Mga pinaikling pormula ng pagpaparami (FSU) ay kinakailangan upang dumami at tumaas sa isang kapangyarihan ng mga numero, mga expression, kabilang ang mga polynomial. Iyon ay, sa tulong ng mga formula, maaari kang magtrabaho sa mga numero nang mas mabilis at mas madali. Kaya, posible na gumawa ng isang ordinaryong equation mula sa isang kumplikadong equation, na magpapasimple sa gawain.

Talahanayan na may mga pinaikling formula ng pagpaparami

Bigyang-pansin ang unang apat na formula. Salamat sa kanila, maaari mong parisukat o kubo ang kabuuan (pagkakaiba) ng dalawang expression. Tulad ng para sa ikalimang pormula, dapat itong gamitin upang saglit na i-multiply ang pagkakaiba o kabuuan ng dalawang expression.

Ang huling dalawang formula (6 at 7) ay ginagamit upang i-multiply ang mga kabuuan ng parehong mga expression sa kanilang hindi kumpletong squared difference o sum.

Ang mga formula sa itaas ay madalas na kinakailangan sa pagsasanay. Iyon ang dahilan kung bakit ito ay kanais-nais na malaman ang mga ito sa pamamagitan ng puso.

Kung nakatagpo ka ng isang halimbawa ng pag-factor ng isang polynomial, kung gayon sa maraming mga kaso kailangan mong palitan ang kaliwa at kanang panig.

Halimbawa, kunin ang parehong unang formula:

at ilagay ang kaliwang bahagi sa kanan, at ang kanang bahagi sa kaliwa:

Ang parehong pamamaraan ay maaaring gawin sa iba pang mga formula.

Katibayan ng FSU

Isaalang-alang natin ang mga patunay ng mga pinaikling pormula ng pagpaparami. Hindi ito mahirap. Kailangan mo lang buksan ang mga bracket. Isaalang-alang ang unang formula - ang parisukat ng kabuuan:.

Unang hakbang.

Itaas ang a + b sa pangalawang kapangyarihan. Upang gawin ito, hindi namin hawakan ang antas, ngunit magsagawa ng isang banal na multiplikasyon: = x.

Ikalawang hakbang. Ngayon ay inalis namin ito sa mga bracket: x + x.

Ikatlong Hakbang. Palawakin ang mga bracket: x + x + x + x .

Ikaapat na Hakbang. Kami ay dumami, hindi nakakalimutan ang tungkol sa mga palatandaan: x + x +.

Ikalimang Hakbang. Pinasimple namin ang expression: .

Sa parehong paraan, ganap na anumang pinaikling formula ng pagpaparami ay maaaring patunayan.

Mga halimbawa at solusyon gamit ang FSO

Bilang isang patakaran, ang pitong formula na ito ay ginagamit kapag kailangan mong gawing simple ang expression upang malutas ang anumang equation at kahit isang karaniwang halimbawa.

Halimbawa 1

Mag-ehersisyo

Pasimplehin ang expression:

Tulad ng nakikita mo, ang unang pinaikling formula ng pagpaparami, ang Sum Square, ay umaangkop sa halimbawang ito.

Solusyon

Batay sa unang pormula, kinakailangang i-decompose ang halimbawa sa mga salik. Upang gawin ito, tinitingnan namin ang formula at kapalit na mga numero sa halip na mga titik. Sa aming kaso, ang "a" ay 3x at ang "b" ay 5:

Isinasaalang-alang namin ang kanang bahagi at isulat ang resulta. Nakukuha namin:

Sa halimbawa, kailangan mong i-multiply ang lahat ng bagay na pinarami at agad na makuha ang sagot:

Siyempre, may mga halimbawa na may mga fraction. Ngunit, kung matutunan mo kung paano lutasin ang mga simpleng halimbawa, hindi ka matatakot sa iba pang mga uri.

Halimbawa 2

Mag-ehersisyo

Pasimplehin ang expression

Solusyon

= – x x + =

Ang dobleng produkto ng mga expression na ito ay , na kasabay ng pangalawang miyembro ng trinomial (na may plus sign), na nangangahulugang

Kaya, tulad ng nakikita mo, walang kumplikado sa mga halimbawa. Ang pangunahing bagay ay upang malaman ang mga formula, kung saan maaaring ilapat ang mga ito, at kung saan maaari mong gawin nang wala ang mga ito.

Mga kapaki-pakinabang na mapagkukunan

1. Arefieva I. G., Piryutko O. N. Algebra: manual ng aklat-aralin para sa ika-7 baitang ng mga institusyon ng pangkalahatang sekondaryang edukasyon: Minsk "Narodnaya Asveta", 2017 - 304 p.
2. Nikolsky S. M., Potapov M. K. Algebra Grade 7: M: 2015 - 287 p.
3. Rubin A. G., Chulkov P. V. Algebra. ika-7 baitang. M: 2015 - 224 p.

FSU - mga formula para sa pinaikling multiplication sa algebra para sa grade 7 na may mga halimbawa na-update: Nobyembre 22, 2019 ni: Mga Artikulo sa Siyentipiko.Ru

Ginagamit ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon (FSU) upang i-exponentiate at i-multiply ang mga numero at expression. Kadalasan ang mga formula na ito ay nagpapahintulot sa iyo na gumawa ng mga kalkulasyon nang mas compact at mabilis.

Sa artikulong ito, ililista namin ang mga pangunahing formula para sa pinaikling multiplikasyon, pangkatin ang mga ito sa isang talahanayan, isaalang-alang ang mga halimbawa ng paggamit ng mga formula na ito, at talakayin din ang mga prinsipyo para sa pagpapatunay ng mga pinaikling formula ng multiplikasyon.

Sa unang pagkakataon, ang paksa ng FSU ay isinasaalang-alang sa loob ng kursong "Algebra" para sa ika-7 baitang. Nasa ibaba ang 7 pangunahing formula.

Mga pinaikling pormula ng pagpaparami

1. sum square formula: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. pagkakaiba ng square formula: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
3. sum cube formula: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. formula ng cube ng pagkakaiba: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. pagkakaiba ng formula ng mga parisukat: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
6. formula para sa kabuuan ng mga cube: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
7. formula ng pagkakaiba ng cube: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2

Ang mga titik a, b, c sa mga expression na ito ay maaaring maging anumang numero, variable o expression. Para sa kadalian ng paggamit, mas mahusay na matutunan ang pitong pangunahing mga formula sa pamamagitan ng puso. Binubuod namin ang mga ito sa isang talahanayan at ibigay ang mga ito sa ibaba, na binibilog ang mga ito ng isang kahon.

Hinahayaan ka ng unang apat na formula na kalkulahin, ayon sa pagkakabanggit, ang parisukat o kubo ng kabuuan o pagkakaiba ng dalawang expression.

Kinakalkula ng ikalimang formula ang pagkakaiba ng mga parisukat ng mga expression sa pamamagitan ng pagpaparami ng kanilang kabuuan at pagkakaiba.

Ang ikaanim at ikapitong formula ay, ayon sa pagkakabanggit, ang multiplikasyon ng kabuuan at pagkakaiba ng mga expression sa pamamagitan ng hindi kumpletong parisukat ng pagkakaiba at ang hindi kumpletong parisukat ng kabuuan.

Ang pinaikling pormula ng pagpaparami ay tinatawag ding pinaikling mga pagkakakilanlan ng pagpaparami. Ito ay hindi nakakagulat, dahil ang bawat pagkakapantay-pantay ay isang pagkakakilanlan.

Kapag nilulutas ang mga praktikal na halimbawa, ang mga pinaikling pormula ng pagpaparami ay kadalasang ginagamit na may muling pagkakaayos sa kaliwa at kanang bahagi. Ito ay lalong maginhawa kapag nagsasaliksik ng isang polynomial.

Mga karagdagang pinaikling formula ng multiplikasyon

Hindi namin lilimitahan ang aming sarili sa kursong ika-7 baitang sa algebra at magdagdag ng ilan pang mga formula sa aming talahanayan ng FSU.

Una, isaalang-alang ang binomial formula ni Newton.

a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 + . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n

Narito ang C n k ay ang binomial coefficients na nasa linyang numero n sa tatsulok ng pascal. Ang mga binomial coefficient ay kinakalkula ng formula:

C nk = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

Tulad ng makikita mo, ang FSU para sa parisukat at kubo ng pagkakaiba at ang kabuuan ay isang espesyal na kaso ng binomial na formula ng Newton para sa n=2 at n=3, ayon sa pagkakabanggit.

Ngunit paano kung mayroong higit sa dalawang termino sa kabuuan na itataas sa isang kapangyarihan? Ang formula para sa parisukat ng kabuuan ng tatlo, apat o higit pang termino ay magiging kapaki-pakinabang.

isang 1 + isang 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Ang isa pang formula na maaaring magamit ay ang formula para sa pagkakaiba ng ika-n na kapangyarihan ng dalawang termino.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Ang formula na ito ay karaniwang nahahati sa dalawang formula - ayon sa pagkakabanggit para sa kahit at kakaibang degree.

Para sa even exponents 2m:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

Para sa mga kakaibang exponent 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

Ang mga formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat at ang pagkakaiba ng mga cube, nahulaan mo, ay mga espesyal na kaso ng formula na ito para sa n = 2 at n = 3, ayon sa pagkakabanggit. Para sa pagkakaiba ng mga cube, ang b ay pinalitan din ng - b .

Paano basahin ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon?

Ibibigay namin ang kaukulang mga formulation para sa bawat formula, ngunit una naming haharapin ang prinsipyo ng pagbabasa ng mga formula. Ang pinakamadaling paraan upang gawin ito ay sa isang halimbawa. Kunin natin ang pinakaunang formula para sa parisukat ng kabuuan ng dalawang numero.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Sabi nila: ang parisukat ng kabuuan ng dalawang expression a at b ay katumbas ng kabuuan ng parisukat ng unang expression, dalawang beses ang produkto ng mga expression at ang parisukat ng pangalawang expression.

Ang lahat ng iba pang mga formula ay binabasa nang katulad. Para sa squared difference a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 isinusulat namin:

ang parisukat ng pagkakaiba ng dalawang expression a at b ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga expression na ito na binawasan ng dalawang beses ang produkto ng una at pangalawang expression.

Basahin natin ang formula a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Ang cube ng kabuuan ng dalawang expression a at b ay katumbas ng kabuuan ng mga cube ng mga expression na ito, tatlong beses ang produkto ng parisukat ng unang expression at ang pangalawa, at tatlong beses ang produkto ng square ng pangalawang expression at ang unang pagpapahayag.

Nagpapatuloy kami sa pagbabasa ng formula para sa pagkakaiba ng mga cube a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Ang cube ng pagkakaiba ng dalawang expression a at b ay katumbas ng cube ng unang expression na binawasan ng tatlong beses ang square ng unang expression at ang pangalawa, kasama ang tatlong beses ang square ng pangalawang expression at ang unang expression, minus ang cube ng pangalawang ekspresyon.

Ang ikalimang formula a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (pagkakaiba ng mga parisukat) ay nagbabasa ng ganito: ang pagkakaiba ng mga parisukat ng dalawang expression ay katumbas ng produkto ng pagkakaiba at ang kabuuan ng dalawang expression.

Ang mga ekspresyong tulad ng a 2 + a b + b 2 at a 2 - a b + b 2 para sa kaginhawahan ay tinatawag, ayon sa pagkakabanggit, ang hindi kumpletong parisukat ng kabuuan at ang hindi kumpletong parisukat ng pagkakaiba.

Sa pag-iisip na ito, ang mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga cube ay binabasa tulad ng sumusunod:

Ang kabuuan ng mga cube ng dalawang expression ay katumbas ng produkto ng kabuuan ng mga expression na ito at ang hindi kumpletong parisukat ng kanilang pagkakaiba.

Ang pagkakaiba ng mga cube ng dalawang expression ay katumbas ng produkto ng pagkakaiba ng mga expression na ito sa pamamagitan ng hindi kumpletong parisukat ng kanilang kabuuan.

Katibayan ng FSU

Ang pagpapatunay ng FSU ay medyo simple. Batay sa mga katangian ng pagpaparami, isasagawa namin ang pagpaparami ng mga bahagi ng mga formula sa mga bracket.

Halimbawa, isaalang-alang ang formula para sa parisukat ng pagkakaiba.

a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Upang itaas ang isang expression sa pangalawang kapangyarihan, ang expression ay dapat na i-multiply sa kanyang sarili.

a - b 2 \u003d a - b a - b.

Palawakin natin ang mga bracket:

a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Napatunayan na ang formula. Ang iba pang mga FSO ay napatunayang katulad.

Mga halimbawa ng aplikasyon ng FSO

Ang layunin ng paggamit ng pinababang mga formula ng multiplikasyon ay upang mabilis at maigsi na magparami at mag-exponent ng mga expression. Gayunpaman, hindi ito ang buong saklaw ng FSO. Malawakang ginagamit ang mga ito sa pagbabawas ng mga expression, pagbabawas ng mga fraction, factoring polynomials. Magbigay tayo ng mga halimbawa.

Halimbawa 1. FSO

Pasimplehin natin ang expression na 9 y - (1 + 3 y) 2 .

Ilapat ang sum of squares formula at makuha ang:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

Halimbawa 2. FSO

Bawasan ang bahaging 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .

Napansin namin na ang expression sa numerator ay ang pagkakaiba ng mga cube, at sa denominator - ang pagkakaiba ng mga parisukat.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

Binabawasan namin at nakukuha namin:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

Tumutulong din ang mga FSU na kalkulahin ang mga halaga ng mga expression. Ang pangunahing bagay ay upang mapansin kung saan ilalapat ang formula. Ipakita natin ito sa isang halimbawa.

I-square natin ang bilang na 79. Sa halip na masalimuot na mga kalkulasyon, isinusulat namin:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Tila ang isang kumplikadong pagkalkula ay natupad nang mabilis gamit lamang ang mga pinaikling formula ng pagpaparami at isang talahanayan ng pagpaparami.

Ang isa pang mahalagang punto ay ang pagpili ng parisukat ng binomial. Ang expression na 4 x 2 + 4 x - 3 ay maaaring i-convert sa 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2-4 = 2 x + 1 2-4 . Ang ganitong mga pagbabago ay malawakang ginagamit sa pagsasama.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Isa sa mga unang paksang pinag-aralan sa kursong algebra ay ang mga pormula para sa pinaikling multiplikasyon. Sa grade 7, ginagamit ang mga ito sa pinakasimpleng sitwasyon, kung saan kinakailangan na kilalanin ang isa sa mga formula sa expression at i-factor ang polynomial o, sa kabaligtaran, mabilis na parisukat o kubo ang kabuuan o pagkakaiba. Sa hinaharap, ang FSU ay ginagamit upang mabilis na malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay at mga equation, at maging upang kalkulahin ang ilang mga numerical na expression nang walang calculator.

Ano ang hitsura ng listahan ng mga formula?

Mayroong 7 pangunahing formula na nagbibigay-daan sa iyong mabilis na magparami ng mga polynomial sa mga bracket.

Minsan ang listahang ito ay may kasamang pang-apat na antas na pagpapalawak, na sumusunod sa mga pagkakakilanlan na ipinakita at may anyo:

a⁴ - b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).

Ang lahat ng equalities ay may isang pares (sum - difference), maliban sa pagkakaiba ng mga parisukat. Walang formula para sa kabuuan ng mga parisukat.

Ang natitirang mga pagkakapantay-pantay ay madaling matandaan.:

Dapat tandaan na ang mga FSO ay gumagana sa anumang kaso at para sa anumang mga halaga. a at b: maaari itong maging parehong mga arbitrary na numero at integer na expression.

Sa isang sitwasyon kung saan bigla mong hindi maalala kung aling sign ang nasa formula sa harap ng isa o isa pang termino, maaari mong buksan ang mga bracket at makuha ang parehong resulta tulad ng pagkatapos gamitin ang formula. Halimbawa, kung lumitaw ang isang problema kapag inilalapat ang FSU ng cube ng pagkakaiba, kailangan mong isulat ang orihinal na expression at gawin ang multiplication isa-isa:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

Bilang isang resulta, pagkatapos bawasan ang lahat ng mga naturang termino, ang parehong polynomial ay nakuha tulad ng sa talahanayan. Ang parehong mga manipulasyon ay maaaring isagawa sa lahat ng iba pang mga FSO.

Application ng FSO upang malutas ang mga equation

Halimbawa, kailangan mong lutasin ang isang equation na naglalaman ng 3rd degree polynomial:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

Ang kurikulum ng paaralan ay hindi isinasaalang-alang ang mga unibersal na pamamaraan para sa paglutas ng mga cubic equation, at ang mga naturang gawain ay madalas na nalutas sa pamamagitan ng mas simpleng mga pamamaraan (halimbawa, factorization). Kung mapapansin mo na ang kaliwang bahagi ng pagkakakilanlan ay kahawig ng kubo ng kabuuan, kung gayon ang equation ay maaaring isulat sa isang mas simpleng anyo:

(x + 1)³ = 0.

Ang ugat ng naturang equation ay kinakalkula nang pasalita: x=-1.

Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay nalulutas sa katulad na paraan. Halimbawa, malulutas natin ang hindi pagkakapantay-pantay x³ - 6x² + 9x > 0.

Una sa lahat, ito ay kinakailangan upang mabulok ang expression sa mga kadahilanan. Una kailangan mong alisin ang mga bracket x. Pagkatapos nito, dapat mong bigyang-pansin na ang expression sa mga bracket ay maaaring ma-convert sa parisukat ng pagkakaiba.

Pagkatapos ay kailangan mong hanapin ang mga punto kung saan ang expression ay tumatagal ng mga zero na halaga, at markahan ang mga ito sa linya ng numero. Sa isang partikular na kaso, ang mga ito ay magiging 0 at 3. Pagkatapos, gamit ang paraan ng agwat, tukuyin kung anong mga pagitan ng x ang makakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay na kondisyon.

Ang mga FSO ay maaaring makatulong sa pagsasagawa ilang mga kalkulasyon nang walang tulong ng isang calculator:

703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

Bilang karagdagan, sa pamamagitan ng factoring expression, madali mong bawasan ang mga fraction at pasimplehin ang iba't ibang algebraic expression.

Mga halimbawa ng mga gawain para sa mga baitang 7-8

Sa konklusyon, susuriin at lulutasin natin ang dalawang gawain para sa aplikasyon ng mga pinaikling pormula ng multiplikasyon sa algebra.

Gawain 1. Pasimplehin ang expression:

(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).

Solusyon. Sa kondisyon ng pagtatalaga, kinakailangan na gawing simple ang expression, i.e. buksan ang mga bracket, isagawa ang mga pagpapatakbo ng multiplikasyon at exponentiation, at dalhin din ang lahat ng mga naturang termino. Kondisyon naming hinahati ang expression sa tatlong bahagi (ayon sa bilang ng mga termino) at buksan ang mga bracket nang paisa-isa, gamit ang FSU kung posible.

• (m + 3)² = m² + 6m + 9(squared sum);
• (3m + 1)(3m - 1) = 9m² - 1(pagkakaiba ng mga parisukat);
• Sa huling termino, kailangan mong magsagawa ng multiplikasyon: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.

Palitan ang mga resulta sa orihinal na expression:

(m² + 6m + 9) + (9m² - 1) - (10m² + 6m).

Isinasaalang-alang ang mga palatandaan, binubuksan namin ang mga bracket at nagbibigay ng mga katulad na termino:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² - 6m = 8.

Gawain 2. Lutasin ang equation na naglalaman ng hindi kilalang k sa kapangyarihan ng 5:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ - 4k² - 4k = k³.

Solusyon. Sa kasong ito, kinakailangang gamitin ang FSO at ang paraan ng pagpapangkat. Kailangan nating ilipat ang huli at huling mga termino sa kanang bahagi ng pagkakakilanlan.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

Ang karaniwang multiplier ay kinuha mula sa kanan at kaliwang bahagi (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k(k² + 4k + 4).

Ang lahat ay inilipat sa kaliwang bahagi ng equation upang ang 0 ay mananatili sa kanang bahagi:

k³(k² + 4k + 4) - k(k² + 4k + 4) = 0.

Muli, kailangan mong alisin ang karaniwang kadahilanan:

(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.

Mula sa unang salik na nakuha, maaari nating makuha k. Ayon sa maikling pormula ng pagpaparami, ang pangalawang salik ay magiging magkapareho sa (k + 2)²:

k (k² - 1)(k + 2)² = 0.

Gamit ang formula ng pagkakaiba ng mga parisukat:

k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.

Dahil ang produkto ay 0 kung hindi bababa sa isa sa mga salik nito ay zero, hindi ito magiging mahirap na hanapin ang lahat ng mga ugat ng equation:

1. k = 0;
2. k - 1 = 0; k = 1;
3. k + 1 = 0; k = -1;
4. (k + 2)² = 0; k = -2.

Batay sa mga halimbawa ng paglalarawan, mauunawaan ng isa kung paano matandaan ang mga formula, ang kanilang mga pagkakaiba, at malulutas din ang ilang praktikal na problema gamit ang FSU. Ang mga gawain ay simple at hindi dapat mahirap tapusin.

Kailan, atbp. Sa ibaba ay titingnan natin ang pinakasikat na mga formula at pag-aralan kung paano sila nakuha.

sum square

I-square natin ang kabuuan ng dalawang monomial, tulad nito: \((a+b)^2\). Ang pag-squaring ay ang pagpaparami ng isang numero o expression sa kanyang sarili, iyon ay, \((a+b)^2=(a+b)(a+b)\). Ngayon ay maaari na nating buksan ang mga bracket, i-multiply ang mga ito tulad ng ginawa natin, at magdala ng mga katulad na termino. Nakukuha namin:

At kung aalisin natin ang mga intermediate na kalkulasyon at isulat lamang ang paunang at panghuling expression, makukuha natin ang panghuling formula:

Ang parisukat ng kabuuan:\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

Karamihan sa mga mag-aaral ay natututo nito sa pamamagitan ng puso. At ngayon alam mo na kung paano kunin ang formula na ito, at kung bigla mong nakalimutan, magagawa mo ito palagi.
Okay, ngunit paano ito gamitin at bakit kailangan ang formula na ito? Ang parisukat ng kabuuan ay nagbibigay-daan sa mabilis mong isulat ang resulta ng pag-squaring ng kabuuan ng dalawang termino. Tingnan natin ang isang halimbawa.

Halimbawa . Mga bukas na bracket: \((x+5)^2\)
Solusyon :

Pansinin kung gaano kabilis at mas kaunting pagsisikap ang resulta ay nakuha sa pangalawang kaso. At kapag na-master mo ito at ang iba pang mga formula sa automatism, magiging mas mabilis pa ito: maisusulat mo lang kaagad ang sagot. Samakatuwid, ang mga ito ay tinatawag na pinaikling mga formula ng pagpaparami. Kaya, ang pag-alam sa kanila at pag-aaral kung paano ilapat ang mga ito ay tiyak na sulit.

Kung sakali, tandaan namin iyon bilang \(a\) at \(b\) maaaring mayroong anumang mga expression - ang prinsipyo ay nananatiling pareho. Halimbawa:

Kung bigla mong hindi naintindihan ang ilang pagbabago sa huling dalawang halimbawa, ulitin ang paksa.

Halimbawa . I-convert ang expression na \((1+5x)^2-12x-1 \) sa karaniwang anyo.

Solusyon :

Sagot: \(25x^2-2x\).

Mahalaga! Kinakailangang matutunan kung paano gumamit ng mga formula hindi lamang sa "pasulong" kundi pati na rin sa "reverse" na direksyon.

Halimbawa . Kalkulahin ang halaga ng expression na \((368)^2+2 368 132+(132)^2\) nang walang calculator.

Solusyon :

Sagot: \(250 000\).

Ang parisukat ng pagkakaiba

Sa itaas nakita namin ang isang formula para sa kabuuan ng mga monomial. Hanapin natin ngayon ang formula para sa pagkakaiba, iyon ay, para sa \((a-b)^2\):

Sa isang mas maikling notasyon, mayroon kaming:

Ang parisukat ng pagkakaiba: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

Inilapat ito sa parehong paraan tulad ng nauna.

Halimbawa . Pasimplehin ang expression na \((2a-3)^2-4(a^2-a)\) at hanapin ang halaga nito kapag \(a=\frac(17)(8)\).

Solusyon :

Sagot: \(8\).

Pagkakaiba ng mga parisukat

Kaya, hinarap namin ang mga sitwasyon ng produkto ng dalawang bracket na may plus sa mga ito at dalawang bracket na may minus. Nananatili ang kaso ng produkto ng magkatulad na mga bracket na may iba't ibang mga palatandaan. Tignan natin kung anong mangyayari:

Nakuha namin ang formula:

Pagkakaiba ng mga parisukat \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

Ang formula na ito ay isa sa mga pinakakaraniwang ginagamit kapag at nagtatrabaho kasama.

Halimbawa . Bawasan ang fraction \(\frac(x^2-9)(x-3)\) .

Solusyon :

Sagot: \(x+3\).

Halimbawa .I-factor ang \(25x^4-m^(10) t^6\).
Solusyon :

Ito ang tatlong pangunahing formula na kailangan mong malaman kinakailangan! Mayroon ding mga formula na may mga cube (tingnan sa itaas), kanais-nais din na matandaan ang mga ito o magagawang mabilis na makuha ang mga ito. Napansin din namin na sa pagsasagawa ng ilang mga naturang formula ay madalas na nakatagpo nang sabay-sabay sa isang problema - ito ay normal. Matuto lamang na mapansin ang mga formula at ilapat ang mga ito nang mabuti at magiging maayos ka.

Isang halimbawa (tumaas na pagiging kumplikado!) .Bawasan ang fraction.
Solusyon :

Algebra

Ang mga short multiplication formula ay ginagamit upang ibahin ang anyo ng mga expression. Ang mga pagkakakilanlan ay ginagamit upang kumatawan sa buong expression bilang isang polynomial at factorize polynomials.

• 1 sum square(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
• 2 Ang parisukat ng pagkakaiba(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
• 3 Pagkakaiba ng mga parisukat a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)
• 4 sum cube(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 2
• 5 pagkakaiba cube(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 2
• 6 Kabuuan ng mga cube a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)
• 7 Pagkakaiba ng mga cube a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Mga formula para sa mga parisukat

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)

Mga formula ng kubo

\((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)

\((a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)

\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)

\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)

Mga formula para sa ikaapat na antas

\((a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\)

\((a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4\)

\(a^4 - b^4 = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)\);
sumusunod mula sa \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\).

Mga pinaikling pormula ng pagpaparami

1. Kuwadrado ang kabuuan

2. Square pagkakaiba

3. Kabuuan at pagkakaiba ng mga parisukat

4. Sum to the third power (cube of the sum)

5. Pagkakaiba sa ikatlong antas (difference cube)

6. Kabuuan at pagkakaiba ng mga cube

7. Mga pormula para sa pinaikling multiplikasyon para sa ikaapat na antas

8. Mga pormula para sa pinaikling multiplikasyon para sa ikalimang antas

9. Mga pinaikling pormula ng pagpaparami para sa ikaanim na antas

10. Mga pinaikling pormula ng multiplikasyon para sa degree n, kung saan n- anumang natural na numero

11. Mga pinaikling pormula ng pagpaparami para sa degree n, kung saan n- kahit na positibong numero

12. Mga pinaikling pormula ng pagpaparami para sa degree n, kung saan n- kakaibang positibong numero