Alalahanin na ang paghahati ng natural na numero a sa natural na numerong b ay nangangahulugang kumakatawan sa bilang a sa anyo:

kung saan ang quotient c at ang natitirang r ay mga non-negative na integer, at ang natitirang r ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay:

Kung hahatiin natin ang mga polynomial sa isa't isa, magkakaroon ng katulad na sitwasyon.

Sa katunayan, kapag nagsasagawa ng mga pagpapatakbo ng karagdagan, pagbabawas at pagpaparami sa mga polynomial, ang resulta ay palaging isang polynomial. Sa partikular, kapag nagpaparami ng dalawang non-zero polynomial, ang antas ng produkto ay magiging katumbas ng kabuuan ng mga antas ng mga kadahilanan.

Gayunpaman, bilang isang resulta dibisyon ng polynomials polynomial ay hindi palaging nakuha.

Sinasabi nila na isang polynomial ay ganap na (walang natitira) na nahahati ng isa pang polynomial kung ang resulta ng paghahati ay isang polynomial.

Kung ang isang polynomial ay hindi nahahati ng isa pang polynomial, kung gayon palagi maaaring gawin dibisyon ng mga polynomial na may natitira, bilang isang resulta kung saan ang parehong kusyente at ang natitira ay magiging mga polynomial.

Kahulugan . Hatiin ang polynomial a(x) sa isang polynomial b(x) kasama ang natitira- ibig sabihin nito ay kumakatawan sa isang polynomial a(x) bilang

a(x) = b(x) c(x) + r(x) ,

nasaan ang polynomial c(x) ay isang quotient , at ang polynomial r(x) ay ang natitira, at ang antas ng natitira ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay:

Mahalagang tandaan na ang formula

a(x) = b(x) c(x) + r(x)

ay pagkakakilanlan , ibig sabihin. equality valid para sa lahat ng value ng variable x .

Kapag hinahati (mayroon o walang natitira) ang isang polynomial sa isang polynomial na mas mababang degree sa quotient, ang isang polynomial ay nakuha na ang degree ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga degree ng dibidendo at ang divisor.

Ang isang paraan upang hatiin ang mga polynomial sa isang natitira ay dibisyon ng polynomials sa pamamagitan ng "sulok", na isang kumpletong pagkakatulad sa kung paano ito nangyayari kapag hinahati ang mga integer.

Bumaling tayo ngayon sa paglalarawan ng pamamaraang ito ng paghahati ng mga polynomial.

Halimbawa. Ang pagkakaroon ng dati ay inayos ang mga polynomial sa pagpapababa ng mga kapangyarihan ng variable, hinahati namin ang polynomial

2x 4 - x 3 + 5x 2 - 8x + 1

sa isang polynomial

x 2 - x + 1 .

Solusyon . Ilarawan natin ang algorithm para sa paghahati ng mga polynomial sa pamamagitan ng isang "sulok" sa mga hakbang:

1. hatiin ang unang termino ng dibidendo 2x 4 hanggang sa unang termino ng divisor x 2. Nakukuha namin unang miyembro ng pribado 2x 2 .
2. Paramihin unang miyembro ng pribado 2x 2 sa divider x 2 - x+ 1, at ang resulta ng pagpaparami

2x 4 - 2x 3 + 2x 2

isulat sa ilalim ng nahahati 2x 4 - x 3 + 5x 2 - 8x + 1 .

3. Ibawas namin mula sa dibidendo ang polynomial na nakasulat sa ibaba nito. Nakukuha namin unang natitira

x 3 + 3x 2 - 8x .

Kung ang natitira ay katumbas ng zero, o isang polynomial na ang antas ay mas mababa kaysa sa antas ng divisor (sa kasong ito, mas mababa sa 2), kung gayon ang proseso ng paghahati ay makukumpleto. Gayunpaman, hindi ito ang kaso, at nagpapatuloy ang dibisyon.

4. hatiin ang unang termino ng natitira x 3 hanggang sa unang termino ng divisor x 2. Nakukuha namin pangalawang miyembro ng pribado x .
5. Paramihin pangalawang miyembro ng pribado x sa divider x 2 - x + 1 , at ang resulta ng pagpaparami

x 3 - x 2 +x

isulat sa ibaba ang una x 3 + 3x 2 - 8x .

6. Ibinabawas namin mula sa unang natitira ang polynomial na nakasulat sa ibaba nito. Nakukuha namin pangalawang natitira

4x 2 - 9x + 1 .

Kung ang natitira ay katumbas ng zero, o kung ito ay isang polynomial na ang antas ay mas mababa kaysa sa antas ng divisor, kung gayon ang proseso ng paghahati ay makukumpleto. Gayunpaman, hindi ito ang kaso, at nagpapatuloy ang dibisyon.

7. hatiin unang termino ng ikalawang nalalabi 4x 2 sa unang termino ng divisor x 2. Nakukuha namin ikatlong miyembro ng pribado 4 .
8. Paramihin ikatlong miyembro ng pribado 4 sa divider x 2 - x + 1 , at ang resulta ng pagpaparami

Magsimula tayo sa ilang mga kahulugan. Isang pagpapahayag ng anyong $P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x ^(n)+a_(1)x^ (n-1)+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$. Halimbawa, ang expression na $4x^(14)+87x^2+4x-11$ ay isang polynomial na ang degree ay $14$. Maaari itong tukuyin bilang sumusunod: $P_(14)(x)=4x^(14)+87x^2+4x-11$.

Ang coefficient na $a_0$ ay tinatawag na leading coefficient ng polynomial na $P_n(x)$. Halimbawa, para sa polynomial na $4x^(14)+87x^2+4x-11$, ang nangungunang coefficient ay $4$ (ang numero bago ang $x^(14)$). Ang numerong $a_n$ ay tinatawag na libreng miyembro ng polynomial na $P_n(x)$. Halimbawa, para sa $4x^(14)+87x^2+4x-11$ ang intercept ay $(-11)$. Ngayon ay bumaling tayo sa teorama, kung saan, sa katunayan, ang pagtatanghal ng materyal sa pahinang ito ay ibabatay.

Para sa alinmang dalawang polynomial na $P_n(x)$ at $G_m(x)$ makakahanap ang isa ng polynomials na $Q_p(x)$ at $R_k(x)$ na ang pagkakapantay-pantay

\begin(equation) P_n(x)=G_m(x)\cdot Q_p(x)+R_k(x) \end(equation)

at $k< m$.

Ang pariralang "hatiin ang polynomial na $P_n(x)$ sa polynomial na $G_m(x)$" ay nangangahulugang "kinakatawan ang polynomial na $P_n(x)$ sa anyong (1)". Tatawagin natin ang polynomial na $P_n(x)$ divisible, ang polynomial na $G_m(x)$ ang divisor, ang polynomial na $Q_p(x)$ ang quotient ng $P_n(x)$ na hinati ng $G_m(x)$, at ang polynomial na $ R_k(x)$ - natitira pagkatapos hatiin ang $P_n(x)$ sa $G_m(x)$. Halimbawa, para sa mga polynomial $P_6(x)=12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1$ at $G_4(x)=3x^4+4x^2+ 2 $ maaari mong makuha ang pagkakapantay-pantay na ito:

$$ 12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1=(3x^4+4x^2+2)(4x^2+x)+2x^3+1 $$

Dito ang polynomial na $P_6(x)$ ay divisible, ang polynomial na $G_4(x)$ ay isang divisor, ang polynomial na $Q_2(x)=4x^2+x$ ay ang quotient ng $P_6(x)$ na hinati ng $G_4(x) $, at ang polynomial na $R_3(x)=2x^3+1$ ang natitira pagkatapos hatiin ang $P_6(x)$ sa $G_4(x)$. Pansinin ko na ang antas ng natitira (i.e. 3) ay mas mababa kaysa sa antas ng divisor (i.e. 4), samakatuwid ang kondisyon ng pagkakapantay-pantay ay natutugunan.

Kung $R_k(x)\equiv 0$, ang polynomial na $P_n(x)$ ay sinasabing mahahati ng polynomial na $G_m(x)$ nang walang natitira. Halimbawa, ang polynomial na $21x^6+6x^5+105x^2+30x$ ay nahahati sa polynomial na $3x^4+15$ nang walang natitira, dahil ang pagkakapantay-pantay ay mayroong:

$$ 21x^6+6x^5+105x^2+30x=(3x^4+15)\cdot(7x^2+2x) $$

Dito ang polynomial na $P_6(x)=21x^6+6x^5+105x^2+30x$ ay divisible; polynomial $G_4(x)=3x^4+15$ - divisor; at ang polynomial na $Q_2(x)=7x^2+2x$ ay ang quotient ng $P_6(x)$ na hinati ng $G_4(x)$. Ang natitira ay zero.

Upang hatiin ang isang polynomial sa isang polynomial, ang paghahati sa pamamagitan ng isang "column" o, bilang ito ay tinatawag ding, "sulok" ay madalas na ginagamit. Susuriin namin ang pagpapatupad ng pamamaraang ito na may mga halimbawa.

Bago lumipat sa mga halimbawa, magpapakilala ako ng isa pang termino. Siya ay hindi karaniwang tinatanggap, at gagamitin lang namin ito para sa kaginhawaan ng paglalahad ng materyal. Hanggang sa dulo ng pahinang ito, tatawagin natin ang nangungunang elemento ng polynomial na $P_n(x)$ ang expression na $a_(0)x^(n)$. Halimbawa, para sa polynomial na $4x^(14)+87x^2+4x-11$ ang nangungunang elemento ay $4x^(14)$.

Halimbawa #1

Hatiin ang $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ sa $5x^2-x+2$ gamit ang "column" division.

Kaya mayroon kaming dalawang polynomial, $P_5(x)=10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ at $G_2(x)=5x^2-x+2$. Ang antas ng una ay $5$, at ang antas ng pangalawa ay $2$. Ang polynomial na $P_5(x)$ ay ang dibidendo, at ang polynomial na $G_2(x)$ ay ang divisor. Ang aming gawain ay hanapin ang quotient at ang natitira. Ang problema ay malulutas nang hakbang-hakbang. Gagamitin namin ang parehong notasyon tulad ng para sa paghahati ng mga numero:

Unang hakbang

Hatiin ang pinakamataas na elemento ng polynomial na $P_5(x)$ (i.e. $10x^5$) sa pinakamataas na elemento ng polynomial na $Q_2(x)$ (ibig sabihin, $5x^2$):

$$ \frac(10x^5)(5x^2)=2x^(5-2)=2x^3. $$

Ang resultang expression na $2x^3$ ay ang unang elemento ng quotient:



I-multiply ang polynomial na $5x^2-x+2$ sa $2x^3$ upang makakuha ng:

$$ 2x^3\cdot (5x^2-x+2)=10x^5-2x^4+4x^3 $$

Isulat natin ang resulta:

Ngayon ibawas ang polynomial na $10x^5-2x^4+4x^3$ mula sa polynomial na $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$:

$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5-(10x^5-2x^4+4x^3)=5x^4-16x^3+25x^2-2x+ 5 $$



Dito nagtatapos ang unang hakbang. Ang resulta na nakuha namin ay maaaring isulat sa pinalawak na anyo:

$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot 2x^3+5x^4-16x^3+25x^2-2x +5 $$

Dahil ang antas ng polynomial na $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ (i.e. 4) ay mas malaki kaysa sa antas ng polynomial na $5x^2-x+2$ (i.e. 2), ang kailangang ipagpatuloy ang paghahati ng proseso. Lumipat tayo sa pangalawang hakbang.

Pangalawang hakbang

Ngayon ay gagana tayo sa mga polynomial na $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ at $5x^2-x+2$. Sa parehong paraan tulad ng sa unang hakbang, hinahati namin ang nangungunang elemento ng unang polynomial (ibig sabihin, $5x^4$) sa nangungunang elemento ng pangalawang polynomial (ibig sabihin, $5x^2$):

$$ \frac(5x^4)(5x^2)=x^(4-2)=x^2. $$

Ang resultang expression na $x^2$ ay ang pangalawang elemento ng quotient. Idagdag sa quotient na $x^2$



I-multiply ang polynomial na $5x^2-x+2$ sa $x^2$ upang makakuha ng:

$$ x^2\cdot (5x^2-x+2)=5x^4-x^3+2x^2 $$

Isulat natin ang resulta:



Ngayon ibawas ang polynomial na $5x^4-x^3+2x^2$ mula sa polynomial na $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$:

$$ 5x^4-16x^3+25x^2-2x+5-(5x^4-x^3+2x^2)=-15x^3+23x^2-2x+5 $$

Idinagdag namin ang polynomial na ito sa ilalim ng linya:



Dito nagtatapos ang ikalawang hakbang. Ang resulta na nakuha ay maaaring isulat sa pinalawak na anyo:

$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2)-15x^3+23x^2 -2x+5 $$

Dahil ang antas ng polynomial na $-15x^3+23x^2-2x+5$ (ibig sabihin, 3) ay mas malaki kaysa sa antas ng polynomial na $5x^2-x+2$ (ibig sabihin 2), ipinagpapatuloy namin ang paghahati. proseso. Lumipat tayo sa ikatlong hakbang.

Pangatlong hakbang

Ngayon ay gagana tayo sa mga polynomial na $-15x^3+23x^2-2x+5$ at $5x^2-x+2$. Sa parehong paraan tulad ng sa mga nakaraang hakbang, hinahati namin ang nangungunang elemento ng unang polynomial (i.e. $-15x^3$) sa nangungunang elemento ng pangalawang polynomial (ibig sabihin, $5x^2$):

$$ \frac(-15x^3)(5x^2)=-3x^(2-1)=-3x^1=-3x. $$

Ang resultang expression na $(-3x)$ ay ang ikatlong elemento ng quotient. Idagdag natin sa quotient na $-3x$



I-multiply ang polynomial na $5x^2-x+2$ sa $(-3x)$ upang makuha ang:

$$ -3x\cdot (5x^2-x+2)=-15x^3+3x^2-6x $$

Isulat natin ang resulta:



Ngayon ibawas ang polynomial na $-15x^3+3x^2-6x$ mula sa polynomial na $-15x^3+23x^2-2x+5$:

$$ -15x^3+23x^2-2x+5-(-15x^3+3x^2-6x)=20x^2+4x+5 $$

Idinagdag namin ang polynomial na ito sa ilalim ng linya:



Dito nagtatapos ang ikatlong hakbang. Ang resulta na nakuha ay maaaring isulat sa pinalawak na anyo:

$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2-3x)+20x^2+4x +5 $$

Dahil ang antas ng polynomial na $20x^2+4x+5$ (ibig sabihin, 2) ay katumbas ng antas ng polynomial na $5x^2-x+2$ (ie 2), ipinagpapatuloy namin ang proseso ng paghahati. Lumipat tayo sa ikaapat na hakbang.

Ikaapat na hakbang

Ngayon ay gagana tayo sa mga polynomial na $20x^2+4x+5$ at $5x^2-x+2$. Sa parehong paraan tulad ng sa mga nakaraang hakbang, hinahati namin ang nangungunang elemento ng unang polynomial (ibig sabihin, $20x^2$) sa nangungunang elemento ng pangalawang polynomial (ibig sabihin, $5x^2$):

$$ \frac(20x^2)(5x^2)=4x^(2-2)=4x^0=4. $$

Ang resultang bilang na $4$ ay ang ikaapat na elemento ng quotient. Idagdag natin sa quotient na $4$



I-multiply ang polynomial na $5x^2-x+2$ sa $4$ upang makakuha ng:

$$ 4\cdot (5x^2-x+2)=20x^2-4x+8 $$

Isulat natin ang resulta:



Ngayon ay ibawas natin ang polynomial na $20x^2-4x+8$ mula sa polynomial na $20x^2+4x+5$.

Hayaan itong kinakailangan

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) ÷ (2x - 1).

Dito ibinibigay ang produkto (2x 3 - 7x 2 + x + 1) at isang salik (2x - 1), - kailangan mong maghanap ng isa pang salik. Sa halimbawang ito, agad na malinaw (ngunit hindi ito maitatag sa pangkalahatan) na ang isa pa, ninanais, kadahilanan, o quotient, ay isa ring polynomial. Ito ay malinaw dahil ang produktong ito ay may 4 na termino, at ang multiplier na ito ay 2 lamang. Gayunpaman, imposibleng sabihin nang maaga kung gaano karaming mga termino ang nais na multiplier: maaaring mayroong 2 termino, 3 termino, atbp. Tandaan na ang pinakamataas na termino ng produkto ay palaging lumalabas mula sa pagpaparami ng pinakamataas na termino ng isang salik sa pinakamataas na termino ng isa pa (tingnan ang multiplikasyon ng isang polynomial sa isang polynomial) at na hindi maaaring magkaroon ng mga terminong tulad nito, sigurado kami na 2x 3 (ang pinakamataas na termino ng ang produktong ito) ay magmumula sa pagpaparami ng 2x (ang pinakamataas na termino ng salik na ito ) sa hindi kilalang nangungunang termino ng hinahanap na multiplier. Upang mahanap ang huli, samakatuwid, kailangan nating hatiin ang 2x 3 sa 2x - makuha natin ang x 2 . Ito ang senior member ng private.

Alalahanin na kapag nagpaparami ng polynomial sa isang polynomial, ang bawat termino ng isang polynomial ay dapat na i-multiply sa bawat termino ng isa pa. Samakatuwid, ang produktong ito (2x 3 - 7x 2 + x + 1) ay produkto ng divisor (2x - 1) at lahat ng termino ng quotient. Ngunit mahahanap na natin ngayon ang produkto ng divisor at ang unang (pinakamataas) na miyembro ng quotient, i.e. (2x - 1) ∙ x 2; nakukuha natin ang 2x 3 - x 2 . Ang pag-alam sa produkto ng divisor sa pamamagitan ng lahat ng termino ng quotient (ito = 2x 3 - 7x 2 + x + 1) at pag-alam sa produkto ng divisor sa pamamagitan ng 1st term ng quotient (it = 2x 3 - x 2), sa pamamagitan ng pagbabawas maaari naming mahanap ang produkto ng divisor ng lahat ng iba pa, maliban sa 1st, mga miyembro ng pribado. Kunin

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) - (2x 3 - x 2) = 2x 3 - 7x 2 + x + 1 - 2x 3 + x 2 = -6x 2 + x + 1.

Ang pinakamataas na termino (–6x 2) ng natitirang produktong ito ay dapat na produkto ng pinakamataas na termino ng divisor (2x) at ang pinakamataas na termino ng natitira (maliban sa 1st term) ng quotient. Mula dito makikita natin ang senior term ng natitirang quotient. Kailangan natin –6x 2 ÷ 2x, nakukuha natin –3x. Ito ang pangalawang termino ng nais na quotient. Muli nating mahahanap ang produkto ng divisor (2x - 1) at ang pangalawa, kakahanap lang, quotient term, ibig sabihin, -3x.

Nakukuha namin ang (2x - 1) ∙ (-3x) \u003d -6x 2 + 3x. Mula sa buong produktong ito, ibinawas na natin ang produkto ng divisor sa pamamagitan ng 1st term ng quotient at nakuha ang natitirang -6x 2 + x + 1, na produkto ng divisor ng iba, maliban sa 1st, terms ng quotient. Ang pagbabawas mula dito ang produkto na natagpuan lamang -6x 2 + 3x, nakukuha namin ang natitira, na siyang produkto ng divisor ng lahat ng iba pa, maliban sa 1st at 2nd, mga miyembro ng quotient:

-6x 2 + x + 1 - (-6x 2 + 3x) = -6x 2 + x + 1 + 6x 2 - 3x = -2x + 1.

Kapag hinahati ang senior term ng natitirang produktong ito (–2x) sa senior term ng divisor (2x), nakukuha natin ang senior term ng natitirang bahagi ng quotient, o ang ikatlong termino nito, (–2x) ÷ 2x = –1, ito ang ika-3 termino ng quotient.

Ang pagpaparami ng divisor nito, nakukuha natin

(2x – 1) ∙ (–1) = –2x + 1.

Ang pagbabawas ng produktong ito ng divisor sa pamamagitan ng ika-3 termino ng quotient mula sa buong produkto na natitira sa ngayon, i.e.

(–2x + 1) – (–2x + 1) = –2x + 1 + 2x – 1 = 0,

makikita natin na sa ating halimbawa ang produkto ay nahahati sa iba, maliban sa 1st, 2nd at 3rd, mga miyembro ng quotient = 0, kung saan napagpasyahan natin na ang quotient ay wala nang mga miyembro, i.e.

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) ÷ (2x - 1) = x 2 - 3x - 1.

Mula sa naunang nakikita natin: 1) ito ay maginhawa upang ayusin ang mga tuntunin ng dibidendo at divisor sa pababang kapangyarihan, 2) ito ay kinakailangan upang magtatag ng ilang uri ng pagkakasunud-sunod para sa pagsasagawa ng mga kalkulasyon. Ang ganitong maginhawang pagkakasunud-sunod ay maaaring isaalang-alang ang isa na ginagamit sa aritmetika kapag naghahati ng mga multi-valued na numero. Kasunod nito, inaayos namin ang lahat ng nakaraang mga kalkulasyon tulad ng sumusunod (mas maiikling paliwanag ang ibinibigay sa gilid):

Ang mga pagbabawas na kailangan dito ay isinasagawa sa pamamagitan ng pagbabago ng mga palatandaan ng mga tuntunin ng subtrahend, at ang mga variable na palatandaan na ito ay nakasulat sa itaas.

Oo, ito ay nakasulat



Ibig sabihin: ang subtrahend ay 2x 3 - x 2, at pagkatapos magpalit ng mga sign, nakuha namin ang -2x 3 + x 2.

Dahil sa tinatanggap na pag-aayos ng mga kalkulasyon, dahil sa ang katunayan na ang mga tuntunin ng dibidendo at divisor ay nakaayos sa pababang kapangyarihan, at dahil sa ang katunayan na ang mga antas ng titik x sa parehong polynomial ay bumaba sa bawat oras ng 1, ito ay lumiliko. out na ang mga naturang termino ay nakasulat sa ilalim ng bawat isa (halimbawa: –7x 2 at +x 2) kung bakit madaling i-cast ang mga ito. Mapapansin na hindi lahat ng miyembro ng dibidendo ay kailangan sa bawat sandali ng pagkalkula. Halimbawa, ang terminong +1 ay hindi kailangan sa sandaling natagpuan ang ika-2 termino ng quotient, at ang bahaging ito ng pagkalkula ay maaaring gawing simple.




Higit pang mga halimbawa:

1. (2a 4 - 3ab 3 - b 4 - 3a 2 b 2) ÷ (b 2 + a 2 + ab).

Ayusin ang mga titik a sa pababang kapangyarihan at ang dibidendo at ang divisor:




(Tandaan na dito, dahil sa kawalan ng term na may 3 sa dibidendo, sa unang pagbabawas ay lumabas na hindi magkatulad na termino -a 2 b 2 at -2a 3 b ang nilagdaan sa ilalim ng bawat isa. Siyempre, sila hindi maaaring bawasan sa isang termino at pareho ay nakasulat sa ibaba ng linya sa seniority).




Sa parehong mga halimbawa, ang isa ay dapat na maging mas matulungin sa magkatulad na mga termino: 1) hindi magkatulad na mga termino ay madalas lumabas na nakasulat sa ilalim ng bawat isa at 2) minsan (tulad ng, halimbawa, sa huling halimbawa, ang mga termino -4a n at -a n sa unang pagbabawas) ang mga katulad na termino ay lumabas na nakasulat hindi isa sa ibaba ng isa.

Posibleng isakatuparan ang paghahati ng mga polynomial sa ibang pagkakasunud-sunod, katulad: sa bawat oras na hanapin ang pinakamababang termino o ang kabuuan o ang natitirang quotient. Maginhawa sa kasong ito na ayusin ang mga polynomial na ito sa pataas na kapangyarihan ng ilang titik. Halimbawa:




Ang isang patunay ay ibinigay na ang isang hindi wastong fraction na binubuo ng mga polynomial ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng isang polynomial at isang wastong fraction. Ang mga halimbawa ng paghahati ng polynomial sa pamamagitan ng isang sulok at pagpaparami sa pamamagitan ng isang hanay ay sinusuri nang detalyado.

Nilalaman

Teorama

Hayaan mo si P k (x), Qn (x) ay mga polynomial sa variable x ng degrees k at n , ayon sa pagkakabanggit, na may k ≥ n . Pagkatapos ang polynomial P k (x) maaari lamang irepresenta sa sumusunod na paraan:
(1) P k (x) = S k-n (x) Q n (x) + U n-1 (x),
kung saan S k-n (x)- polynomial ng degree k-n , U n- 1(x)- polynomial ng degree na hindi mas mataas sa n- 1 , o zero.

Patunay

Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang polynomial:
;
;
;
,
kung saan p i , q i - kilalang coefficients, s i , u i - hindi kilalang coefficients.

Ipakilala natin ang notasyon:
.
Palitan sa (1) :
;
(2) .
Ang unang termino sa kanang bahagi ay isang polynomial ng degree k. Ang kabuuan ng pangalawa at pangatlong termino ay isang polynomial ng degree sa pinakamaraming k - 1 . I-equate ang mga coefficient sa x k :
p k = s k-n q n .
Kaya s k-n = p k / q n .

Ibahin natin ang equation (2) :
.
Ipakilala natin ang notasyon: .
Dahil s k-n = p k / q n , kung gayon ang coefficient sa x k ay katumbas ng zero. Samakatuwid - ito ay isang polynomial ng degree sa pinakamaraming k - 1 , . Pagkatapos ang nakaraang equation ay maaaring muling isulat bilang:
(3) .


Ang equation na ito ay may parehong anyo ng equation (1) , naging halaga lang ng k 1 mas mababa. Ang pag-uulit ng pamamaraang ito k-n beses, nakukuha namin ang equation:
,
kung saan natin tinutukoy ang mga coefficient ng polynomial U n- 1(x).

Kaya, natukoy namin ang lahat ng hindi kilalang coefficients s i , u l . Bukod dito, s k-n ≠ 0 . Ang lemma ay napatunayan.

Dibisyon ng polynomials

Paghahati sa magkabilang panig ng equation (1) sa Q n (x), nakukuha natin ang:
(4) .
Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa mga decimal na numero, S k-n (x) ay tinatawag na integer na bahagi ng fraction o pribado, U n- 1(x)- ang natitira sa dibisyon. Ang isang fraction ng polynomials kung saan ang degree ng polynomial sa numerator ay mas mababa kaysa sa degree ng polynomial sa denominator ay tinatawag na proper fraction. Ang isang fraction ng polynomials kung saan ang degree ng polynomial sa numerator ay mas malaki kaysa o katumbas ng degree ng polynomial sa denominator ay tinatawag na improper fraction.

Ang equation (4) ay nagpapakita na ang anumang hindi wastong fraction ng polynomials ay maaaring gawing simple sa pamamagitan ng pagrepresent nito bilang kabuuan ng isang integer na bahagi at isang tamang fraction.

Sa kanilang core, ang mga integer decimal na numero ay mga polynomial, kung saan ang variable ay katumbas ng numero 10 . Halimbawa, kunin natin ang numerong 265847. Maaari itong katawanin bilang:
.
Iyon ay, ito ay isang polynomial ng ikalimang antas mula sa 10 . Ang mga numero 2, 6, 5, 8, 4, 7 ay ang mga coefficient ng pagpapalawak ng numero sa kapangyarihan ng 10.

Samakatuwid, ang mga polynomial ay maaaring ilapat sa panuntunan ng paghahati sa pamamagitan ng isang sulok (minsan ay tinatawag na dibisyon sa pamamagitan ng isang hanay), na inilalapat sa paghahati ng mga numero. Ang pagkakaiba lang ay, kapag hinahati ang mga polynomial, hindi mo kailangang i-convert ang mga numerong higit sa siyam sa mas mataas na mga digit. Isaalang-alang ang proseso ng paghahati ng polynomial sa isang sulok gamit ang mga partikular na halimbawa.

Isang halimbawa ng paghahati ng polynomial sa isang sulok


.

Dito ang numerator ay isang polynomial ng ikaapat na antas. Ang denominator ay isang polynomial ng pangalawang degree. Dahil ang 4 ≥ 2 , kung gayon ang fraction ay hindi tama. Pinipili namin ang bahagi ng integer sa pamamagitan ng paghahati ng mga polynomial na may isang sulok (sa isang haligi):





Magbigay tayo ng isang detalyadong paglalarawan ng proseso ng paghahati. Ang mga orihinal na polynomial ay nakasulat sa kaliwa at kanang mga hanay. Sa ilalim ng denominator polynomial, sa kanang hanay, gumuhit kami ng pahalang na linya (sulok). Sa ibaba ng linyang ito, sa isang anggulo, magkakaroon ng integer na bahagi ng fraction.

1.1 Nahanap namin ang unang miyembro ng integer na bahagi (sa ilalim ng sulok). Upang gawin ito, hinahati namin ang pinakamataas na termino ng numerator sa pinakamataas na termino ng denominator: .

1.2 Paramihin 2x2 sa x 2 - 3 x + 5:
. Ang resulta ay nakasulat sa kaliwang hanay:

1.3 Kinukuha namin ang pagkakaiba ng polynomial sa kaliwang haligi:

.



Kaya, nakakuha kami ng isang intermediate na resulta:
.

Ang fraction sa kanang bahagi ay hindi tama dahil ang antas ng polynomial sa numerator ( 3 ) ay mas malaki sa o katumbas ng antas ng polynomial sa denominator ( 2 ). Inuulit namin ang mga kalkulasyon. Ngayon lamang ang numerator ng fraction ay nasa huling hilera ng kaliwang hanay.
2.1 Hatiin ang senior member ng numerator sa senior member ng denominator: ;



2.2 I-multiply natin sa denominator: ;


2.3 At ibawas mula sa huling linya ng kaliwang hanay: ;


Intermediate na resulta:
.

Ulitin namin muli ang mga kalkulasyon, dahil mayroong isang hindi wastong bahagi sa kanang bahagi.
3.1 ;
3.2 ;
3.3 ;


Kaya nakuha namin:
.
Ang antas ng polynomial sa numerator ng tamang fraction ay mas mababa kaysa sa antas ng denominator polynomial, 1 < 2 . Samakatuwid, ang fraction ay tama.

;
2 x 2 - 4 x + 1 ay ang buong bahagi;
x- 8 - natitira sa dibisyon.

Halimbawa 2

Piliin ang integer na bahagi ng fraction at hanapin ang natitira sa dibisyon:
.

Ginagawa namin ang parehong mga aksyon tulad ng sa nakaraang halimbawa:

Narito ang natitira sa dibisyon ay zero:
.

Pagpaparami ng mga polynomial sa isang hanay

Maaari mo ring i-multiply ang mga polynomial sa isang column, katulad ng pagpaparami ng mga integer. Isaalang-alang natin ang mga tiyak na halimbawa.

Isang halimbawa ng pagpaparami ng polynomial sa isang column

Hanapin ang produkto ng polynomials:
.

1

2.1
.


2.2
.


2.3
.
Ang resulta ay nakasulat sa isang haligi, na nakahanay sa mga kapangyarihan ng x.

3
;
;
;
.

Tandaan na ang mga coefficient lamang ang maaaring isulat, at ang mga kapangyarihan ng variable na x ay maaaring tanggalin. Pagkatapos ang multiplikasyon sa pamamagitan ng isang hanay ng mga polynomial ay magiging ganito:


Halimbawa 2

Hanapin ang produkto ng polynomials sa isang column:
.

Kapag nagpaparami ng polynomial sa isang column, mahalagang isulat ang parehong kapangyarihan ng variable x sa ilalim ng bawat isa. Kung ang ilang mga kapangyarihan ng x ay tinanggal, dapat silang isulat nang tahasan sa pamamagitan ng pag-multiply sa zero, o mag-iwan ng mga puwang.

Sa halimbawang ito, ang ilang degree ay tinanggal. Samakatuwid, isinulat namin ang mga ito nang tahasan, pinarami ng zero:
.
Pinaparami namin ang polynomial sa isang column.



1 Sinusulat namin ang orihinal na polynomial sa ilalim ng bawat isa sa isang hanay at gumuhit ng isang linya.

2.1 I-multiply namin ang pinakamababang termino ng pangalawang polynomial sa unang polynomial:
.
Ang resulta ay nakasulat sa isang hanay.

2.2 Ang susunod na termino ng pangalawang polynomial ay katumbas ng zero. Samakatuwid, ang produkto nito sa pamamagitan ng unang polynomial ay katumbas din ng zero. Maaaring tanggalin ang null line.

2.3 I-multiply namin ang susunod na termino ng pangalawang polynomial sa unang polynomial:
.
Ang resulta ay nakasulat sa isang haligi, na nakahanay sa mga kapangyarihan ng x.

2.3 Pina-multiply namin ang susunod (pinakamataas) na termino ng pangalawang polynomial sa unang polynomial:
.
Ang resulta ay nakasulat sa isang haligi, na nakahanay sa mga kapangyarihan ng x.

3 Matapos ang lahat ng mga termino ng pangalawang polynomial ay pinarami ng una, gumuhit kami ng isang linya at idagdag ang mga termino na may parehong mga kapangyarihan x:
.

Pangkalahatang view ng monomial

f(x)=axn, kung saan:

-a- koepisyent na maaaring kabilang sa alinman sa mga hanay N, Z, Q, R, C

-x- variable

-n exponent na kabilang sa set N

Ang dalawang monomial ay magkatulad kung mayroon silang parehong variable at parehong exponent.

Mga halimbawa: 3x2 at -5x2; ½x 4 at 2√3x4

Ang kabuuan ng mga monomial na hindi magkatulad sa isa't isa ay tinatawag na polynomial (o polynomial). Sa kasong ito, ang mga monomial ay mga termino ng polynomial. Ang polynomial na naglalaman ng dalawang termino ay tinatawag na binomial (o binomial).
Halimbawa: p(x)=3x2-5; h(x)=5x-1
Ang polynomial na naglalaman ng tatlong termino ay tinatawag na trinomial.

Pangkalahatang anyo ng isang polynomial na may isang variable

saan:

• a n ,a n-1 ,a n-2 ,...,a 1 ,a 0 ay ang mga coefficient ng polynomial. Maaari silang natural, integer, rational, real, o kumplikadong mga numero.
• isang n- koepisyent sa term na may pinakamataas na exponent (nangungunang koepisyent)
• isang 0- koepisyent sa term na may pinakamaliit na exponent (libreng termino, o pare-pareho)
• n- polynomial degree

Halimbawa 1
p(x)=5x 3 -2x 2 +7x-1

• ikatlong antas polynomial na may mga coefficient 5, -2, 7 at -1
• 5 - nangungunang kadahilanan
• -1 - libreng miyembro
• x- variable

Halimbawa 2
h(x)=-2√3x 4 +½x-4

• fourth degree polynomial na may coefficients -2√3.½ at -4
• -2√3 - nangungunang kadahilanan
• -4 - libreng miyembro
• x- variable

Dibisyon ng polinomyal

p(x) at q(x)- dalawang polynomial:
p(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x 1 +a 0
q(x)=a p x p +a p-1 x p-1 +...+a 1 x 1 +a 0

Upang mahanap ang quotient at natitirang bahagi ng isang dibisyon p(x) sa q(x), kailangan mong gamitin ang sumusunod na algorithm:


1. Degree p(x) dapat na mas malaki sa o katumbas ng q(x).
2. Dapat nating isulat ang parehong polynomial sa pababang pagkakasunud-sunod. Kung nasa p(x) walang term na may anumang degree, dapat itong idagdag na may koepisyent na 0.
3. Nangunguna sa miyembro p(x) nahahati sa nangungunang miyembro q(x), at ang resulta ay nakasulat sa ibaba ng linyang naghahati (sa denominator).
4. Pina-multiply namin ang resulta sa lahat ng termino q(x) at isulat ang resulta na may magkasalungat na mga palatandaan sa ilalim ng mga termino p(x) na may kaukulang grado.
5. Nagdaragdag kami ng termino ayon sa termino ng mga termino na may parehong antas.
6. Itinalaga namin ang mga natitirang termino sa resulta p(x).
7. Hinahati namin ang nangungunang termino ng nagresultang polynomial sa unang termino ng polynomial q(x) at ulitin ang hakbang 3-6.
8. Ang pamamaraang ito ay paulit-ulit hanggang sa ang bagong nakuhang polynomial ay may degree na mas mababa sa q(x). Ang polynomial na ito ay ang natitira sa dibisyon.
9. Ang polynomial na nakasulat sa ilalim ng dividing line ay ang resulta ng division (quotient).

Halimbawa 1
Hakbang 1 at 2) $p(x)=x^5-3x^4+2x^3+7x^2-3x+5 \\ q(x)=x^2-x+1$

3) x5 -3x4 +2x3 +7x2 -3x+5

4) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

5) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

6) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

7) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 +x 3 +7x 2 -3x+5

2x4 -2x3 +2x2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

8) x5 -3x4 +2x3 +7x2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

2x4 -2x3 +2x2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

/ 6x-3 STOP

x 3 -2x 2 -x+8 --> C(x) Pribado

Sagot: p(x) = x 5 - 3x 4 + 2x 3 + 7x 2 - 3x + 5 = (x 2 - x + 1)(x 3 - 2x 2 - x + 8) + 6x - 3

Halimbawa 2
p(x)=x 4 +3x 2 +2x-8
q(x)=x 2 -3x

X 4 +0x 3 +3x 2 +2x-8

/ 3x 3 +3x 2 +2x-8

/ 38x-8 r(x) TUMIGIL

x 2 +3x+12 --> C(x) Quotient

Sagot: x 4 + 3x 2 + 2x - 8 = (x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 12) + 38x - 8

Dibisyon ayon sa isang first degree polynomial

Ang paghahati na ito ay maaaring gawin gamit ang algorithm sa itaas, o kahit na mas mabilis gamit ang pamamaraan ni Horner.
Kung ang f(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x+a 0, ang polynomial ay maaaring muling isulat bilang f(x)=a 0 +x(a 1 +x(a 2 +...+x(a n-1 +a n x)...))

q(x)- unang digri polynomial ⇒ q(x)=mx+n
Pagkatapos ang polynomial sa quotient ay magkakaroon ng degree n-1.

Ayon sa pamamaraan ni Horner, $x_0=-\frac(n)(m)$.
b n-1 =a n
b n-2 =x 0 .b n-1 +a n-1
b n-3 =x 0 .b n-2 +a n-2
...
b 1 \u003d x 0 .b 2 +a 2
b 0 =x 0 .b 1 +a 1
r=x 0 .b 0 +a 0
saan b n-1 x n-1 +b n-2 x n-2 +...+b 1 x+b 0- pribado. Ang natitira ay magiging polynomial ng degree zero, dahil ang degree ng polynomial sa natitira ay dapat na mas mababa kaysa sa degree ng divisor.
Dibisyon na may natitirang ⇒ p(x)=q(x).c(x)+r ⇒ p(x)=(mx+n).c(x)+r kung $x_0=-\frac(n)(m)$
Tandaan na p(x 0)=0.c(x 0)+r ⇒ p(x 0)=r

Halimbawa 3
p(x)=5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7
q(x)=x-3
p(x)=-7+x(-6+x(4+x(-2+5x)))
x 0 =3

b 3 \u003d 5
b 2 \u003d 3.5-2 \u003d 13
b 1 =3.13+4=43 ⇒ c(x)=5x 3 +13x 2 +43x+123; r=362
b 0 \u003d 3.43-6 \u003d 123
r=3.123-7=362
5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7=(x-3)(5x 3 +13x 2 +43x+123)+362

Halimbawa 4
p(x)=-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
p(x)=-2x 5 +3x 4 +0x 3 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
x 0 \u003d -2
p(x)=1+x(-4+x(1+x(0+x(3-2x)))))



b 4 \u003d -2          b 1 =(-2).(-14)+1=29
b 3 =(-2).(-2)+3=7     b 0 =(-2).29-4=-62
b2=(-2).7+0=-14     r=(-2).(-62)+1=125
⇒ c(x)=-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62; r=125
-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1=(x+2)(-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62)+125

Halimbawa 5
p(x)=3x 3 -5x 2 +2x+3
q(x)=2x-1
$x_0=\frac(1)(2)$
p(x)=3+x(2+x(-5+3x))
b2=3
$b_1=\frac(1)(2)\cdot 3-5=-\frac(7)(2)$
$b_0=\frac(1)(2)\cdot \left(-\frac(7)(2)\right)+2=-\frac(7)(4)+2=\frac(1)(4 )$
$r=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(4)+3=\frac(1)(8)+3=\frac(25)(8) \Rightarrow c(x)= 3x^2-\frac(7)(2)x+\frac(1)(4)$
$\Rightarrow 3x^3-5x^2+2x+3=(2x-1)(3x^2--\frac(7)(2)x+\frac(1)(4))+\frac(25) (8)$
Konklusyon
Kung hahatiin natin sa isang polynomial ng degree na mas mataas sa isa, kailangan nating gamitin ang algorithm upang mahanap ang quotient at ang natitira. 1-9 .
Kung hahatiin natin sa isang polynomial ng unang antas mx+n, pagkatapos ay upang mahanap ang quotient at ang natitira, kailangan mong gamitin ang pamamaraan ni Horner na may $x_0=-\frac(n)(m)$.
Kung interesado lamang tayo sa natitirang bahagi ng dibisyon, ito ay sapat na upang mahanap p(x0).
Halimbawa 6
p(x)=-4x 4 +3x 3 +5x 2 -x+2
q(x)=x-1
x 0 =1
r=p(1)=-4.1+3.1+5.1-1+2=5
r=5