Kada ima mnogo naboja, javljaju se neke poteškoće prilikom izračunavanja polja.

Gaussova teorema pomaže da se oni prevaziđu. Suština Gaussova teorema svodi se na sljedeće: ako je proizvoljan broj naboja mentalno okružen zatvorenom površinom S, tada se tok jakosti električnog polja kroz elementarnu površinu dS može zapisati kao dF = Esosα۰dS gdje je α ugao između normale na ravan i vektor snage . (Sl. 12.7)

Ukupni tok kroz cijelu površinu bit će jednak zbroju tokova svih naboja koji su nasumično raspoređeni unutar nje i proporcionalan veličini ovog naboja

(12.9)

Odredimo tok vektora intenziteta kroz sfernu površinu poluprečnika r, u čijem središtu se nalazi tačkasto naelektrisanje +q (slika 12.8). Zatezne linije su okomite na površinu sfere, α = 0, dakle cosα = 1. Tada je

Ako je polje formirano sistemom naelektrisanja, onda

Gaussova teorema: protok vektora jakosti elektrostatičkog polja u vakuumu kroz bilo koju zatvorenu površinu jednak je algebarskom zbiru naelektrisanja sadržanih unutar ove površine, podijeljenom s električnom konstantom.

(12.10)

Ako unutar sfere nema naboja, tada je F = 0.

Gaussov teorem čini relativno jednostavnim izračunavanje električnih polja za simetrično raspoređena naelektrisanja.

Hajde da uvedemo koncept gustine distribuiranih naelektrisanja.

Linearna gustina se označava kao τ i karakteriše naelektrisanje q po jedinici dužine ℓ. Općenito, može se izračunati pomoću formule

(12.11)

Uz ujednačenu distribuciju naelektrisanja, linearna gustina je jednaka

Površinska gustina je označena sa σ i karakteriše naboj q po jedinici površine S. U principu, određuje se formulom

(12.12)

Uz jednoličnu distribuciju naelektrisanja po površini, površinska gustina je jednaka

Zapreminska gustina je označena sa ρ i karakterizira naboj q po jedinici volumena V. Općenito se određuje formulom

(12.13)

Uz ujednačenu raspodjelu naboja, jednaka je
.

Pošto je naboj q jednoliko raspoređen na sferi, onda

σ = konst. Primijenimo Gaussovu teoremu. Nacrtajmo sferu poluprečnika kroz tačku A. Protok vektora napetosti na slici 12.9 kroz sfernu površinu poluprečnika jednak je cosα = 1, pošto je α = 0. Prema Gaussovoj teoremi,
.

ili

(12.14)

Iz izraza (12.14) proizilazi da je jačina polja izvan naelektrisane sfere ista kao i jačina polja tačkastog naelektrisanja postavljenog u centar sfere. Na površini sfere, tj. r 1 = r 0, napetost
.

Unutar sfere r 1< r 0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r 2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу равен нулю.

Cilindar poluprečnika r 0 jednoliko je nabijen površinskom gustinom σ (slika 12.10). Odredimo jačinu polja u proizvoljno odabranoj tački A. Nacrtajmo zamišljenu cilindričnu površinu poluprečnika R i dužine ℓ kroz tačku A. Zbog simetrije strujanje će izlaziti samo kroz bočne površine cilindra, budući da su naelektrisanja na cilindru poluprečnika r 0 ravnomerno raspoređena po njegovoj površini, tj. linije napetosti će biti radijalne prave linije, okomite na bočne površine oba cilindra. Kako je protok kroz osnove cilindara jednak nuli (cos α = 0), a bočna površina cilindra je okomita na linije sile (cos α = 1), tada je

ili

(12.15)

Izrazimo vrijednost E kroz σ - površinsku gustinu. A-priorat,

dakle,

Zamijenimo vrijednost q u formulu (12.15)

(12.16)

Po definiciji linearne gustine,
, gdje
; ovaj izraz zamjenjujemo u formulu (12.16):

(12.17)

one. Jačina polja koju stvara beskonačno dugo nabijeni cilindar proporcionalna je linearnoj gustoći naboja i obrnuto proporcionalna udaljenosti.

Jačina polja koju stvara beskonačna ravnomjerno nabijena ravan

Odredimo jačinu polja koju stvara beskonačna ravnomjerno nabijena ravan u tački A. Neka je površinska gustina naboja ravni jednaka σ. Kao zatvorenu površinu zgodno je izabrati cilindar čija je osa okomita na ravan, a čija desna osnova sadrži tačku A. Ravan dijeli cilindar na pola. Očigledno je da su linije sile okomite na ravan i paralelne sa bočnom površinom cilindra, tako da cijeli tok prolazi samo kroz bazu cilindra. Na obje osnove jačina polja je ista, jer tačke A i B su simetrične u odnosu na ravan. Tada je protok kroz bazu cilindra jednak

Prema Gaussovoj teoremi,

Jer
, To
, gdje

(12.18)

Dakle, jačina polja beskonačno nabijene ravni proporcionalna je površinskoj gustoći naboja i ne zavisi od udaljenosti do ravni. Dakle, polje ravni je uniformno.

Jačina polja koju stvaraju dvije suprotno ravnomjerno nabijene paralelne ravni

Rezultirajuće polje koje stvaraju dvije ravni određeno je principom superpozicije polja:
(Sl. 12.12). Polje koje stvara svaka ravnina je uniformno, jačine ovih polja su jednake po veličini, ali suprotnog smjera:
. Prema principu superpozicije, ukupna jačina polja izvan ravni je nula:

Između ravnina, jačine polja imaju isti smjer, pa je rezultirajuća jačina jednaka

Dakle, polje između dvije različito nabijene ravni je uniformno i njegov intenzitet je dvostruko jači od intenziteta polja koje stvara jedna ravan. Lijevo i desno od aviona nema polja. Polje konačnih ravni ima isti oblik; izobličenje se pojavljuje samo blizu njihovih granica. Koristeći rezultirajuću formulu, možete izračunati polje između ploča ravnog kondenzatora.

Najteže je proučavati električne pojave u neujednačenom električnom okruženju. U takvom mediju, ε ima različite vrijednosti, koje se naglo mijenjaju na granici dielektrika. Pretpostavimo da određujemo jačinu polja na granici između dva medija: ε 1 =1 (vakuum ili vazduh) i ε 2 =3 (tečnost - ulje). Na granici, tokom prijelaza iz vakuuma u dielektrik, jačina polja se smanjuje tri puta, a fluks vektora jačine opada za istu količinu (slika 12.25, a). Nagla promjena vektora jakosti elektrostatičkog polja na granici između dva medija stvara određene poteškoće pri proračunu polja. Što se tiče Gaussove teoreme, ona pod ovim uslovima uglavnom gubi smisao.

Budući da su polarizabilnost i napon različitih dielektrika različiti, broj linija polja u svakom dielektriku također će biti različit. Ova poteškoća se može otkloniti uvođenjem nove fizičke karakteristike polja, električne indukcije D (ili vektora električni pomak ).

Prema formuli

ε 1 E 1 = ε 2 E 2 =E 0 =konst

Množenjem svih dijelova ovih jednakosti električnom konstantom ε 0 dobijamo

ε 0 ε 1 E 1 = ε 0 ε 2 E 2 =ε 0 E 0 =const

Uvedemo oznaku ε 0 εE=D tada će pretposljednja relacija dobiti oblik

D 1 = D 2 = D 0 = konst

Vektor D, jednak proizvodu jakosti električnog polja u dielektriku i njegove apsolutne dielektrične konstante, naziva sevektor električnog pomaka

(12.45)

Električna jedinica pomaka – privjesak po kvadratnom metru(C/m2).

Električni pomak je vektorska veličina i može se izraziti i kao

D = εε 0 E =(1+χ)ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E+P

(12.46)

Za razliku od napona E, električni pomak D je konstantan u svim dielektricima (slika 12.25, b). Stoga je prikladno okarakterizirati električno polje u nehomogenom dielektričnom mediju ne intenzitetom E, već vektorom pomaka D. Vektor D opisuje elektrostatičko polje koje stvaraju slobodni naboji (tj. u vakuumu), ali s njihovom distribucijom u prostoru kao u prisustvu dielektrika, budući da vezani naboji koji nastaju u dielektricima mogu uzrokovati preraspodjelu slobodnih naboja koji stvaraju polje.

Vektorsko polje je grafički predstavljen električnim linijama pomaka na isti način kao i polje prikazano linijama sile.

Linija električnog pomaka - to su linije čije se tangente u svakoj tački poklapaju u pravcu sa vektorom električnog pomaka.

Linije vektora E mogu započeti i završiti na bilo kojem naboju - slobodnim i vezanim, dok linije vektoraD- samo uz besplatne naknade. Vektorske linijeDZa razliku od zateznih vodova, one su kontinuirane.

Budući da vektor električnog pomaka ne doživljava diskontinuitet na granici između dva medija, sve indukcijske linije koje proizlaze iz naboja okruženih nekom zatvorenom površinom će probiti kroz njega. Stoga, za vektor električnog pomaka, Gaussova teorema u potpunosti zadržava svoje značenje za nehomogenu dielektričnu sredinu.

Gaussov teorem za elektrostatičko polje u dielektriku : protok vektora električnog pomaka kroz proizvoljnu zatvorenu površinu jednak je algebarskom zbiru naboja sadržanih unutar ove površine.

(12.47)

Cilj lekcije: Teoremu Ostrogradskog–Gausa ustanovili su ruski matematičar i mehaničar Mihail Vasiljevič Ostrogradski u obliku opšte matematičke teoreme i nemački matematičar Karl Fridrih Gaus. Ova teorema se može koristiti pri proučavanju fizike na specijalizovanom nivou, jer omogućava racionalnije proračune električnih polja.

Da bi se izveo Ostrogradsky-Gaussov teorem, potrebno je uvesti tako važne pomoćne koncepte kao što su vektor električne indukcije i fluks ovog vektora F.

Poznato je da se elektrostatičko polje često prikazuje pomoću linija sile. Pretpostavimo da određujemo napetost u tački koja leži na granici između dva medija: vazduha (=1) i vode (=81). U ovom trenutku, kada se kreće iz zraka u vodu, jačina električnog polja prema formuli će se smanjiti za 81 put. Ako zanemarimo vodljivost vode, tada će se broj linija sile smanjiti za isti iznos. Prilikom rješavanja različitih zadataka proračuna polja, zbog diskontinuiteta vektora napona na granici između medija i na dielektricima, stvaraju se određene neugodnosti. Da bi se izbjegle, uvodi se novi vektor, koji se naziva vektor električne indukcije:

Vektor električne indukcije jednak je proizvodu vektora i električne konstante i dielektrične konstante medija u datoj tački.

Očigledno je da se pri prolasku kroz granicu dva dielektrika broj električnih indukcijskih vodova ne mijenja za polje tačkastog naboja (1).

U SI sistemu vektor električne indukcije se mjeri u kulonima po kvadratnom metru (C/m2). Izraz (1) pokazuje da numerička vrijednost vektora ne ovisi o svojstvima medija. Vektorsko polje je grafički prikazano slično polju intenziteta (na primer, za tačkasto naelektrisanje, videti sliku 1). Za vektorsko polje primjenjuje se princip superpozicije:

Električni indukcioni tok

Vektor električne indukcije karakterizira električno polje u svakoj tački u prostoru. Možete uvesti drugu veličinu koja ovisi o vrijednostima vektora ne u jednoj tački, već u svim tačkama površine ograničene ravnom zatvorenom konturom.

Da biste to učinili, razmotrite ravan zatvoreni vodič (kolo) površine S, smješten u jednolično električno polje. Normalna na ravan provodnika čini ugao sa smerom vektora električne indukcije (slika 2).

Protok električne indukcije kroz površinu S je veličina jednaka proizvodu modula vektora indukcije na površinu S i kosinus ugla između vektora i normale:

Ova teorema nam omogućava da pronađemo tok vektora električne indukcije kroz zatvorenu površinu unutar koje se nalaze električni naboji.

Neka se prvo jedno tačkasto naelektrisanje q postavi u centar sfere proizvoljnog poluprečnika r 1 (slika 3). Onda ; . Izračunajmo ukupni fluks indukcije koji prolazi kroz cijelu površinu ove sfere: ; (). Ako uzmemo sferu polumjera , onda je i F = q. Ako nacrtamo sferu koja ne pokriva naboj q, onda je ukupni fluks F = 0 (pošto će svaka linija ući u površinu i napustiti je drugi put).

Dakle, F = q ako se naelektrisanje nalazi unutar zatvorene površine i F = 0 ako se naelektrisanje nalazi izvan zatvorene površine. Protok F ne zavisi od oblika površine. Takođe je nezavisan od rasporeda naelektrisanja unutar površine. To znači da dobijeni rezultat vrijedi ne samo za jedno naelektrisanje, već i za bilo koji broj proizvoljno lociranih naboja, ako samo pod q podrazumijevamo algebarski zbir svih naboja koji se nalaze unutar površine.

Gaussov teorem: tok električne indukcije kroz bilo koju zatvorenu površinu jednak je algebarskom zbiru svih naboja koji se nalaze unutar površine: .

Iz formule je jasno da je dimenzija električnog toka ista kao i dimenzija električnog naboja. Stoga je jedinica fluksa električne indukcije kulon (C).

Napomena: ako je polje neujednačeno i površina kroz koju se određuje strujanje nije ravan, tada se ova površina može podijeliti na beskonačno male elemente ds i svaki element se može smatrati ravnim, a polje u blizini je jednolično. Dakle, za bilo koje električno polje, tok vektora električne indukcije kroz površinski element je: dF=. Kao rezultat integracije, ukupni tok kroz zatvorenu površinu S u bilo kojem nehomogenom električnom polju jednak je: , gdje je q algebarski zbir svih naelektrisanja okruženih zatvorenom površinom S. Izrazimo posljednju jednačinu u terminima jakosti električnog polja (za vakuum): .

Ovo je jedna od Maxwellovih fundamentalnih jednačina za elektromagnetno polje, napisana u integralnom obliku. Pokazuje da su izvor vremenski konstantnog električnog polja stacionarni električni naboji.

Odredimo sada jačinu polja za određeni broj slučajeva koristeći Ostrogradsky-Gaussovu teoremu.

1. Električno polje jednoliko nabijene sferne površine.

Sfera poluprečnika R. Neka je naelektrisanje +q jednoliko raspoređeno po sfernoj površini poluprečnika R. Raspodela naelektrisanja po površini karakteriše površinska gustina naelektrisanja (slika 4). Gustoća površinskog naboja je omjer naboja i površine na kojoj je raspoređen. . U SI.

Odredimo jačinu polja:

a) izvan sferne površine,
b) unutar sferne površine.

a) Uzmite tačku A, koja se nalazi na udaljenosti r>R od centra nabijene sferne površine. Provucimo kroz njega sfernu površinu S polumjera r, koja ima zajednički centar sa nabijenom sfernom površinom. Iz razmatranja simetrije, očigledno je da su linije sile radijalne linije okomite na površinu S i jednoliko prodiru kroz ovu površinu, tj. napetost u svim tačkama ove površine je konstantne veličine. Primijenimo Ostrogradsky-Gaussov teorem na ovu sfernu površinu S polumjera r. Stoga je ukupni tok kroz sferu N = E? S; N=E. Na drugoj strani . Izjednačavamo: . Dakle: za r>R.

Dakle: napetost koju stvara jednolično nabijena sferna površina izvan nje je ista kao da je cijelo naelektrisanje u njenom centru (slika 5).

b) Nađimo jačinu polja u tačkama koje leže unutar naelektrisane sferne površine. Uzmimo tačku B na udaljenosti od centra sfere . Tada je E = 0 na r

2. Jačina polja jednolično nabijene beskonačne ravni

Razmotrimo električno polje koje stvara beskonačna ravan, nabijena konstantom gustine u svim tačkama ravni. Iz razloga simetrije, možemo pretpostaviti da su zatezne linije okomite na ravan i usmjerene od nje u oba smjera (slika 6).

Odaberimo tačku A koja leži desno od ravni i izračunajmo u ovoj tački koristeći Ostrogradsky-Gaussovu teoremu. Kao zatvorenu površinu biramo cilindričnu površinu tako da je bočna površina cilindra paralelna sa linijama sile, a njegova osnova paralelna sa ravninom i baza prolazi kroz tačku A (slika 7). Izračunajmo protok napetosti kroz razmatranu cilindričnu površinu. Tok kroz bočnu površinu je 0, jer linije napetosti su paralelne sa bočnom površinom. Tada se ukupni protok sastoji od protoka i prolaska kroz baze cilindra i . Oba ova toka su pozitivna =+; =; =; ==; N=2.

– dio ravnine koji leži unutar odabrane cilindrične površine. Naelektrisanje unutar ove površine je q.

Onda ; – može se uzeti kao tačkasti naboj) sa tačkom A. Za pronalaženje ukupnog polja potrebno je geometrijski sabrati sva polja koja stvara svaki element: ; .

Zakon interakcije električnih naboja - Coulombov zakon - može se formulisati drugačije, u obliku takozvane Gaussove teoreme. Gaussova teorema je dobijena kao posljedica Coulombovog zakona i principa superpozicije. Dokaz se zasniva na obrnutoj proporcionalnosti sile interakcije između dva tačkasta naboja i kvadrata udaljenosti između njih. Stoga je Gaussova teorema primjenjiva na svako fizičko polje gdje se zakon inverznog kvadrata i princip superpozicije primjenjuju, na primjer, na gravitacijsko polje.

Rice. 9. Linije jačine električnog polja tačkastog naboja koje seku zatvorenu površinu X

Da bismo formulisali Gaussov teorem, vratimo se na sliku linija električnog polja stacionarnog tačkastog naboja. Linije polja usamljenog tačkastog naboja su simetrično locirane radijalne prave linije (slika 7). Možete nacrtati bilo koji broj takvih linija. Označimo njihov ukupan broj sa Tada je gustina linija polja na udaljenosti od naboja, tj. broj linija koje prelaze jediničnu površinu sfere poluprečnika jednak gustini linija polja. tačkasto naelektrisanje (4), vidimo da je gustina linija proporcionalna jačini polja. Ove veličine možemo učiniti numerički jednakim pravilnim odabirom ukupnog broja linija polja N:

Dakle, površina sfere bilo kojeg polumjera koja obuhvata tačkasti naboj siječe isti broj linija sile. To znači da su linije sile neprekidne: u intervalu između bilo koje dvije koncentrične sfere različitih radijusa, nijedna linija nije prekinuta niti se dodaju nove. Pošto su linije polja neprekidne, isti broj linija polja siječe bilo koju zatvorenu površinu (slika 9) koja pokriva naboj

Linije sile imaju pravac. U slučaju pozitivnog naboja, oni izlaze iz zatvorene površine koja okružuje naboj, kao što je prikazano na sl. 9. U slučaju negativnog naboja, oni idu unutar površine. Ako se broj odlaznih linija smatra pozitivnim, a broj dolaznih linija negativnim, tada u formuli (8) možemo izostaviti predznak modula naboja i zapisati ga u obliku

Tok napetosti. Hajde da sada uvedemo koncept strujanja vektora jačine polja kroz površinu. Proizvoljno polje se može mentalno podijeliti na male oblasti u kojima se intenzitet mijenja u veličini i smjeru toliko malo da se unutar ovog područja polje može smatrati uniformnim. U svakoj takvoj oblasti, linije sile su paralelne prave i imaju konstantnu gustinu.

Rice. 10. Odrediti fluks vektora jačine polja kroz lokaciju

Razmotrimo koliko linija sile prodire kroz malo područje, pravac normale na koji formira ugao a sa smjerom linija napetosti (slika 10). Neka biti projekcija na ravan okomitu na linije sile. Pošto je broj linija koje se ukrštaju isti, a gustina linija, prema prihvaćenom uslovu, jednaka je modulu jačine polja E, onda je

Vrijednost a je projekcija vektora E na smjer normale na mjesto

Dakle, broj električnih vodova koji prelaze područje je jednak

Proizvod se naziva fluks jačine polja kroz površinu Formula (10) pokazuje da je tok vektora E kroz površinu jednak broju linija polja koje prelaze ovu površinu. Imajte na umu da je vektorski tok intenziteta, kao i broj linija polja koje prolaze kroz površinu, skalar.

Rice. 11. Protok vektora napetosti E kroz mjesto

Ovisnost strujanja o orijentaciji mjesta u odnosu na linije sile ilustrovana je na Sl.

Tok jačine polja kroz proizvoljnu površinu je zbir tokova kroz elementarne površine na koje se ova površina može podijeliti. Na osnovu relacija (9) i (10), može se reći da je protok jačine polja tačkastog naelektrisanja kroz bilo koju zatvorenu površinu 2 koja obavija naelektrisanje (vidi sliku 9), kao broj linija polja koje izlaze iz ova površina je jednaka U ovom slučaju vektor normale na zatvorene površine elementarnih površina treba biti usmjeren prema van. Ako je naboj unutar površine negativan, tada linije polja ulaze unutar ove površine i fluks vektora jačine polja povezan s nabojem je također negativan.

Ako unutar zatvorene površine postoji više naboja, tada će se u skladu s principom superpozicije tokovi njihovih jačina polja zbrajati. Ukupni tok će biti jednak gdje pod treba shvatiti algebarski zbir svih naboja koji se nalaze unutar površine.

Ako unutar zatvorene površine nema električnih naboja ili je njihov algebarski zbir jednak nuli, tada je ukupni tok jakosti polja kroz ovu površinu jednak nuli: koliko god linija sile uđe u zapreminu ograničenu površinom, isti broj izlazi van.

Sada konačno možemo formulirati Gaussov teorem: protok vektora jakosti električnog polja E u vakuumu kroz bilo koju zatvorenu površinu proporcionalan je ukupnom naboju koji se nalazi unutar ove površine. Matematički, Gaussova teorema je izražena istom formulom (9), pri čemu se pod pojmom podrazumijeva algebarski zbir naboja. U apsolutnoj elektrostatici

u SGSE sistemu jedinica, koeficijent i Gaussova teorema su zapisani u obliku

U SI i tok napetosti kroz zatvorenu površinu izražava se formulom

Gaussova teorema se široko koristi u elektrostatici. U nekim slučajevima, može se koristiti za jednostavno izračunavanje polja stvorenih simetrično lociranim nabojima.

Polja simetričnih izvora. Primijenimo Gaussovu teoremu da izračunamo intenzitet električnog polja jednoliko nabijenog na površini lopte polumjera . Radi određenosti, pretpostavićemo da je njegov naboj pozitivan. Raspodjela naelektrisanja koja stvara polje ima sfernu simetriju. Stoga i polje ima istu simetriju. Linije sile takvog polja usmjerene su duž poluprečnika, a modul intenziteta je isti u svim tačkama jednako udaljenim od centra lopte.

Da bismo pronašli jačinu polja na udaljenosti od centra lopte, nacrtajmo mentalno sfernu površinu poluprečnika koncentričnog sa loptom.Pošto je u svim tačkama ove sfere jačina polja usmerena okomito na njenu površinu i iznosi isti u apsolutnoj vrijednosti, intenzitet protoka je jednostavno jednak proizvodu jačine polja i površine sfere:

Ali ova količina se također može izraziti pomoću Gaussove teoreme. Ako nas zanima polje izvan lopte, tj. onda, na primjer, u SI i, u poređenju sa (13), nalazimo

U sistemu jedinica SGSE, očigledno,

Dakle, izvan lopte je jačina polja ista kao kod tačkastog naboja postavljenog u centar lopte. Ako nas zanima polje unutar lopte, odnosno, pošto se cijeli naboj raspoređen po površini lopte nalazi izvan sfere koju smo mentalno nacrtali. Dakle, unutar lopte nema polja:

Slično, koristeći Gaussov teorem, može se izračunati elektrostatičko polje stvoreno beskonačno nabijenim

ravan sa konstantnom gustinom u svim tačkama ravni. Iz razloga simetrije, možemo pretpostaviti da su linije sile okomite na ravan, usmjerene od nje u oba smjera i svuda imaju istu gustoću. Zaista, ako je gustoća linija polja u različitim tačkama različita, onda bi pomicanje nabijene ravnine duž sebe dovelo do promjene polja u tim tačkama, što je u suprotnosti sa simetrijom sistema - takav pomak ne bi trebao promijeniti polje. Drugim riječima, polje beskonačne ravnomjerno nabijene ravni je uniformno.

Kao zatvorenu površinu za primjenu Gaussove teoreme biramo površinu cilindra konstruiranu na sljedeći način: generatriksa cilindra je paralelna sa linijama sile, a baze imaju površine paralelne s nabijenom ravninom i leže na suprotnim stranama od nje. (Sl. 12). Tok jačine polja kroz bočnu površinu je nula, tako da je ukupni tok kroz zatvorenu površinu jednak zbiru tokova kroz osnove cilindra:

Rice. 12. Ka proračunu jačine polja jednoliko nabijene ravni

Prema Gaussovoj teoremi, isti fluks je određen nabojem onog dijela ravni koji leži unutar cilindra, a u SI je jednak Upoređujući ove izraze za fluks, nalazimo

U SGSE sistemu, jačina polja jednolično naelektrisane beskonačne ravni je data formulom

Za jednolično nabijenu ploču konačnih dimenzija, dobijeni izrazi vrijede približno u području koje se nalazi dovoljno daleko od rubova ploče i ne previše od njene površine. U blizini ivica ploče, polje više neće biti jednolično i njegove linije polja će biti savijene. Na veoma velikim udaljenostima u poređenju sa veličinom ploče, polje opada sa rastojanjem na isti način kao i polje tačkastog naboja.

Drugi primjeri polja koje stvaraju simetrično raspoređeni izvori uključuju polje jednoliko nabijenog duž dužine beskonačne pravolinijske niti, polje jednoliko nabijenog beskonačnog kružnog cilindra, polje lopte,

ravnomerno naelektrisan po celoj zapremini, itd. Gaussova teorema omogućava lako izračunavanje jačine polja u svim ovim slučajevima.

Gaussova teorema daje odnos između polja i njegovih izvora, u nekom smislu suprotan onome koji je dat Coulombovim zakonom, koji omogućava da se odredi električno polje iz datih naboja. Koristeći Gaussov teorem, možete odrediti ukupni naboj u bilo kojoj regiji prostora u kojoj je poznata raspodjela električnog polja.

Koja je razlika između koncepta djelovanja dugog i kratkog dometa kada se opisuje interakcija električnih naboja? U kojoj se mjeri ovi koncepti mogu primijeniti na gravitacijske interakcije?

Šta je jačina električnog polja? Šta znače kada se to naziva sila karakteristična za električno polje?

Kako se može suditi o smjeru i veličini jačine polja u određenoj tački na osnovu obrasca linija polja?

Mogu li se linije električnog polja ukrštati? Navedite razloge za svoj odgovor.

Nacrtajte kvalitativnu sliku linija elektrostatičkog polja dva naelektrisanja tako da .

Protok jakosti električnog polja kroz zatvorenu površinu izražava se različitim formulama (11) i (12) u GSE i SI jedinicama. Kako se to može pomiriti s geometrijskim značenjem strujanja, koje je određeno brojem linija sile koje prelaze površinu?

Kako koristiti Gaussov teorem za pronalaženje jačine električnog polja kada su naboji koji ga stvaraju simetrično raspoređeni?

Kako primijeniti formule (14) i (15) za izračunavanje jačine polja lopte s negativnim nabojem?

Gaussova teorema i geometrija fizičkog prostora. Pogledajmo dokaz Gaussove teoreme sa malo drugačije tačke gledišta. Vratimo se na formulu (7), iz koje je zaključeno da isti broj linija sile prolazi kroz bilo koju sfernu površinu koja okružuje naboj. Ovaj zaključak proizlazi iz činjenice da dolazi do smanjenja nazivnika obje strane jednakosti.

Na desnoj strani nastao je zbog činjenice da je sila interakcije između naboja, opisana Coulombovim zakonom, obrnuto proporcionalna kvadratu udaljenosti između naboja. Na lijevoj strani izgled je povezan s geometrijom: površina sfere je proporcionalna kvadratu njenog polumjera.

Proporcionalnost površine kvadrata linearnih dimenzija je obeležje euklidske geometrije u trodimenzionalnom prostoru. Zaista, proporcionalnost površina upravo kvadratima linearnih dimenzija, a ne bilo kojem drugom cjelobrojnom stepenu, karakteristična je za prostor

tri dimenzije. Činjenica da je ovaj eksponent tačno jednak dva, a da se ne razlikuje od dva, čak ni za zanemarljivo malu količinu, ukazuje da ovaj trodimenzionalni prostor nije zakrivljen, odnosno da je njegova geometrija upravo euklidska.

Dakle, Gaussova teorema je manifestacija svojstava fizičkog prostora u osnovnom zakonu interakcije električnih naboja.

Ideju o bliskoj vezi između osnovnih zakona fizike i svojstava prostora izrazili su mnogi izvanredni umovi mnogo prije nego što su sami ovi zakoni uspostavljeni. Tako je I. Kant, tri decenije prije otkrića Coulombovog zakona, pisao o svojstvima prostora: „Trodimenzionalnost nastaje, očigledno, zato što tvari u postojećem svijetu djeluju jedna na drugu na način da je sila djelovanja obrnuto proporcionalno kvadratu udaljenosti.”

Coulombov zakon i Gaussova teorema zapravo predstavljaju isti zakon prirode izražen u različitim oblicima. Coulombov zakon odražava koncept djelovanja dugog dometa, dok Gaussov teorem proizlazi iz ideje polja sile koje ispunjava prostor, odnosno iz koncepta djelovanja kratkog dometa. U elektrostatici, izvor polja sila je naelektrisanje, a karakteristika polja povezanog sa izvorom - tok intenziteta - ne može se promeniti u praznom prostoru gde nema drugih naelektrisanja. Kako se tok vizualno može zamisliti kao skup linija polja, nepromjenjivost toka se manifestuje u kontinuitetu ovih linija.

Gaussova teorema, zasnovana na inverznoj proporcionalnosti interakcije s kvadratom udaljenosti i na principu superpozicije (aditivnosti interakcije), primjenjiva je na svako fizičko polje u kojem djeluje zakon inverznog kvadrata. Konkretno, to važi i za gravitaciono polje. Jasno je da ovo nije samo slučajnost, već odraz činjenice da se i električna i gravitacijska interakcija odvijaju u trodimenzionalnom euklidskom fizičkom prostoru.

Na kojoj se osobini zakona interakcije električnih naboja zasniva Gaussova teorema?

Dokažite, na osnovu Gaussove teoreme, da je jačina električnog polja tačkastog naboja obrnuto proporcionalna kvadratu udaljenosti. Koja svojstva prostorne simetrije se koriste u ovom dokazu?

Kako se geometrija fizičkog prostora odražava u Coulombovom zakonu i Gaussovoj teoremi? Koja karakteristika ovih zakona ukazuje na euklidsku prirodu geometrije i trodimenzionalnost fizičkog prostora?

Vektorski fluks jakosti električnog polja. Neka mala platforma DS(Sl. 1.2) sijeku linije električnog polja čiji je smjer sa normalom n ugao na ovu lokaciju a. Pod pretpostavkom da je vektor napetosti E se ne mijenja unutar stranice DS, hajde da definišemo tok vektora napetosti kroz platformu DS Kako

DFE =E DS cos a.(1.3)

Budući da je gustina dalekovoda jednaka brojčanoj vrijednosti napetosti E, zatim broj dalekovoda koji prelaze područjeDS, bit će numerički jednak vrijednosti protokaDFEkroz površinuDS. Predstavimo desnu stranu izraza (1.3) kao skalarni proizvod vektora E IDS= nDS, Gdje n– jedinični vektor normalan na površinuDS. Za osnovno područje d S izraz (1.3) poprima oblik

dFE = E d S

Preko cijele stranice S fluks vektora napetosti se računa kao integral po površini

Protok vektora električne indukcije. Tok vektora električne indukcije određuje se slično kao i tok vektora jakosti električnog polja

dFD = D d S

Postoji određena nejasnoća u definicijama tokova zbog činjenice da za svaku površinu dva normale u suprotnom smeru. Za zatvorenu površinu, vanjska normala se smatra pozitivnom.

Gaussova teorema. Hajde da razmotrimo tačka pozitivna električni naboj q, koji se nalazi unutar proizvoljno zatvorene površine S(Sl. 1.3). Tok vektora indukcije kroz element površine d S jednaki
(1.4)

Komponenta d S D = d S cos apovršinski element d S u pravcu vektora indukcijeDsmatra se elementom sferne površine poluprečnika r, u čijem se središtu nalazi nabojq.

S obzirom da d S D/ r 2 je jednako elementarno tjelesno kut dw, ispod koje od tačke na kojoj se nalazi nabojqvidljiv element površine d S, transformišemo izraz (1.4) u oblik d FD = q d w / 4 str, odakle, nakon integracije po čitavom prostoru koji okružuje naboj, tj. unutar solidnog ugla od 0 do 4str, dobijamo

FD = q.

Protok vektora električne indukcije kroz zatvorenu površinu proizvoljnog oblika jednak je naboju koji se nalazi unutar ove površine.

Ako je proizvoljna zatvorena površina S ne pokriva bodovnu naknadu q(Sl. 1.4), zatim, nakon što smo konstruisali konusnu površinu sa vrhom u tački gde se nalazi naboj, podelimo površinu S na dva dela: S 1 i S 2. Vektor protoka D kroz površinu S nalazimo kao algebarski zbir tokova kroz površine S 1 i S 2:

.

Obje površine od tačke na kojoj se nalazi naboj q vidljivo iz jednog čvrstog ugla w. Stoga su tokovi jednaki

Budući da pri proračunu protoka kroz zatvorenu površinu koristimo spoljašnja normalna na površinu, lako je vidjeti da je protok F 1D < 0, тогда как поток Ф2D> 0. Ukupan protok F D= 0. To znači da protok vektora električne indukcije kroz zatvorenu površinu proizvoljnog oblika ne zavisi od naelektrisanja koje se nalazi izvan ove površine.

Ako je električno polje stvoreno sistemom tačkastih naelektrisanja q 1 , q 2 ,¼ , qn, koji je prekriven zatvorenom površinom S, tada se, u skladu sa principom superpozicije, tok indukcionog vektora kroz ovu površinu određuje kao zbir fluksa koje stvara svako od naelektrisanja. Protok vektora električne indukcije kroz zatvorenu površinu proizvoljnog oblika jednak je algebarskom zbiru naboja koje pokriva ova površina:

Treba napomenuti da su optužbe qi ne moraju biti točkasti, neophodan uslov je da nabijena površina mora biti potpuno prekrivena površinom. Ako je u prostoru omeđenom zatvorenom površinom S, električni naboj se distribuira kontinuirano, onda treba pretpostaviti da je svaki elementarni volumen d V ima naplatu. U ovom slučaju, na desnoj strani izraza (1.5), algebarsko zbrajanje naboja zamjenjuje se integracijom po zapremini zatvorenoj unutar zatvorene površine S:

(1.6)

Izraz (1.6) je najopštija formulacija Gaussova teorema: protok vektora električne indukcije kroz zatvorenu površinu proizvoljnog oblika jednak je ukupnom naboju u zapremini koju pokriva ova površina i ne zavisi od naelektrisanja koje se nalazi izvan površine koja se razmatra. Gaussova teorema se također može napisati za tok vektora jakosti električnog polja:

.

Važna osobina električnog polja proizlazi iz Gaussove teoreme: linije sile počinju ili završavaju samo na električnim nabojima ili idu u beskonačnost. Naglasimo još jednom da, uprkos činjenici da je jakost električnog polja E i električna indukcija D zavise od lokacije u prostoru svih naelektrisanja, tokovi ovih vektora kroz proizvoljnu zatvorenu površinu S samo su određene ona naelektrisanja koja se nalaze unutar površine S.

Diferencijalni oblik Gaussove teoreme. Zapiši to integralni oblik Gaussova teorema karakterizira odnos između izvora električnog polja (naboja) i karakteristika električnog polja (napetost ili indukcija) u zapremini V proizvoljna, ali dovoljna za formiranje integralnih odnosa, veličina. Podjelom zapremine V za male količine V i, dobijamo izraz

važi i u celini i za svaki termin. Transformirajmo rezultirajući izraz na sljedeći način:

(1.7)

i razmotrite granicu do koje izraz na desnoj strani jednakosti, zatvoren u vitičaste zagrade, teži neograničenoj podjeli volumena V. U matematici se ova granica naziva divergenciju vektor (u ovom slučaju vektor električne indukcije D):

Vektorska divergencija D u kartezijanskim koordinatama:

Dakle, izraz (1.7) se transformiše u oblik:

.

S obzirom da neograničenim dijeljenjem zbir na lijevoj strani posljednjeg izraza prelazi u integral volumena, dobijamo

Rezultirajući odnos mora biti zadovoljen za bilo koji proizvoljno odabran volumen V. To je moguće samo ako su vrijednosti integrala u svakoj tački u prostoru iste. Dakle, divergencija vektora D je povezan sa gustinom naelektrisanja u istoj tački jednakošću

ili za vektor jačine elektrostatičkog polja

Ove jednakosti izražavaju Gaussovu teoremu u diferencijalni oblik.

Imajte na umu da se u procesu prijelaza na diferencijalni oblik Gaussove teoreme dobija relacija koja ima opći karakter:

.

Izraz se zove Gauss-Ostrogradsky formula i povezuje volumenski integral divergencije vektora sa protokom ovog vektora kroz zatvorenu površinu koja ograničava volumen.

Pitanja

1) Koje je fizičko značenje Gaussove teoreme za elektrostatičko polje u vakuumu

2) U centru kocke postoji tačkasto punjenjeq. Koliki je fluks vektora? E:

a) kroz punu površinu kocke; b) kroz jednu od strana kocke.

Hoće li se odgovori promijeniti ako:

a) naboj nije u centru kocke, već unutar nje ; b) naelektrisanje je izvan kocke.

3) Šta su linearne, površinske, zapreminske gustine naelektrisanja.

4) Navedite odnos između volumena i površinske gustoće naboja.

5) Može li polje izvan suprotno i jednolično nabijenih paralelnih beskonačnih ravni biti različito od nule?

6) Električni dipol je postavljen unutar zatvorene površine. Koliki je protok kroz ovu površinu