Formule skraćenog množenja (FSU) potrebni su za množenje i podizanje na stepen brojeva, izraza, uključujući polinome. Odnosno, uz pomoć formula možete raditi s brojevima mnogo brže i lakše. Dakle, moguće je napraviti običnu jednačinu od složene jednačine, što će pojednostaviti zadatak.

Tabela sa skraćenim formulama za množenje

Obratite pažnju na prve četiri formule. Zahvaljujući njima, možete kvadrirati ili kockirati zbir (razliku) dva izraza. Što se tiče pete formule, ona se mora koristiti za kratko množenje razlike ili zbroja dva izraza.

Posljednje dvije formule (6 i 7) se koriste za množenje zbira oba izraza njihovom nepotpunom kvadratnom razlikom ili zbrojem.

Gore navedene formule su često potrebne u praksi. Zato ih je poželjno znati napamet.

Ako naiđete na primjer faktoringa polinoma, onda u mnogim slučajevima trebate zamijeniti lijevu i desnu stranu.

Na primjer, uzmite istu prvu formulu:

i stavite lijevu stranu na desno, a desnu na lijevo:

Isti postupak se može uraditi sa ostalim formulama.

FSU Proof

Zadržimo se na dokazima skraćenih formula za množenje. Ovo nije teško. Samo treba da otvorite zagrade. Razmotrimo prvu formulu - kvadrat zbira:.

Prvi korak.

Podići a + b na drugi stepen. Da bismo to učinili, nećemo dirati stepen, već ćemo izvršiti banalno množenje: = x.

Drugi korak. Sada to izvlačimo iz zagrada: x + x.

Treći korak. Proširite zagrade: x + x + x + x .

Četvrti korak. Množimo, ne zaboravljajući na znakove: x + x +.

Korak peti. Pojednostavljujemo izraz: .

Na isti način može se dokazati apsolutno svaka skraćena formula za množenje.

Primjeri i rješenja pomoću FSO

U pravilu, ovih sedam formula se koristi kada je potrebno pojednostaviti izraz kako biste riješili bilo koju jednadžbu, pa čak i uobičajeni primjer.

Primjer 1

Vježbajte

Pojednostavite izraz:

Kao što vidite, prva skraćena formula za množenje, Kvadrat sume, odgovara ovom primjeru.

Rješenje

Na osnovu prve formule potrebno je razložiti primjer na faktore. Da bismo to učinili, gledamo formulu i zamjenjujemo brojeve umjesto slova. U našem slučaju, "a" je 3x, a "b" je 5:

Razmatramo desnu stranu i zapisujemo rezultat. Dobijamo:

U primjeru morate pomnožiti sve što je pomnoženo i odmah dobiti odgovor:

Naravno, ima primjera sa razlomcima. Ali, ako naučite rješavati jednostavne primjere, nećete se bojati drugih tipova.

Primjer 2

Vježbajte

Pojednostavite izraz

Rješenje

= – x x + =

Dvostruki proizvod ovih izraza je , koji se poklapa s drugim članom trinoma (sa znakom plus), što znači

Dakle, kao što vidite, u primjerima nema ništa komplikovano. Glavna stvar je znati formule, gdje se mogu primijeniti i gdje možete bez njih.

Korisni izvori

1. Arefieva I. G., Piryutko O. N. Algebra: priručnik za udžbenike za 7. razred ustanova opšteg srednjeg obrazovanja: Minsk „Narodnaya Asveta“, 2017. - 304 str.
2. Nikolsky S. M., Potapov M. K. Algebra 7. razred: M: 2015 - 287 str.
3. Rubin A. G., Chulkov P. V. Algebra. 7. razred. M: 2015. - 224 str.

FSU - formule za skraćeno množenje u algebri za 7. razred sa primjerima ažurirano: 22. novembra 2019. od: Scientific Articles.Ru

Formule skraćenog množenja (FSU) koriste se za eksponencijalnost i množenje brojeva i izraza. Često vam ove formule omogućuju kompaktnije i brže izračune.

U ovom članku ćemo navesti glavne formule za skraćeno množenje, grupirati ih u tablicu, razmotriti primjere korištenja ovih formula, a također ćemo se zadržati na principima za dokazivanje formula za skraćeno množenje.

Po prvi put se tema FSU razmatra u okviru predmeta „Algebra“ za 7. razred. Ispod je 7 osnovnih formula.

Skraćene formule za množenje

1. formula kvadrata sume: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. Formula kvadrata razlike: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
3. formula kocke zbira: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. formula kocke razlike: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. razlika kvadrata formule: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
6. formula za zbir kocki: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
7. formula razlike kocke: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2

Slova a, b, c u ovim izrazima mogu biti bilo koji brojevi, varijable ili izrazi. Radi lakšeg korištenja, bolje je naučiti sedam osnovnih formula napamet. Sažimamo ih u tabeli i dajemo ih u nastavku, zaokružujući ih kutijom.

Prve četiri formule omogućavaju vam da izračunate kvadrat ili kubu zbira ili razlike dva izraza.

Peta formula izračunava razliku kvadrata izraza množenjem njihovog zbira i razlike.

Šesta i sedma formula su, respektivno, množenje zbira i razlike izraza nepotpunim kvadratom razlike i nepotpunim kvadratom zbira.

Formula skraćenog množenja ponekad se naziva i skraćeni identiteti množenja. To nije iznenađujuće, jer je svaka jednakost identitet.

Prilikom rješavanja praktičnih primjera često se koriste skraćene formule za množenje sa preuređenim lijevim i desnim dijelovima. Ovo je posebno zgodno kada se polinom čini faktorima.

Dodatne skraćene formule za množenje

Nećemo se ograničiti na predmet algebre u 7. razredu i dodati još nekoliko formula u našu FSU tabelu.

Prvo, razmotrite Newtonovu binomnu formulu.

a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 + . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n

Ovdje su C n k binomni koeficijenti koji se nalaze u redu broj n u Pascalovom trouglu. Binomni koeficijenti se izračunavaju po formuli:

C nk = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

Kao što vidite, FSU za kvadrat i kub razlike i zbir je poseban slučaj Newtonove binomne formule za n=2 i n=3, respektivno.

Ali šta ako postoji više od dva člana u zbroju koji treba podići na stepen? Formula za kvadrat zbira tri, četiri ili više članova će biti korisna.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Još jedna formula koja može biti korisna je formula za razliku n-tih stepena dva člana.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Ova formula se obično dijeli na dvije formule - za parne i neparne stupnjeve.

Za parne eksponente 2m:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

Za neparne eksponente 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

Formule za razliku kvadrata i razliku kocki, pogađate, su posebni slučajevi ove formule za n = 2 i n = 3, respektivno. Za razliku kocki, b se također zamjenjuje sa - b.

Kako čitati skraćene formule za množenje?

Za svaku formulu ćemo dati odgovarajuće formulacije, ali prvo ćemo se pozabaviti principom čitanja formula. Najlakši način da to učinite je pomoću primjera. Uzmimo prvu formulu za kvadrat zbira dva broja.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Kažu: kvadrat zbira dva izraza a i b jednak je zbiru kvadrata prvog izraza, dvostrukog proizvoda izraza i kvadrata drugog izraza.

Sve ostale formule se čitaju na sličan način. Za kvadratnu razliku a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 pišemo:

kvadrat razlike dva izraza a i b jednak je zbiru kvadrata ovih izraza minus dvostruki proizvod prvog i drugog izraza.

Pročitajmo formulu a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Kocka zbira dva izraza a i b jednaka je zbroju kubova ovih izraza, tri puta umnošku kvadrata prvog i drugog izraza i tri puta umnošku kvadrata drugog izraza i prvi izraz.

Nastavljamo s čitanjem formule za razliku kocki a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Kocka razlike dva izraza a i b jednaka je kocki prvog izraza minus tri puta kvadrata prvog izraza i drugog, plus tri puta kvadrata drugog izraza i prvog izraza, minus kocke drugog izraza.

Peta formula a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (razlika kvadrata) glasi ovako: razlika kvadrata dva izraza jednaka je proizvodu razlike i zbroju dva izraza.

Izrazi kao što su a 2 + a b + b 2 i a 2 - a b + b 2 radi pogodnosti nazivaju se nepotpunim kvadratom zbira i nepotpunim kvadratom razlike.

Imajući to na umu, formule za zbir i razliku kocki se čitaju na sljedeći način:

Zbir kubova dva izraza jednak je proizvodu zbira ovih izraza i nepotpunog kvadrata njihove razlike.

Razlika kubova dva izraza jednaka je proizvodu razlike ovih izraza nepotpunim kvadratom njihovog zbira.

FSU Proof

Dokazivanje FSU je prilično jednostavno. Na osnovu svojstava množenja, izvršit ćemo množenje dijelova formula u zagradama.

Na primjer, razmotrite formulu za kvadrat razlike.

a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Da bi se izraz podigao na drugi stepen, izraz se mora pomnožiti sam sa sobom.

a - b 2 \u003d a - b a - b.

Proširimo zagrade:

a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Formula je dokazana. Slično su dokazani i ostali FSO.

Primjeri primjene FSO

Svrha upotrebe smanjenih formula za množenje je brzo i koncizno množenje i eksponencijalnost izraza. Međutim, ovo nije cijeli djelokrug FSO-a. Oni se široko koriste u redukciji izraza, redukciji razlomaka, faktoringu polinoma. Navedimo primjere.

Primjer 1. FSO

Pojednostavimo izraz 9 y - (1 + 3 y) 2 .

Primijenite formulu sume kvadrata i dobijete:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

Primjer 2. FSO

Smanjite razlomak 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .

Uočavamo da je izraz u brojniku razlika kocki, a u nazivniku - razlika kvadrata.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

Smanjujemo i dobijamo:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU također pomažu u izračunavanju vrijednosti izraza. Glavna stvar je da možete uočiti gdje primijeniti formulu. Pokažimo to na primjeru.

Kvadirajmo broj 79. Umjesto glomaznih proračuna, pišemo:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Čini se da je složeni proračun brzo izveden samo uz korištenje skraćenih formula za množenje i tablice množenja.

Još jedna važna tačka je odabir kvadrata binoma. Izraz 4 x 2 + 4 x - 3 može se pretvoriti u 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Takve transformacije se široko koriste u integraciji.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Jedna od prvih tema koje se proučavaju na kursu algebre su formule za skraćeno množenje. U 7. razredu se koriste u najjednostavnijim situacijama, gdje je potrebno prepoznati jednu od formula u izrazu i faktorizirati polinom ili, obrnuto, brzo kvadrirati ili kockirati zbir ili razliku. U budućnosti se FSU koristi za brzo rješavanje nejednačina i jednačina, pa čak i za izračunavanje nekih numeričkih izraza bez kalkulatora.

Kako izgleda lista formula?

Postoji 7 osnovnih formula koje vam omogućavaju brzo množenje polinoma u zagradama.

Ponekad ova lista uključuje i proširenje četvrtog stepena, koje proizilazi iz predstavljenih identiteta i ima oblik:

a⁴ - b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).

Sve jednakosti imaju par (zbir - razlika), osim razlike kvadrata. Ne postoji formula za zbir kvadrata.

Ostale jednakosti se lako pamte.:

Treba imati na umu da FSO rade u svakom slučaju i za bilo koje vrijednosti. a i b: to mogu biti i proizvoljni brojevi i cjelobrojni izrazi.

U situaciji kada se odjednom ne možete sjetiti koji je znak u formuli ispred jednog ili drugog pojma, možete otvoriti zagrade i dobiti isti rezultat kao nakon korištenja formule. Na primjer, ako je nastao problem prilikom primjene FSU kocke razlike, morate napisati originalni izraz i uradite množenje jedno po jedno:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

Kao rezultat toga, nakon redukcije svih takvih pojmova, dobijen je isti polinom kao u tabeli. Iste manipulacije se mogu izvesti sa svim ostalim FSO-ima.

Primjena FSO za rješavanje jednačina

Na primjer, trebate riješiti jednačinu koja sadrži Polinom 3. stepena:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

Školski program ne razmatra univerzalne tehnike rješavanja kubnih jednačina, a takvi se zadaci najčešće rješavaju jednostavnijim metodama (na primjer, faktorizacijom). Ako primijetite da lijeva strana identiteta podsjeća na kocku sume, tada se jednačina može napisati u jednostavnijem obliku:

(x + 1)³ = 0.

Korijen takve jednadžbe izračunava se usmeno: x=-1.

Nejednakosti se rješavaju na sličan način. Na primjer, možemo riješiti nejednakost x³ - 6x² + 9x > 0.

Prije svega, potrebno je razložiti izraz na faktore. Prvo morate izvaditi zagrade x. Nakon toga treba obratiti pažnju da se izraz u zagradama može pretvoriti u kvadrat razlike.

Zatim morate pronaći tačke u kojima izraz poprima nulte vrijednosti i označiti ih na brojevnoj pravoj. U konkretnom slučaju, to će biti 0 i 3. Zatim, koristeći metodu intervala, odredite u kojim intervalima će x ispuniti uslov nejednakosti.

FSO mogu biti od pomoći u provođenju neke kalkulacije bez pomoći kalkulatora:

703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

Osim toga, faktoring izraza, možete lako smanjiti razlomke i pojednostaviti različite algebarske izraze.

Primjeri zadataka za 7-8 razred

U zaključku ćemo analizirati i riješiti dva zadatka za primjenu skraćenih formula za množenje u algebri.

Zadatak 1. Pojednostavite izraz:

(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).

Rješenje. U uslovu zadatka potrebno je pojednostaviti izraz, odnosno otvoriti zagrade, izvršiti operacije množenja i stepenovanja, kao i dovesti sve takve članove. Izraz uslovno dijelimo na tri dijela (prema broju pojmova) i otvaramo zagrade jedan po jedan, koristeći FSU gdje je to moguće.

• (m + 3)² = m² + 6m + 9(kvadratni zbroj);
• (3m + 1)(3m - 1) = 9m² - 1(razlika kvadrata);
• U posljednjem terminu morate izvršiti množenje: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.

Zamijenite rezultate u originalni izraz:

(m² + 6m + 9) + (9m² - 1) - (10m² + 6m).

Uzimajući u obzir znakove, otvaramo zagrade i dajemo slične pojmove:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² - 6m = 8.

Zadatak 2. Riješite jednačinu koja sadrži nepoznatu k na stepen 5:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ - 4k² - 4k = k³.

Rješenje. U ovom slučaju potrebno je koristiti FSO i metod grupiranja. Posljednji i pretposljednji termin moramo prenijeti na desnu stranu identiteta.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

Zajednički množitelj se uzima iz desnog i lijevog dijela (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k(k² + 4k + 4).

Sve se prenosi na lijevu stranu jednačine tako da 0 ostaje na desnoj strani:

k³(k² + 4k + 4) - k(k² + 4k + 4) = 0.

Opet, morate izvaditi zajednički faktor:

(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.

Iz prvog dobijenog faktora možemo izvesti k. Prema kratkoj formuli množenja, drugi faktor će biti identično jednak (k + 2)²:

k (k² - 1)(k + 2)² = 0.

Koristeći formulu razlike kvadrata:

k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.

Budući da je proizvod 0 ako je barem jedan njegov faktor jednak nuli, neće biti teško pronaći sve korijene jednadžbe:

1. k = 0;
2. k - 1 = 0; k = 1;
3. k + 1 = 0; k = -1;
4. (k + 2)² = 0; k = -2.

Na osnovu ilustrativnih primjera, može se razumjeti kako zapamtiti formule, njihove razlike, a također riješiti nekoliko praktičnih problema koristeći FSU. Zadaci su jednostavni i ne bi trebalo biti teško izvršiti.

Kada itd. U nastavku ćemo pogledati najpopularnije formule i analizirati kako se one dobivaju.

zbirni kvadrat

Kvadratirajmo zbir dva monoma, ovako: \((a+b)^2\). Kvadrat je množenje broja ili izraza samog po sebi, odnosno \((a+b)^2=(a+b)(a+b)\). Sada možemo jednostavno otvoriti zagrade, pomnožiti ih kao što smo uradili i donijeti slične pojmove. Dobijamo:

A ako izostavimo međukalkulacije i napišemo samo početni i konačni izraz, dobićemo konačnu formulu:

Kvadrat zbira:\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

Većina učenika to uči napamet. I sada znate kako da izvedete ovu formulu, a ako iznenada zaboravite, uvijek možete to učiniti.
U redu, ali kako je koristiti i zašto je potrebna ova formula? Kvadrat zbira vam omogućava da brzo zapišete rezultat kvadriranja zbira dva člana. Pogledajmo primjer.

Primjer . Otvorene zagrade: \((x+5)^2\)
Rješenje :

Obratite pažnju koliko se brže i uz manje napora postiže rezultat u drugom slučaju. A kada ovu i druge formule savladate do automatizma, to će biti još brže: jednostavno možete odmah napisati odgovor. Stoga se nazivaju skraćenim formulama za množenje. Dakle, poznavati ih i naučiti kako ih primijeniti je svakako vrijedno toga.

Za svaki slučaj, napominjemo da kao \(a\) i \(b\) može biti bilo kakvih izraza - princip ostaje isti. Na primjer:

Ako odjednom niste razumjeli neke transformacije u posljednja dva primjera, ponovite temu.

Primjer . Pretvorite izraz \((1+5x)^2-12x-1 \) u standardni oblik.

Rješenje :

odgovor: \(25x^2-2x\).

Bitan! Neophodno je naučiti kako koristiti formule ne samo u "naprijed" već iu "obrnutom" smjeru.

Primjer . Izračunajte vrijednost izraza \((368)^2+2 368 132+(132)^2\) bez kalkulatora.

Rješenje :

odgovor: \(250 000\).

Kvadrat razlike

Iznad smo pronašli formulu za zbir monoma. Nađimo sada formulu za razliku, odnosno za \((a-b)^2\):

Ukratko, imamo:

Kvadrat razlike: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

Primjenjuje se na isti način kao i prethodni.

Primjer . Pojednostavite izraz \((2a-3)^2-4(a^2-a)\) i pronađite njegovu vrijednost kada je \(a=\frac(17)(8)\).

Rješenje :

odgovor: \(8\).

Razlika kvadrata

Dakle, bavili smo se situacijama umnožaka dve zagrade sa plusom u sebi i dve zagrade sa minusom. Ostaje slučaj proizvoda identičnih zagrada sa različitim predznacima. Da vidimo šta se dešava:

Dobili smo formulu:

Razlika kvadrata \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

Ova formula je jedna od najčešće korištenih kada i sa njom radite.

Primjer . Smanjite razlomak \(\frac(x^2-9)(x-3)\) .

Rješenje :

odgovor: \(x+3\).

Primjer .Razloži \(25x^4-m^(10) t^6\).
Rješenje :

Ovo su tri osnovne formule koje trebate znati obavezno! Postoje i formule sa kockama (vidi gore), takođe ih je poželjno zapamtiti ili biti u mogućnosti da ih brzo izvedete. Također napominjemo da se u praksi često susreće nekoliko takvih formula odjednom u jednom problemu - to je normalno. Samo naučite primjećivati ​​formule i pažljivo ih primjenjivati ​​i bit ćete dobro.

Primjer (povećana složenost!) .Smanjite razlomak.
Rješenje :

Algebra

Za transformaciju izraza koriste se kratke formule množenja. Identiteti se koriste za predstavljanje cijelog izraza kao polinoma i faktorizaciju polinoma.

• 1 zbirni kvadrat(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
• 2 Kvadrat razlike(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
• 3 Razlika kvadrata a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)
• 4 sum cube(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 2
• 5 kocka razlike(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 2
• 6 Zbir kocki a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)
• 7 Razlika kocke a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Formule za kvadrate

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)

Kockaste formule

\((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)

\((a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)

\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)

\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)

Formule za četvrti stepen

\((a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\)

\((a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4\)

\(a^4 - b^4 = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)\);
slijedi iz \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\).

Skraćene formule za množenje

1. Kvadrat sumu

2. Kvadratna razlika

3. Zbir i razlika kvadrata

4. Zbroj na treći stepen (kocka zbira)

5. Razlika do trećeg stepena (kocka razlike)

6. Zbir i razlika kocki

7. Formule za skraćeno množenje za četvrti stepen

8. Formule za skraćeno množenje za peti stepen

9. Skraćene formule za množenje za šesti stepen

10. Formule skraćenog množenja za stepen n, gdje je n- bilo koji prirodni broj

11. Formule skraćenog množenja za stepen n, gdje je n- paran pozitivan broj

12. Formule skraćenog množenja za stepen n, gdje je n- neparan pozitivan broj