Sažetak otvorene lekcije nastavnika na GBPOU "Pedagoški fakultet br. 4 u Sankt Peterburgu"

Martuševič Tatjana Olegovna

Datum: 29.12.2014.

Tema: Geometrijsko značenje izvedenica.

Vrsta lekcije: učenje novog gradiva.

Nastavne metode: vizuelno, delimično pretraživanje.

Svrha lekcije.

Uvedite pojam tangente na graf funkcije u nekoj tački, saznajte koje je geometrijsko značenje derivacije, izvedite jednadžbu tangente i naučite kako je pronaći.

Obrazovni ciljevi:

Postići razumijevanje geometrijskog značenja izvedenice; izvođenje jednačine tangente; naučiti rješavati osnovne probleme;

obezbijediti ponavljanje materijala na temu „Definicija izvedenice“;

stvoriti uslove za kontrolu (samokontrolu) znanja i vještina.

Razvojni zadaci:

promoviraju formiranje vještina primjene tehnika poređenja, generalizacije i isticanja glavne stvari;

nastaviti razvoj matematičkih horizonata, mišljenja i govora, pažnje i pamćenja.

Edukativni zadaci:

promovirati interesovanje za matematiku;

obrazovanje aktivnosti, mobilnosti, komunikacijskih vještina.

Vrsta lekcije – kombinovani čas koristeći IKT.

Oprema – multimedijalna instalacija, prezentacijaMicrosoftSnagaPoenta.

Faza lekcije

Vrijeme

Aktivnosti nastavnika

Aktivnost učenika

1. Organizacioni momenat.

Navedite temu i svrhu lekcije.

Tema: Geometrijsko značenje izvedenica.

Svrha lekcije.

Uvedite pojam tangente na graf funkcije u nekoj tački, saznajte koje je geometrijsko značenje derivacije, izvedite jednadžbu tangente i naučite kako je pronaći.

Priprema učenika za rad na času.

Priprema za rad na času.

Razumijevanje teme i svrhe lekcije.

Bilješke.

2. Priprema za učenje novog gradiva kroz ponavljanje i ažuriranje osnovnih znanja.

Organizacija ponavljanja i ažuriranja osnovnih znanja: definicija izvedenice i formulacija njenog fizičkog značenja.

Formulisanje definicije derivata i formulisanje njegovog fizičkog značenja. Ponavljanje, ažuriranje i učvršćivanje osnovnih znanja.

Organizacija ponavljanja i razvijanje vještine pronalaženja derivacije funkcije stepena i elementarnih funkcija.

Pronalaženje izvoda ovih funkcija pomoću formula.

Ponavljanje svojstava linearne funkcije.

Ponavljanje, percepcija crteža i iskaza nastavnika

3. Rad s novim materijalom: objašnjenje.

Objašnjenje značenja odnosa između prirasta funkcije i prirasta argumenta

Objašnjenje geometrijskog značenja derivacije.

Uvođenje novog materijala kroz verbalna objašnjenja pomoću slika i vizuelnih pomagala: multimedijalna prezentacija sa animacijom.

Percepcija objašnjenja, razumijevanja, odgovora na pitanja nastavnika.

Formulisanje pitanja nastavniku u slučaju poteškoća.

Percepcija novih informacija, njihovo primarno razumijevanje i razumijevanje.

Formulisanje pitanja nastavniku u slučaju poteškoća.

Kreiranje bilješke.

Formulacija geometrijskog značenja derivacije.

Razmatranje tri slučaja.

Pravljenje beleški, crtanje.

4. Rad sa novim materijalom.

Primarno razumijevanje i primjena proučenog gradiva, njegova konsolidacija.

U kojim je tačkama derivacija pozitivna?

Negativno?

Jednako nuli?

Obuka za pronalaženje algoritma za odgovore na postavljena pitanja prema rasporedu.

Razumijevanje, osmišljavanje i primjena novih informacija za rješavanje problema.

5. Primarno razumijevanje i primjena proučenog gradiva, njegovo učvršćivanje.

Poruka o uslovima zadatka.

Snimanje uslova zadatka.

Formulisanje pitanja nastavniku u slučaju poteškoća

6. Primena znanja: samostalan rad nastavnog karaktera.

Sami riješite problem:

Primena stečenog znanja.

Samostalan rad na rješavanju zadatka nalaženja izvodnice iz crteža. Diskusija i provjera odgovora u parovima, formulacija pitanja nastavniku u slučaju poteškoća.

7. Rad s novim materijalom: objašnjenje.

Izvođenje jednadžbe tangente na graf funkcije u tački.

Detaljno objašnjenje izvođenja jednadžbe tangente na graf funkcije u tački, uz korištenje multimedijalne prezentacije radi jasnoće i odgovore na pitanja učenika.

Izvođenje tangentne jednačine zajedno sa nastavnikom. Odgovori na pitanja nastavnika.

Pravljenje bilješki, kreiranje crteža.

8. Rad s novim materijalom: objašnjenje.

U dijalogu sa studentima, izvođenje algoritma za pronalaženje jednačine tangente na graf date funkcije u datoj tački.

U dijalogu sa nastavnikom izvedite algoritam za pronalaženje jednačine tangente na graf date funkcije u datoj tački.

Bilješke.

Poruka o uslovima zadatka.

Osposobljavanje za primjenu stečenih znanja.

Organiziranje potrage za načinima rješavanja problema i njihova implementacija. detaljna analiza rješenja sa objašnjenjem.

Snimanje uslova zadatka.

Stvaranje pretpostavki o mogućim načinima rješavanja problema prilikom implementacije svake stavke akcionog plana. Rješavanje problema zajedno sa nastavnikom.

Zapisivanje rješenja problema i odgovora.

9. Primena znanja: samostalan rad nastavnog karaktera.

Individualna kontrola. Savjetovanje i pomoć studentima po potrebi.

Provjerite i objasnite rješenje koristeći prezentaciju.

Primena stečenog znanja.

Samostalan rad na rješavanju zadatka nalaženja izvodnice iz crteža. Diskusija i provjera odgovora u parovima, formulacija pitanja nastavniku u slučaju poteškoća

10. Domaći.

§48, zadaci 1 i 3, razumjeti rješenje i zapisati ga u svesku, sa crtežima.

№ 860 (2,4,6,8),

Poruka za domaći zadatak sa komentarima.

Snimanje domaće zadaće.

11. Sumiranje.

Ponovili smo definiciju derivacije; fizičko značenje izvedenice; svojstva linearne funkcije.

Naučili smo koje je geometrijsko značenje derivacije.

Naučili smo kako da izvedemo jednadžbu tangente na graf date funkcije u datoj tački.

Ispravka i pojašnjenje rezultata časa.

Navođenje rezultata lekcije.

12. Refleksija.

1. Tebi je lekcija: a) laka; b) obično; c) teško.

a) savladao sam ga u potpunosti, mogu ga primijeniti;

b) naučili su je, ali vam je teško primijeniti;

c) nije razumeo.

3. Multimedijalna prezentacija na času:

a) pomogao u savladavanju gradiva; b) nije pomoglo u savladavanju gradiva;

c) ometaju asimilaciju materijala.

Provođenje refleksije.

Vrsta posla: 7

Stanje

Prava linija y=3x+2 tangenta je na grafik funkcije y=-12x^2+bx-10. Naći b, s obzirom da je apscisa tačke tangente manja od nule.

Rješenje

Neka je x_0 apscisa tačke na grafu funkcije y=-12x^2+bx-10 kroz koju prolazi tangenta na ovaj graf.

Vrijednost derivacije u tački x_0 jednaka je nagibu tangente, odnosno y"(x_0)=-24x_0+b=3. S druge strane, tačka tangentnosti pripada istovremeno oba grafika funkcija i tangenta, odnosno -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Dobijamo sistem jednadžbi \begin(slučajevi) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end (slučajevi)

Rješavajući ovaj sistem, dobijamo x_0^2=1, što znači ili x_0=-1 ili x_0=1. Prema uslovu apscise, tangente su manje od nule, pa je x_0=-1, zatim b=3+24x_0=-21.

Odgovori

Vrsta posla: 7
Tema: Geometrijsko značenje izvedenica. Tangenta na graf funkcije

Stanje

Prava linija y=-3x+4 je paralelna sa tangentom na graf funkcije y=-x^2+5x-7. Pronađite apscisu tangentne tačke.

Rješenje

Ugaoni koeficijent prave linije na graf funkcije y=-x^2+5x-7 u proizvoljnoj tački x_0 jednak je y"(x_0). Ali y"=-2x+5, što znači y" (x_0)=-2x_0+5. Ugaoni koeficijent prave y=-3x+4 specificiran u uslovu je jednak -3. Paralelne prave imaju iste koeficijente nagiba. Stoga nalazimo vrijednost x_0 takvu da je =- 2x_0 +5=-3.

Dobijamo: x_0 = 4.

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Vrsta posla: 7
Tema: Geometrijsko značenje izvedenica. Tangenta na graf funkcije

Stanje

Rješenje

Sa slike utvrđujemo da tangenta prolazi kroz tačke A(-6; 2) i B(-1; 1). Označimo sa C(-6; 1) tačku preseka pravih x=-6 i y=1, a sa \alpha ugao ABC (na slici možete videti da je oštar). Tada prava linija AB formira ugao \pi -\alpha sa pozitivnim smjerom ose Ox, koja je tupa.

Kao što je poznato, tg(\pi -\alpha) će biti vrijednost derivacije funkcije f(x) u tački x_0. primeti, to tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Odavde, koristeći formule redukcije, dobijamo: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Vrsta posla: 7
Tema: Geometrijsko značenje izvedenica. Tangenta na graf funkcije

Stanje

Prava linija y=-2x-4 tangenta je na grafik funkcije y=16x^2+bx+12. Naći b, s obzirom da je apscisa tačke tangente veća od nule.

Rješenje

Neka je x_0 apscisa tačke na grafu funkcije y=16x^2+bx+12 kroz koju

je tangenta na ovaj graf.

Vrijednost derivacije u tački x_0 jednaka je nagibu tangente, odnosno y"(x_0)=32x_0+b=-2. S druge strane, tačka tangente pripada istovremeno oba grafika funkcija i tangenta, odnosno 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Dobijamo sistem jednadžbi \begin(slučajevi) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(slučajevi)

Rješavajući sistem, dobijamo x_0^2=1, što znači ili x_0=-1 ili x_0=1. Prema uslovu apscise, tangente su veće od nule, pa je x_0=1, zatim b=-2-32x_0=-34.

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Vrsta posla: 7
Tema: Geometrijsko značenje izvedenica. Tangenta na graf funkcije

Stanje

Na slici je prikazan grafik funkcije y=f(x), definirane na intervalu (-2; 8). Odrediti broj tačaka u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna pravoj liniji y=6.

Rješenje

Prava linija y=6 je paralelna sa Ox osom. Dakle, nalazimo tačke u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna sa Ox osom. Na ovom grafikonu takve tačke su tačke ekstrema (maksimalne ili minimalne tačke). Kao što vidite, postoje 4 ekstremne tačke.

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Vrsta posla: 7
Tema: Geometrijsko značenje izvedenica. Tangenta na graf funkcije

Stanje

Prava y=4x-6 je paralelna sa tangentom na graf funkcije y=x^2-4x+9. Pronađite apscisu tangentne tačke.

Rješenje

Nagib tangente na graf funkcije y=x^2-4x+9 u proizvoljnoj tački x_0 jednak je y"(x_0). Ali y"=2x-4, što znači y"(x_0)= 2x_0-4 Nagib tangente y =4x-7, specificiran u uslovu, jednak je 4. Paralelne prave imaju iste ugaone koeficijente. Dakle, nalazimo vrijednost x_0 takvu da je 2x_0-4 = 4. dobiti: x_0 = 4.

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Vrsta posla: 7
Tema: Geometrijsko značenje izvedenica. Tangenta na graf funkcije

Stanje

Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x) i tangente na nju u tački sa apscisom x_0. Pronađite vrijednost derivacije funkcije f(x) u tački x_0.

Rješenje

Sa slike utvrđujemo da tangenta prolazi kroz tačke A(1; 1) i B(5; 4). Označimo sa C(5; 1) tačku preseka pravih x=5 i y=1, a sa \alpha ugao BAC (na slici možete videti da je oštar). Tada prava linija AB formira ugao \alpha sa pozitivnim smjerom ose Ox.

Ciljevi lekcije:

Učenici treba da znaju:

• ono što se zove nagib linije;
• ugao između prave linije i ose Ox;
• koje je geometrijsko značenje izvedenice;
• jednadžba tangente na graf funkcije;
• metoda za konstruisanje tangente na parabolu;
• biti u stanju primijeniti teorijska znanja u praksi.

Ciljevi lekcije:

Obrazovni: stvoriti uslove da učenici ovladaju sistemom znanja, vještina i sposobnosti sa pojmovima mehaničkog i geometrijskog značenja derivata.

Vaspitni: formirati naučni pogled na svijet kod učenika.

Razvojni: razvijati kod učenika kognitivni interes, kreativnost, volju, pamćenje, govor, pažnju, maštu, percepciju.

Metode organizovanja obrazovnih i kognitivnih aktivnosti:

• vizualni;
• praktičan;
• po mentalnoj aktivnosti: induktivna;
• prema asimilaciji materijala: djelimično traženi, reproduktivni;
• po stepenu samostalnosti: laboratorijski rad;
• stimulativno: ohrabrenje;
• kontrola: usmeno frontalno ispitivanje.

Plan lekcije

1. Usmene vježbe (naći izvedenicu)
2. Poruka učenika na temu “Razlozi nastanka matematičke analize.”
3. Učenje novog gradiva
4. Phys. Samo minut.
5. Rješavanje zadataka.
6. Laboratorijski rad.
7. Sumiranje lekcije.
8. Komentarišući domaći zadatak.

Oprema: multimedijalni projektor (prezentacija), kartice (laboratorijski rad).

“Čovek postiže nešto samo tamo gde veruje u svoju snagu”

L. Feuerbach

Organizacija časa tokom čitavog časa, spremnost učenika za čas, red i disciplina.

Postavljanje ciljeva učenja za učenike, kako za cijeli čas tako i za njegove pojedinačne faze.

Odrediti značaj gradiva koje se proučava kako u ovoj temi tako iu cijelom predmetu.

Verbalno brojanje

1. Pronađite derivate:

" , ()" , (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", "

2. Logički test.

a) Unesite izraz koji nedostaje.

Opšti pravac razvoja nauke u konačnici je određen zahtjevima ljudske djelatnosti. Postojanje drevnih država sa složenim hijerarhijskim sistemom upravljanja bilo bi nemoguće bez dovoljnog razvoja aritmetike i algebre, jer su ubiranje poreza, organizovanje vojnog snabdevanja, izgradnja palata i piramida i stvaranje sistema za navodnjavanje zahtevali složene proračune. Tokom renesanse proširile su se veze između različitih dijelova srednjovjekovnog svijeta, razvila se trgovina i zanatstvo. Počinje nagli porast tehničkog nivoa proizvodnje, a industrijski se koriste novi izvori energije koji nisu povezani s mišićnim naporima ljudi ili životinja. U XI-XII veku pojavile su se mašine za punjenje i tkanje, a sredinom XV - štamparska mašina. Zbog potrebe za brzim razvojem društvene proizvodnje u ovom periodu promijenila se suština prirodnih nauka, koje su od antičkih vremena bile deskriptivne. Cilj prirodnih nauka je dubinsko proučavanje prirodnih procesa, a ne objekata. Matematika, koja je radila sa konstantnim količinama, odgovarala je deskriptivnoj prirodnoj nauci antike. Bilo je potrebno stvoriti matematički aparat koji bi opisivao ne rezultat procesa, već prirodu njegovog toka i njegove inherentne obrasce. Kao rezultat toga, do kraja 12. vijeka, Newton u Engleskoj i Leibniz u Njemačkoj završili su prvu fazu stvaranja matematičke analize. Šta je "matematička analiza"? Kako se mogu okarakterizirati i predvidjeti karakteristike bilo kojeg procesa? Koristiti ove funkcije? Da prodre dublje u suštinu određene pojave?

Pratimo put Newtona i Leibniza i vidimo kako možemo analizirati proces, smatrajući ga funkcijom vremena.

Hajde da predstavimo nekoliko koncepata koji će nam dalje pomoći.

Grafikon linearne funkcije y=kx+ b je prava linija, broj k se naziva nagib prave linije. k=tg, gdje je ugao prave linije, odnosno ugao između ove prave i pozitivnog smjera ose Ox.

Slika 1

Razmotrimo graf funkcije y=f(x). Nacrtajmo sekansu kroz bilo koje dvije tačke, na primjer, sekantu AM. (Sl.2)

Ugaoni koeficijent sekante k=tg. U pravokutnom trokutu AMC<МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

Slika 2

Slika 3

Sam pojam „brzina“ karakterizira ovisnost promjene jedne veličine od promjene druge, a potonja ne mora nužno biti vrijeme.

Dakle, tangenta ugla nagiba sekansa tg = .

Zanima nas zavisnost promjena količina u kraćem vremenskom periodu. Usmjerimo inkrement argumenta na nulu. Tada je desna strana formule derivacija funkcije u tački A (objasni zašto). Ako je x -> 0, tada se tačka M kreće duž grafika do tačke A, što znači da se prava AM približava nekoj pravoj liniji AB, što je tangenta na graf funkcije y = f(x) u tački A. (Sl.3)

Ugao nagiba sekanse teži kutu nagiba tangente.

Geometrijsko značenje izvoda je da je vrijednost izvoda u tački jednaka nagibu tangente na graf funkcije u tački.

Mehaničko značenje izvedenice.

Tangent ugla tangente je vrijednost koja pokazuje trenutnu brzinu promjene funkcije u datoj tački, odnosno novu karakteristiku procesa koji se proučava. Leibniz je ovu veličinu nazvao derivat, a Newton je rekao da se sam izvod naziva trenutnim brzina.

br. 91(1) strana 91 – pokazati na tabli.

Ugaoni koeficijent tangente na krivu f(x) = x 3 u tački x 0 – 1 je vrijednost derivacije ove funkcije u x = 1. f’(1) = 3x 2 ; f’(1) = 3.

br. 91 (3,5) – diktat.

br. 92(1) – na tabli po želji.

br. 92 (3) – samostalno uz usmeno testiranje.

br. 92 (5) – na tabli.

Odgovori: 45 0, 135 0, 1,5 e 2.

Cilj: razviti koncept „mehaničkog značenja derivata“.

Primjena derivata u mehanici.

Dat je zakon pravolinijskog kretanja tačke x = x(t), t.

1. Prosječna brzina kretanja u određenom vremenskom periodu;
2. Brzina i ubrzanje u trenutku t 04
3. Trenuci zaustavljanja; da li se tačka nakon trenutka zaustavljanja nastavlja kretati u istom smjeru ili počinje da se kreće u suprotnom smjeru;
4. Najveća brzina kretanja u određenom vremenskom periodu.

Rad se izvodi prema 12 opcija, zadaci su diferencirani po stepenu težine (prva opcija je najniži nivo težine).

Prije početka rada obaviti razgovor o sljedećim pitanjima:

1. Koje je fizičko značenje izvedenice pomaka? (Brzina).
2. Da li je moguće pronaći derivaciju brzine? Da li se ova količina koristi u fizici? Kako se zove? (Ubrzanje).
3. Trenutna brzina je nula. Šta se može reći o kretanju tijela u ovom trenutku? (Ovo je trenutak zaustavljanja).
4. Koje je fizičko značenje sljedećih iskaza: derivacija kretanja jednaka je nuli u tački t 0; mijenja li derivacija predznak kada prolazi kroz tačku t 0? (Tijelo se zaustavlja; smjer kretanja se mijenja u suprotan).

Uzorak studentskog rada.

x(t)= t 3 -2 t 2 +1, t 0 = 2.

Slika 4

U suprotnom smjeru.

Nacrtajmo šematski dijagram brzine. Najveća brzina se postiže u tački

t=10, v (10) =3· 10 2 -4· 10 =300-40=260

Slika 5

1) Koje je geometrijsko značenje izvedenice?
2) Koje je mehaničko značenje izvedenice?
3) Izvucite zaključak o svom radu.

Strana 90. 91(2,4,6), br.92(2,4,6,), str.92 br.112.

Korištene knjige

• Udžbenik Algebra i počeci analize.
  Autori: Yu.M. Koljagin, M.V. Tkačeva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunina.
  Uredio A. B. Zhizhchenko.
• Algebra 11. razred. Planovi lekcija na osnovu udžbenika Š. A. Alimova, Yu. M. Koljagina, Yu. V. Sidorova. Dio 1.
• Internet resursi: http://orags.narod.ru/manuals/html/gre/12.jpg

Derivat(funkcije u tački) - osnovni koncept diferencijalni račun, karakterizirajući brzinu promjene funkcije (u datoj tački). Definisano kao limit odnos između prirasta funkcije i njenog prirasta argument kada prirast argumenta teži ka nula, ako takvo ograničenje postoji. Funkcija koja ima konačan izvod (u nekoj tački) naziva se diferencijabilna (u toj tački).

Proces izračunavanja derivata se zove diferencijaciju. Obrnuti proces - pronalaženje antiderivativ - integracija.

Ako je funkcija data grafom, njen izvod u svakoj tački jednak je tangenti tangente na graf funkcije. A ako je funkcija data formulom, pomoći će vam tablica izvoda i pravila diferencijacije, odnosno pravila za pronalaženje izvoda.

4. Derivat kompleksne i inverzne funkcije.

Neka sada bude dato složena funkcija , tj. varijabla je funkcija varijable, a varijabla je, zauzvrat, funkcija nezavisne varijable.

Teorema . Ako I  diferencibilan funkcije njegovih argumenata, zatim složenu funkciju je diferencijabilna funkcija i njena derivacija je jednaka umnošku izvoda ove funkcije u odnosu na međuargument i derivacije srednjeg argumenta u odnosu na nezavisnu varijablu:

.

Tvrdnja se lako dobija iz očigledne jednakosti (važi za i ) prelaskom na granicu na (što, zbog kontinuiteta diferencijabilne funkcije, implicira ).

Idemo dalje na razmatranje derivata inverzna funkcija.

Neka diferencijabilna funkcija na skupu ima skup vrijednosti i na skupu postoji inverzna funkcija .

Teorema . Ako u tački derivat , zatim derivacija inverzne funkcije u tački postoji i jednaka je recipročnoj vrijednosti derivacije ove funkcije: , ili

Ova formula se lako dobija iz geometrijskih razmatranja.

T Kao što postoji tangenta ugla nagiba tangente na osu, odnosno tangenta ugla nagiba iste tangente (iste prave) u istoj tački prema osi.

Ako su oštri, onda, a ako su tupi, onda .

U oba slučaja . Ova jednakost je ekvivalentna jednakosti

5. Geometrijsko i fizičko značenje izvoda.

1) Fizičko značenje izvedenice.

Ako su funkcija y = f(x) i njen argument x fizičke veličine, onda je derivacija stopa promjene varijable y u odnosu na varijablu x u nekoj tački. Na primjer, ako je S = S(t) udaljenost koju pređe tačka u vremenu t, onda je njen izvod brzina u trenutku. Ako je q = q(t) količina struje koja teče kroz poprečni presjek provodnika u trenutku t, onda je brzina promjene količine električne energije u trenutku, tj. trenutna snaga u datom trenutku.

2) Geometrijsko značenje izvedenice.

Neka je neka kriva, biti tačka na krivulji.

Svaka prava koja siječe najmanje dvije tačke naziva se sekantom.

Tangenta na krivu u nekoj tački je granični položaj sekante ako tačka teži dok se kreće duž krive.

Iz definicije je očigledno da ako tangenta na krivu postoji u tački, onda je ona jedina

Razmotrimo krivu y = f(x) (tj. grafik funkcije y = f(x)). Neka u tački ima ne-vertikalu tangentu. Njegova jednadžba: (jednačina prave koja prolazi kroz tačku i ima nagib k).

Po definiciji ugaonog koeficijenta, gdje je ugao nagiba prave linije prema osi.

Neka je ugao nagiba sekanse prema osi, gdje. Pošto je tangenta, onda kada

dakle,

Tako smo pronašli da je ugaoni koeficijent tangente na graf funkcije y = f(x) u tački (geometrijsko značenje derivacije funkcije u tački). Dakle, jednadžba tangente na krivu y = f(x) u tački može se napisati u formi

Prije čitanja informacija na trenutnoj stranici, preporučujemo da pogledate video o izvedenici i njenom geometrijskom značenju

Također pogledajte primjer izračunavanja derivacije u tački

Tangenta na pravu l u tački M0 je prava linija M0T - granični položaj sekante M0M kada tačka M teži ka M0 duž ove linije (tj. ugao teži nuli) na proizvoljan način.

Derivat funkcije y = f(x) u tački x0 pozvao granica omjera prirasta ove funkcije i priraštaja argumenta kada potonji teži nuli. Derivat funkcije y = f(x) u tački x0 i u udžbenicima se označava simbolom f"(x0). Dakle, po definiciji

Termin "derivat"(takođe "drugi derivat") uveo J. Lagrange(1797), pored toga dao je i oznake y’, f’(x), f”(x) (1770,1779). Oznaka dy/dx prvi put se pojavljuje u Leibnizu (1675).

Derivat funkcije y = f(x) u x = xo jednak je nagibu tangente na grafik ove funkcije u tački Mo(xo, f(xo)), tj.

gdje - tangentni ugao na Ox os pravougaonog Dekartovog koordinatnog sistema.

Tangentna jednadžba na pravu y = f(x) u tački Mo(xo, yo) poprima oblik

Normala na krivu u nekoj tački je okomita na tangentu u istoj tački. Ako f(x0) nije jednako 0, onda normalna jednačina linije y = f(x) u tački Mo(ho, yo) biće zapisano na sljedeći način:

Fizičko značenje izvedenice

Ako je x = f(t) zakon pravolinijskog kretanja tačke, tada je x’ = f’(t) brzina ovog kretanja u trenutku t. Brzina protoka fizičkih, hemijskih i drugih procesi se izražavaju pomoću derivata.

Ako omjer dy/dx za x->x0 ima granicu na desnoj strani (ili lijevo), onda se naziva izvod s desne strane (odnosno, izvod s lijeve strane). Takve granice se nazivaju jednostranim derivatima.

Očigledno, funkcija f(x) definirana u određenom susjedstvu točke x0 ima izvod f’(x) ako i samo ako postoje jednostrani izvodnici i međusobno su jednaki.

Geometrijska interpretacija derivacije jer ugaoni koeficijent tangente na graf važi i za ovaj slučaj: tangenta je u ovom slučaju paralelna sa Oy osom.

Za funkciju koja ima derivaciju u datoj tački kaže se da je diferencibilna u toj tački. Funkcija koja ima izvod u svakoj tački datog intervala naziva se diferencijabilna u ovom intervalu. Ako je interval zatvoren, tada na njegovim krajevima postoje jednostrani derivati.

Operacija pronalaženja derivacije se zove.