отрезку AB и проходящей через его середину. Искомую плоскость Σ зададим горизонталью и фронталью, перпендикулярными к отрезку AB и проходящими через его середину (точка O на рис. 4.21). Согласно теореме о перпендикулярности прямой и плоскости, на чертеже должны быть выполнены условия: 39

9 , где h и f главные линии искомой плоскости Σ, перпендикулярной отрезку AB. Поскольку плоскость Σ(h f) перпендикулярна к отрезку AB и проходит через O 2 O 1 Рис h2 его середину, то все точки плоскости Σ равноудалены от данных точек A и B. Задача решена. Задача 9. Определить расстояние между двумя параллельными прямыми a и b (рис. 4.22). Отметим на одной из параллельных прямых (например, на прямой a) произвольную точку A. Из точки A опустим перпендикуляр AB на прямую b (см. задачу 1). Расстояние между параллельными прямыми равно длине отрезка AB. Составим схему решения задачи. Действие 1. Опускаем перпендикуляр AB из точки A на прямую b. Для этого проводим через точку A плоскость Θ, перпендикулярную прямым a и b (теорема 2). Затем с помощью проведенной через b вспомогательной секущей плоскости Σ находим точку B пересечения прямой b с плоскостью Θ (первая позиционная задача). Действие 2. Способом прямоугольного треугольника (см. п) определяем истинную длину отрезка AB. Задача решена. Θ 2 b 2 f2 Θ 1 Рис a 2 A 0 Δz b 1 AB Δz Вопросы для повторения 1. Сформулировать признаки перпендикулярности прямой и плоскости, двух плоскостей. 2. Могут ли скрещивающиеся прямые быть взаимно перпендикулярны? 3. Сформулировать условие, при котором две прямые, расположенные в пространстве перпендикулярно друг другу, изображаются на плоскости проекций П 1 или П 2 взаимно перпендикулярными прямыми (теорема 1 о проекциях прямого угла). 4. Сколько прямых, перпендикулярных к данной прямой, можно провести через данную точку пространства? 5. Cколько перпендикуляров можно опустить из данной точки пространства на данную прямую? 6. Как изображается на чертеже прямая линия, перпендикулярная к данной плоскости (теорема 2 о проекциях прямой, перпендикулярной к плоскости)? 7. Сколько перпендикуляров к плоскости можно провести через данную точку пространства? 8. Сколько плоскостей, перпендикулярных к данной плоскости, можно провести через данную точку пространства? 40

Лекция 12 КОМБИНИРОВАННЫЕ ЗАДАЧИ Многие задачи начертательной геометрии сводятся к построению фигур (точек, линий, поверхностей), удовлетворяющих определенным позиционным или метрическим условиям. Каждому

ЛЕКЦИЯ 3. 3. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ Позиционными называют задачи, связанные с определением взаимного расположения геометрических фигур. Обычно в этих задачах определяется взаимная принадлежность фигур или

Лекция 5 СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА Решение многих геометрических задач (как метрических, так и позиционных) упрощается, если исходные фигуры занимают частное положение относительно плоскостей проекций.

ЛЕКЦИЯ 2 (ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕМЫ «КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ») 2.3. ПЛОСКОСТЬ 2.3.1. ЗАДАНИЕ ПЛОСКОСТИ НА ЧЕРТЕЖЕ Любую плоскость определяют (рис. 2.14): а) три точки, не лежащие на одной прямой (A,B,C); б) прямая и

5. ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ И ПРЯМЫЕ 5.1. Прямая линия, перпендикулярная плоскости 5.. Взаимно перпендикулярные плоскости 5.3. Взаимно перпендикулярные прямые 5.1. Прямая линия, перпендикулярная

Б 1. Предмет начертательной геометрии (Н.Г.) Н.Г. математическая наука. Это тот раздел геометрии, который изучает теоретические основы построения плоских изображений пространственных фигур и способы графического

Лекция 3 ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ Позиционными задачами называют задачи, в которых надо определить общие элементы геометрических фигур, заданных на чертеже. В начертательной геометрии рассматривают две позиционные

ЛЕКЦИЯ 2 Условные обозначения, сокращения и знаки. Предмет изучения начертательной геометрии. Геометрические образы. Метод проецирования. Виды проецирования. Образование комплексного чертежа. Комплексные

МОДУЛЬ 9 «Теоретические основы стереометрии» 1. Вопросы стереометрии и простейшие следствия. 2. Параллельность прямых и плоскостей. 3. Перпендикулярность прямых и плоскостей. 1. Вопросы стереометрии и

Занятие 1 Точка. Прямая. Положение прямой относительно плоскостей проекций. Взаимное положение прямых. Принадлежность точки прямой. 1.1 Свойства параллельного проецирования Рис. 1.1 Свойства параллельного

Лекция 2 ЧЕРТЕЖИ ПРОСТЕЙШИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР В 1784 году английский изобретатель Дж. Уатт разработал и запатентовал первую универсальную паровую машину. С небольшими усовершенствованиями она более

ЛЕКЦИЯ 3 ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ, ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ Задачи, связанные с определением взаимного расположения геометрических элементов (прямых и плоскостей), называются позиционными. Обычно в

92 ГЛАВА 2. СЕМЕСТР: ВЕСНА 2015 Заметим, что неравенства будут верны и при π < x < 0, так как все входящие 2 в неравенство функции четные. Устремим x 0 и воспользуемся теоремой 24 (о двух милиционерах

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ЭПЮРЕ МОНЖА.. Задание прямой.. Прямые общего положения.3. Прямые частного положения.4. Принадлежность точки прямой. Деление отрезка прямой линии в данном отношении.5. Определение длины

ОСНОВЫ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Начертательная геометрия наука, изучающая способы построения изображений пространственных фигур на плоскости. Наиболее простым и удобным является проецирование на взаимно

ЛЕКЦИЯ 5 5. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА Решение пространственных задач на комплексном чертеже значительно упрощается, если интересующие нас элементы фигуры занимают частное положение. Переход

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Графическая работа 3 Пример выполнения листа 4 Содержание четвёртого листа работы. Даны плоскость треугольника ABC и точка D. Требуется: 1. Определить расстояние от точки D до плоскости, заданной треугольником

3. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫ. ПЛОСКОСТЬ 3.. Взаимное положение прямых 3.2. Проекции плоских углов 3.3. Изображение плоскости на чертеже 3.4. Прямая и точка в плоскости 3.5. Главные линии плоскости 3.6.

Лекция 1 Методы проекций. Комплексный чертеж точки, прямой, плоскости. 1.1 Центральное и параллельное (прямоугольное) проецирование. Основные свойства прямоугольного проецирования. 1.2 Чертеж точки. 1.3

Начертательная геометрия: конспект лекций Юлия Щербакова 2 3 И. С. Козлова, Ю. В. Щербакова Начертательная геометрия. Конспект лекций 4 Лекция 1. Сведения о проекциях 5 1. Понятие проекций Начертательной

4. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ. ДВЕ ПЛОСКОСТИ 4.. Прямая линия, параллельная плоскости 4.. Прямая линия, пересекающаяся с плоскостью частного положения 4.3. Пересечение плоскости частного положения с плоскостью

10.1. Âàêóóìíûå äèîäû 11 Ãëàâà 1 åðòåæè ýëåìåíòàðíûõ ãåîìåòðè åñêèõ îáúåêòîâ В настоящей главе под элементарными геометрическими объектами будем понимать такие объекты, как точка, прямая, плоскость и плоская

Чертеж точки Чертеж в системе прямоугольных проекций образуется при проецировании геометрического образа на две либо три взаимно перпендикулярных плоскости: горизонтальную плоскость H, фронтальную V и

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛОГОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра начертательной геометрии и графики Начертательная геометрия Плоскости Методические указания и задания для

Аксиомы стереометрии 1. 2. 3. 4. 5. Следствия из аксиом 1. 2. Всегда ли верно утверждение? 1. Любые 3 точки лежат в одной плоскости. 1 2. Любые 4 точки лежат в одной плоскости. 3. Любые 3 точки не лежат

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ - УЧЕБНО-НАУЧНО- ПРОИЗВОДСТВЕННЫЙ КОМПЛЕКС" ФАКУЛЬТЕТ НОВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией

ЛЕКЦИЯ 7 7. МНОГОГРАННИКИ. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ С ПЛОСКОСТЬЮ И ПРЯМОЙ. Гранные поверхности это поверхности, образованные перемещением прямолинейной образующей по ломаной линии. Часть этих поверхностей

Перпендикулярность плоскостей Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если какая-либо плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным

Лекция 11 ПЛОСКОСТЬ, КАСАТЕЛЬНАЯ К ПОВЕРХНОСТИ Первоначальное понятие о касающихся друг друга линиях или поверхностях мы приобретаем из повседневного опыта. Например, интуитивно ясно, что лежащие на столе

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ Кафедра начертательной геометрии и графики И.Г. Хармац НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Пособие по подготовке к блочной аттестации и выполнению

Вопросы к блоку 1 спец. 230101 Введение. Предмет начертательной геометрии. Метод проецирования. Комплексный чертеж Монжа. Центральное (коническое) проецирование. Параллельное (Цилиндрическое) проецирование.

ЛЕКЦИЯ Глава 3. ПЛОСКОСТЬ 3.. Задание плоскости на чертеже. Следы плоскости Плоскостью называется поверхность, образуемая перемещением прямой линии, которая движется параллельно самой себе по неподвижной

Развертки поверхностей Разверткой поверхности называется плоская фигура, полученная в результате совмещения всех точек поверхности с одной плоскостью. Между поверхностью и ее разверткой устанавливается

3. Прямая в пространстве. Уравнения прямой в пространстве Пусть A +B +C +D =0 и A +B +C +D =0 уравнения любых двух различных плоскостей содержащих прямую l. Тогда координаты любой точки прямой l удовлетворяют

Annotation Данное учебное пособие представляет собой курс лекций и предназначено для студентов, сдающих экзамен по специальности «Начертательная геометрия». Подготовлено с учетом требований Министерства

Глава 1: Теоретические основы проецирования геометрических фигур на плоскость 1.1 Обозначения и символы 1. Точки заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, D, E, ; линии строчными буквами латинского

1. Изображение плоскости. Способы задания плоскостей. Плоскость есть такое множество точек, основные свойства которого выражаются следующими аксиомами: Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит

ПРЯМОЙ ЦИЛИНДР Пусть в пространстве заданы две параллельные плоскости и. F круг в одной из этих плоскостей, например. Рассмотрим ортогональное проектирование на плоскость. Проекцией круга F будет круг

Плоскость. Общее уравнение плоскости и его исследование ЗАДАЧА. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку M (; ;), перпендикулярно вектору N = {A; B; C}. Вектор, перпендикулярный плоскости,

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Преподаватель Студент Группа 1 ПРЕДМЕТ И МЕТОД НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Начертательная геометрия это один из разделов геометрии, изучающий методы изображения

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ В.А. Короткий, Л.И. Хмарова, Е.А. Усманова НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Решение задач Челябинск 2016 Министерство

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ Кафедра начертательной

Лекция 7 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ И С ПРЯМОЙ ЛИНИЕЙ В предыдущих лекциях рассматривались чертежи простейших геометрических фигур (точек, прямых, плоскостей) и произвольных кривых линий и поверхностей,

Глава 7 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ 7.1. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В СТЕРЕОМЕТРИИ 7.1.1. Аксиомы стереометрии (наличие четырех точек не на плоскости, принадлежность прямой B к плоскости, плоскость через три точки

Федеральное агентство по образованию РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА А.В. Бочарова, Т.П. Коротаева ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА Точка, прямая плоскость на комплексном чертеже

И. С. Козлова, Ю. В. Щербакова НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ЭКЗАМЕН В КАРМАНЕ Публикуется с разрешения правообладателя Литературного агентства «Научная книга» Лекция 1. Сведения о проекциях 1. Понятие проекций

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Тестовые задания 7 вариант Хабаровск 2014 0 Тема 1.Точка 1. Указать правильный ответ Ось проекций 0У это 1 линия пересечения плоскостей П 1 и П 2 2 линия пересечения плоскостей

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Плоскость Лектор Пахомова Е.Г. г. 3. Плоскость. Общее уравнение плоскости и его исследование ЗАДАЧА. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Уральский ргосударственный университет путей сообщения Тюменский филиал Кафедра графики Фадеев В.П. НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Екатеринбург 2006 ФЕДЕРАЛЬНОЕ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛОГОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра начертательной геометрии и графики НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ИНЖЕНЕРГАЯ ГРАФИКА Методические указания и

ЛЕКЦИЯ N3. Поверхности и линии в пространстве и на плоскости. Прямая на плоскости..уравнение прямой с угловым коэффициентом.....общее уравнение прямой.... 3.Угол между двумя прямыми. Условия параллельности

Министерство образования и науки Российской Федерации Саратовский государственный технический университет РЕШЕНИЕ МЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Методические указания к практическим занятиям

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Тестовые задания 5 вариант Хабаровск 2014 0 Тема 1. Точка 1. Указать правильный ответ Плоскость проекций П 1 называется 1 горизонтальная плоскость проекций 2 фронтальная плоскость

Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

ПРЕДМЕТ И МЕТОД Начертательная геометрия и инженерная графика 1 Основным методом построения изображений на плоскости является метод проекций. Проекция Проецирование ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ

1 вариант Определите, является ли утверждение верным (ответьте «да» или «нет») 1 Через любые три точки проходит ровно одна прямая. 2 Через любую точку проходит более одной прямой. 3 Любые три прямые имеют

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Хабаровский государственный технический университет» ПЛОЩАДКА В ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЯХ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

7. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА 7.1. Метод замены плоскостей проекций 7.2. Метод вращения вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций 7.1. Метод замены плоскостей проекций При решении

Список вопросов и заданий для подготовки к вступительному испытанию по геометрии Если абитуриент учится по учебнику Погорелова А.В.: I. Основные свойства простейших геометрических фигур: 1. Приведите примеры

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Саратовский государственный технический университет РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Методические

Аналитическая геометрия в пространстве Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию Прямоугольная система координат Охy в пространстве

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Тестовые задания 4 вариант Хабаровск 2014 0 Тема 1. Точка 1. Указать правильный ответ Ось проекций 0Z - это 1 линия пересечения плоскостей П 1 и П 2 2 линия пересечения плоскостей

Существует множество деталей, информацию о форме которых невозможно передать двумя проекциями чертежа. Для того чтобы информация о сложной форме детали была представлена достаточно полно, используют проецирование на три взаимно перпендикулярные плоскости проекции: фронтальную – V , горизонтальную – H и профильную – W .

Система плоскостей проекций представляет собой трехгранный угол с вершиной в точке О . Пересечения плоскостей трехгранного угла образуют прямые линии – оси проекций (OX , OY , OZ ) (рис. 23).

В трехгранный угол помещают предмет так, чтобы его формообразующая грань и основание были бы параллельны соответственно фронтальной и горизонтальной плоскостям проекций. Затем через все точки предмета проводят проецирующие лучи, перпендикулярные всем трем плоскостям проекций, на которых получают фронтальную, горизонтальную и профильную проекции предмета. После проецирования предмет удаляют из трехгранного угла, а затем горизонтальную и профильную плоскости проекций поворачивают на 90 о соответственно вокруг осей ОХ и OZ до совмещения с фронтальной плоскостью проекции и получают чертеж детали, содержащий три проекции.

Рис. 23. Проецирование на три взаимно перпендикулярные

плоскости проекций

Три проекции чертежа взаимосвязаны друг с другом. Фронтальная и горизонтальная проекции сохраняют проекционную связь изображений, т. е. устанавливаются проекционные связи и между фронтальной и горизонтальной, фронтальной и профильной, а также горизонтальной и профильной проекциями (см. рис. 23). Линии проекционной связи определяют местоположение каждой проекции на поле чертежа.

Во многих странах мира принята другая система прямо угольного проецирования на три взаимно перпендикулярные плоскости проекций, которая условно называется «американская» Основное eе отличие состоит в том, что по-иному, относительно проецируемого объекта, в пространстве располагается трехгранный угол и в других направлениях разворачиваются плоскости проекций. Поэтому горизонтальная проекция оказывается над фронтальной, а профильная проекция – справа от фронтальной.

Форма большинства предметов представляет собой сочетание различных геометрических тел или их частей. Следовательно, для чтения и выполнения чертежей нужно знать, как изображаются геометрические тела в системе трех проекций.

Понятие вида

Вы знаете, что фронтальная, горизонтальная и профильная проекции являются изображениями проекционного чертежа. Проекционные изображения внешней видимой поверхности предмета называют видами.

Вид – это изображение обращенной к наблюдателю видимой поверхности предмета.

Основные виды. Стандарт устанавливает шесть основных видов, которые получаются при проецировании предмета, помещенного внутрь куба, шесть граней которого принимают за плоскости проекций (рис. 24). Спроецировав предмет на эти грани, их разворачивают до совмещения с фронтальной плоскостью проекций (рис. 25).

Рис. 24. Получение основных видов

Вид спереди (главный вид) размещается на месте фронтальной проекции. Вид сверху размещается на месте горизонтальной проекции (под главным видом). Вид слева располагается на месте профильной проекции (справа от главного вида). Вид справа размещается слева от главного вида. Вид снизу находится над главным видом. Вид сзади размещается справа от вида слева.

Рис. 25 . Основные виды

Основные виды, так же как и проекции, располагаются в проекционной связи. Число видов на чертеже выбирают минимальным, но достаточным для того, чтобы точно представить форму изображенного объекта. На видах, при необходимости, допускается показывать невидимые части поверхности предмета с помощью штриховых линий (рис. 26).

Главный вид должен содержать наибольшую информацию о предмете. Поэтому деталь необходимо располагать по отношению к фронтальной плоскости проекций так, чтобы видимая поверхность ее могла быть спроецирована с наибольшим количеством элементов формы. Кроме этого, главный вид должен давать ясное представление об особенностях формы, показывая ее силуэт, изгибы поверхности, уступы, выемки, отверстия, что обеспечивает быстрое узнавание формы изображенного изделия.

Положение плоскости в пространстве определяется:

• тремя точками, не лежащими на одной прямой;
• прямой и точкой, взятой вне прямой;
• двумя пересекающимися прямыми;
• двумя параллельными прямыми;
• плоской фигурой.

В соответствии с этим на эпюре плоскость может быть задана:

• проекциями трёх точек, не лежащих на одной прямой (Рисунок 3.1,а);
• проекциями точки и прямой (Рисунок 3.1,б);
• проекциями двух пересекающихся прямых (Рисунок 3.1,в);
• проекциями двух параллельных прямых (Рисунок 3.1,г);
• плоской фигурой (Рисунок 3.1,д);
• следами плоскости;
• линией наибольшего ската плоскости.

Рисунок 3.1 – Способы задания плоскостей

Плоскость общего положения – это плоскость, которая не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций.

Следом плоскости называется прямая, полученная в результате пересечения заданной плоскости с одной из плоскостей проекций.

Плоскость общего положения может иметь три следа: горизонтальный – απ 1 , фронтальный – απ 2 и профильный – απ 3 , которые она образует при пересечении с известными плоскостями проекций: горизонтальной π 1 , фронтальной π 2 и профильной π 3 (Рисунок 3.2).

Рисунок 3.2 – Следы плоскости общего положения

3.2. Плоскости частного положения

Плоскость частного положения – плоскость, перпендикулярная или параллельная плоскости проекций.

Плоскость, перпендикулярная плоскости проекций, называется проецирующей и на эту плоскость проекций она будет проецироваться в виде прямой линии.

Свойство проецирующей плоскости : все точки, линии, плоские фигуры, принадлежащие проецирующей плоскости, имеют проекции на наклонном следе плоскости (Рисунок 3.3).

Рисунок 3.3 – Фронтально-проецирующая плоскость, которой принадлежат: точки А , В , С ; линии АС , АВ , ВС ; плоскость треугольника АВС

Фронтально-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, а).

Горизонтально-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, б).

Профильно-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций .

Плоскости, параллельные плоскостям проекций, называются плоскостями уровня или дважды проецирующими плоскостями .

Фронтальная плоскость уровня – плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, в).

Горизонтальная плоскость уровня – плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, г).

Профильная плоскость уровня – плоскость, параллельная профильной плоскости проекций (Рисунок 3.4, д).

Рисунок 3.4 – Эпюры плоскостей частного положения

3.3. Точка и прямая в плоскости. Принадлежность точки и прямой плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости (Рисунок 3.5).

Прямая принадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью хотя бы две общие точки (Рисунок 3.6).

Рисунок 3.5 – Принадлежность точки плоскости

α = m // n

D ∈ n ⇒ D ∈ α

Рисунок 3.6 – Принадлежность прямой плоскости

Упражнение

Дана плоскость, заданная четырехугольником (Рисунок 3.7, а). Необходимо достроить горизонтальную проекцию вершины С .

а	б

Рисунок 3.7 – Решение задачи

Решение :

1. ABCD – плоский четырехугольник, задающий плоскость.
2. Проведём в нём диагонали AC и BD (Рисунок 3.7, б), которые являются пересекающимися прямыми, также задающими ту же плоскость.
3. Согласно признаку пересекающихся прямых, построим горизонтальную проекцию точки пересечения этих прямых — K по её известной фронтальной проекции: A 2 C 2 ∩ B 2 D 2 =K 2 .
4. Восстановим линию проекционной связи до пересечения с горизонтальной проекцией прямой BD : на проекции диагонали B 1 D 1 строим К 1 .
5. Через А 1 К 1 проводим проекцию диагонали А 1 С 1 .
6. Точку С 1 получаем, посредством линии проекционной связи до пересечения её с горизонтальной проекцией продолженной диагонали А 1 К 1 .

3.4. Главные линии плоскости

В плоскости можно построить бесконечное множество прямых, но есть особые прямые, лежащие в плоскости, называемые главными линиями плоскости (Рисунок 3.8 – 3.11).

Прямой уровня или параллелью плоскости называется прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная одной из плоскостей проекций.

Горизонталь или горизонтальная прямая уровня h (первая параллель) – это прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций (π 1) (Рисунок 3.8, а; 3.9).

Фронталь или фронтальная прямая уровня f (вторая параллель) – это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций (π 2) (Рисунок 3.8, б; 3.10).

Профильная прямая уровня p (третья параллель) – это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная профильной плоскости проекций (π 3) (Рисунок 3.8, в; 3.11).

Рисунок 3.8 а – Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Рисунок 3.8 б – Фронтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Рисунок 3.8 в – Профильная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Рисунок 3.9 – Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной следами

Рисунок 3.10 – Фронтальная прямая уровня в плоскости, заданной следами

Рисунок 3.11 – Профильная прямая уровня в плоскости, заданной следами

3.5. Взаимное положение прямой и плоскости

Прямая по отношению к заданной плоскости может быть параллельной и может с ней иметь общую точку, то есть пересекаться.

3.5.1. Параллельность прямой плоскости

Признак параллельности прямой плоскости : прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, принадлежащей этой плоскости (Рисунок 3.12).

Рисунок 3.12 – Параллельность прямой плоскости

3.5.2. Пересечение прямой с плоскостью

Для построения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения (Рисунок 3.13), необходимо:

1. Заключить прямую а во вспомогательную плоскость β (в качестве вспомогательной плоскости следует выбирать плоскости частного положения);
2. Найти линию пересечения вспомогательной плоскости β с заданной плоскостью α;
3. Найти точку пересечения заданной прямой а с линией пересечения плоскостей MN .

Рисунок 3.13 – Построение точки встречи прямой с плоскостью

Упражнение

Заданы: прямая АВ общего положения, плоскость σ⊥π 1 . (Рисунок 3.14). Построить точку пересечения прямой АВ с плоскостью σ.

Решение :

1. Плоскость σ – горизонтально-проецирующая, следовательно, горизонтальной проекцией плоскости σ является прямая σ 1 (горизонтальный след плоскости);
2. Точка К должна принадлежать прямой АВ ⇒ К 1 ∈А 1 В 1 и заданной плоскости σ ⇒ К 1 ∈σ 1 , следовательно, К 1 находится в точке пересечения проекций А 1 В 1 и σ 1 ;
3. Фронтальную проекцию точки К находим посредством линии проекционной связи: К 2 ∈А 2 В 2 .

Рисунок 3.14 – Пересечение прямой общего положения с плоскостью частного положения

Упражнение

Заданы: плоскость σ = ΔАВС – общего положения, прямая EF (Рисунок 3.15).

Требуется построить точку пересечения прямой EF с плоскостью σ.

а	б

Рисунок 3.15 – Пересечение прямой с плоскостью

1. Заключим прямую EF во вспомогательную плоскость, в качестве которой воспользуемся горизонтально-проецирующей плоскостью α (Рисунок 3.15, а);
2. Если α⊥π 1 , то на плоскость проекций π 1 плоскость α проецируется в прямую (горизонтальный след плоскости απ 1 или α 1), совпадающую с E 1 F 1 ;
3. Найдём прямую пересечения (1-2) проецирующей плоскости α с плоскостью σ (решение подобной задачи будет рассмотрено );
4. Прямая (1-2) и заданная прямая EF лежат в одной плоскости α и пересекаются в точке K .

Алгоритм решения задачи (Рисунок 3.15, б):

Через EF проведем вспомогательную плоскость α:

3.6. Определение видимости методом конкурирующих точек

При оценке положения данной прямой, необходимо определить – точка какого участка прямой расположена ближе (дальше) к нам, как к наблюдателям, при взгляде на плоскость проекций π 1 или π 2 .

Точки, которые принадлежат разным объектам, а на одной из плоскостей проекций их проекции совпадают (то есть, две точки проецируются в одну), называются конкурирующими на этой плоскости проекций .

Необходимо отдельно определить видимость на каждой плоскости проекций.

Видимость на π 2 (рис. 3.15)

Выберем точки, конкурирующие на π 2 – точки 3 и 4. Пусть точка 3∈ВС∈σ , точка 4∈EF .

Чтобы определить видимость точек на плоскости проекций π 2 надо определить расположение этих точек на горизонтальной плоскости проекций при взгляде на π 2 .

Направление взгляда на π 2 показано стрелкой.

По горизонтальным проекциям точек 3 и 4, при взгляде на π 2 , видно, что точка 4 1 располагается ближе к наблюдателю, чем 3 1 .

4 1 ∈E 1 F 1 ⇒ 4∈EF ⇒ на π 2 будет видима точка 4, лежащая на прямой EF , следовательно, прямая EF на участке рассматриваемых конкурирующих точек расположена перед плоскостью σ и будет видима до точки K

Видимость на π 1

Для определения видимости выберем точки, конкурирующие на π 1 – точки 2 и 5.

Чтобы определить видимость точек на плоскости проекций π 1 надо определить расположение этих точек на фронтальной плоскости проекций при взгляде на π 1 .

Направление взгляда на π 1 показано стрелкой.

По фронтальным проекциям точек 2 и 5, при взгляде на π 1 , видно, что точка 2 2 располагается ближе к наблюдателю, чем 5 2 .

2 1 ∈А 2 В 2 ⇒ 2∈АВ ⇒ на π 1 будет видима точка 2, лежащая на прямой АВ , следовательно, прямая EF на участке рассматриваемых конкурирующих точек расположена под плоскостью σ и будет невидима до точки K – точки пересечения прямой с плоскостью σ.

Видимой из двух конкурирующих точек будет та, у которой координата «Z» или(и) «Y» больше.

3.7. Перпендикулярность прямой плоскости

Признак перпендикулярности прямой плоскости : прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости.

а	б

Рисунок 3.16 – Задание прямой, перпендикулярной плоскости

Теорема. Если прямая перпендикулярна плоскости, то на эпюре: горизонтальная проекции прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция прямой перпендикулярна фронтальной проекции фронтали (Рисунок 3.16, б)

Теорема доказывается через теорему о проецировании прямого угла в частном случае.

Если плоскость задана следами, то проекции прямой перпендикулярной плоскости перпендикулярны соответствующим следам плоскости (Рисунок 3.16, а).

Пусть прямая p перпендикулярна плоскости σ=ΔАВС и проходит через точку K .

1. Построим горизонталь и фронталь в плоскости σ=ΔАВС : A-1 ∈σ; A-1 //π 1 ; С-2 ∈σ; С-2 //π 2 .
2. Восстановим из точки K перпендикуляр к заданной плоскости: p 1 ⊥h 1 и p 2 ⊥f 2 , или p 1 ⊥απ 1 и p 2 ⊥απ 2

3.8. Взаимное положение двух плоскостей

3.8.1. Параллельность плоскостей

Две плоскости могут быть параллельными и пересекающимися между собой.

Признак параллельности двух плоскостей : две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Упражнение

Задана плоскость общего положения α=ΔАВС и точка F ∉α (Рисунок 3.17).

Через точку F провести плоскость β, параллельную плоскости α.

Рисунок 3.17 – Построение плоскости, параллельной заданной

Решение :

В качестве пересекающихся прямых плоскости α возьмем, например, стороны треугольника АВ и ВС.

1. Через точку F проводим прямую m , параллельную, например, АВ .
2. Через точку F , или же через любую точку, принадлежащую m , проводим прямую n , параллельную, например, ВС , причём m∩ n=F .
3. β = m ∩n и β//α по определению.

3.8.2. Пересечение плоскостей

Результатом пересечения 2-х плоскостей является прямая. Любая прямая на плоскости или в пространстве может быть однозначно задана двумя точками. Поэтому для того, чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, следует найти две точки, общие для обеих плоскостей, после чего соединить их.

Рассмотрим примеры пересечения двух плоскостей при различных способах их задания: следами; тремя точками, не лежащими на одной прямой; параллельными прямыми; пересекающимися прямыми и др.

Упражнение

Две плоскости α и β заданы следами (Рисунок 3.18). Построить линию пересечения плоскостей.

Рисунок 3.18 – Пересечение плоскостей общего положения, заданных следами

Порядок построения линии пересечения плоскостей :

1. Найти точку пересечения горизонтальных следов — это точка М (её проекции М 1 и М 2 , при этом М 1 =М , т.к. М – точка частного положения, принадлежащая плоскости π 1).
2. Найти точку пересечения фронтальных следов — это точка N (её проекции N 1 и N 2 , при этом N 2 = N , т.к. N – точка частного положения, принадлежащая плоскости π 2).
3. Построить линию пересечения плоскостей, соединив одноименные проекции полученных точек: М 1 N 1 и М 2 N 2 .

М N – линия пересечения плоскостей.

Упражнение

Задана плоскость σ = ΔАВС , плоскость α – горизонтально- проецирующая (α⊥π 1) ⇒α 1 – горизонтальный след плоскости (Рисунок 3.19).

Построить линию пересечения этих плоскостей.

Решение :

Так как плоскость α пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС , то точки пересечения K и L этих сторон с плоскостью α являются общими для обеих заданных плоскостей, что позволит, соединив их, найти искомую линию пересечения.

Точки могут быть найдены как точки пересечения прямых с проецирующей плоскостью: находим горизонтальные проекции точек K и L , то есть K 1 и L 1 , на пересечении горизонтального следа (α 1) заданной плоскости α с горизонтальными проекциями сторон ΔАВС : А 1 В 1 и A 1 C 1 . После чего посредством линий проекционной связи находим фронтальные проекции этих точек K 2 и L 2 на фронтальных проекциях прямых АВ и АС . Соединим одноимённые проекции: K 1 и L 1 ; K 2 и L 2 . Линия пересечения заданных плоскостей построена.

Алгоритм решения задачи :

KL – линия пересечения ΔАВС и σ (α∩σ = KL ).

Рисунок 3.19 – Пересечение плоскостей общего и частного положения

Упражнение

Заданы плоскости α = m//n и плоскость β = ΔАВС (Рисунок 3.20).

Построить линию пересечения заданных плоскостей.

Решение :

1. Чтобы найти точки, общие для обеих заданных плоскостей и задающие линию пересечения плоскостей α и β, необходимо воспользоваться вспомогательными плоскостями частного положения.
2. В качестве таких плоскостей выберем две вспомогательные плоскости частного положения, например: σ // τ; σ⊥π 2 ; τ⊥π 2 .
3. Вновь введённые плоскости пересекаются с каждой из заданных плоскостей α и β по прямым, параллельным друг другу, так как σ // τ:

— результатом пересечения плоскостей α, σ и τ являются прямые (4-5) и (6-7);

— результатом пересечения плоскостей β, σ и τ являются прямые (3-2) и (1-8).

1. Прямые (4-5) и (3-2) лежат в плоскости σ; точка их пересечения М одновременно лежит в плоскостях α и β, то есть на прямой пересечения этих плоскостей;
2. Аналогично находим точку N , общую для плоскостей α и β.
3. Соединив точки M и N , построим прямую пересечения плоскостей α и β.

Рисунок 3.20 – Пересечение двух плоскостей общего положения (общий случай)

Алгоритм решения задачи :

Упражнение

Заданы плоскости α = ΔАВС и β = a //b . Построить линию пересечения заданных плоскостей (Рисунок 3.21).

Рисунок 3.21 Решение задачи на пересечение плоскостей

Решение :

Воспользуемся вспомогательными секущими плоскостями частного положения. Введём их так, чтобы сократить количество построений. Например, введём плоскость σ⊥π 2 , заключив прямую a во вспомогательную плоскость σ (σ∈a ). Плоскость σ пересекает плоскость α по прямой (1-2), а σ∩β=а . Следовательно (1-2)∩а =K .

Точка К принадлежит обеим плоскостям α и β.

Следовательно, точка K , является одной из искомых точек, через которые проходит прямая пересечения заданных плоскостей α и β.

Для нахождения второй точки, принадлежащей прямой пересечения α и β, заключим прямую b во вспомогательную плоскость τ⊥π 2 (τ∈b ).

Соединив точки K и L , получим прямую пересечения плоскостей α и β.

3.8.3. Взаимно перпендикулярные плоскости

Плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой.

Упражнение

Задана плоскость σ⊥π 2 и прямая общего положения – DE (Рисунок 3.22)

Требуется построить через DE плоскость τ⊥σ.

Решение .

Проведём перпендикуляр CD к плоскости σ – C 2 D 2 ⊥σ 2 (на основании ).

Рисунок 3.22 – Построение плоскости, перпендикулярной к заданной плоскости

По теореме о проецировании прямого угла C 1 D 1 должна быть параллельна оси проекций. Пересекающиеся прямые CD∩ DE задают плоскость τ. Итак, τ⊥σ.

Аналогичные рассуждения, в случае плоскости общего положения.

Упражнение

Задана плоскость α = ΔАВС и точка K вне плоскости α.

Требуется построить плоскость β⊥α, проходящую через точку K .

Алгоритм решения (Рисунок 3.23):

1. Построим горизонталь h и фронталь f в заданной плоскости α = ΔАВС ;
2. Через точку K проведём перпендикуляр b к плоскости α (по теореме о перпендикуляре к плоскости : если прямая перпендикулярна плоскости, то её проекции перпендикулярны к наклонным проекциям горизонтали и фронтали, лежащих в плоскости: b 2 ⊥f 2 ; b 1 ⊥h 1 ;
3. Задаём плоскость β любым способом, например, β = a∩ b , таким образом, плоскость, перпендикулярная к заданной, построена: α⊥β.

Рисунок 3.23 – Построение плоскости, перпендикулярной к заданной ΔАВС

3.9. Задачи для самостоятельного решения

1. Задана плоскость α = m //n (Рисунок 3.24). Известно, что K ∈α.

Постройте фронтальную проекцию точки К .

Рисунок 3.24

2. Постройте следы прямой, заданной отрезком CB , и определите квадранты, через которые она проходит (Рисунок 3.25).

Рисунок 3.25

3. Постройте проекции квадрата, принадлежащего плоскости α⊥π 2 , если его диагональ MN //π 2 (Рисунок 3.26).

Рисунок 3.26

4. Построить прямоугольник ABCD с большей стороной ВС на прямой m , исходя из условия, что отношение его сторон равно 2 (Рисунок 3.27).

Рисунок 3.27

5. Задана плоскость α=a //b (Рисунок 3.28). Построить плоскость β параллельную плоскости α и удаленную от нее на расстоянии 20 мм.

Рисунок 3.28

6. Задана плоскость α=∆АВС и точка D D плоскость β⊥α и β⊥π 1 .

7. Задана плоскость α=∆АВС и точка D вне плоскости. Построить через точку D прямую DE //α и DE //π 1 .